Введение к работе
Цель работы — методами нелинейной теории упругости исследовать проблему определения собственных напряжений в различных структурах, содержащих поля изолированных и непрерывно распределённых дислокаций и дисклинаций.
Актуальность работы — задачи определения собственных напряжений, вызванных наличием в теле дефектов в форме дислокаций и дисклинаций, играют важную роль в моделировании и исследовании механических свойств современных материалов.
Методы исследования. В работе используются методы нелинейной теории упругости, дифференциальной геометрии обобщённых пространств, теории пластин и оболочек, вариационные методы, метод Фурье решения уравнений в частных производных, метод комплексных потенциалов в духе Колосова-Мусхелишвили.
Достоверность полученных результатов в диссертационной работе обеспечивается совпадением решений нелинейных уравнений для диска из полулинейного материала, содержащего непрерывно распределённые дисклинаций с известными решениями для изолированных дисклинаций в случае, когда плотности распределённых дефектов представляют из себя обобщённые функции. Задача об изгибе пластинки Рейсснера с дислокациями решалась двумя различными способами. Было получено совпадение результатов между собой, а также с известными результатами для неограниченной пластинки.
Научная новизна работы состоит в следующем.
1. В рамках нелинейной теории упругости путём предельного перехода от изолированного набора дислокаций к их непрерывному распределению получена полная система уравнений, определяющих собственные напряжения в теле с распределенными дислокациями и изолированными дискли-
нациями. В случае плоской деформации введено физически обоснованное понятие плотности дисклинаций и установлена его связь с гауссовой кривизной многообразия с дефектами. Получено точное решение задачи о собственных напряжениях в круглом диске из нелинейно упругого материала, обусловленных заданной плотностью дисклинаций.
В рамках общей нелинейной теории оболочек типа Кирхгофа-Лява рассмотрена задача сильного изгиба упругой пластинки, содержащей в плоском состоянии непрерывно распределённые поля краевых дислокаций и клиновых дисклинаций, а также другие источники собственных напряжений. В случае весьма тонкой пластинки (мембраны), не сопротивляющейся изгибу, и положительной плотности дисклинаций доказано существование, наряду с плоским напряжённым состоянием, также и изогнутой формы равновесия, переходя в которую мембрана освобождается от внутренних напряжений. Получена инвариантная формулировка модифицированных уравнений несовместности деформаций типа Гаусса-Кодацци с учётом непрерывно распределённых краевых и винтовых дислокаций в оболочке. Рассмотрена задача о квазипластическом (некогерентном) изгибе тонкой плёнки, содержащей дислокации, установлена гидродинамическая аналогия с уравнениями, описывающими стационарные течения идеальной несжимаемой жидкости с заданной завихренностью.
Для гибких упругих пластинок, описываемых теорией Кармана с учётом поперечного сдвига, развита теория дислокаций Вольтерры. Решена задача определения полей перемещений и поворотов многосвязной пластинки по заданным однозначным полям тангенциальных, сдвиговых и из-гибных деформаций. Получены формулы для скачков перемещений и поворотов, возникающих при переходе через разрезы, превращающие многосвязную область в односвязную. Дано выражение характеристик дислокаций и дисклинаций через поля деформаций в виде контурных интегралов.
В рамках линейной теории Рейсснера с использованием разложения в ряды Фурье решена задача об изгибе неограниченной пластинки, содержащей изолированный дефект. Решение содержит модифицированные функции Бесселя, асимптотические свойства которых позволили определить характеры сингулярностей, производимые изолированными винтовой дислокацией и дисклинацией кручения. Полученное решение было проверено при помощи метода комплексных потенциалов.
С помощью модифицированного принципа минимума дополнительной энергии введены плотности непрерывно распределённых дефектов. Показано, что, в отличие от теории пластинок Кирхгофа, теории, учитывающие поперечный сдвиг, позволяют корректно определить плотность винтовых дислокаций. Известная статико-геометрическая аналогия между растяжением и изгибом пластинок с учётом дислокаций и сосредоточенных воздействий обобщена на случай теории Рейсснера и плоской моментной теории упругости со стеснённым вращением.
Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при расчётах многосвязных тонкостенных конструкций, в механике разрушения, а также при моделировании двумерных углеродных наноструктур, нанотрубок, оболочек вирусов и биологических мембран.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём работы — 137 страниц.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на IV и XIV международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 1998; Азов, 2010), 37th Solid Mechanics Conference (Варшава, 2010), Euromech Colloquium «Shell-like Structures — Non-classical Theories and Applications» (Виттенберг, 2011), а также на семинаре кафедры теории упругости факультета математики,
механики и компьютерных наук ЮФУ.
На различных этапах работа над диссертацией была поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 — 2013 годы (государственные контракты П 596 и № 02.740.11.0208 от 7 июля 2009 г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата. Из них статьи [2,5] помещены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.
В совместных работах научному руководителю Л.М. Зубову принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору методов их решения. Вывод основных уравнений, решение краевых задач и анализ результатов принадлежат автору диссертационной работы.
