Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Лучевое описание свойств оптических волн в случайно-неоднородных средах: статистика якобиана преобразования эйлеровых координат в лагранжевы .
Глава 2. Статистика наблюдаемых геометрических характеристик волн за случайным фазовым экраном и в случайно-неоднородных средах .
Глава 3. Свойства интенсивности волн в случайно-неоднородных средах .
Глава 4. Диффузия броуновских частиц .
Глава 5. Диффузия частиц в турбулентных средах .
Приложение 1. Проверка адекватности численной модели фазового экрана 268
Приложение 2. Проверка адекватности модели "теплых лучей" 272
Литература
- Лучевое описание свойств оптических волн в случайно-неоднородных средах: статистика якобиана преобразования эйлеровых координат в лагранжевы
- Статистика наблюдаемых геометрических характеристик волн за случайным фазовым экраном и в случайно-неоднородных средах
- Свойства интенсивности волн в случайно-неоднородных средах
- Диффузия броуновских частиц
Введение к работе
Анализ распространения волн в случайно-неоднородных средах является одной из наиболее актуальных проблем радиофизики, оптики, гидроакустики. С одной стороны, знание закономерностей распространения волн в случайной среде позволяет использовать их для изучения свойств различных сред. Этот принцип реализован в большинстве радиофизических методов исследования океана, земной коры, атмосферы, ионосферы, околосолнечной и межзвездной плазмы. В частности, применительно к ионосфере основным источником информации о неодиородностях ее структуры является изучение свойств электромагнитного ноля, принятого на Земле [1-4]. С другой стороны, быстрое развитие современных систем дальней радио- и лазерной связи, зондирования и локации турбулентной атмосферы и океана привело к тому, что искажения волн при их распространении стали одной из причин, ограничивающих технические характеристики подобных систем.
Хотя первым, кто обратил внимание на то, что атмосфера, через которую проходит свет от звезд, находится в непрерывном случайном блуждании, был, видимо, Ньютон (см., например, [5], а также ссылки в обзоре [6]), современная теория распространения волн в случайных средах начала формироваться на рубеже 40-х - 50-х годов XX века [7,8]. Отметим, что примерно тогда же была опубликована работа [9], в которой впервые были учтены дифракционные эффекты при распространении волн в рамках теории возмущений. В дальнейшем практическая важность и общефизическая значимость теории волн в случайно-неоднородных средах стимулировали быстрое развитие теоретических и экспериментальных исследований в этой области. Следует подчеркнуть сходство физических явлений, имеющих место при распространении волн различной природы (электромагнитных, плазменных, акустических, гравитационных). Поэтому, несмотря на специфику волновых процессов в различных областях физики, методы решения задач о распространении волн в случайно-неоднородной среде во многих случаях оказываются аналогичными. Результаты исследований свойств волн различной природы в случайно-неоднородных средах довольно полно представлены в монографиях [10 - 23] и обзорах [6,24 - 31].
Обратим внимание на то, что поведение волн в случайно-неоднородных средах часто сходно с поведением частиц в хаотически движущихся потоках. Например, при регистрации углов прихода и интенсивности можно увидеть такие эффекты, как укручение профиля углов наклона вплоть до появления неоднозначностей, физически соответствующих многолучевым режимам распространения, и возникновение локальных областей повышенной интенсивности. Действительно, результаты численного моделирования флуктуации интенсивности оптической волны, прошедшей слой случайно-неоднородной среды [32], также как и непосредственная экспериментальная регистрация флуктуации интенсивности оптической волны в турбулентной атмосфере [19], показывают, что формирующиеся области повышенной интенсивности существенно анизотропны и образуют ячеисто-сетчатую структуру. Но такие же структуры возникают и при развитии гравитационной неустойчивости холодного газа [33]: области повышенной плотности здесь также резко анизотропны.
В широком круге задач, относящихся к распространению излучения в случайно-неоднородных средах, выделим достаточно важную для приложений область - исследование распространения волн в случайных средах с крупномасштабными по сравнению с длиной волны флуктуациями показателя преломления. Простейшую модель переноса излучения в среде с крупномасштабными неоднородностями можно представить на примере оптических волн - как прохождение светового потока через множество хаотически расположенных прозрачных линзоподобных образований разной оптической силы и размеров [12]. В итоге световой поток в плоскости приема имеет случайное распределение интенсивности. В этом случае, как известно, из-за многократного рассеяния вперед могут возникать сильные флуктуации интенсивности поля. Сильные флуктуации интенсивности наблюдаются, например, при распространении радиоволн через ионосферу, солнечную корону или межзвездную среду [4,34], при распространении света в турбулентной атмосфере [11,12,15-17,35], распространении звуковых волн в океане [6,23,36].
Заметим, что родственные образованию каустических структур явления обнаруживаются и при движении плавучей примеси в турбулентных потоках [37-39]. Аналогично сильным флуктуациям интенсивности в областях фокусиро-
вок, кластеризация примеси приводит к образованию компактных областей повышенной плотности. Сходный пример можно указать и в астрофизике [38,40-43] - это возникновение крупномасштабной структуры распределения вещества во Вселенной, когда формируются области повышенной плотности, образующие ячеисто-сетчатую структуру, причем с течением времени все вещество стекается в узлы ячеек.
Отметим и различие. Оно заключается в многообразии механизмов кластеризации поля плотности плавучей пассивной примеси или самих частиц. В задачах распространения волн аналогичный эффект формирования каустических структур и образования областей сильных флуктуации интенсивности обусловлен единственным механизмом: случайными фокусировками волн в среде с крупномасштабными по сравнению с длиной волны неоднородностями, т.е. линзовым действием крупных неоднородностей. В то же время установлено (см., например, [39,44]), что главный механизм аналогичного явления кластеризации поля плотности плавучей пассивной примеси или самих частиц связан с наличием дивергентной компоненты поля скорости среды, возникающей при инерционном движении частиц [45,46]. Физика процесса состоит в следующем: инертность заставляет частицы в турбулентном вихре дрейфовать к границам областей между вихрями (области с уменьшающейся скоростью турбулентного потока жидкости и максимумом давления жидкости). Поэтому в областях с максимальным давлением происходит накопление частиц, а из областей пониженного давления они уходят. Этот механизм действует в широкой области масштабов. На больших масштабах турбулентная диффузия приводит к релаксации флуктуации концентрации частиц. Однако на масштабах, где турбулентная диффузия порядка молекулярной, релаксация очень слаба. Таким образом, флуктуации концентрации локализованы на малых масштабах.
