Содержание к диссертации
Введение 3
Глава 1. Уравнения движения кваэиоднородных слоистых анизотропных пластин из полимерных композиционных материалов 8
Глава 2. Методы вычисления собственных частот и коэффициентов механических потерь тонких слоистых анизотропных пластин на основе классической теории 18
§ 1. Двучленное представление приближенного решения 21
§ 2. Трехчленное представление приближенного решения 37
§ 3. Применение метода Ритца 50
§ 4. Затухающие колебания 58
Глава 3. Методы вычисления собственных частот и коэффициентов механических потерь слоистых пластин на основе уточненной теории 64
§ 1. Симметричная пластина Рейснера-Мин длина 64
§ 2. Пластина Рейснера-Миндлина. Общий случай 72
§ 3. О достоверности разработанной математической модели и сходимости метода решения 77
Глава 4. Колебания макронеоднородных трехслойных пластин 87
§ 1. Постановка задачи о собственных колебаниях трехслойных пластин с вязкоупругим средним слоем 88
§ 2. Решение задачи о собственных колебаниях трехслойных пластин с вязкоупругим средним слоем 93
§ 3. О выборе координатных систем и некоторых характеристиках численных алгоритмов 107
Приложение 1. Определяющие соотношения для монослоя полимерного композиционного материала 109
Список литературы 113
Введение к работе
Современные полимерные композиционные материалы (ПКМ),. обладающие высокими удельными значениями прочности и жесткости, широко используются в современной технике (авиастроение, судостроение, автомобилестроение, радиотехника и т.д.). Характерной особенностью ПКМ является анизотропия их физико-механических свойств в плоскости укладки слоев армирующего материала, что, с одной стороны, существенно усложняет расчет и проектирование конструкций из них, а с другой - позволяет создавать изделия с управляемыми (регулируемыми) свойствами. Одним из примеров подобных технических решений является создание несущих плоскостей крыльев самолетов и лопастей вертолетов с саморегулирующимся углом атаки, позволяющих избегать флаттера за счет оптимального армирования.
Растущий интерес к демпфирующим конструкциям из полимерных композиционных материалов (ПКМ) стимулирует разработку методов определения их собственных частот и коэффициентов механических потерь. Этот интерес обусловлен в первую очередь тем, что диссипативные свойства конструкционных ПКМ значительно превосходят аналогичные характеристики подавляющего большинства металлов и сплавов и могут быть использованы в качестве параметров проектирования конструкций с заданными свойствами. При создании ПКМ и изделий из них важнейшее значение имеет прогнозирование упругих и диссипативных характеристик конструкций по известным свойствам монослоев. Для этого необходимо располагать полным набором упругих и диссипативных характеристик материалов монослоев, компонуемых в конструкцию. Вопросы определения полного набора комплексных модулей получили достаточное освещение в современной литературе [18, 32, 33, 51, 75, 76, 94]. Опреде ленный прогресс в этом направлении достигнут для элементов конструкций, состоящих из жестких конструкционных ПКМ [13 - 17, 40, 52, 60, 64, 69, 101].
При переходе к слоистым конструкциям, состоящим из совокупности жестких и мягких слоев, ситуация становится еще сложнее и автору известны лишь несколько работ, посвященных исследованию их затухающих колебаний [68, 80, 92, 93, 95, 97]. Ни в одной из указанных работ не были учтены эффекты трансверсального сжатия, учет которого позволит более полно выявить особенности поведения указанных конструкций. Учитывая сложность поставленной задачи, естественно выбрать объект исследования, с одной стороны, максимально простой, с другой - учитывающей все характерные особенности исследуемого явления.
В качестве такого объекта в настоящей работе рассматривается трехслойная пластина, состоящая из двух жестких слоев, каждый из которых, в свою очередь, состоит из пакета анизотропных монослоев, и мягкого слоя из изотропного вязкоупругого материала.
Предлагаемые в работе методы вычисления собственных частот и форм колебаний как квазиоднородных слоистых анизотропных пластин из ПКМ, так и макронеоднородных трехслойных пластин, состоящих из двух жестких и одного мягкого слоев, а также построение асимптотики спектра при неограниченном возрастании длины пластины весьма актуальны как в теоретическом, так и чисто прикладном отношении.
