Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Метод диффузии луча 15
1.1 История возникновения методам основные результаты, полученные в предположении, что процесс рассеяния луча — марковский процесс. 15
1.2 Попытка обосновать запись уравнения Эйнштейна -Фоккера для диффузии луча, основанная па сопоставлении уравнения Ланжевена и уравнения луча . 18
1.3 Теория перехода от уравнений луча к уравнению Эйнштейна-Фоккера . 21
ГЛАВА 2 Развитие метода диффузии луча 27
ГЛАВА 3 Диффузия луча в анизотропной среде 36
3.1 Уравнения луча в анизотропной среде. 36
3.2 Представление уравнений луча в виде уравнений Ланжевена . 40
3.3 Диффузия луча в одноосном кристалле. 45
3.4 Рассеяние в гиротропной среде. 57
ГЛАВА 4 Диффузия луча в «линейном» слое 69
4.1 Постановка задачи. 70
4.2 Уравнения луча в системе координат параболического цилиндра. 73
4.3 Преобразование уравнений луча к уравнениям типа уравнения Ланжевена 76
4.4 Вывод и решение уравнения Эйнштейна-Фоккера, описывающего диффузию луча в «линейном» слое со случайными неоднородностями. 83
4.5 Обсуждение решения уравнения Эйнштейна-Фокксра и условия его применимости. 88
Заключение 92
Литература
- Попытка обосновать запись уравнения Эйнштейна -Фоккера для диффузии луча, основанная па сопоставлении уравнения Ланжевена и уравнения луча
- Теория перехода от уравнений луча к уравнению Эйнштейна-Фоккера
- Представление уравнений луча в виде уравнений Ланжевена
- Преобразование уравнений луча к уравнениям типа уравнения Ланжевена
Введение к работе
Исследование рассеяния волн в средах со случайными неоднородностями представляет интерес для многих областей физики, например, рассеяние электромагнитных волн в плазме, ионосфере и конденсированных средах, рассеяние звуковых волн в газах и жидкостях, включая атмосферу и морскую среду. Помимо случайных неоднородностей, упомянутые выше среды содержат регулярные неоднородности, кроме того, ионосфера, например, является анизотропной средой, благодаря влиянию магнитного поля Земли. Здесь и далее мы имеем в виду неоднородности электронной концентрации в плазме, флуктуации плотности и температуры в морской воде и тропосфере.
Существует достаточно много методов исследования волн в средах со случайными неоднородностями. Нами рассмотрен и развит метод диффузии луча, когда стохастическим уравнением является уравнение луча, что само по себе подразумевает приближение геометрической оптики. Метод диффузии луча широко использовался ранее при изучения рассеяния в средах со случайными неоднородностями. Однако, как выяснилось впоследствии, применение раннего варианта этого метода не было достаточно обоснованным.
Развитие теории броуновского движения и видимая аналогия между процессами диффузии броуновской частицы и рассеяния луча в среде со случайными неоднородностями позволили использовать достижения теории броуновского движения для исследования статистики луча.
Теория броуновского движения исходит из динамического уравнения
где й-скорость броуновской частицы.
Правая часть уравнения, представляющая силу, действующую на частицу, разделена на две части: детерминированную силу трения и случайную силу, являющуюся результатом большого числа толчков молекул жидкости или газа, в которой находится броуновская частица. Если случайная часть силы A(t) удовлетворяет следующим требованиям:
1)ДО=о,
A(t) - не зависит от и,
A(t)- изменяется гораздо быстрее, чем изменяется й , то это уравнение называется уравнением Ланжевена.
Третье условие является основополагающим в теории броуновского движения, так как позволяет ввести интервал времени At, в течение которого изменение й будет весьма малым, в то время как за тот же интервал времени A{t) испытает несколько флуктуации. Другими словами, можно сказать, что хотя ii(t) и u(t + At) практически не отличаются друг от друга, все же между A(t) и A(t + At) не существует корреляции, при этом интервал А/ гораздо меньше всего времени исследования. В этом случае из уравнения Ланжевена можно получить, например, вероятность распределения 1(и,с,ий,ій~0). С другой стороны, можно определить функцию распределения W{UJ + At) из распределения W(u,t), если известна вероятность перехода у/(й;Ды), то есть вероятность того, что й испытывает приращение Ай за время At:
W(u,t + At) = [W(u - Au,t)y/(u - Ай; AU)d(Au).