Однако, в связи с большим числом параметров, обусловливающих движение частиц примеси, здесь возможны и другие механизмы локализации. Так, в [47] исследовалось явление турбулентной термодиффузии: в турбулентном потоке с ненулевым средним градиента температуры происходит увеличение концентрации частиц в областях минимума средней температуры. Аналогичное яв-
ление турбулентной бародиффузии [48] вызывает дополнительный поток частиц примеси в сторону максимума среднего давления в жидкости.
Исследования распространения волн в случайно-неоднородных средах при условии малости флуктуации амплитуды поля проводятся с использованием подходов, основанных на решении стохастического волнового уравнения тем или иным методом возмущений [19,20,35]. В случае сильных флуктуации интенсивности расчеты но теории возмущений в той или иной ее форме становятся непригодными. Здесь используются методы, основанные на решении уравнений для статистических моментов поля [12,19,35]. Кроме того, развиваются методы анализа каустической структуры волнового поля в случайно-неоднородной среде на основе идеологии статистической топографии [49]. Заметим, что эта идеология полностью переносится и на описание поведения плавучей примеси в случайном поле скоростей [37].
Решающий вклад в теорию волн в случайно-неоднородной среде внесли Леонтович и Фок [50], которые ввели метод параболического уравнения для описания волн, сосредоточенных в области малых углов вокруг первоначального направления распространения. Во многих последующих работах это уравнение служит в качестве отправной точки [13,16,19]. В частности, из параболического уравнения следуют уравнения для статистических моментов поля. Наибольший практический интерес представляет четвертый момент, т.к. он позволяет исследовать флуктуации интенсивности (их относительную дисперсию, коэффициент пространственной корреляции) и характеристики случайных смещений пучков и изображений источников. Несмотря на то, что уравнение для статистических моментов произвольного порядка различными методами было получено еще в 60-х годах XX века [51,52], решение уравнения даже для четвертого момента представляет собой сложную математическую задачу. Впервые асимптотическое решение для сильных флуктуации интенсивности неограниченной плоской и сферической волн было получено в работах [53,54]. В дальнейшем различные методы решения этого уравнения для плоской волны в случайной среде и за случайным фазовым экраном рассматривались в [55-57]. Кроме того, в работах [58,59] построено асимптотическое решение в другом предельном случае - сла-
бых флуктуации интенсивности, а в [60] найдены моменты интенсивности произвольного порядка в области насыщения флуктуации.
Несмотря на то, что по теории распространения волн в случайно-неоднородных средах в настоящее время имеется огромное количество работ, до сих пор свойства волн в области сильных флуктуации интенсивности остаются недостаточно полно изучены. В ряде работ [61-63] проводилось исследование интенсивности вблизи каустик. При этом, как правило, возникала необходимость в громоздких численных расчетах. В то же время известна аналогия [64,65] между задачами о распространении волн в случайной среде и о флуктуациях поля за случайным фазовым экраном. Экран со случайно изменяющейся фазой, который вносит в падающую волну только пространственно-случайные возмущения, является простейшей рассеивающей системой физической оптики. Последующее распространение волны за экраном приводит к развитию флуктуации амплитуды, которые в оптических экспериментах проявляются в виде сложного распределения светлых и темных областей на экране, поставленном на пути рассеянного света [66]. Случайный фазовый экран может быть использован в качестве модели шероховатых поверхностей, тонких рассеивающих слоев, а в некоторых случаях и более протяженных областей с изменяющимся показателем преломления. Хаотический фазовый экран является хорошей моделью ионосферы [25,67] или межпланетной плазмы [4,34,67] со случайными неоднородностями, а расчет флуктуации интенсивности за фазовым экраном, хотя и сводится к вычислению восьмикратного интеграла [68], оказывается намного более простой задачей.
Возможность точного решения задачи для случайного экрана и развитие вычислительной техники подсказали один из возможных путей анализа свойств волн в случайной среде - на основе параболического уравнения для комплексной амплитуды поля примерно с середины 50-х годов XX века начали развиваться методы статистического моделирования распространения волн в случайно-неоднородных средах. Моделью среды при этом является набор статистически независимых плоских экранов со случайными двумерными полями коэффициентов пропускания и набега фазы, между которыми волна испытывает только дифракцию. Многократное повторение численных экспериментов по рассеянию волны на последовательности этих экранов дает выборку случайных реализаций
полей, по которой могут быть определены искомые статистические характеристики излучения.
Впервые метод фазовых экранов для расчета распространения электромагнитных волн был применен в работе [69], однако преимущества этого метода в полной мере проявляются лишь при использовании достаточно мощной вычислительной техники. Например, в [70] функции корреляции, записанные с учетом пересчета поля с экрана на экран, оценивались аналитически, что возможно только в предельном случае сильных флуктуации фазы и гауссова экрана. В дальнейшем с помощью методов статистического моделирования решались намного более сложные задачи [71-73]. Так, в [73] описана построенная на основе метода фазовых экранов модель экваториального ионосферного возмущения, которая включает в себя как детерминированную часть, учитывающую плазменную }іеоднородпость и изменение фонового уровня ионизации с высотой, так и случайную часть, которая характеризуется пространственной спектральной плотностью степенного вида. Как показано в [74,75], метод статистического моделирования позволяет получать результаты, хорошо согласующиеся с аналитическими расчетами, выполненными методами геометрической оптики [19,20,76] и плавных возмущений в предельном случае слабых флуктуации интенсивности. По-видимому, наиболее полно возможности метода фазовых экранов использованы в [32], где представлено полученное численными методами изображение поля интенсивности в плоскости наблюдения. В этой работе моделировался характерный для турбулентной атмосферы степенной закон спекгра флуктуации показателя преломления и исследовалось влияние внутреннего и внешнего масштабов на спектр интенсивности и на максимум интенсивности волнового поля, однако лишь применение суперкомпьютера CRAY ХМ-Р сделало возможным такое моделирование.
Недостатком методов численного моделирования является, с одной стороны, использование определенных приближений при построении модели среды, а с другой - достаточно высокие требования к возможностям вычислительной техники для получения надежных результатов. Кроме того, при использовании численных методов обычно бывает трудно проследить зависимость решения от параметров задачи. Поэтому более удобными являются аналитические или ком-
бинированиые численно-аналитические методы. Один из таких методов - гео-метрооптическое описание распространения волн.