Приведем краткий обзор содержания диссертации. Работа состоит из четырех глав, разбитых на десять параграфов, одного приложения и списка литературы. В приложение вынесены определяющие соотношения для монослоя полимерного композиционного материала. Нумерация теорем, утверждений и таблиц сквозная, порядок ссылок на формулы и рисунки определяется двумя числами.
Первое число указывает номер главы, второе — номер формулы или рисунка в главе. Список литературы состоит из 103 названий, которые упорядочены по алфавиту, сначала русские, а затем иностранные.
В начале первой главы приведен обзор литературы, посвященной описанию колебаний квазиоднородных слоистых анизотропных пластин из ПКМ. Для построения математической модели собственных колебаний таких пластин используется уточненная теория Рейсне-ра-Миндлина, а также результаты и методы известных работ [1, 2, 9, 20, 24, 27, 28, 29, 48]. Получена общая вариационная задача, решением которой и будут соответствующие собственные частоты и формы колебаний пластины.
Во второй главе изучается тонкая симметричная анизотропная пластина, уравнения движения которой получены в предположении справедливости гипотез Кирхгофа-Лява. Полученная вариационная задача является частным случаем общей вариационной задачи, рассмотренной в первой главе. В первом параграфе изучается двучленное представление приближенного решения вариационной задачи. Для ее решения используется интегральное преобразование Лапласа. Также изучаются связанные изгибно-крутильных колебания пластины, получены многочисленные результаты, представленные на рис. 2.2 - 2.4. Особое внимание уделяется изучению поведения частот связанных изгибно-крутильных колебаний при неограниченном возрастании длины пластины. Получены асимптотические представления частот преимущественно изгибных и преимущественно крутильных колебаний при увеличении длины пластины. Во втором параграфе рассматривается трехчленное представление приближенного решения вариационной задачи, для ее решения используется метод Галеркина. Аналогично первому параграфу изучено поведение частот преимущественно изгибных и преимущественно крутильных колебаний при увеличении длины пластины. В третьем параграфе используется метод Ритца для решения соответствующей вариационной задачи, что позволяет произвести расчеты частот для пластин, характеризуемых большими значениями относительной длины, и подтвердить полученные ранее асимптотические представления частот преимущественно изгибных и преимущественно крутильных колебаний при увеличении длины пластины. В четвертом параграфе описаны затухающие колебания вязкоупру-гих анизотропных пластин из ПКМ. Для построения математической модели колебаний используется принцип упруго-вязкоупругого соответствия в линейной теории вязкоупругости. Также получены значения коэффициентов механических потерь тонов колебаний пластин с различной относительной длиной (рис. 2.11 - 2.13).
Третья глава посвящена расчету собственных частот и коэффициентов механических потерь слоистых анизотропных пластин на основе уточненной теории Реиснера-Миндлина. В первом параграфе рассмотрен случай симметричной консольной пластины, полученная вариационная задача решается с помощью метода Ритца. Проведенное сопоставление расчетных значений собственных частот для пластин из углепластика, полученных на основе теории тонких анизотропных пластин и уточненной теории пластин Реиснера-Миндлина (табл. 3), подтверждает необходимость использования уточненной теории для анализа поведения слоистых пластин из ПКМ. Во втором параграфе описывается применение метода Ритца для решения общей вариационной задачи, полученной в первой главе. В третьем параграфе показана достоверность разработанной математической модели (табл. б, 7), а также сходимость предложенного алгоритма вычислений (табл. 8). Получены значения собственных частот и коэффициентов механических потерь пластин с различной относительной толщиной (рис. 3.1, 3.2).
Четвертая глава посвящена описанию колебаний макронеодно-родных трехслойных пластин, состоящих из двух жестких и одного мягкого слоев. Для каждого из жестких слоев учитывается влияние деформаций сдвига в соответствии с теорией Рейснера-Миндлина. Полученная вариационная задача решается с использованием метода Ритца. Изучена сходимость предложенного алгоритма вычислений (табл. 9), а также получены значения собственных частот и коэффициентов механических потерь трехслойных пластин с вязкоупругим средним слоем с различной ориентацией волокон в жестких слоях (рис. 4.5 - 4.8).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [102, 103].
Похожие диссертации на Методы вычисления собственных частот и форм колебаний пластин и их асимптотика