Случайные процессы, удовлетворяющие последнему соотношению, называются марковскими процессами, для функции распределения вероятности которых справедливо уравнение Эйнштейна-Фоккера (диффузии). Действительно, если в последнем соотношении за вероятность перехода принять ту функцию, которая следует из уравнения Ланжевена и разложить левую и правую части в ряд Тейлора по малым величинам At и
Ды(, то получим уравнение Эйнштейна-Фоккера, причем функция распределения W{u,t\uQ,tu=a), следующая из решения уравнения Ланжевена,
оказывается фундаментальным решением уравнения Эйнштейна-Фоккера.
Таким образом, стохастическая задача полностью определяется динамическим уравнением и предположениями о характере случайных воздействий (уравнение Ланжевена), поэтому при получении уравнения Эйнштейна-Фоккера следует исходить из динамических уравнений и условий, накладываемых на случайные функции, важнейшим из которых является S - корреляция по времени.
В приближении геометрической оптики уравнения, описывающие направления касательного к лучу единичного вектора S, кажутся аналогичными уравнению Ланжевена:
где а-- длина пути, пройденного лучом, т? = In«,«-показатель преломления
среды.
Однако эта аналогия не является полной в связи с тем, что случайна;! сила в
уравнении луча является функцией показателя преломления, который, в свою
очередь, есть функция радиус-вектора г , а не
Ланжевена. Более того, третье условие, наложенное на случайную силу, в
данном случае не справедливо совсем, поскольку требует J-корреляции
случайной силы, или очень малого радиуса корреляции, но показатель
преломления не зависит от длины дуги, пройденной лучом, то есть имеет
бесконечный радиус корреляции по <х. В.И, Кляцкип и В.И. Татарский,
впервые сформулировавшие эту проблему (Кляцкин, Татарский 1971),
предложили перейти от переменной о- к координате z, направление которой
соответствует первоначальному направлению луча, с помощью соотношения
dz _ с da г
и искать решение ищется в виде sL(z), где S^S^^.]. Тогда уравнения луча преобразуются следующим образом:
Очевидно, что последнее уравнение справедливо лишь вдали от точки поворота луча. Полагая далее, что отклонение направления луча от первоначального направления мало, авторы получают приближенные уравнения, которые позволяют решить задачу диффузии луча в среде в среднем однородной и изотропной. Однако решение задачи в работе В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский 1971) не дает метода перехода от уравнения луча к уравнению типа уравнения Ланжевена, а лишь указывает на ошибку в предыдущих исследованиях и предлагает решение для случая среды в среднем однородной и изотропной.
Поскольку исследования рассеяния в средах со случайными неоднородностями не ограничиваются случаем изотропной и в среднем однородной среды, то целью настоящей работы явилось развитие метода диффузии луча для среды в среднем неоднородной, а также для анизотропой случайной среды. В соответствии с поставленной целью было намечено решение следующих задач:
развитие метода диффузии луча, позволяющего записать уравнения луча в виде динамических уравнений типа уравнения Ланжевена;
решение задачи рассеяния в анизотропной среде с помощью развитого метода диффузии луча;
исследование диффузии луча в среде с регулярным градиентом диэлектрической проницаемости.
Первая глава посвящена обсуждению метода диффузии луча и результатов, полученных этим методом.
В первом параграфе подробно описаны результаты работ по изучению рассеяния луча в средах со случайными неоднородностями методом, основанным на предположении, что процесс рассеяния луча подобен процессу диффузии броуновской частицы.
Во втором параграфе рассмотрена работа В.М. Комиссарова (Комиссаров, 1966), в которой проводится сопоставление уравнения луча в плоскослоистой среде с уравнением Ланжевена, описывающем диффузию броуновской частицы в силовом поле. В приближении малых флуктуации показателя преломления применяется метод последовательных приближений для исследования уравнения луча. В результате получены условия, при выполнении которых уравнение Ланжевена и уравнение луча совпадают. К сожалению, автор приписывает роль времени в уравнении Ланжевена длине дуги, пройденной лучом в уравнении луча.
В третьем параграфе на основе работы В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский, 1971), рассмотрена современная теория перехода от стохастического дифференциального уравнения, случайные функции которого удовлетворяют определенным требованиям, к уравнению Эйнштейна-Фоккера. В.И. Кляцкиным и В.И. Татарским показано, что уравнения луча отличнаются от динамических стохастических уравнений тем, что случайная сила в уравнении луча, в рассматриваемом случае являющаяся флуктуациями показателя преломления, не зависит от длины дуги а. пройденной лучом, в связи с чем не может удовлятворять условию <У -корреляции по
решить, например, задачу рассеяния а анизотропной случайной среде, или в среде, где невозмущенная траектория луча отлична от прямой.
