Введение к работе
Актуальность темы. Проблема моделирования фазовых превращений в деформируемых телах является одной из важнейших в механике и физике твердого тела, а также материаловедении. Ее актуальность определяется тем, что большинство материалов, используемых в современной технике, испытывают фазовые переходы или в процессе их изготовления, или в процессе эксплуатации, а также могут контактировать со средой, в которой происходят фазовые превращения. Примерами процессов, где необходим учет взаимного влияния деформирования и фазовых переходов, являются твердофазные превращения в сплавах и сталях, рост кристаллов, формирование ледяного покрова, промерзание грунта, распад пересыщенных твердых растворов, затвердевание металла в изложнице, превращения в минералах и горных породах при высоких давлениях, ориентационные превращения в полимерах, переходы в термотропных и лиотропных жидких кристаллах, а также целый ряд других. В частности, фазовые превращения ответственны за эффект памяти формы, наблюдаемый в некоторых сплавах и полимерах, широко используемых в современной технике.
Работы, посвященные фазовым превращениям, образуют обширную литературу. В рамках физики твердого тела отметим здесь только фундаментальные работы Н. Н. Боголюбова, Б. Т. Гейликмана, В. Л. Гинзбурга, Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшица, Р. Браута, Дж. Кристиана, Г. Стенли и др.
Не менее обширна литература по фазовым превращениям, использующая подходы механики сплошной среды. Она восходит к работам Дж. В. Гиббса в конце позапрошлого века. Имеющиеся в настоящее время модели двухфазных тел можно разделить на несколько групп. К первой из них можно отнести работы, в которых явно вводится граница раздела фаз как поверхность или линия, разделяющая фазы материала. Такая фазовая граница, как правило, неизвестна и подлежит определению наряду с остальными неизвестными путем решения краевой задачи. Ключевым моментом при таком описании является формулировка уравнений баланса на границе раздела фаз, в том числе и дополнительно-
го термодинамического условия, определяющим ее положение в пространстве.
Значительный вклад в развитие механики тел, содержащих фазовые границы,
внесли Н. X. Арутюнян, В. Л. Бердичевский, А. А. Вакуленко, Е. Н. Вильческая,
М. А. Гринфельд, А. Д. Дроздов, В .А. Еремеев, Л. М. Зубов, В. И. Кондауров,
Н. Ф. Морозов, В. Э. Наумов, Л. В. Никитин, В. Г. Осмоловский,
A. Л. Ройтбурд, Л. М. Трускиновский, А. Б. Фрейдин, а также Р. Абейаратне,
Дж. Болл, М. Гартин, Р. Джеймс, Дж. Ноулс, Дж. Эриксен, В. Петрашкевич,
X. Петрика, М. Питтери, Г. Пэрри, С. Ступкевича Ф. Д. Фишер, Р. А. Фосдик,
М. Шилхави и др. Одним из методов, используемых в рамках этого направле
ния является вариационный подход, решением задачи о равновесии двухфазно
го тела является поле перемещений и положение фазовой границы, доставляю
щей минимум функционалу полной энергии. Данная работа выполнена в рам
ках именно этого направления, когда вводится в рассмотрение заранее неиз
вестная межфазная граница, которая подлежит варьированию наряду с полем
перемещений с учетом условий совместности на межфазной границе. Этот под
ход позволяет корректно описывать локальные термодинамически равновесные
деформации двухфазных тел с позиций механики сплошной среды.
Описанию фазовых превращений посвящены также работы В.А. Лихачева,
B. Г. Малинина, А. Е. Волкова, А. И. Разова и их коллег, А. А. Мовчана,
Л. И. Шкутина, а также К. Вхаттачария, Д. Лагоудаса, В. Левитаса, и др., в ко
торых межфазные границы явно не вводятся, т.е. изучаются фазовые превраще
ния объемного типа, и описание деформирования двухфазных тел опирается на
введение дополнительных параметров состояния, например, концентраций фаз.
Существуют и другие подходы, сочетающие в себе черты из вышеперечисленных, а также элементы описания на уровне кристаллической решетки и межатомных потенциалов.
Актуальность работы подтверждается поддержкой вошедших в ее состав исследований следующими грантами и программами финансирования: госконтракт 02.524.11.4005, шифр: 2008-04-2.4-15-02-003; госконтракт 02.740.11.0208,
шифр: 2009-1.1-113-050-043; ведомственная целевая программа РНП.2.2.1.1/7176, (2009-2010).
Цель работы состоит в построении модели фазовых превращений в многокомпонентных упругих средах и анализе условий равновесия фаз, в том числе для фазовых границ, обладающих сложной структурой.
Методика исследований использует вариационные и полуобратные методы нелинейной теории упругости и механики сплошной среды, а также методы теории смесей упругих тел.
Достоверность результатов работы обеспечивается строгой математической постановкой краевых задач, применением математически обоснованных методов решения, использованием надежных и проверенных численных алгоритмов и программ, предельными переходами к известным случаям, качественным совпадением с результатами экспериментов.
Научная новизна состоит в получении условий равновесия фаз материала в случае смеси упругих тел, построении модели фазовой границы в виде переходного слоя, представляющего смесь фаз, а также решении ряда краевых задач с фазовыми превращениями.
Практическая ценность Полученные результаты могут быть полезны для дальнейшего развития теории фазовых превращений в деформируемых средах, методов исследования нелинейных краевых задач математической физики с заранее неизвестными поверхностями типа задачи Стефана, а также для описания поведения новых функциональных материалов, в частности, сплавов и полимеров с памятью формы.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись на VI и IX Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001, 2005); Всероссийских научно-практических конференциях «Транспорт-2004», «Транспорт-2005» (Ростов-на-Дону, 2004, 2005); Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2004); XXXII Summer School -Conference «Advanced Problems in Mechanics» (АРМ) (Санкт-Петербург, 2004);
V Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», в полном объеме диссертация докладывалась на семинарах кафедры теории упругости и математического моделирования факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.
Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе 3 статьи [5,11,13] в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертации.
В совместных публикациях В. А. Еремееву принадлежат постановка задачи и рекомендации по выбору метода решения.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 173 наименований, общим объемом 95 страниц машинописного текста.