Заметим, что более пятидесяти лет назад была предпринята попытка [9] учета дифракционных эффектов при распространении волны в случайной среде в рамках теории возмущений. Методика, предложенная в этой работе A.M. Обухова, существенно дополняла и уточняла исследования, проводившиеся в рамках геометрической оптики. Тем не менее, разработанные в [77-79] усовершенствования метода геометрической оптики делают его мощным инструментом для исследования многих важных характеристик волн в случайных средах. В частности, известно, что к изучению статистических свойств амплитуды и фазы аппарат уравнений Фоккера-Планка, позволяющий от исходного стохастического уравнения для марковского процесса перейти к уравнению для его плотности вероятности, неприменим [78]. Это обусловлено тем, что флуктуации амплитуды и фазы не являются конечномерными марковскими. В то же время, из уравнений геометрической оптики, описывающих распространение волны в малоугловом диффузионном приближении, достаточно просто получаются уравнения для различных вероятностных харакгеристик параметров волны. Например, в работах [77,78] выведены замкнутые кинетические уравнения для конечномерных функций плотности вероятностей световой волны, которые можно рассматривать как естественное обобщение уравнений Фоккера-Планка. Как и уравнения для статистических моментов поля, а также уравнения Фоккера-Планка, они справедливы тогда, когда продольные масштабы случайных неоднородностей среды много меньше продольных масштабов флуктуации амплитуды и фазы. С помощью этих уравнений находятся, в частности, корреляция между квадратом фазы и интенсивностью и пространственный спектр интенсивности. Некоторые из полученных в работе [78] уравнений интерпретируются как уравнения для вероятностного распределения координат и углов прихода светового луча.
Обратим внимание на тесную связь описания движения пассивной примеси и уравнений для лучей в случайно-неоднородных средах. Начиная с пионерской работы Тейлора [80], общепринятым считается лагранжев подход к описанию статистики частиц примеси [37,38,40,81-83]. Но аналогичные уравнения нетрудно получить и при геометрооптическом описании, если следить за распро-
странением фиксированного луча. Так, в [40,83] установлено, что в приближении геометрической оптики эволюция углов прихода волнового фронта (градиента фазы) в двумерной однородной среде сводится к уравнению Римана, которое описывает также и поле скорости гидродинамического потока невзаимодействующих частиц. Уравнение для интенсивности волны совпадает с уравнением непрерывности для плотности потока невзаимодействующих частиц. В геометрической оптике роль траекторий частиц играют лучи, а роль лагранжевых координат частиц - координаты точек выхода лучей из начальной плоскости. Заметим, что в задачах гидродинамики невзаимодействующих частиц лагранжево описание часто оказывается существенно проще с математической точки зрения, тогда как экспериментаторы чаще имеют дело с эйлеровыми (измеряемыми в фиксированных областях пространства) характеристиками волн или частиц примеси. Однако развитый в [40,83] математический аппарат связи лагранжева и эйлерова описания случайных полей позволяет получить полное статистическое описание.
Но если между каустиками распространение волны хорошо описывается уравнениями геометрической оптики, которые аналогичны уравнениям турбулентной диффузии в лагранжевом представлении, то в областях каустик необходимо учитывать дифракционные эффекты. Известно, что ограничение каустических выбросов в случайно-неоднородной среде происходит за счет дифракции, которая сглаживает каустические особенности еще до того, как флуктуации интенсивности достигнут максимального (в геометрооптическом приближении -бесконечного) значения. Аналогичное явление, ограничивающее флуктуации поля плотности примеси в областях кластеризации - это молекулярная диффузия, т.е. тепловой разброс скоростей частиц. Поэтому на более поздних этапах развития диффузии, когда возникают компактные области повышенной концентрации примеси, необходим учет и молекулярной диффузии [84,85]. Исследование взаимного влияния турбулентной и молекулярной диффузии проводилось, например, в [86,87]. При этом в [87] отмечено, что влияние молекулярной диффузии сводится лишь к ослаблению турбулентной диффузии (в этом случае действие молекулярной диффузии как раз и аналогично дифракционному сглаживанию выбросов интенсивности волнового поля). Однако в более поздней работе
[86] было получено, что наличие областей с отрицательными значениями корреляции между молекулярной и турбулентной диффузией может приводить и к усилению последней. В этом, очевидно, состоит принципиальное отличие в по-* ведении волн и частиц, которому есть простое объяснение: дифракция имеет не столько статистический, сколько динамический характер, поскольку связана не с характером случайных неоднородностей среды, а с принципиальным эффектом дифракционного расплывания на характерных неодпородностях.
Ниже будет показано, что предлагаемый в работе геометрооптический подход к описанию распространения волн, основанный на анализе статистики якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лаграижевы, а также аналогичное ему лагранжево описание движения частиц в турбулентных потоках является эффективным методом исследования распространения волн в случайно-неоднородных средах и движения гидродинамических потоков частиц в хаотически движущихся средах. Поэтому с его помощью целесообразно рассматривать такие недостаточно изученные вопросы, как свойства волн в области мно-голучевости, а также, с учетом дифракционных поправок, вероятностные и корреляционные свойства интенсивности волн в области сильных флуктуации. С использованием отмеченных выше аналогий удается также исследовать движение частиц пассивной примеси в турбулентных средах и эффекты, вызванные молекулярной диффузией.
В работе рассматриваются следующие конкретные задачи:
1) исследование динамических и статистических свойств полей якобиана
преобразования эйлеровых координат геометрооптического луча в ла
граижевы и кривизны волнового фронта;
исследование статистики каустик в случайно-неоднородной среде;
исследование статистики лучей в случайно-неоднородной среде;
исследование вероятности многолучевого распространения за случайным фазовым экраном;
исследование влияния анизотропных неоднородностей на траектории лучей в среде;
6) исследование асимптотического поведения реализаций интенсивности
волны;
исследование статистических моментов и плотности вероятностей интенсивности в окрестностях каустик;
исследование дифракционного механизма сглаживания каустических особенностей в поле интенсивности волны;
вывод и исследование уравнений для среднего поля волны и функции когерентности в статистически анизотропной случайной среде;
установление и исследование связи эйлеровых и лагранжевых вероятностных характеристик скорости и координат броуновской частицы, достигающей заранее заданной области пространства;
исследование эффектов относительной молекулярной диффузии;
исследование флуктуации плотности сгустка частиц, первоначально находившихся в одном физически бесконечно малом объеме;
исследование влияния инерционности частиц на возникновение многопотоковости движения в турбулентной вязкой среде;
14) исследование закономерностей турбулентной диффузии частиц, движу
щихся в турбулентной среде под действием сил гравитации и Стокса.