Во второй главе представлен развитый нами метод диффузии луча. На примере среды в среднем однородной и изотропной рассмотрен переход от уравнений луча к уравнениям типа уравнения Ланжевена. Для этого после замены длины дуги, пройденной лучом, на координату z, вдоль первоначального направления луча, используется метод последовательных приближений в предположении, что диэлектрическая проницаемость может быть представлена следующим образом:
є = є0+аєа(гх,г), где а«1, г±{х,у).
Последнее предположение следует из условия малости флуктуации направления луча и условия малого радиуса корреляции неоднородностей по сравнению с расстоянием, пройденным лучом, справедливого для марковских процессов. Подставляя далее в уравнения луча решение в виде
разложения по а и учитывая также, что п = ^с{гъа), получим эти уравнения с точностью до Oiar) в виде стохастических дифференциальных уравнений типа уравнения Ланжевена:
Показано, что в изотропной среде уравнение луча для S2 является
тождеством, следующим из уравнений для Sx, Sy и того, что S2 = 1.
Отметим, что решение уравнения Эйнштейна-Фокксра, полученного из приведенных выше уравнений луча для среды в среднем однородной и изотропной, совпадает с решениями, приведенным в работах В.И. Клядкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский 1971), а также Е.Л. Фейнберга (Фейнберг 1961).
Предложенный в диссертации метод перехода от уравнения луча к уравнению типа уравнения Ланжевена позволяет осуществить аналогичный переход не только для среды в среднем однородной и изотропной, но и в анизотропной среде, и в среде с регулярной рефракцией.
В третьей главе на основе метода, описанного во второй главе диссертации, исследуется диффузия луча в анизотропной среде.
Первый параграф посвящен выводу уравнения луча из принципа Фсрма? при этом осуществляется требуемый переход от о- KZ.
Во втором параграфе переходим от уравнений луча к приближенным уравнениям луча, отвечающим требованиям уравнения Ланжевена. Для этого предполагаем, что рассеяние вызвано малыми флуктуациями электронной концентрации:
К = К^аКа(г),
или, например, рассеяние света в одноосном кристалле есть результат малых флуктуации диэлектрических проницаемостей вдоль и поперек оптической оси, являющихся в свою очередь следствием флуктуации электронной концентрации:
Следуя далее методу решения, развитому во второй главе, и представляя показатель преломления вдоль луча следующим образом:
ji = ^{Sx(z,a),JR:[r1(z,a),z,a]},
получим в результате уравнения луча в анизотропной среде
Ж ЭхА 8KdSx dz 7«=
uZjUik ^ЯЛГ ^v ИНГЛ
При определенных требованиях к случайным воздействиям от этих
уравнений можно перейти к уравнению Эйпштейна-Фоккера.
В последнем уравнении SXi =SX, 5,г =SY, alk~' -определяются производными
В третьем параграфе этой главы в качестве примера рассмотрена диффузия света в одноосном кристалле, поскольку в этом случае известно выражение для показателя преломления вдоль луча:
{ = JLr2+.fl-y1),
где у- (S3) - косинус угла между лучом и оптической осью, заданной направлением 5.
В результате развитого метода диффузии луча получаем уравнение Эйнштейна-Фоккера, решением которого будет следующее распределение:
lV(F,,S,,z;F, =S, =Q,z = 0) = ~^--rX
у і' ±> і ± > 4тггD2z4
хехр
Dzjul
М[) z ' Щ z
где д^^фі, lh=ieusCl +fdS02, Р=Л z(^o+CoV); S0,C0 -соответственно
синус и косинус угла между лучом и оптической осью в среде без флуктуации, ^ - дисперсия флуктуации соответствующей диэлектрической
проницаемости, —= )--—(-dr, р(г)~нормированный коэффициент
к. J г dr
корреляции изомерных флуктуации той же диэлектрической проницаемости, кроме того, предполагаем, что є±а =q.s^af q: = const.
Из приведенного решения следует, что рассеяние будет анизотропным даже при изотропии функции корреляции рассеивающих неоднородностей. Степень анизотропии характеризуется отношением квадратов показателей преломления вдоль jiy^j а в среде без флуктуации обыкновенной и необыкновенной волн. Далее в этом параграфе исследуется рассеяние необыкновенной волны в положительном и отрицательном кристаллах.
