Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В зависимости от соотношения
нелинейности и дисперсии в физике нелинейных волн можно условно
выделить два класса задач, которые принципиально отличаются как по
эффектам, так и по методам исследования. В средах с сильной дисперсией
взаимодействует конечное число волн, в результате взаимодействия они
сохраняют свою структуру, а для их описания можно использовать метод
медленно меняющихся амплитуд. В средах с малой дисперсией характерным
является когерентное взаимодействие большого числа временных или
пространственных гармоник, и в результате образуются сильно нелинейные
структуры. Задача теоретического и экспериментального исследования
эволюции и взаимодействия сильно нелинейных волновых полей составляет
важное направление в физике нелинейных волн. При случайных начальных
условиях можно говорить о сильной турбулентности, когда эволюция
случайного поля происходит как взаимодействие устойчивых сильно
нелинейных структур. Базовыми уравнениями в нашем случае являются
нелинейные уравнения в частных производных типа уравнения Римана,
Бюргерса и уравнения KPZ (Kardar-Parisi-Zhang). При отсутствии внешних сил
уравнение Бюргерса описывает вырождение турбулентности, то есть
нелинейную трансформацию случайного начального возмущения. При
случайных начальных условиях эта задача моделирует затухание
гидродинамической турбулентности. Известно, что указанная классическая задача гидродинамической турбулентности до сих пор далека от разрешения (см. например, статью: Yakhot V. J. Decay of three-dimensional turbulence at high Reynolds numbers. Fluid Mech. v. 505, pp.87-91, 2004) и имеет нетривиальную историю.
Несмотря на то, что нелинейное уравнение Бюргерса имеет точное решение - решение Хопфа-Коула, его непосредственное использование мало что дает для статистических задач, где требуется проводить усреднение по ансамблю реализаций. В тоже время в наиболее интересном случае больших чисел Рейнольдса (исчезающе малой вязкости) решение уравнений Бюргерса и KPZ удается свести к принципу максимума, а именно, к отысканию максимума функционала начального поля. Данный принцип дает возможность использовать эффективные аналитические методы теории больших отклонений случайных процессов для анализа статистических характеристик, как потенциала, так и его градиента. Несмотря на то, что решение Хопфа-Коула было получено в 1950 году, первые серьезные результаты для Броуновского начального потенциала были получены в монографии Бюргерса в 1974 году, 35 лет спустя после появления самого уравнения (Бюргере, 1939). При этом точное статистическое описание данного специального случая было сделано совсем недавно (Frachebourg L., Martin Ph. A., Exact statistical properties ofthe Burgers equation, J. Fluid Mechanics, 2000, v. 417, pp.323-349). Анализ этого, казалось бы, простого, црпиирйыпга уранцітlаиффучнн
»«С НАЦИОНАЛЬНАЯ ЬИБЛИОТЕКА
i^gM
С!
показывает, что в зависимости от начальных условии возможны качественно различные режимы вырождения турбулентности.
В последнее время интерес к нелинейным уравнениям типа уравнения Бюргерса резко возрос. Укажем несколько причин этого. Во-первых, было показано, что данное уравнение естественно возникает в широком классе физических задач, описывающих распространение нелинейных волн в средах без дисперсии, включает такие проблемы как эволюция хаоса, и распространение электромагнитных волн в ферритах, магнитозвуковых волн в плазме и интенсивных акустических волн в жидкости и газе. Его многомерное обобщение является адекватной моделью нелинейной стадии гравитационной неустойчивости крупномасштабной структуры Вселенной. В то же время уравнение для потенциала скорости (уравнение KPZ) описывает неравновесный рост поверхности распространение фронтов пламени. Во-вторых, на основе принципа максимума, был получен ряд результатов, которые позволили существенно продвинуть статистическую теорию одномерной турбулентности. Наконец, в гидродинамической турбулентности было осознано, что многие черты турбулентности Бюргерса, такие как перемежаемость, универсальность спектров, различные типы автомодельного вырождения, являются универсальными свойствами любой турбулентности. Указанные причины привели к резкому росту числа публикаций, так или иначе связанных с исследованиями уравнения Бюргерса. Так за последние годы (2001-2004) в электронном архиве появилось 62 новых публикаций, где обсуждаются динамические и статистические проблемы, связанные с уравнением Бюргерса.
Наряду с построением статистических моделей самих нестационарных турбулентных течений часто необходимо исследовать диффузию пассивной примеси в таких течениях. Данный вопрос представляет большой интерес для задач, связанных с экологией, океанологией и физикой атмосферы. В таких средах поле скорости, как правило, имеет разрывы производной, а для поля примеси происходит кластеризация - примесь собирается в локализованные сгустки. Для подобных задач характерным является эффект локализации примеси, при исследовании которого возникают два конкурирующих механизма - затухание поля скорости и инерциальное движение частиц. В данной диссертации развиваются аналитические и численные методы анализа волн и структур в средах с нелинейностью гидродинамического типа и исследуются эффекты кластеризации полей пассивной примеси или плотности вещества.