В основе диссертации лежат работы [88-123].
Полученные в диссертации физические результаты представляют как чисто научный, так и практический интерес. Во-первых, они могут быть использованы при описании свойств оптических и акустических волн в случайных средах, что весьма актуально в связи с возникающими в приложениях задачами локации в турбулентной атмосфере, томографии случайно-неоднородного океана, задачами инженерной геодезии. Во-вторых, усиливающееся антропогенное воздействие па атмосферу и водную среду делает актуальным исследование физических закономерностей поведения частиц (например, оседание дымового аэрозоля) и пассивной примеси для решения экологических и метеорологических проблем.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения.
В первой главе отмечены причины, по которым исследование свойств экспериментально наблюдаемых характеристик волны (интенсивности, среднего числа каустик и т.д.) удобно проводить с помощью статистики якобиана преобразования J эйлеровых координат геометрооптического луча в лагранжевы. За-
тем выведены стохастические уравнения для якобиана и кривизны U волнового фронта, а также уравнение Фоккера-Плапка для совместной плотности вероятностей якобиана и кривизны волнового фронта.
Комбинированными численно-аналитическими методами (моделированием стохастических уравнений в сочетании с решением уравнения Фоккера-Планка) исследованы динамические и статистические свойства полей J{t) и U{t) (где / - продольная координата). [Три этом установлено, что эти поля представляют собой квазипериодический процесс со случайными "полупериодами", равными расстоянию между каустиками. Показано, что статистика поля якобиана J и связанных с ним физических параметров волны (интенсивности, среднего числа лучей и т.д.) в значительной мере определяется статистическими свойствами вспомогательной последовательности, равной произведению значений кривизны в точках каустик. Исследование свойств этой последовательности позволило найти асимптотический (на больших расстояниях вдоль луча) закон нарастания статистических моментов модуля якобиана и установить, что моменты модуля якобиана имеют квазипериодический характер, а "амплитуда колебаний" экспоненциально нарастает с расстоянием вдоль луча. Отмечено, что свойства последовательности, составленной из произведений значений кривизны волнового фронта в точках каустик, принципиально важны для анализа поведения реализаций интенсивности в окрестности каустик.
Во второй главе изучена статистика таких экспериментально наблюдаемых геометрических параметров волн, как среднее число лучей, средняя плотность каустик в поперечном сечении случайной среды, траектория лучей в среде. Рассмотрение первого вопроса ведется как с помощью установленной в первой главе асимптотики нарастания лагранжева среднего модуля якобиана, так и моделированием протяженной среды эквидистантной системой случайных фазовых экранов. Этот же метод моделирования использован и для нахождения среднего числа каустик в единице поперечного сечения. Дано качественное объяснение характера зависимости средней плотности каустик от расстояния за случайным экраном и в случайной среде. На основе сравнения результатов моделирования с известными точными результатами для одиночного экрана [40] в Приложении 1
устанавливаются адекватность численной модели экрана и точность метода фазовых экранов применительно к рассматриваемым задачам.
В этой же главе найдены вероятности трех- и пятилучсвого распространения за случайным фазовым экраном. Полученный результат позволяет, во-первых, оценить область применимости однолучевого приближения, во-вторых, указать начало области многолучевости. Важность данного вопроса объясняется, с одной стороны, тем, что при многолучевом распространении существенно изменяются связи лагранжевых и эйлеровых статистических характеристик случайных полей. С другой стороны, статистика многолучевости сама по себе является важной физической характеристикой волн в случайной среде.
Вероятностные свойства траекторий лучей в среде определяются на основе решения полученного в этой главе уравнения Фоккера-Планка. При этом неоднородности предполагаются вытянутыми вдоль оси распространения волны. Такая ситуация характерна, например, для волн, распространяющихся в подводных звуковых каналах, поскольку известно [6,23], что океан статистически анизотропен: спектр внутренних волн (одного из основных источников флуктуации скорости звука в океанической среде) таков, что вертикальный и горизонтальный интервалы пространственной корреляции флуктуации скорости звука существенно различны: фактически горизонтальный всегда много больше вертикального.
В третьей главе анализируются вероятностные и корреляционные свойства интенсивности в окрестностях каустик. Для этого прежде всего установлены мажорантные свойства последовательности, составленной из произведений значений кривизны волнового фронта в точках каустик, и выяснена связь этой последовательности с интенсивностью волны. Поведение реализаций интенсивности и асимптотическая зависимость плотности вероятностей от величины интенсивности и от расстояния вдоль луча исследованы с помощью свойств упомянутой последовательности. Моменты обратной интенсивности найдены с учетом формул связи интенсивности и якобиана преобразования эйлеровых координат в лагранжевы [79] из асимптотического закона нарастания моментов модуля якобиана.
Корреляционные свойства флуктуации интенсивности рассмотрены в частном случае дифракции волны за случайным фазовым экраном. Для этого использована аналогия между дифракцией монохроматической оптической волны за экраном и поведением нагретого газа невзаимодействующих частиц [40]. Это позволило разработать и применить к анализу распространения волн метод "теплых лучей", состоящий, с одной стороны, в учете дифракционного сглаживания каустических особенностей волнового поля, а с другой - в предположении о возможности статистического расщепления геометрооптических и дифракционных средних. Справедливость предложенного подхода проверена в Приложении 2 на примере динамического синусоидального фазового экрана.
В этой же главе исследовано распространение волн в статистически анизотропных средах, для которых неприменимы классические уравнения для мо-ментных функций волн, выведенные в малоугловом приближении квазиоптики и марковском приближении. В настоящей рабоге с помощью локального метода Чернова выведены замкнутые интегро-дифферепциальные уравнения для среднего поля и для функции когерентности волны в среде с вытянутыми вдоль направления распространения волны веретенообразными неодиородностями. Анализ этих уравнений показывает, что они в случае изотропных или сплющенных вдоль оси распространения неоднородностей переходят в известные уравнения [19]. В то же время для волн, распространяющихся в среде с вытянутыми неодиородностями, учтены дифракция на сильно вытянутых нсоднородностях и изменение силы рассеяния при малых изменениях углов распространения волны. Это позволило предсказать принципиально новый результат, состоящий в появлении ракурсной чувствительности рассеянного поля.