В четвертом параграфе рассматривается рассеяние в гиротропной случайной среде. Здесь уравнения луча совпадают с соответствующими уравнениями для одноосного кристалла, однако коэффициенты, характеризующие рассеяние, различны. Изучается рассеяние обыкновенной и необыкновенной воли.
В четвертой главе рассмотрена диффузия луча в «линейном» слое. Поскольку траектория луча в среде с регулярным градиентом показателя преломления отлична от прямой, то переход от длины дуги в уравнениях луча к одной из координат радиус-вектора г , от которой зависит показатель преломления, затруднителен. Трудность вызвана тем обстоятельством, что координата радиус-вектора, которой следует заменить длину дуги, должна указывать положение луча, находящегося приблизительно на невозмущенной траектории, то есть невозмущенная траектория дожпа быть одной из координатных линий.
В первом параграфе этой главы предлагается рассмотреть наклонное падение на слои, регулярный показатель преломления которого имеет вид:
2 і z
пР &'р 7 >
где z0 - соті - характеризует размер слоя.
Невозмущенная траектория луча в этом случае является параболой. Переходя
далее к декартовым координатам, начало которых находится в фокусе данной
параболы, вводим систему координат параболического цилиндра х,т,<т таким образом, чтобы координатная линия, полученная при пересечении двух координатных поверхностей г' ~т\, х = 0 описывала невозмущенную траекторию. Тогда координата о- будет указывать положение луча на невозмущенной траектории.
Во втором параграфе записываем уравнения луча в системе координат параболического цилиндра.
В третьем параграфе преобразуем уравнения луча к уравнениям типа уравнений Ланжевена. Для этого переходим в уравнениях луча от дифференцирования по длине дуги к дифференцированию по одной из координат системы параболического цилиндра а, указывающей положение луча на невозмущеш-юй траектории. Затем применяем метод последовательных приближений, предполагая, что флуктуации диэлектрической проницаемости малы относительно величины регулярной диэлектрической проницаемости:
С* —"~ о г) "Т" Сл-0/-у і,
при этом следует учесть, что єр =є (а). В результате получаем уравнения луча с точностью 0(аг) в виде динамических уравнений, от которых уже можно перейти к уравнению Эйнштсйна-Фоккера при определенных требованиях к случайной силе:
пй п/Е« ап() nQ
Je" 2^/2 дт a2+rfa)'
Точка означает дифференцирование но а, пй - ф^ = {^р)а=й.
Вывод и решение уравнения Эйнштейна-Фоккера, описывающего диффузию луча в «линейном» слое со случайными неоднородностями, представлен в четвертом параграфе.
Пятый параграф посвящен обсуждению решения уравнения Эйнштейна-Фоккера и. условий его применимости. Ввиду громоздкого вида уравнения и его решения мы не приводим их в настоящем введении, однако укажем на границы применимости развитого здесь метода диффузии луча в «линейном» сдое. Помимо условия, ограничивающего флуктуации показателя преломления, получено условие:
где г0- радиус корреляции неоднородностей, Д/0- отрезки длины, проходимые
лучом и отсчитываемые вдоль невозмущенной траектории, 3 - угол падения луча на слой, являющиеся условием того, что процесс диффузии луча, записанный с помощью динамических уравнений, приведенных выше, является марковским процессом.
В заключении сформулированы научные достижения и выводы диссертации.
Попытка обосновать запись уравнения Эйнштейна -Фоккера для диффузии луча, основанная па сопоставлении уравнения Ланжевена и уравнения луча
В работе Л.А. Чернова (Чернов 1953) коэффициент диффузии вычисляется из уравнения луча и в предположении, что элементарные отрезки пути До- велики по сравнению с радиусом корреляции случайных флуктуации показателя преломления, но отклонение луча на этом пути еще мало, записывается уравнение Эйнштейна - Фоккера для вероятности перехода W(&, р,а/ 30,(p0,a-(i), где Зъ р - полярные координаты, задающие направление луча.
Оказывается, что это уравнение совпадает с уравнением, описывающим вращательное броуновское движение и приведенным, например, в книге М.А. Леонтовича (Леонтович 1944).
Если первоначальное направление луча и полярной оси совпадает, то для малых угловых отклонений получен нормальный закон распределения & с дисперсией: Средний квадрат отклонения луча от его первоначального положения в случае З3 так называемый закон у (1).
