Введение к работе
Актуальность темы. Проблема адекватного математического описания нелинейных волн в сплошных средах с учетом влияния реальных факторов является одной их центральных в механике Потребности практики приводят к необходимости использования все более сложных математических моделей, учитывающих комплексное взаимодействие разнообразных процессов, происходящих в сплошной среде Классические модели, использовавшиеся при изучении волн, усложняются путем включения в рассмотрение новых физических эффектов Исследование поведения таких сложных сред, описываемых системами уравнений высокого порядка, требует развития новых методов и средств анализа
Во многих случаях основной вклад в развитие нелинейных волновых процессов в сплошных средах вносят крупномасштабные возмущения, эволюция которых может быть описана, как правило, нелинейными гиперболическим уравнениями Влияние мелкомасштабных процессов, таких как дисперсия и диссипация, проявляется в узких высокоградиентных зонах, моделируемых в рамках гиперболических уравнений поверхностями разрыва основных параметров течения
Существенным этапом исследования является необходимый во многих случаях выход за рамки гиперболических уравнений и использование усложненных уравнений с целью изучения поведения решений в высокоградиентных областях
Диссертация посвящена изучению нелинейных волн в упругих и вязко-упругих средах Нелинейные волны в упругих средах изучались ранее в работах Д Р Бленда, Э В Ленского, А Г. Куликовского, Е И Свешниковой, Н И Гвоздовской, В И Ерофеева, А И Потапова, Н В Кукуджанова, А А Буренина Одной из основных проблем, изучаемых в диссертации, является проблема неединственности решений системы уравнений нелинейной теории упругости Проблемам выбора решения в случае неединственности решений различных задач, связан-
ных с гиперболическими уравнениями в частных производных, посвящены работы О А Олейник, С К Годунова, Г Я Галина, Н Д Введенской, В Ф Дьяченко, И М Гельфанда, А.А Бармина, В С Успенского, В А Левина, И Б Бахолдина, В В Маркова, С Ф Осинкиыа и других авторов
В работах А Г Куликовского и Е И Свешниковой [1,2], А Г Куликовского и Н И Гвоздовской [3] были рассмотрены нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах при различных предположениях относительно множества допустимых разрывов (то есть разрывов, используемых при построении решений) и была обнаружена неединственность решений классических автомодельных задач Множество допустимых разрывов определялось как множество разрывов со стационарной структурой Было выявлено, что неединственность имеет место при учете в структуре вязких напряжений, а если помимо вязкости в структуре разрывов существенную роль играет дисперсия, то неединственность решений становится многократной Вопросы, оставшиеся невыясненными 1) какое из автомодельных решений в случае их неединственности и при каких дополнительных условиях представляет асимптотику неавтомодельного решения при больших временах, 2) устойчивы ли построенные решения, 3) совпадает ли множество разрывов, имеющих структуру, с множеством разрывов, которые могут реально существовать
Цель работы.
Основной целью работы является изучение нестационарных решений системы уравнений нелинейной теории упругости с дополнительными членами, описывающими мелкомасштабные явления диссипации или совместно дисперсии и диссипации
Главное внимание уделено решению задач, для которых в рамках гиперболической модели нелинейной теории упругости имеет место неединственность решений (под решением задачи в рамках гиперболи-
ческой модели понимается решение, построенное из непрерывных решений уравнений нелинейной теории упругости и разрывов, имеющих стационарную структуру)
Численное решение соответствующим образом поставленных задач имело целью проследить формирование решений упомянутых уравнений в частных производных, формирование структур разрывов и выход с течением времени решений на асимптотическую форму, которую можно сопоставить с автомодельными решениями гиперболической модели Кроме того, численное исследование решений уравнений в частных производных позволяет исследовать вопрос об устойчивости возникающих решений, а также выяснить, не возникают ли в процессе выхода решения с ростом времени на автомодельную асимптотику других форм, не предусмотренных соответствующей гиперболической моделью В частности, в диссертации обнаружены решения, содержащие нестационарные периодические по времени структуры разрывов
Научная новизна результатов.
