Введение к работе
Актуальность темы. Некоторые природные явления и технологические процессы сопровождается увеличением массы твердых тел за счет присоединения к их поверхности дополнительного материала. Примерами таких явлений и процессов могут быть электролитическое и пиролитическое осаждение, кристаллизация из растворов и расплавов, сублимация, лазерное напыление, газотермическое и парофазное осаждение, фотополимеризация, формирование осадочных пород и космических тел.
Принципиальным отличием растущих тел от тел постоянного состава является то, что растущие тела формируются за счет непрерывного присоединения инфинитезимальных частей к поверхности роста, причем присоединяемые части могут быть как свободны от напряжений, так и преднапряжены. При этом растущее тело также испытывает деформацию. Если температура присоединяемых частей отличается от температуры основного тела, то на поверхности роста имеет место тепловой поток, который влияет на распределение температурного поля в растущем теле.
Одной из особенностей напряженно-деформированного состояния растущего тела является наличие остаточных напряжений в растущем теле,которые могут привести к нежелательным последствиям, таким как потеря устойчивости, локальные нарушения сплошности, искажения геометрической формы, и т.д. В частности, учет искажений формы важен при разработке методов фотополимеризующей стерсолитографии, а анализ устойчивости наращиваемых тонкостенных конструкций необходим при разработке микроэлектромеханических систем (MEMS).
Изучением растущих тел занимается относительно молодое направление в механике твердого тела — механика растущих тел, основателем которой является академик Н.Х. Арутюнян. Моделированию процессов наращивания твердого тела посвящено множество работ отечественных и зарубежных ученых, таких как Н.Х. Арутюнян, А. Д. Дроздов, С. А. Лычев, А. В. Манжи-ров, В. В. Метлов, В.Э. Наумов, Э.И. Рашба, В. К. Тринчер, В. Д. Харлаб, Е. Epstein , G. Maugin, A. Klarbring, V. Lubarda, L. Taber, Т. Olsson и др.
Математические модели механики растущих тел позволяют описать процесс роста термоупругого твердого тела. Однако в общем случае уравнения, описывающие температурные поля, а также поля напряжений и деформаций не имеют аналитического решения. Приближенное решение таких уравнений может быть получено только лишь с использованием численных алгоритмов. Однако решение, построенное таким образом, не позволяет проанализировать качественные особенности искомых полей. Кроме того, для
построения вычислительного алгоритма необходима оценка параметров сче-
та, обеспечивающая приемлемую точность. Поэтому для разработки и отладки численных алгоритмов необходимо иметь готовые аналитические решения модельных задач.
Изложенное выше определяет актуальность и практическую значимость работы.
Целью работы построение решений ряда модельных задач термоупругости для растущих тел канонической формы (сплошной и полый шар, полый цилиндр, параллелепипед), исследование эволюции температурного поля и поля температурных напряжений, а также изучение картины остаточных напряжений в рассматриваемых телах.
Научная новизна: диссертационной работы состоит в следующих результатах, полученных автором:
-
построено аналитическое решение задачи теплопроводности для растущего сплошного шара при определенных законах движения растущей поверхности в форме спектрального разложения по собственным функциям линейного оператора, порождаемого задачей;
-
построено приближенное решение задач теплопроводности для растущего полого шара и цилиндра при произвольном режиме наращивания в форме спектрального разложения по собственным функциям линейного оператора, порождаемого задачей;
-
по найденному температурному полю построено поле температурных напряжений, а также поле остаточных напряжений в соответствующих растущих телах.
-
построено решение связанной и несвязанной задач термоупругости для параллелепипеда в случае дискретного наращивания.
Достоверность результатов, полученных в диссертации обеспечивается строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением в частных случаях с известными результатами других авторов. Сформулированные в работе результаты допускают ясную физическую интерпретацию и соответствуют современным представлениям о протекающих процессах.
Практическая значимость настоящего исследования состоит в том, что все рассмотренные задачи в приведенных постановках решены и детально исследованы впервые. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития механики растущих тел. Рассматриваемые в работе задачи могут служить, в частности, тестовыми задачами при отладке численных алгоритмов, предназначенных для моделирования реальных природных и технологических процессов.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», II Международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды», X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, XXVI и XVIII Международной молодежной конференции «Гагаринские чтения», на семинаре кафедры «Прикладная математика» Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана.
На различных этапах данная работа поддерживалась грантами Российского фонда фундаментальных исследований (гранты РФФИ №№ 08-01-00553-а, 11-01-00669-а, 11-08-93967-ЮАР_а). Фрагменты диссертационного исследования были использованы также при выполнении проекта согласно Соглашению № 14.В37.21.0646 от 20.08.2012 с Минобрнауки России.
Публикации и вклад автора По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе две статьи представлена в журнале из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.
В исследовании научному руководителю профессору Манжирову А.В. принадлежат постановки задач и основные идеи по построению их решений. Соискателю принадлежит практическая реализация алгоритмов аналитического построения решений начально-краевых задач, составление вычислительных программ, проведение расчетов и анализ результатов.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 87 наименований. Полный объем диссертации составляет 129 страниц машинописного текста. Работа содержит 31 иллюстрацию и 1 таблицу.