В четвертой главе рассматривается задача о вероятностных характеристиках скорости и координат частицы примеси в потоке газа, достигающей заранее заданной области пространства (детектора) в течение определенного интервала времени. Поскольку частица участвует в броуновском движении, время достижения детектора случайно. Поставленная задача, с точки зрения гидродинамики, соответствует эйлерову подходу к описанию движения частиц примеси. Отмечено, что лагранжево статистическое описание, в рамках которого определяются вероятностные свойства фиксированной частицы в текущий момент времени,
оказывается проще, поскольку сводится к анализу статистических свойств хорошо изученных решений стохастических уравнений Ланжевена [124]. Поэтому целью четвертой главы является построение эйлеровых вероятностных распределений с помощью известных лагранжевых. При решении задачи учтено, что взаимодействие частицы с потоком происходит как за счет межмолекулярных взаимодействий (за счет ударов частиц окружающей среды), которое учитывается случайной силой, так и за счет регулярных сил, природа которых зависит от постановки конкретных задач. В частности, для приложений актуален случай, когда регулярная составляющая силы является результирующей гравитационной силы при движении в поле тяжести и кулоновской силы, действующей на заряженную частицу со стороны электрического поля Земли, а также сила вязкого трения.
Поставленная задача сводится к краевой для уравнения Фоккера-Планка, не допускающей в общем случае аналитического решения. Исследована связь решения этой задачи с вероятностными характеристиками традиционной начальной задачи о броуновском движении частицы. Для этого, прежде всего, проведено численное моделирование движения частицы, которое дает наглядное представление о характере движения при различных соотношениях между регулярным сносом и диффузией. Кроме того, проведен расчет вероятностей одно- и двукратного попадания частицы на детектор. При этом рассмотрены случаи, соответствующие различной размерности пространства, в котором движется частица, а также различные варианты формы самого детектора (например, плоский безграничный или ограниченный детектор произвольной формы, либо замкнутый детектор). В последнем случае (для замкнутого детектора) задача решена для источника частиц, находящегося как вне, так и внутри детектора. В результате анализа влияния различных факторов (соотношение между сносом и диффузией, форма и размеры детектора) сформулированы условия, при которых справедливы найденные связи известных лагранжевых и искомых эйлеровых плотностей вероятностей. Для каждого из исследованных случаев дана наглядная интерпретация зависимости плотности вероятностей скорости частицы от соотношения между параметрами поставленной задачи.
В пятой главе изучено движение частиц пассивной примеси в случайных гидродинамических потоках. Вначале рассмотрены эффекты относительной молекулярной диффузии и тесно связанные с ними флуктуации плотности сгустка частиц, первоначально находившихся в одном физически бесконечно малом объеме. Целью являлось установление связи между вероятностным описанием и реализациями вспомогательного случайного процесса, учитывающего расстояния между частицами. Для упрощения выкладок задача решена в одномерном случае. Наглядной моделью, соответствующей этой ситуации, является сгусток плавучих частиц на поверхности турбулентной жидкости в канале, настолько узком, что можно пренебречь движением и диффузией поперек него. Показано, что в системе координат, начало которой помещено в центр масс сгустка, статистические свойства плотности частиц определяются статистикой случайного расстояния от частицы до центра масс. Анализ соответствующего стохастического уравнения позволил обнаружить эффект стохастической локализации сгустка, при котором хаотическое движение среды в среднем не ускоряет разбега-ние частиц, а прижимает их друг к другу.
Далее комбинированными численно-аналитическими методами изучено влияние инерционности частиц на возникновение многопотоковости движения в турбулентной вязкой среде. При этом отмечено, что возникновение многопотоковости движения частиц аналогично рассмотренному во второй главе явлению многолучевости. С учетом этой аналогии анализ зависимости времени возникновения многопотоковости от коэффициента турбулентной диффузии и от инерционности частицы проведен на основе исследования свойств якобиана преобразования эйлеровых координат частиц в лагранжевы. Кроме того, знание статистики якобиана позволило исследовать эйлерову статистику обратной к ней величины - плотности сплошной среды или концентрации пассивной примеси.
Изучены закономерности турбулентной диффузии частиц, движущихся в турбулентной среде под действием сил гравитации и Стокса. Типичным примером служит аэрозоль или капли дождя в турбулентной атмосфере. Для решения поставленной задачи выведено уравнение диффузии и обсуждены вопросы о способах визуализации и геометрическом смысле его решений. Далее для случая, когда корреляционная функция вихревого поля скоростей адекватна свойст-
вам сильной турбулентности, анализируются следствия полученного уравнения применительно к статистике координат и скорости. В приближении равномерного падения исследовано влияние инерционности частиц на поперечную и продольную дисперсию их скорости, а также на коэффициенты диффузии в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Кроме того, подробно исследована зависимость дисперсии скорости частиц и коэффициентов продольной и поперечной диффузии от средней скорости падения частиц. При этом обнаружен физический эффект, состоящий в том, что, несмотря на уменьшение дисперсии скорости с ростом инерционности частиц, коэффициенты диффузии в горизонтальной и вертикальной плоскостях не зависят от степени инерционности движения, а лишь от скорости свободного падения: с увеличением скорости падения в вертикальной плоскости диффузия становится сильнее, чем в горизонтальной. Найдены условия применимости диффузионного уравнения.
В заключении сформулированы основные полученные результаты.
Основные положения, выносимые на защиту:
Для реализаций поля кривизны волнового фронта в точках каустик существует мажорантная кривая, под которой с любой заданной вероятностью р<\ лежат 100% р реализаций. Это приводит к истончению каустик и уменьшению интенсивности волны в фиксированной лучевой трубке.
В области многолучевости в случайно-неоднородной среде моменты модуля якобиана эйлеровых координат луча в лагранжевы с ростом расстояния вдоль луча растут экспоненциально. Это приводит к экспоненциальному нарастанию средней многолучевости, в результате чего нарастает среднее число каустик в единице поперечного сечения.