Результаты работ В.Я. Харанена (Харанен 1.953) и Л.А. Чернова (Чернов 1953) совпадают в случае малых угловых отклонений и сопоставлены в работе Л. А. Чернова (Чернов 1958), однако, все преимущества последней работы в области больших углов рассеяния, как будет следовать из дальнейших рассуждений, оказались ошибочными,
В работе Н.Г. Денисова (Денисов 1958) рассматривается рассеяние лучей в плоскослоистой среде со случайными пеоднородностями. Решение задачи строится на аналогии процесса рассеяния луча и вращательного движения броуновской частицы, находящейся по внешнем поле. При этом автор рассматривает лишь малые углы рассеяния, использует коэффициент диффузии для уравнения Эйнштейна-Фоккера из работы Л.А, Чернова (Чернов 1953), а скорость систематического отклонения определяет из закона Снеллиуса. Следуя выводам из работы В.И. Татарского (Татарский 1953), в статье Н.Г. Денисова (Денисов 1958) указаны пределы применимости гео метри коо птиче ского рассмотрения рассеяния лучей в элементарном слое где і - размер неоднородностей, Я - длина волны. При этом вводится условие: где zm - масштаб регулярных неоднородностей. Н.Г. Денисов (Денисов 1958) считает, что условия (2,3) обеспечивают возможность рассматривать процесс рассеяния луча как марковский диффузионный процесс.
Интересны оценки, проведенные в рассматриваемой работе условий (2,3) при рассеянии радиоволн в F-слое ионосферы. Так, при ]0!м, условие (2) выполняется вплоть до критических частот (Д 15м), чтобы выполнялось и условие (3) (для F-слоя - гт 105м), толщину элементарного слоя можно выбрать равной 10 м, тогда он будет содержать много случайных неоднородностей. Подобные оценки сделаны и для случая распространения ультразвуковых волн в море.
Следует отметить, что в обсуждаемой работе рассматриваются не элементарные отрезки пути Аа, проходимые лучом, а элементарные слои Az , где z - координата, вдоль которой направлен луч при падении на слой. В связи с этим исследуется не вероятность W(&, T), как это делалось ранее, а вероятность W{S,z), при нормальном падении волны на слой равная:
В обзорной статье Д.К. Келлера (Keller 1962,Келлер 1964) впервые отмечено, что предположение, состоящее в том, что рассеяние луча есть марковский случайный процесс, является недоказанным предположением.
Работа В.М. Комиссарова (Комиссаров 1966) принципиально отлична от всех предыдущих рассмотрений флуктуации луча. Автор не просто утверждает, что процесс рассеяния луча — марковский процесс, а демонстрирует аналогию этого процесса с диффузией броуновской частицы в силовом поле на основе сопоставлений уравнений луча в плоскослоистой среде с уравнением Ланжевена, Для этого уравнения луча записываются в приближении малых флуктуации показателя преломления, как в работе Д.К. Келлера (Келлер 1964). Оказывается, что уравнения луча в заданном приближении и уравнения, описывающие движение броуновской частицы во внешнем силовом поле, имели бы одинаковый вид, если была бы возможность отбросить ряд интегральных членов в уравнениях луча и приписать роль времени, которую оно играет в уравнении Ланжевена, длине дуги сг, проходимой лучом, а роль скорости броуновской частицы касательному к лучу единичному вектору S. В этой работе ВЫ. Комиссарова (Комиссаров 1966) получены условия, при которых наблюдается полное соответствие уравнений луча и уравнений Ланжевема, заключающиеся в следующих неравенствах:
Теория перехода от уравнений луча к уравнению Эйнштейна-Фоккера
Тогда вместо (7) имеет место уравнение: ЇГ(л) = - И +... , (10) а , где і - оператор, стоящий в левой части (7), a S t(x,s) - поправки к вектору плотности потока вероятности, связанные с конечностью величины su. Заметим, что при sQ - 0 - правая часть (10) стремится к пулю. Уравнения лучей в изотропной среде имеют вид: = s, sjl = 4fm-s{S4fn) (її) da асг где 7= In и, и - показатель преломления среды. Если ввести 6-векторы систему уравнений (11) можно записать в виде (5).
