Содержание к диссертации
Введение
1. Математическая модель 8
1. Феноменологические соотношешш электродинамики.. 9
2. Исходные уравнения электродинамики 21
3. Соотношения термоупругости 27
2. Слой из магнитомягкого материала 37
4. Методика решения задачи 37
5. Плоская задача 50
6. Нагрев по толщине 82
3. Слой из магниготвердого материала 162
7. Методика решения задачи 162
8. Плоская задача 167
9. Нагрев по толщине 169
Заключение 190
Литература
Приложения 208
Исходные уравнения электродинамики
К полученным феноменологическим соотношениям (I.I) - (1.2), (1.4) или (1,19) между индукцией и напряженностью магнитного поля необходимо добавить соотношения, связывающие векторы напряженности и индукции электрического поля, а также плотности тока проводимости с напряженностью электрического поля. При принятом пренебрежении поляризацией, механоэлектрическими эффектами, а также влиянием подвижности среды на токи эти соотношения примут вид где 60 , Є - соответственно абсолютная и относительная диэлектрические постоянные вакуума и материала, G" - коэффициент электропроводности. Отметим, что из соотношений (І.І) - (1.2), (1.20) при (И(Н) = = (НМ0 придем к феноменологическим зависимостям для линейного материала. Рассмотрим твердое изотропное электропроводное ферромагнитное тело, в области которого (область V трехмерного пространства IR ограниченная поверхностью S ) отсутствуют "сторонние" заряды и токи. Тело находится под воздействием внешнего квазиустановившего-ся электромагнитного поля [60,68] , заданного вектором напряженности магнитного поля на поверхности $ Здесь - радиус-вектор рассматриваемой точки, Hi - начальная фаза, НШ - функция, которая относительно мало изменяется за период колебаний, так что В применяемых режимах индукционной термообработки такие условия практически всегда имеют место, кроме, быть может, моментов включения и выключения индукторов / 60]. Допустим, что электромагнитное поле в начальный момент времени t = 0 в теле и в вакууме отсутствует. Тогда начальные условия запишутся в виде При определении электромагнитного поля будем исходить из системы уравнений Максвелла [68,71,116,118,124,132]
Для рассматриваемых материалов феноменологические соотношения, замыкающие систему уравнений Максвелла, согласно I будут В таком приближении принимая, что в начальный момент времени объемная плотность электрических зарядов 2 в теле равна нулю, найдем, что как и в случае неферромагнитных тел функция Q=0 и в произвольный момент времени. Поэтому система исходных уравнений (2.4) с учетом соотношений (2.5) примет вид Уравнения (2.6) могут быть приведены известным путем с применением преобразования Лапласа к такой системе уравнений которая с учетом выбранной зависимости о - п п (см. I), будет системой нелинейных уравнений относительно функции И . Начальные условия (2.3) в этом случае представлятся в виде что в силу соотношения —р - -—- Цг- и условия По найденной функции И , напряженность электрического поля Е определяется из соотношения о При рассмотрении системы контактирующих электропроводных тел уравнения Максвелла (2.6) записываются для каждой из областей, а к граничным условиям добавляются условия сопряжения электромагнитного поля на границах раздела /71,116,126] В случае, когда ферромагнитное тело контактирует с внешней диэлектрической средой, к системе уравнений электродинамики (2.6) или (2.7) необходимо присоеденить уравнения для области внешней среды которые в функциях /У соответственно запишутся [39 92] Здесь и в дальнейшем величины с индексом (w) относятся к области внешней среды, которую примем в приближении вакуума; J - плотность внешнего тока, заданная функция координат и времени; ь2 - объемная плотность элекрических зарядов в вакууме, которая принимается равной нулю. При этом к начальным условиям (2.9) необходимо присоединить начальные условия на функцию
Соотношения термоупругости
При найденных тепловыделениях (2.20), (2.21) и пондеромотор-ных силах (2.22) температурные поля и напряжения в теле определяются при условии (2.24) [67J из системы уравнений термоупругости [18,50,56,57,70,78,86,131] где удельными мощностями непрерывно распределенных тепловых источников и объемных сил являются сумарные тепловыделения Q=QA + Qr и пондеромоторная сила F . Здесь Т - температура, отсчитьшаемая от начальной Т0 , К ; Cf={UHl - вектор перемещений, Q = = 6HiJ " тензР деформаций, (5 = /в ./ тензор напряжений; у = S I - оператор Гамильтона; у.и , и-7 - диадное произведение векторов V и U ; повторяющиеся индексы являются индексами суммирования; г? и CL - коэффициенты теплопроводности и температуропроводности; dCt - линейный коэффициент температурного расширения, Е - модуль упругости, )) - коэффициент Пуассона, Q - модуль сдвига, О - плотность. К уравнениям (3.1) - (3.4) необходимо присоединить определенные тепловые и механические начальные и граничные условия, соответствующие имеющимся условиям индукционного нагрева. В качестве начальных условий обычно принимается, что векторы перемещений U- и скорости У , а также температура 7 во всей области (V) упругого тела в начальный момент времени отсутствует, т.е. эти функции равны нулю при t=0 . Тогда начальные условия запишутся Будем считать, что тело находится в условиях конвективного теплообмена с внешней средой, температура которой равна начальной температуре 77 среды. При этом тепловое граничное условие запишется где -т?— = UZac/T-H , L - коэффициент теплоотдачи с поверх- ности.