В статистически-анизотропной случайно-неоднородной среде с вытянутыми вдоль оси распространения неоднородностями:
а) плотность вероятностей углов распространения волны имеет локальный
минимум в направлении большего масштаба корреляции неоднородно-
стей;
б) выведенные уравнения для первых двух статистических моментов поля
показывают, что угловая зависимость рассеянного поля существенно за-
висит от параметра анизотропии. В случае слабой анизотропии необходим учет дифракции на сильно вытянутых неоднородностях и изменения силы рассеяния при малых изменениях углов распространения волны.
Применение метода "теплых лучей" позволяет правильно учитывать дифракционное сглаживание каустических особенностей волнового поля за случайным фазовым экраном.
Плотность вероятностей скорости броуновской частицы, достигающей заранее заданной области пространства, удается находить с помощью плотности вероятностей скорости в фиксированный момент времени.
Обнаруживается эффект стохастической локализации сгустка примеси в турбулентной среде, при котором хаотическое движение среды в среднем не ускоряет разбегание частиц, а прижимает их друг к другу.
В турбулентной среде многопотоковость движения частиц пассивной примеси возникает тем раньше и выражена тем заметнее, чем больше коэффициент турбулентной диффузии. К аналогичному результату приводит и увеличение инерционности частицы.
В области многопотоковости в турбулентной среде среднее значение обратного квадрата плотности примеси экспоненциально нарастает со временем.
При движении инерционных частиц, движущихся в турбулентной среде под действием сил гравитации и Стокса, дисперсия их скорости уменьшается. Однако коэффициенты диффузии в горизонтальной и вертикальной плоскостях не зависят от степени инерционности движения, а лишь от скорости свободного падения. С увеличением скорости падения отношение коэффициентов поперечной и продольной диффузии плавно уменьшается до 1/2.
В работе принята следующая нумерация формул и рисунков: первая цифра - номер главы, в каждой главе нумерация сквозная.
Лучевое описание свойств оптических волн в случайно-неоднородных средах: статистика якобиана преобразования эйлеровых координат в лагранжевы
Исследование распространения волн в случайно-неоднородных средах существенно упрощается, если пренебречь дифракцией и описывать распространение волны в гсометрооптическом приближении [77]. Нелинейность уравнений геометрической оптики существенно затрудняет их анализ. Поэтому при изучении параметров волн обычно пользуются линеаризованными уравнениями [19,76]. Однако разработанные усовершенствования метода геометрической оптики [77-79] позволяют исследовать статистические свойства волн без ограничения на величину флуктуации интенсивности [125-128].
При теоретическом и экспериментальном изучении хаотических движений сплошных сред и анализе распространения оптических волн в случайно-неоднородных средах широко применяются два взаимно дополняющих подхода [79]. В первом из них интересуются лагранжевой статистикой случайных волн и полей. В этом случае координаты движутся вместе с частицами или лучами. В геометрической оптике это статистика флуктуации фазы, углов прихода и интенсивности в выделенной лучевой трубке. Применительно к сплошной среде это статистика пульсаций скорости и плотности жидкой частицы. Другой подход состоит в определении эйлеровой статистики полей и волн в заданной точке пространства. При этом координаты луча или частицы рассматриваются в неподвижной системе отсчета. Лагранжев подход к анализу эйлеровой статистики оказывается эффективным и позволяет исследовать статистические свойства указанных параметров оптических волн с учетом появления каустических особенностей в поле волны [125-128]. Используя приведенный в [40,79,129] математический аппарат, связывающий лагранжеву и эйлерову статистики, удается достаточно полно описать свойства волн в неоднородной среде.
Преимуществом такого подхода является и то, что стохастические дифференциальные уравнения для лаграижевых координат геометрооптического луча, кривизны волнового фронта и якобиана преобразований эйлеровых координат луча в лагранжевы при определенных условиях [18,330] можно рассматривать как уравнения для марковских случайных процессов и применять к изучению свойств геометрических параметров волны аппарат уравнений Фоккера-Планка.
Таким образом, лагранжев подход является эффективным методом исследования распространения волн в случайно-неоднородных средах, а также движения частиц в турбулентных средах. Поэтому прежде всего исследуем динамические и статистические свойства полей якобиана J преобразования эйлеровых координат геометрооптического луча в лагранжевы и кривизны волнового фронта. Заметим, что якобиан преобразования координат имеет ясный физический смысл. В задачах распространения волн его естественно назвать расходимостью [76,85] лучевой трубки, поскольку он равен отношению сечения лучевой трубки в среде к начальному сечению. При описании движения частиц примеси в турбулентных потоках якобиан./ выражает степень сжатия (разрежения) среды.
В геометрооптическом приближении при анализе распространения волн в случайно-неоднородных средах существенную информацию об экспериментально наблюдаемых характеристиках волн (таких, например, как среднее число каустик, среднее число лучей и т.д.) дает якобиан преобразования J эйлеровых координат луча в лагранжевы. В силу аналогии между поведением оптической волны и гидродинамического потока невзаимодействующих частиц якобиан преобразования координат частиц J точно так же позволяет изучать характеристики сгустков частиц примеси в хаотически движущихся потоках, а также среднее число потоков. Тем не менее, для определенности будем пока придерживаться "волновой" терминологии.
Ниже статистика якобиана и связанных с ним величин исследованы в наиболее простом случае двумерной задачи (z - координата вдоль первоначального направления распространения волны, единственная поперечная координата - х). Двумерная модель позволит избежать громоздких выкладок, связанных с трех мерностью реальной среды. Известно [131], что каустике соответствует бесконечная кривизна волнового фронта. В то же время, эволюция якобиана в трехмерной случайной среде происходит с существенно разными скоростями по раз- ным поперечным координатам [40,131,132], поэтому две главные кривизны в общем случае никогда не совпадают. Это означает, что фокусировка лучей имеет преимущественно одномерный характер, и двумерная модель позволяет выявить не только качественные, но и количественные особенности поведения якобиана и интенсивности волн в области, где формируются каустики и наблюдаются сильные флуктуации интенсивности.
В дальнейшем систему координат (z, х) будем считать фиксированной (эйлеровой), а также введем движущуюся вместе с лучом (лагранжеву) поперечную координату а, в качестве которой возьмем точку оси х, из которой вышел луч при z = 0 (рис. 1.1). Тогда X(z, а) - уравнение траектории геометрооптиче-ского луча, выходящего из точки с эйлеровой координатой (z = 0, х = а).