Заметим, что переход от уравнений луча (11) к динамическим уравнениям типа (5-6) не является тривиальным. Первая трудность возникает в связи с тем, что случайная функция п является функцией f и формально не зависит от сг, то есть имеет по т бесконечный радиус корреляции, что делает невозможным переход к уравнению Эйнштейна - Фоккера, поскольку нарушается третье из условий (6). В.И. Кляпкин и В.И. Татарский (Кляцкин, Татарский 1971) предлагают для устранения этой трудности перейти R уравнениях луча (11) от переменной а к координате х, вдоль которой направлен невозмущенный луч, воспользовавшись соотношением:
В такой записи уже можно говорить о малом радиусе корреляции случайной силы по переменной z и применить описанную выше схему перехода от динамических уравнений к уравнению Эйнштейна — Фоккера.
Очевидно, что уравнения (12) справедливы лишь до точки попорота - I. В работе В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский 1971) предлагается рассматривать лишь малые отклонения луча тогда отпадает проблема выделения направления z. Вместо (12) следует рассматривать систему уравнений луча в приближении малых углов рассеяния: которую возможно получить из (12), воспользовавшись (13). Вторая трудность заключается в представлении уравнений луча в виде уравнений (5). случайная сила в правой части которых удовлетворяет условиям (6). В работе В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский 1971) не обсуждается данная проблема, поскольку авторы рассматривают в среднем однородную и изотропную среду. Уравнения луча в анизотропной среде имеют вид: -показатель преломления вдоль луча. Очевидно, что преобразование последнего уравнения к виду (5-6) представляет определенную трудность.
Таким образом, из обзора литературы следует, что те результаты, которые получены из решения уравнения Эйнштешта-Фоккера, записанного на основе предположения об аналогии процессов рассеяния луча и движения броуновской частицы, требуют уточнений, а нередко и нового решения задачи.
Это обстоятельство вызвано тем, что процесс рассеяния луча отличен от процесса движения броуновской частицы. Различие этих процессов заключено в динамических уравнениях: уравнениях луча и уравнениях типа уравнения Лаижевепа (5). Оказывается, что ошибка при отождествлении этих двух процессов состояла в том, что роль времени в уравнении Ланжевена приписывалась длине дуги, проходимой лучом в среде со случайными неоднородностями. Это не верно хотя бы потому, что длина дуги (У является случайной величиной, время же - детерминированный аргумент.
В работе В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский 1971) описан способ перехода от динамического уравнения к уравнению Эйнштейна-Фоккера. При этом отмечаются условия, накладываемые на
случайные функции, описывающие динамические уравнения. Случайные функции в обычно принятой записи уравнений луча не удовлетворяют условию 5 - коррелированное, а напротив, имеют бесконечный радиус корреляции по а. В.И. Кляцкин и В.И. Татарский (Кляцкин, Татарский 1971) предлагают в уравнениях луча (II) перейти от а к переменной координате z, вдоль которой направлен невозмущенный луч. Условия такой замены переменных требуют ограничения флуктуации направления луча. В этой работе показано, что возможно рассмотрение лишь малых флуктуации направления луча, тогда будет оправдано выделение координаты z (малые флуктуации от невозмущенной траектории).
Как уже отмечалось выше, вторая трудность при использовании схемы (5-6) заключается в представлении уравнения луча в виде уравнения (5). Для среды в среднем однородной и изотропной в приближении малых флуктуации направления луча достаточно легко, как это было сделано В.И. Кляцкиным и В.И. Татарским (Кляцкин, Татарский 1971), перейти от уравнений (11,12) к уравнениям типа (5). Если же среда в среднем, например, анизотропна или неоднородна, то подобный переход оказывается крайне затруднительным. ГЛАВА 2
Итак, обзор литературы в предыдущей главе показал, что переход от уравнений луча к уравнению Эйнштейна-Фоккера, следует осуществлять по схеме, описанной, например, В.И. Кляцкиным и В.И. Татарским (Кляцкин, Татарский 1971). Основной вывод, к которому приходят авторы этой работы, заключается в том, что недопустимо сопоставление времени в уравнениях Ланжевена и длины дуги т, пройденной лучом, в уравнениях луча. Для получения верного решения следует сопоставить время и координату z, вдоль которой первоначально направлен луч. При этом возможно лишь рассмотрение малого отклонения направления луча от невозмущенного направления. Представление уравнения луча в виде (5.1-6.1) в этой работе не обсуждается, поскольку рассеяние луча в изотропной среде в случае малого рассеяния описывается достаточно простым уравнением.
