Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Преимущества, связанные с увеличением срока эксплуатации изделий, стимулируют процесс создания новых материалов с непрерывно-неоднородными упругими свойствами. Исследования показали, что такие материалы имеют более высокую степень устойчивости к износу и растрескиванию при воздействии скользящего контакта.
Разрушение структуры и самого материала деталей машин в машиностроении в основном инициируется вблизи их поверхностей из-за концентрации напряжений при воздействии внешних нагрузок. Поэтому для снижения эффекта износа и усталости, вызванного высокими нагрузками, требуются специальные покрытия.
Для построения решений контактных задач в зависимости от толщины покрытия используются различные методы (регулярный асимптотический метод, сингулярный асимптотический метод, методы ортогональных многочленов, коллокации и др.), т.к. каждый из них эффективен в своей области значений характерного геометрического параметра задачи. В настоящей работе развивается асимптотический метод решения парных интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами теории упругости для неоднородных покрытий. Метод является двухсторонне асимптотически точным и позволяет в единой форме получить решение контактных задач, эффективное для покрытий любых толщин.
Анализ зарубежной и отечественной литературы за последние тридцать лет показывает, что большинство результатов по контактным задачам для неоднородных материалов получены при специальных предположениях о законе изменения упругих свойств материала (экспоненциальном, степенном). Подобные задачи в основном решались численными методами или методом коллокации, однако для покрытий более сложной структуры эти методы оказываются малоэффективными.
При решении задач контактного взаимодействия для неоднородных материалов в случае, когда свойства упругой среды изменяются только по глубине, удается использовать метод интегральных преобразований. Решение задачи сводится к решению парных интегральных уравнений. В общем случае трансформанты ядер этих уравнений можно построить только численно. Немонотонное изменение упругих свойств в покрытии, связанное со знакопеременным градиентом изменения упругих свойств, оказывает существенное влияние на свойства трансформант ядер. Учет этих свойств позволяет исследовать механические характеристики задачи в случае покрытий сложной структуры, представляющих интерес для приложений.
Важность разработки математически обоснованных
приближенных аналитических методов решения смешанных задач
теории упругости для неоднородных сред обусловлена также тем, что
эти методы представляют необходимую основу для решения
соответствующих задач термоупругости, вязкоупругости,
пластичности и теории консолидации неоднородных сред, а методы, разработанные для их решения, являются общими для целого класса задач математической физики.
Цели работы состоят в:
развитии математического аппарата и численно-аналитических подходов, позволяющих получать приближенные аналитические решения парных интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами теории упругости для неоднородных сред;
исследовании влияния анизотропии и сложной структуры неоднородных покрытий на распределение контактных напряжений под штампом, а также на поля напряжений, деформаций и смещений.
Научную новизну работы составляют следующие основные результаты
Предложен эффективный алгоритм построения аналитических аппроксимаций трансформант ядер парных интегральных уравнений, порождаемых контактными задачами для неоднородных сред.
На основе аппроксимации трансформант высокой точности построены аналитические решения серии модельных задач о кручении сред с покрытиями сложной структуры:
полупространства с неоднородным покрытием, обладающего цилиндрической анизотропией.
полупространства с неоднородным покрытием периодической структуры, для которого градиент изменения модуля сдвига многократно меняет знак (до 50 раз);
неоднородного слоя, лежащего на упругой подложке, жесткость которой во много раз превышает жесткость слоя (до 1000 раз);
Для контактной задачи о кручении полупространства с покрытием исследовано влияние сложной структуры покрытия, жесткости подложки и анизотропии среды на распределение контактных напряжений. Построены поля смещений, напряжений и деформаций в приповерхностных слоях полупространства. Проанализирована точность построенных приближенных аналитических решений.
На примере контактной задачи о кручении полупространства с неоднородным покрытием проведен детальный анализ точности приближенных решений, построенных двухсторонне асимптотическим методом. Изучена связь между погрешностью аппроксимации трансформанты ядра и погрешностью приближенного решения задачи. Для численного анализа использованы различные алгоритмы построения аппроксимации трансформанты ядра. Исследована зависимость погрешности решения от значений параметров задачи.
Установлены диапазоны применимости аналитических решений, построенных на основе простейшей одночленной аппроксимации
трансформанты ядра. Вычислены значения коэффициентов одночленной аппроксимации трансформанты ядра для характерных законов неоднородности. Исследована точность полученных решений.
Достоверность результатов работы обеспечивается:
строгостью использованного математического аппарата;
физической обоснованностью моделей контактного взаимодействия;
соответствием выявленных эффектов физическому смыслу задачи;
совпадением, в частных случаях, построенных решений с известными решениями.
Практическая ценность работы
Результаты работы могут быть использованы:
1) для анализа жесткости оснований, расчета и определения
параметров контактного взаимодействия неоднородных
цилиндрически анизотропных покрытий;
2) для изучения износостойкости покрытий;
для разработки новых покрытий, отвечающих заданным требованиям;
при неразрушающем контроле упругих свойств тонких неоднородных покрытий.
Предложенный алгоритм аппроксимации трансформанты ядра интегрального уравнения может быть использован при построении приближенных аналитических решений широкого класса смешанных задач математической физики, решение которых строится с использованием метода интегральных преобразований.
Апробация работы
Основные результаты, полученные в работе докладывались на: IV, V, VI Всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», (пос. Дивноморское 2008, 2009, 2011); XIII международной конференции
«Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2009); 11th Pan-American Congress of Applied Mechanics (Бразилия, 2010); международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды» (Дилижан, Армения, 2010); X международной конференции «БелСЗМ-IX» (Минск, Беларусь, 2010); семинарах по механике сплошной среды им. Л.А.Галина под руководством профессоров В.М. Александрова, В.Н. Кукуджанова, А.В. Манжирова (Москва, 2010, 2011); XVI международной конференции "Mechanics of composite materials" (Рига, Латвия, 2010); семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством академика РАН И.Г. Горячевой 38-ое заседание (Москва, 2010); семинаре кафедры теории упругости ЮФУ (Ростов-на-Дону, 2011); всероссийской конференции "V сессия Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела" (Астрахань, 2011); международной летней школе-конференции «Актуальные проблемы механики» АРМ—2011 (Санкт-Петербург, 2011 года); международном коллоквиуме EUROMECH Colloquium 527 «Shell-like structures» (Виттенберг, Германия, август 2011); X всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, август 2011); семинаре по проблемам математического и численного моделирования ИВМ СО РАН (Красноярск, 25 октября, 2011).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе четыре статьи [1-4] представлены в журналах из "Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук", утвержденного ВАК РФ.
В работах [1-3, 7, 11, 14] соавторам принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования. Васильеву А. С. принадлежит построение и анализ свойств решения контактной задачи, а также
схема интерпретации данных, полученных из эксперимента по кручению среды, позволяющая оценивать модуль сдвига неоднородных покрытий.
В монографии [5] Васильеву А. С. принадлежат результаты второй главы, посвященные построению решений задачи о кручении упругого полупространства с неоднородным покрытием высокой точности. В работах [4, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15] Васильеву А.С. принадлежит построение эффективных аппроксимаций контактных задач, построение решения контактной задачи о кручении и анализ полученных численных результатов.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 146 наименований, приложения, общий объем диссертации составляет 112 страниц машинописного текста.