Уравнение Бюргерса связано с задачей о диффузии частиц и с другой стороны. Известно, что в пределе бесконечно малой вязкости решение уравнения Бюргерса подобно эволюции газа слипающихся частиц. При этом образование разрывов соответствует слипанию «легких» частиц в «тяжелые» кластеры. Несмотря на простоту постановки такой классической задачи механики, для нее относительно недавно были получены нетривиальные результаты. В работе (Е W., Rykov Yu.G. and Sinai Ya.G. Generalized variational
і гц «W ».{>
principles, global weak solutions and behavior with random initial data for systems of conservation laws arising in adhesion particle dynamics. Comm. Math. Phys. v. 177, 349-380 (1996) был построен глобальный принцип максимума для произвольной начальной плотности среды. Процесс кластеризации характерен для динамики самогравитационных систем. Поэтому так называемая "модель слипания", в основе которой лежит обобщенная векторная форма уравнения Бюргерса, была предложена для описания формирования крупномасштабных образований Вселенной, рождающихся из случайных начальных возмущений малой плотности, на нелинейной стадии гравитационной неустойчивости, когда силами давления можно пренебречь.
Целью диссертационной работы является исследование нелинейной эволюции структур в средах без дисперсии и диффузии частиц в таких полях , а именно:
исследование эволюции многомерных анизотропных случайных и регулярных полей в средах без дисперсии;
исследование эволюции многомерных локализованных сигналов со сложной внутренней структурой в средах без дисперсии;
исследование диффузии сжимаемого течения (пассивной примеси) в нестационарных турбулентных полях (на основе уравнения Бюргерса) при малой вязкости жидкости, анализ как одиночного поведения частиц, так и распределения плотности ансамбля;
изучение процессов формирования крупномасштабных структур на нелинейной стадии эволюции Вселенной в рамках модели адгезии (уравнение Бюргерса с бесконечно малой вязкостью) и теоретического и численного исследования одномерной самогравитационной системы.
Научная новизна работы:
в рамках многомерного уравнения Бюргерса показаны и исследованы процессы возникновения с течением времени локальной автомодельности и изотропии полей скорости и потенциала;
для анизотропных периодических полей исследован процесс генерации крупномасштабной компоненты, показано сохранение глобальной анизотропии структуры поля, исследована линейная стадия эволюции поля;
найдено, что в случае ближних корреляций случайного начального потенциала поля нелинейные эффекты и диссипация приводят к статистической изотропизации и автомодельности поля, а случае наличия дальних корреляций в начальном потенциале анизотропия спектра в области малых волновых чисел сохраняется;
для локализованных возмущений со сложной внутренней структурой показано, что происходит генерация практически детерминированной
когерентной структуры, а на поздней стадии среднее поле и дисперсия
имеют автомодельный вид;
при исследовании динамики взвешенной в одномерном линейном течении Бюргерса примеси впервые найдены асимптотические решения для одиночных частиц и получено автомодельное временное поведение функции плотности;
исследована динамика одномерной системы самогравитационного газа, получены асимптотические решения для динамики отдельных частиц и автомодельное поведение функции плотности.
Научная и практическая значимость работы состоит в ряде найденных новых результатах, описывающих явления нелинейной диффузии. Полученные в диссертации факты могут быть использованы при исследовании роста поверхностей, распространении фронтов пламени, динамики частиц и ансамбля сторонней взвешенной примеси в нестационарных течениях, формирования крупномасштабных массовых структур во Вселенной.
Апробация работы. Публикации. Представленная диссертационная работа выполнена в Нижегородском государственном университете, в том числе в рамках гранта РФФИ, гранта Университеты России и гранта Минвуза для аспирантов. По теме диссертации опубликовано 3 статьи в научньж журналах [1-3], 6 статей в трудах конференции, 5 тезисов докладов.
Результаты диссертации докладывались на Итоговых научньж конференциях Радиофизического факультета ННГУ (Нижний Новгород, 1999-2004 гг.) [4-8], научной школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых-99" (Саратов, 1999 г.) [9], Второй международной конференции "Фундаментальные проблемы физики" (Саратов, 9-14 октября 2000 г.) [10], Международной конференции, посвященной 100-му юбилею А.А. Андронова (Нижний Новгород, 2-6 июля 2000 г.) [11], конференции Нижегородской акустической научной сессии (Нижний Новгород, 5-8 мая 2002 г.) [12], международном совещании по космологии (Ницца, 2003), Научной школе « Нелинейные волны 2004», (Нижний Новгород, 2004), II Международной конференции "Frontiers Of Nonlinear Physics" (Нижний Новгород - Санкт-Петербург, 5-12 июля 2004 г.) [13,14].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и библиографии. Общий объем диссертации - 118 страниц, рисунков - 46, библиография - 155 наименований.