Тем не менее, мы предлагаем на примере изотропной и в среднем однородной среды рассмотреть переход от уравнений луча в виде (12.1) к виду (14.1), воспользовавшись методом малых возмущений, примененном В.М. Комиссаровым (Комиссаров 1966) для записи уравнений луча.
Требование малых флуктуации направления луча равносильно требованию малых флуктуации показателя преломления среды, поскольку в результате решения уравнения Эйнштейна-Фоккера в работе В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский 1971) получено:
Представление уравнений луча в виде уравнений Ланжевена
Итак, в работе В.И. Кляцкина и В.И. Татарского (Кляцкин, Татарский 1971) описан способ перехода от динамического уравнения к уравнению Эйнштейна-Фоккера. Обсуждаются условия, накладываемые на случайные функции, описывающие динамические уравнения. Случайные функции в обычно принятой записи уравнений луча не удовлетворяют условию S -коррелированности, а напротив, имеют бесконечный радиус корреляции по ст. В.И. Кляцкин и В.И, Татарский (Кляцкин, Татарский 1971) предлагают в уравнениях луча (ГІ.1) перейти от т к переменной координате z, вдоль которой направлен невозмущенный луч. Условия такой замены переменных требуют ограничения флуктуации направления луча. Показано, что возможно рассмотрение лишь малых флуктуации направления луча, тогда будет оправдано выделение координаты z (малые флуктуации от невозмущенной траектории).
Как следует из решения уравнения Эйнштейна-Фоккера, требование малых флуктуации луча равносильно требованию малых флуктуации показателя преломления среды. В связи с этим предлагается после перехода от длины дуги сг к новой переменной записать уравнения луча в приближении малых флуктуации диэлектрической проницаемости с точностью до 0{а2)(а-параметр малости), как это делалось в работе В.М.Комиссарова (Комиссаров 1966).
Оба эти преобразования приводят уравнения луча к виду динамического уравнения (5.1). Предполагая далее, что условия (6.1) выполнены, записывается уравнение Эйнштейна-Фоккера, непосредственно следующее из уравнений луча.
Итак, анализ решений задач рассеяния методом диффузии показывает, что верное решение относится лишь к задаче рассеяния в среде в среднем однородной и изотропной. Исследование рассеяния луча, например, в среде с регулярным градиентом, в гиротропнои среде, имеющие практическое значение в области распространения радиоволн в ионосфере, ультразвуковых волн в море и в ряде других областей физики распространения волн требует нового решения.
В диссертационной работе рассмотрены на основе развитого метода диффузии луча решения задач рассеяния волн в анизотропной случайной среде, а также в «линейном» плазменном слое.
Настоящая глава посвящена исследованию рассеяния луча в анизотропной среде. Рассмотрена задача рассеяния света в одноосном кристалле, а также флуктуации электромагнитных волн в гиротропной среде.
Решение задачи рассеяния в анизотропной среде осуществляется с помощью метода, описанного во второй главе.
1.Уравнения луча в анизотропной среде.
Начнем с уравнений луча в анизотропной среде. Традиционный или даже классический вывод уравнений луча в анизотропной среде представлен в книге Ф. Франка и Р. Мизеса (Франк, Мизес,! 93 7), где fi(i ,S) - показатель преломления вдоль луча, о-- длина дуги вдоль луча, г- радиус-вектор точки в пространстве, S, в соответствии с (1), единичный вектор касательной к траектории луча.
В первой главе подробно обсуждается, почему от уравнений луча в форме (1)-(2) нельзя перейти к уравнению Эйнштейна-Фоккера. Дело в том, что одним из необходимых условий возможности перехода от динамических уравнений к уравнению Эйнштейна-Фоккера является 5 - корреляция случайной силы по времени (в настоящей задаче роль времени играет длина пути а). Как видно из (1-2), флуктуации направления луча определяются случайным поведением показателя преломления /4r,s), который не зависит от длины дуги а, и формально можно считать, что функция корреляции случайной силы будет иметь бесконечный радиус корреляции по переменной
В связи с этим обстоятельством В.И. Кляцкин и В.И. Татарский (Кляцкин, Татарский, 1971) предложили перейти от а к координате z, вдоль которой первоначально направлен луч и от которой зависит показатель преломления j.i{r,s).