Механические граничные условия могут соответствовать заданию усилий перемещений или иметь смешаный вид. Здесь /» U--jU0Kj- заданные вектор поверхностных усилий и вектор перемещений на поверхности тела. В случае рассмотрения системы контактирующих электропроводных тел в области контакта обычно ставятся условия идеального механического и теплового сопряжения /18,90,95] где индексами 1;2 обозначены соответствующие функции контактирующих тел. Условия сопряжения могут быть и более общего вида [90,95] Систему уравнений термоупругости (3.1) - (3.4) можно свести к двум дифференциальным уравнениям, записанным относительно температуры Т и вектора перемещений U . Такую систему уравнений получим, подставляя соотношения (3.3) в уравнение (3.2) и используя при этом соотношения (3.4). Тогда будем иметь После определения вектора перемещений из системы уравнений (З.ІІ), компоненты тензора напряжений находятся по формуле (3.3). В пренебрежении динамическими членами в уравнениях движения и связанностью полей деформации и температуры система уравнений (З.ІІ) примет вид Такая система соответствует несвязанной квазистатической задаче термоупругости [57] , в которой начальные условия необходимы только на температурное поле. Запишем также исходную систему уравнений термоупругости, когда в качестве разрешающих функций выбраны температура Т и тензор напряжений 6" .
Для этого используем путь приведенный в работе [92]. Уравнение состояния (3.3) представим в виде Из соотношения (3.4), получаем Используя операцию свертывания, находим Тогда система уравнений (3.1) - (3.4) запишется так: Действуя на уравнение состояния (3.13) оператором несовместности Ink , и учитывая, что є = De/iT и Ink Dei = 0 , получаем дополнительное условие на тензор напряжений и температуру, которое является следствием совместности деформации (сплошности среды). Действуя на второе уравнение системы (3.16) оператором Def и используя соотношение (3.14) придем к уравнению которое вместе с первшл уравнением этой системы и уравнением (3.17), дает искомую разрешающую систему згравнении динамической термоупругости, записанную относительно температуры и тензора напряжений: В прямоугольной системе координат система уравнений ХЗ.18) запишется: двухмерный оператор Лапласа, т = 6 + 61 - Функция связанная с первым инвариантом тензора напряжений соотношением Как видно из системы уравнений (3.22) и условий (3.23), ее решение при соответствующих граничных условиях сводятся к совместному решению первых двух взаимосвязанных уравнений и последующему последовательному решению третьего и четвертого. При этом дифференциальные уравнения для каждой из компонент тензора напряжений второго порядка, что позволяет при решении задач эффективно использовать методы точного и приближенного решения уравнений математической физики. Сформулируем в введенных функциях граничные условия для слоя, основания 2= Oil которого свободны от силовой нагрузки, т.е. G,t=0; =0, (3.24) где Эу = otj(X;D;t), в = Gy(x; i;t) , Учитывая (3.24) и выполняя дифференцирование огг по времени t , из четвертого уравнения (3.22) получим
Нагрев по толщине
Вопрос о достоверности полученных результатов обсуждается в Приложении 2. На рис. 6.1 и рис. 6.2 показано распределение амплитуды первой гармоники напряженности магнитного поля (6.9), (6.81) по толщине слоя для Ст.10 и ТЧЖ. Из графиков видно, что для данного случая имеет место ярко выраженный приповерхностный эффект, причем для ТШ распределение имеет более приповерхностный характер. Это соответствует тому, что для ферромагнитных материалов эффективный параметр глубины проникновения электромагнитного поля 0 согласно формулы (5.30) уменьшается в ffQ, раз по сравнению с неферромагнитным материалом, а само /ИЭ(р существенно зависит от Мнач , которое для ТЯЖ приблизительно на порядок больше значения для Ст.10. Зависимость М3ф от напряженности магнитного поля Н0 для данных материалов приведена в таблице 6.1. С увеличением величины Н0 степень затухания магнитного поля уменьшается. Отметим, что в исследуемом случае амплитуды третьей гармоники напряженности магнитного поля на рисунках не приведены в силу их малости по сравнению с аналогичными для первой.
