Введение к работе
Актуальность темы. Одной из наиболее интенсивно развивающихся в последнее время областей математической физики является неравновесная квантовая теория. В частности, в связи с различными приложениями приобретает интерес изучение временной динамики квантовых открытых систем, то есть квантовых систем, взаимодействующих с резервуаром. Типичными примерами квантовых открытых систем являются атом, взаимодействующий с излучением, или частица, взаимодействующая с квантовым газом. Изучение динамики таких систем имеет важное значение для проблемы декогерен-ции, стремления к равновесию, проблемы измерения, задачи управления состоянием атома.
Одной из задач в теории квантовых открытых систем является вывод диссипативных мастер-уравнений для редуцированной матрицы плотности, описывающих усредненную по состоянию резервуара динамику системы, из уравнений Шре-дингера и Гейзенберга для полной системы. Точные мастер-уравнения являются сложными для практического исследования, так как включают эффекты памяти. Однако в некоторых физически интересных режимах точные решения таких уравнений аппроксимируются решениями уравнений, которые значительно легче поддаются изучению. Такими режимами являются режим слабой связи и режим малой плотности.
В режиме слабой связи взаимодействие между системой и резервуаром является малым. В режиме малой плотности плотность числа частиц резервуара мала, в то время как взаимодействие является сильным. Изучение динамики систем на больших временах в этих режимах проводилось в многочисленных работах, начиная с работ Н.Н. Боголюбова, Л. ван Хова, И. Пригожина. Редуцированная динамика изучалась в работах Е. Дэвиса (Е. Davies), Р. Думке (R. Diimcke), Д. Ле-
.иС. НАЦИОНАЛЬНАЯ і БИБЛИОТЕКА
бовица (J. Lebowitz), Г. Шпона (Н. Sponh) и других авторов, где было показано, что в этих режимах точная редуцированная динамика аппроксимируется квантовой динамической полугруппой.
Более сложной задачей является вывод уравнений, описывающих в этих режимах эволюцию полной системы. В работах Л. Аккарди (L. Accardi), Ю. Лу (Y.G. Lu) и А Фри-жерио (A Frigerio) было доказано с помощью теории возмущений, что матричные элементы оператора эволюции полной системы, взятые по так называемым "коллективным векторам", в пределе слабой связи или малой плотности сходятся к матричным элементам адаптивных процессов, удовлетворяющих квантовым стохастическим дифференциальным уравнениям Хадсона-Партасарати. В пределе слабой связи квантовое стохастическое уравнение описывается квантовым броуновским движением, а в пределе малой плотности - квантовым процессом Пуассона.
В работах Л. Аккарди, И.В. Воловича, Ю. Лу был разработан метод стохастического предела, позволяющий выводить квантовые стохастические уравнения в пределе слабой связи из точных уравнений Шредингера и Гейзенберга. Метод использует технику квантового белого шума и основан на аппроксимации некоторых операторов, относящихся к резервуару, операторами квантового белого шума. Одним из основных достоинств метода является то, что выведенные с его помощью уравнения, в отличие от точных исходных уравнений, легко решаются. Метод стохастического предела применялся в работах Л. Аккарди, И В. Воловича, СВ. Козырева, Ф. Багарелло (F. Bagarello), Г. Кимура (G. Kimura), К. Имафуку (К. Imafuku), К. Юаса (К. Yuasa) и других авторов к изучению динамики квантовых открытых систем в режиме слабой связи.
Цель работы: разработка и применение метода стохастической асимптотики к изучению динамики квантовых открытых систем в пределе малой плотности, в частности, к выводу квантовых стохастических дифференциальных уравнений для оператора эволюции и уравнения для редуцированной матрицы плотности; разработка метода, позволяющего выводить уравнения, описывающие поправки к стохастическому пределу в режиме слабой связи.
Основные результаты:
-
Для оператора эволюции, описывающего динамику частицы, взаимодействующей с Бозе-газом малой плотности, выведено уравнение Шредингера с квантовым белым шумом, нормальная форма этого уравнения и квантовое стохастическое дифференциальное уравнение; выведены квантовое уравнение Ланжевена и мастер-уравнение для редуцированной динамики.
-
Доказана теорема о сходимости корреляционных функций бозонных операторов рождения и уничтожения в пределе малой плотности к корреляционным функциям операторов квантового белого шума.
-
Построено представление алгебры квантового мультипольного шума в псевдогильбертовом пространстве.
-
Выведены уравнения, описывающие поправки по константе связи к стохастическому пределу и построено решение этих уравнений.
Методы исследования. В диссертации используются метод стохастического предела, методы функционального анализа, теория обобщенных функций, теория операторов, теория квантовых случайных процессов.
Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены следующие результаты: разработан подход к выводу квантовых стохастических уравнений в пределе малой плот-
ности с использованием техники квантового белого шума, разработан подход к выводу квантовых стохастических уравнений непосредственно в терминах корреляционных функций, построена операторная реализация алгебры квантового мультипольного шума, выведены обобщенные квантовые стохастические уравнения, описывающие поправки к стохастическому пределу и построены решения этих уравнений.
Теоретическая и практическая ценность. Настоящая
диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные квантовые стохастические дифференциальные уравнения могут быть использованы для вывода транспортных уравнений, исследования проблемы декогеренции, изучения стремления к равновесному состоянию систем, взаимодействующих с термостатом, в теории измерений. Разработанный подход может бьпь обобщен для изучения динамики Бозе или Ферми-газа на кинетическом этапе эволюции.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела математической физики Математического института им. В. А Стек-лова РАН, отделения теоретической физики Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (семинар под руководством О.Г. Смолянова), the Centra Vito Volterra (Университет г. Рима "Тог Vergata"), факультета математики Университета г. Вари (Италия), факультета математики Университета г. Палермо (Италия), отделения теоретической физики на физическом факультете Университета г. Милан (Италия), а также на следующих конференциях: Международная конференция "Бесконечномерный анализ и квантовая вероятность"(Левико Терме, Италия, 10-15 июня 2002); Международная конференция "Классические и квантовые процессы Леви: теория и приложения "(Левико Терме, Италия, 27 сент.-З окт. 2003).
Публикации. Основные результаты, перечисленные выше, получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из