Все представленные в диссертации и содержащиеся в работах автора результаты являлись новыми в момент их опубликования
Постановка изучаемых проблем является новой Эти проблемы, как упомянуто выше, возникли как необходимое естественное продолжение предшествующих работ, выполненных авторами одной и той же научной школы Особенной новизной отличается проблема описания решений в случае множественной неединственности, имеющей место в случае гиперболической модели, учитывающей мелкомасштабные процессы дисперсии и диссипации
Научная новизна заключена также в глубине проработки вопроса о том, как устанавливается асимптотическая форма решения, какие факторы влияют на установление той или иной автомодельной асимптотики, устойчива ли асимптотическая форма решения Имеется только одна область, где подобные вопросы проработаны не менее детально -
это теория детонации в газах (см , например, [4])
Изучение устойчивости и формирования метастабильной ударной волны кардинально важно для утверждения о неоднозначности образования автомодельных асимптотик в случае вязко-упругих сред
Научная и практическая значимость.
В настоящее время изучение нелинейных механических динамических процессов приобретает большое значение в связи с использованием в современной технике сложных конструкционных материалов с нелинейными свойствами Кроме того, значительная часть используемых материалов обладает анизотропией, причем анизотропия свойств среды может быть обусловлена предварительной деформацией Анизотропия материалов, даже если она невелика, может существенно влиять на развитие динамических процессов, особенно при наличии нелинейности
Исследование динамических процессов в нелинейно-упругих средах с дисперсией и диссипацией тесно связано с развитием различных отраслей науки и техники, в частности, с интенсивным применением взрывных работ, а также с изучением сейсмических и геотектонических явлений
Полученные в диссертации результаты подтвердили и обосновали точку зрения, что уравнения нелинейной теории упругости сами по себе не могут дать однозначного ответа при решении задачи о распаде произвольного разрыва Проведенные численные исследования продемонстрировали зависимость типа возникающих решений от мелкомасштабных эффектов, не учитываемых уравнениями нелинейной теории упругости, позволили выявить и качественно исследовать влияние "сглаживания" начального разрыва, зависящего от предыстории его образования Эти результаты должны учитываться в численных методах для нелинейной теории упругости
Полученные в диссертации многочисленные решения позволяют ка-
чественно представлять картину возникающих в различных задачах нелинейных волн и асимптотических решений, описываемых уравнениями нелинейной теории упругости Результаты могут быть использованы при постановке опытов с нелинейными волнами в упругих средах и создают математическую основу для построения решений различных динамических задач для нелинейно упругих и вязко-упругих материалов
Полученные в качестве асимптотик при больших временах автомодельные решения могут служить основой для нахождения неавтомодельных нестационарных решений (например, по методу, предложенному в [5])
Методы исследований.
В работе использовались известные методы механики сплошных сред, методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы численного моделирования
Апробация работы.
Результаты работы докладывались и обсуждались на заседаниях семинара Института Механики МГУ по механике сплошных сред под руководством академика А Г Куликовского, д ф -м н А А Бармина и д ф -м н В П Карликова, на семинаре Института Проблем Механики РАН по динамике сплошной среды под руководством академика А Г Куликовского, д ф -м н В Н Кукуджанова и д ф -м н ИВ Симонова, на общеинститутском семинаре Математического института им В А Стеклова РАН, на общеинститутском семинаре Института Вычислительной Математики РАН, на общеинститутском семинаре Института теоретической и математической физики Российского федерального ядерного центра - Всероссийского научно-исследовательского института экспериментальной физики (Саров), на VII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г), на Всероссийской научной школе "Нелинейные волны - 2002" (Нижний Новгород,
2002 г), на Всероссийской конференции, посвященной 80-летию академика Г Г Черного (Москва, МГУ, 2003 г), на XI школе-семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2003 г), на Всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций, посвященной памяти А И Весницкого (Нижний Новгород, 2004 г), на Всероссийской конференции, приуроченной к 85-летию академика Л В Овсянникова "Новые математические модели в механике сплошных сред построение и изучение" (Новосибирск, 2004 г), на зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2005 г), на Международ-* ной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М А Лаврентьева "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005 г), на шестом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2005 г), на Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, МГУ, 2006 г), на XI Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород 2006 г), на XXI Всероссийской конференции "Аналитические методы в газовой динамике САМГАД-2006" (Санкт-Петербург, 2006 г)
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27-45]
Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, трех приложений, списка литературы из 61 наименования Объем работы 193 страницы