В отдельных случа- ях (см. Приложение 2) максимальные величины амплитуд третьей гармоники могут составлять до Q% амплитуды основной гармоники. Графики распределения амплитуды первой гармоники индукции магнитного поля для обеих материалов соответственно приведены на рис. 6.3 и рис. 6.4. Как видно из графиков с увеличением величины Н0 распределение в приповерхностных слоях меняется от экспоненциального ( Н0 = 10 А/м) до более равномерного ( Н 5? ю 5 А/м). При этом амплитуда индукции магнитного поля увеличивается в / раз по сравнению с эквивалентным неферромагнитным материалом (что следует также из формулы (6.17)). На рисунках кривыми 3 и 4 показано распределение амплитуд третьей гармоники индукции магнитного поля соответственно для Н0 = 10 А/м и п0 - ю А/м. Как видно из рисунков в данном случае эти амплитуды одного порядка с амплитудой первой гармоники эквивалентного неферромагнитного материала (максимальные их значения составляют 200% по сравнению со значениями амплитуд основной гармоники индукции магнитного поля для неферромагнитного материала). Рис. 6.5, 6.6 иллюстрируют распределение усредненного по пе- Г)(4} риоду колебаний электромагнитной волны джоулева тепла Ц .
Как видно из графиков джоулевы тепловыделения для ТЧК на порядок больше, чем для Ст.10 и имеют более приповерхностный характер. При этом для эквивалентного неферромагнитного материала тепловыделения в приповерхностных слоях в МЭф число раз меньше. Количественная оценка формул (6.25), (6.94) показала, что сила воздействия на молекулярные токи F приблизительно в (у%# - I) раз больше силы Ампера а величина силы Ампера для ферромагнитного материала увеличивается в /И раз по сравнению с эквивалентным неферромагнитным. Отметим, что эти объемные силы в каждый момент времени имеют противоположные направления. На рис. 6.7 и 6.8 для Ст.10 приведены распределения пондеро-моторных сил г и г по толщиннои координате соответственно при Н0 = 10 А/м ж п0 = 10 А/м. Аналогичные распределения объемной силы г для ТЯЖ показаны на рис. 6.9. На рисунке не приведены графики силы F из-за ее малости по сравнению с силой г . Как видно из графиков пондеромоторные силы для ТЧЖ на два порядка больше, чем для Ст.10 и имеют более приповерхностный характер. Силы г по величине для Ст.10 при п0 = 10 А/м в II раз больше F , а при Н0 = 10 А/м в 6 раз больше. Для ТЧЖ при Н0 = ТО4 А/м - FN 0,4 I0"2-FrU , а при Н0 =Ю5 А/м F ,J 10 -Z7" u; . При этом максимальные значения для Ст. 10 при Н0 = I04 А/м в 43 раза, а при //„ = 10 А/м в 3,95 раза больше аналогичных для эквивалентного неферромагнитного материала. Для ТЧЖ эти величины будут соответственно в 1380 и 70 раз больше при различных значениях време- ни t для Ст.10 приведено на рис. 6.10, 6.II, а для ТЧЖ - на рис. 6.12, 6.13. Рис. 6.10 и 6.12 соответствуют п0 = 10 А/м, а рис. 6.II, 6.13 - Не, = Ю5 А/м. Коэффициенты теплоотдачи на поверхностях выбирались равными В = 0,2; Bcz = 0. Анализ результатов проведенных расчетов показывает, что установившейся режим наступает для t ъ- 100 с и это время практически одинаково для обеих материалов, и не зависит от их ферромагнитных свойств. Максимальные уровни температуры достигаются в установившемся режиме. Для ферромагнитного материала температура в каждой точке увеличивается приблизительно v/йэф раз по сравнению с эквивалентным неферромагнитным.