Принимая эту идею за основу и в случае анизотропной среды, мы вынуждены обратиться к самому выводу уравнений луча, поскольку в этом случае непосредственно из уравнений (1),(2) нельзя получить не зависящие от производных по S, уравнения для поперечных к оси z координат л\ (z) = { , у] и S, (z) = {,., Sy ], как это возможно, если среда изотропная.
Преобразование уравнений луча к уравнениям типа уравнения Ланжевена
Результат совпадает с вычисленной в работе В.Д. Гусева и Л.И. Приходько (Гусев, Приходыод 1976) дисперсией смещений пучка в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. Отклонение координаты т от невозмущенного положения характеризуется дисперсией:
Дисперсии смещений положения луча в декартовой системе координат следуют из формул преобразования (7):
Остановимся на обсуждении области применимости полученного решения. Помимо условия (12), ограничивающего флуктуации показателя преломления, при получении коэффициентов уравнения Эйнштейн а-Фоккера были наложены требования (33,38). Запишем их для величин представляющих собой отрезки длины, проходимые лучом и отсчитываемые вдоль невозмущенной траектории:
Неравенство (51) - это условие того, что процесс диффузии луча, записанный с помощью динамических уравнений (13). является приближенно марковским.
Сопоставим результаты работы В.М. Комиссарова (Комиссаров 1966) с полученными в настоящей работе. Заметим снач&та, что такое сопоставление затруднительно в связи с тем, что под в вышеупомянутой работе В.М. Комиссарова подразумевается длина реальной траектории луча. Если же понимать под а длину невозмущенной траектории луча ан, то следует учесть, что при этом совершается ошибка, поскольку уравнения луча записаны с точностью до 0[а2), а заменив а на ан, мы отбрасываем члены порядка
Закон распределения малых углов рассеяния совпадает при таком сопоставлении с выражением (50). Дисперсии смещений луча Ау,Лг значительно отличаются от соответствующих выражений в работе В.М.Комиссарова (Комиссаров 1966).
В заключение отметим, что замена длины дуги луча координатой, отсчитываемой вдоль невозмущенной траектории, при наклонном распространении возможна в аналитическом виде лишь для линейного слоя диэлектрической проницаемости. Вероятно, что с помощью машинной обработки можно исследовать и другие модели среды.
Развитие метода диффузии луча, предложенное в диссертации, позволяет перейти от лучевых уравнений к динамическим стохастическим уравнениям типа уравнения Ланжевена и уравнению Эйнштейна-Фоккера, что дало возможность впервые решить ряд задач рассеяния и уточнить полученные ранее результаты.
С помощью предложенного метода записано уравнение луча для среды в среднем анизотропной в виде стохастических динамических уравнений, характеристики случайной силы которых позволяют перейти к уравнению диффузии.
Решена задача диффузии света в одноосном кристалле. Из решения следует, что рассеяние в одноосном кристалле будет анизотропным даже при изометрии функции корреляции рассеивающих неоднородностей. Для положительного кристалла рассеяние в плоскости главного сечения превосходит рассеяние в перпендикуляром направлении, для кристалла отрицательного - рассеяние в плоскости главного сечения будет слабее, чем в перпендикулярной плоскости. Рассеяние луча изотропно, если первоначальное направление луча совпадает с направлением оптической оси. Рассеяние нормали отличается от рассеяния луча тем, что рассеяние в главной плоскости всегда меньше, чем в перпендикулярном направлении. Кроме того, рассеяние нормали изотропно, если первоначальное направление нормали перпендикулярно к оптической оси.
Предложенный метод позволил изучить особенности рассеяния в магнитоактивной среде. Установлены различия в рассеянии обыкновенной и необыкновенной волн.
Показано, что для решения задач рассеяния в среде в среднем неоднородной развитым в диссертации методом диффузии луча, следует перейти к такой системе координат, где невозмущенная траектория будет одной из координатных линий. Решена задача диффузии в «линейном» слое. Из решения уравнения Эйнштейна-Фоккера найдены законы рассеяния направления и смещения луча относительно невозмущенной траектории. Характеристики рассеяния могут быть вычислены в любой точке траектории.
Автор выражает искреннюю признательность своему покойному руководителю Виктору Дмитриевичу Гусеву, роль которого в написании диссертации трудно переоценить. Автор также благодарен своему второму научному руководителю Лидии Ивановне Приходько за ценные советы и многочисленные обсуждения диссертации, Владимиру Григорьевичу Еленскому, Александру Георгиевичу Вологдику и Николаю Васильевичу Карабанову за большую помощь при подготовке диссертации к защите.