Заметим, что эта величина имеет наглядный физический смысл: она равна отношению сечения лучевой трубки з среде к начальному сечению. Отметим причины, по которым нас будут интересовать свойства якобиана.
Статистика наблюдаемых геометрических характеристик волн за случайным фазовым экраном и в случайно-неоднородных средах
Геометроошическии подход к описанию поведения волн в случайно-неоднородных средах позволяет исследовать влияние иеоднородностей среды па параметры лучевых траекторий. Например, в работах [139,140 из исходных уравнений геометрической оптики получено уравнение Фоккера-Планка, описывающее диффузию квазимонохроматического волнового пакета в недисперги-рующей среде, изотропные неоднородности которой характеризуются статистически однородным стационарным случайным полем с гауссовой функцией корреляции. Решение этого уравнения даст наиболее вероятное значение угла прихода луча, причем как частные случаи оно включает в себя траектории лучей в средах с качественно различными законами изменения показателя преломления 141.
Здесь изученные в первой главе общие свойства полей якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лагранжевы будут использованы, чтобы установить асимптотические законы нарастания средней плотности каустик и статистку мпоголучевости в случайно-неоднородной среде.
С формированием каустических особенностей в поле волны связан ряд интересных явлеииіі. Например, известно [40], что после образования каустики возможно возникновение мпоголучевости. При этом в одну точку пространства попадает уже не один, а несколько лучей, имеющих разные начальные координаты.
Существенную информацию о характере многолучевого распространения песет плотность вероятностного распределения каустик. Так, в [36] найдена плотность вероятности расстояния до первой каустики. Замкнутая форма решения, полученная в [36], сконструирована из асимптотик для малых и больших расстояний / вдоль луча, из которых следует, что вероятность первой фокусировки на малых расстояниях исчезающе мала ( ехр(-Ш )), затем резко возрастает, а на больших расстояниях спадает несколько быстрее, чем экспонента (про норционалыю 15/"ехр(-/) ).І Іаряду с вероятностными распределениями в [36,132] получены средине расстояния до первой каустики и между каустиками в случайной статистически однородной среде. Целью данной главы является анализ другой величины, связанной со статистикой каустик - среднего числа каустик в единице поперечною сечения. Кроме статистики каустик, при описании многолучевого распространения воли необходимо знать статистические свойства многолучевости. Известно 4(),79], что эйлерово среднее число лучей N(z) в случае первоначально плоской волны связано с якобианом преобразования эйлеровых координат в ла-гранжевы равенством {N(z)).,={\j(z)\)n. (2.1)
С помощью этого выражения в [40] найдена зависимость N(z) за случайным фазовым экраном от координаты z, вдоль коюрой распросгранясгся волна. Здесь установим закон нарастания N(z) в случайно-неоднородной среде.
Кроме тої о, с помощью N(z) и N (z) можно найти вероятности трех-и пятилучевого распространения. Это также будет сделано во второй главе.
Нще одна важная геометрическая характеристика волн в случайно-неоднородной среде - траектория лучей. В [139-141J изучалось влияние изотропных неоднородностей на траекторию лучей в ионосфере. В этой главе будет рассмотрено влияние вытянутых неоднородностей. При этом, в отличие от 1130], где вероятностные характеристики углов распространения волн вычислены в малоугловом приближении, рассмотрим случай, когда малоугловое приближение, вообще говоря, неприменимо.
Заметим, что численное моделирование методом фазовых экранов (МФЭ) часто применяется к анализу распространения волн в случайно-неоднородной среде. Различные примеры использования этого метода приведены в обзоре [29]. Из сравнения с результатами экспериментальных исследований [74,146] и с теоретическим расчетом [32,146 известна большая точность результатов, полученных с помощью МФЭ. Степень применимости этого метода зависит только от точности описания рассеивающей среды и от возможностей вычислительной техники. И данном случае идея МФЭ состоит в том, что уравнения (1.4) для функции ./(/, а) в любом сечении за экраном решаются точно, но при этом результат зависит от реализации некоторой случайной функции, учитывающей свойства экрана. Однако, поскольку каждая такая реализация может быть получена на основе генерации последовательности псевдослучайных чисел, то после окончания процесса генерации фазовый экран оказывается полностью определенным. Поэтому можно численно найти функцию J(t, а) и среднее число каустик /?(/), кото рые образуются во всех лучевых трубках на единичном отрезке поперечной оси, как отношение числа корнем уравнения (2.2) при / = const на достаточно длинном 01 резке ае\0,Ц к длине этого отрезка.
Свойства интенсивности волн в случайно-неоднородных средах
Кроме геометрических параметров волн, рассмотренных в первой главе, лучевые уравнения и следующее из них уравнение Фоккера-Планка позволяют исследован, флуктуации интенсивности волны. Так, в [157] уравнение диффузии лучей использовалось для определения среднего значения величины, обратной к интенсивности волны. Аналогичный работам [36,131] подход применен и в 1158, где выведено уравнение Фоккера-Планка для совместной статистики произвольного числа положений луча и связанного с этими лучами якобиана преобразования эйлеровых координат луча в лаі ранжевы. Решение этого уравнения и переход к эйлеровым средним по формулам, аналогичным [79,129], позволили получить выражение для корреляционной функции энергии волны или интенсивности в плоскости изображения, параллельной начальному волновому фронту, причем па малых рассгояпиях полученный результат согласуется с расчетом ио методу плавных возмущений [20].
Геометрооитический подход позволяет находить и распределение вероятностей интенсивности, что особенно актуально в окрестностях каустик, где в приближении геометрической оптики интенсивность становится бесконечной, и существенную информацию о характере распространения волн несут не корреляционные моменты, а вероятностное описание поля интенсивности. Такая задача решалась, например, в [159-165]. Результаты этих работ, полученные как асимптотическими методами, так и моделированием среды системой фазовых экранов, дают вероятностное распределение и моменты интенсивности в случайно-неоднородном океане и в турбулентной атмосфере.