Нагрев по толщине
Температурное поле (0) в данном приближении находим из уравнения (5.51) при начальных (5.52) и граничных (5.53) условиях. Решение этой задачи дается выражениями (5.62)-(5.63), (5.57)-(5.58). Аналогично трансформанты Фурье составляющих Uuufo) , Ок,у0, ( Kfj= X,i) тензора напряжений находим из задачи (5.67)-(5.68), решение которой дается соотношениями (5.70)-(5.71). Квазиустановившиеся составляющие Т(0)2) , GluW » GKJ(O) ( К, j. =Х, z), соответствующие /- , / г(о) , находим из соотношений (5.75) при граничных условиях (5.76) или (5.77). При этом общее решение запишется в виде (5.81)-(5.84), (5.87)-(5.88) с учетом замены (8.1). Определение трансформанты Фурье функции hm. ZK+І в первом приближении сводится к решению уравнения (5.92) при причем в функциях ишю.гки необходимо произвести замену (7.II), т.е. заменить п(0) на /?f , где Тогда трансформанты Фурье функций hm.,„ (x,i) выражаются соотно-шениями (5.96), (5.97) при условиях (8.4), (8.5). Выражения для напряженности электрического и индукции магнитного полей, джоулевых тепловыделений, пондеромоторных сил и их трансформант совпадают соответственно с формулами (5.99)-(5.135), приведенными в 5 для магнитомягкого материала.
Тепловыделения Температурные поля и напряжения в первом приближении определяются аналогично как и в нулевом по формулам для магнитомягкого материала с учетом замен (8.4), (8.5) при Q -Q +Q Проиллюстрируем методику решения задачи для магнитотвердого материала на примере одностороннего индукционного нагрева слоя, когда на поверхности как и в 6, задана касательная составляющая напряженности магнитного поля Ни постоянной амплитуды. При этом из формул (5.31), (5.32) применяя обратное преобразование Фурье, с учетом формул (6.1), (8.1), найдем напряженность магнитного поля в нулевом приближении Здесь Напряжения (j в нулевом приближении находятся также как и для магнитомягкого материала по формуле (6.42), а Ьхк(0) и Ь f( ) - по формуле (6.46). Квазиустановившиеся составляющие температурного поля Л. и напряжений ОККГо; (К=х)ц,z ) находим из формул (6.47)-(6.61). При этом величины / J и / определяются соотношениями (9.17) и (6.25), а в случаях У в и / « 1 соответственно -(9.19) и (9.21). Отметшл, что нулевое приближение рассматриваемой задачи соответствует эллиптической зависимости, причем отличие от схемы В.К. Аркадьева [ 7 ] состоит в выборе МЭф. В первом приближении, аналогично как и в 6 предыдущей главы, напряженность магнитного поля находим из формулы (5.98) с учетом соотношения (8.4). Применяя обратное преобразование Фурье, с использованием соотношения (6.1), будем иметь При этом величины /? , определяются соотношениями (5.94) при замене (7.II). Как и для магнитомягкого материала напряженность электрического поля находим из формул (5.99)-(5.100). Используя соотношения (9.35)-(9.37) получим представление (6.68), где Ввделяя в формулах (9.35)-(9.39) действительную и мнимую части, т.е. представляя напряженность магнитного и электрического полей в данном приближении соответственно в виде (6.82) и (6.83), для величин Н гкн , QZHH , /%мН , АШ1 этих представлений будем иметь Амплитуды гармоник напряженности магнитного поля в первом приближении определяются формулой (6.87), а усредненное по перио-ду колебаний электромагнитной волны джоулево тепло - соотношением (6.88), причем коэффициенты fliZKH , Q H » Кгкн » Кгк+і в этих формулах даются выражениями (9.40)-(9.42).
Из формулы (7.13) с учетом соотношения (6.82) для тепловыделений вследствии перемагничивания получим Отметим, что величины $ а1... , определяются соотношением (4.33), с учетом замен (8.4) и (8.5), а выражения для составляющих пондеромоторных сил F(i} и F(1) даются формулами (6.92)-(6.94), С учеТОМ ПОЛучеННЫХ Выражений ДЛЯ b/fj-zx+f. Температурные поля и напряжения в первом приближении находятся аналогично нулевому. При этом как и в выражениях этих величин для магнитомягкого материала, приведенных в 6, необходимо произвести замены (6.96)-(6.97), (6.100) в выражениях для тепловыделений, пондеромоторных сил, температурного поля и напряжений. Результаты численных исследований напряженности и индукции магнитного поля, тепловыделений, пондеромоторных сил, температурных полей и напряжений для слоя из магнитотвердого материала ЮНДК 24, толщиной t = 10 м, проиллюстрированы соответственно на рис. 9.1 - 9.6. Расчеты, как и для магнитомягкого материала, выполнялись для двух значений амплитуды напряженности магнитного по- ля на поверхности Н0 = 10 А/м и Н0 = 10 А/м (соответственно кривые І и 2). Частота внешнего электромагнитного поля выбиралась равной і)0 = 8000 Гц. Характеристики материала принимались следующими [17,27,40,44-46,59]