При этом влияние случайных неодиородиостей показателя преломления на флуктуации интенсивности волны хорошо изучены в предельных случаях слабых флуктуации и сильного рассеяния [13,20,53,54,60]. Между этими предельными случаями лежит промежуточная область, к которой относятся сильные флуктуации интенсивности 55. Этот эффект обусловлен линзовым действием крупных неоднородное гей: в приближении геометрической оптики интенсив пості» в точках каустик становится бесконечной. Действительно, в [142 показано, что началом области сильных флуктуации интенсивности является область, в которой вероятность появления хотя бы одной каустики заметно отличается от пуля.
Исследование статистических характеристик интенсивности в области сильных флуктуации представляет значительный интерес [32,51,52,55,63,65], однако наталкивается на существенные трудности. Например, уже средний квадрат интенсивности /" удовлетворяет уравнению, решение которого далеко от завершения [77. Статистические моменты интенсивности, найденные в 55, выражаются в виде обычных (для распространения за случайным фазовым экраном) и континуальных (в случайной среде) интегралов. В данной главе также исследуется корреляционная функция флуктуации интенсивности за фазовым жраном. Однако известно, что полную информацию о поле интенсивности можно получить, зная вес статистические моменты. Это значит, что необходимо знать вероятностные свойства интенсивности. При этом эффективным методом изучения поля интенсивности в области формирования каустических особенностей является численное моделирование. В [32] с помощью моделирования среды системой фазовых экранов было построено изображение поля интенсивности при различных условиях распространения волн в среде. В [159,160,162,163,165] численными методами получены функции плотности вероятностей интенсивности и логарифма интенсивности в трехмерной случайной среде со степенным спектром флуктуации неоднородиоетей.
В этой главе с учетом найденных в первой главе свойств якобиана ДО исследуется поведение реализаций интенсивности в случайной среде и вероятностные свойства интенсивности в окрестностях каустик, а также корреляционная функция флуктуации интенсивности за фазовым экраном. Кроме того, рассмотрим распространение волн в статистически анизотропных случайных средах.
Диффузия броуновских частиц
Усиливающееся антропогенное воздействие на атмосферу и водную среду делает актуальным исследование физических закономерностей поведения частиц (например, оседание дымового аэрозоля) в таких средах. Так, в работе [177] проводилось измерение содержания в почве в окрестности промышленного узла ряда химических элементов. При этом рассматривалось гравитационное осаждение с учетом электрического взаимодействия аэрозоля с приземным электрическим полем. В то же время следует выделить и еще один фактор, влияющий на движение частиц примеси в воздушном потоке - диффузию. Диффузионное перемешивание приводит к тому, что траектории частиц становятся случайными, и имеет смысл говорить о статистике как области, в которую может попасть частица, так и времени достижения этой области. Целью данной главы является описание движения частиц с учетом как регулярных, так и случайных сил.
Задача о диффузии частицы в поле случайных сил (броуновское движение) исследуется достаточно давно [124,130,178] и является уже классической. Часто при анализе диффузии и переноса пассивной примеси в атмосфере или океане интересуются вероятностным распределением координаты и скорости частицы в некоторый момент времени /. В то же время, в прикладных задачах бывает важно знать вероятностные характеристики движения частиц примеси в некоторой заранее заданной области пространства (например, среднее или наиболее вероятное время достижения заданного участка поверхности, либо статистику скорости частиц примеси вблизи нее). Поскольку частица участвует в броуновском движении, то время достижения фиксированной области пространства (которую будем называть детектором) случайно. Поэтому мы, в отличие от классической задачи, ищем вероятностное распределение случайных функций, которые зависят от случайного аргумента - времени достижения детектора.
С точки зрения гидродинамики изучение движения среды в фиксированных точках пространства соответствует эйлерову подходу. Поэтому в рассматриваемом случае естественно говорить об эйлеровой статистике частиц примеси. Заметим, что прямое вычисление эйлеровой статистики затруднительно, поскольку скоросіь частицы в заданной точке пространства является случайной функцией случайного аргумента - времени прихода в данную точку.
В то же время общепринят другой подход к изучению движения примеси - лагранжев. В его рамках определяют вероятностные свойства фиксированной частицы в текущий момент времени. Их естественно назвать лагранжсвыми характеристиками. Как правило, лагранжево статистическое описание проще, поскольку сводится к анализу статистических свойств хорошо изученных решений стохастических уравнений Ланжевена [124]. В частности, лагранжева статистика частиц пассивной примеси легко находится. Поэтому первоочередной целью является построение эйлеровых вероятностных распределений с помощью известных лагранжевых.
Рассмотрим следующую постановку задачи. Пусть имеется точка в пространстве, которую назовем источником. В начальный момент времени / = 0 частица со скоростью v() покидает источник, который поместим в начало координат (R0 =0), и попадает в поток газа, движущийся со скоростью v( . Взаимодействие частицы с потоком происходит двумя способами. Во-первых, это межмолекулярное взаимодействие (за счет ударов частиц окружающей среды), которое учитываем случайной силой (/), а, во-вторых, это сила вязкого треиия с эффективным коэффициентом к, пропорциональная относительной скорости частицы. Кроме того, на частицу может действовать регулярная сила 4(0 пРиРДа которой в зависимости от постановки конкретной задачи может быть различной.
Детектор изображен на рисунке отрезком [-1;+1], расположенным па расстоянии Уз = 3 от источника. Параметры задачи av аъ таковы, что в случае, представленном на рис. 4.1,а, в обоих направлениях преобладает диффузия, сносом можно пренебречь. На рис. 4.1,6 влияние сноса и диффузии в продольном направлении одинаково, а поперечный снос практически отсутствует. Рис. 4.1,с соответствует обратной ситуации: в продольном направлении диффузия преобладает над сносом, в поперечном направлении влияние сноса и диффузии одинаково.
Очевидно, что качественный характер движения частицы при разных значениях а различен. Так, если внешний ноток, в основном, сносит частицу к детектору (случай, представленный на рис. 4.1), то время / достижения детектора будет конечным для большинства частиц. Кроме того, в этом случае мала вероятность возврата в детектор частиц со скоростью v3 0. Если же есть сильный поперечный снос (а, » а3 Рис- 4.1,с), то частица может вообще не попасть в детектор, обойдя его "сбоку", а при сильной диффузии и слабом сносе (or, scl, «з 1) частица будет хаотически двигаться в пространстве между источником и детектором (на рис. 4.1а, этому соответствуют траектории, поворачивающие назад к источнику). Ясно, что искомая плотность вероятностей существенно зависит от указанных условий.
