Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модель сплошной среды с учетом самоуравновешенных напряжений 14
1.1. Вариационная задача классической теории упругости 14
1.2. Функционал внутренней энергии с учетом самоуравновешенных полей напряжения 25
1.3. Уравнения и краевые условия для полных напряжений 28
1.4. Связь самоуравновешенных полей напряжений с энтропией 39
1.5. Самоуравновешенные поля напряжений при неоднородном распределении энтропии 40
1.6. Уравнение на функцию напряжений g 47
Глава 2. Построение решений для полей самоуравновешенньгх напряжений 51
2.1. Самоуравновешенное поле в декартовой системе координат 51
2.2. Самоуравновешенное поле напряжений в цилиндрической системе координат 56
2.3, Самоуравновешенное поле в полярной системе координат 61
Глава 3. Описание аномальных явлений горных образцов на основе построенной модели 73
3.1. Описание эксперимента над горными образцами 73
3,2. Постановка задачи 76
3,3. Поле упругих напряжений в образце 80
3.4. Выбор параметров модели 84
Заключение 90
Литература
- Функционал внутренней энергии с учетом самоуравновешенных полей напряжения
- Связь самоуравновешенных полей напряжений с энтропией
- Самоуравновешенное поле напряжений в цилиндрической системе координат
- Поле упругих напряжений в образце
Введение к работе
Экспериментальное изучение материалов и конструкций показывает, что в них при механическом равновесии в отсутствии внешних сил могут существовать ненулевые напряжения. Описание таких напряжений с помощью теории упругости невозможно, поскольку в рамках этой теории их следует полагать равными нулю внутри тела и на его поверхности. Пути решения проблемы описания напряжений были предложены в физических теориях прочности и пластичности: отличные от нуля напряжения в условиях равновесия появляются при построении различных моделей дефектов кристаллической структуры материалов. Ненулевые внутренние напряжения, для которых суммарная сила и момент, действующие на произвольный объём внутри тела, равны нулю, называются самоуравновешенными.
Технологам хорошо известен факт существования в изделиях из различных материалов самоуравновешенных или остаточных напряжений [7], [68]. Примером могут служить сварные швы. Экспериментальные и натурные исследования показывают, что напряжения в сварных соединениях могут иметь значения, сравнимые с напряжениями, возникающими при внешних воздействиях. Сами эти тела при этом находятся в механическом и термическом равновесии. Для одного и того же материала, уровень этих напряжений в изделии различен и определяется предшествующим процессом его изготовления.
Следует заметит, что самоуравновешенные напряжения встречаются в других, кроме механики твердого тела, областях жизни. В частности, самоуравновешенные напряжения важны в струнах музыкальных инструментах, в спицах велосипедных колес, в болтах и гайках, которыми притягиваются крышки к резервуарам с высоким давлением, в длиннопролетных мостах и закаченных стеклах транспортных
средств, в элементах техники и сооружений. Они обеспечивают устойчивость деревьев, имеются в костях людей и животных, в листьях, в траве и т.д. Благодаря внутреннему напряженному состоянию, строение растений и организмов животных близки к совершенным. Если освободить тела животных от внутренних напряжений мышц, сосудов, то тела перестанут быть таковыми. Умелое применение внутреннего напряженного состояния различных конструкций и материалов даёт большие выгоды создателям и, конечно же, это широко используется.
Как указано выше, описание самоуравновешенных напряжений оказалось возможным в физических теориях прочности и пластичности при построении различных моделей дефектов кристаллической структуры материалов [33], [49], [55]. Анализ таких физических моделей еще в пятидесятые годы прошлого века привел Кондо [74] и Билби [75] к выводу о необходимости использовать при их описании неевклидовы геометрические объекты, запрещенные в классической теории упругости.
Попытки построить полную термомеханическую модель поведения упруго-пластических материалов, учитывающую взаимодействие различных дефектных структур, были предприняты в восьмидесятые годы XX века, когда наметилась тенденция к использованию калибровочной теории в механике деформируемого твердого тела. К этому времени в применении этой теории для конструирования новых моделей макроскопического описания упруго-пластического деформирова.-ния различных материалов сложилось целое направление: за рубежом - А. Кадич, Д. Эделен [33]; в нашей стране - В.Е. Панин [54], Ю.В. Гри-няев, В.И. Данилов [55] и др.
В работах [43-47], [72-73] была успешно реализована идея использовать при построении новых моделей сплошной среды «скрытые»
геометрические параметры классической теории упругости. В классической теории эти параметры тождественно равны нулю, что связано с выполнением гипотезы о совпадении внутренней геометрии материала с геометрией евклидова пространства наблюдателя. При отказе от этой гипотезы «скрытые» параметры становятся отличными от нуля и допускают интерпретацию как геометрические объекты аффинно-метрических пространств. Доказано, что этот класс моделей сплошной среды является геометрически замкнутым и описывает эволюцию дефектных структур на различных масштабных уровнях, их взаимодействие между собой. В этих работах указывались методы построения самоуравновешенных полей напряжения и приводились их явные выражения.
В наиболее четкой форме общая идея анализа самоуравновешенных напряжений сформулирована в работе [45]. В ней показано, что кла.сс самоуравноветленных полей напряжений Тц достаточно широк и порождается функциями напряжения. Эти функции допускают интерпретацию как коэффициенты связности на многообразии, порождаемом материалом, содержащим дефекты структуры. При этом для выполнения краевых условий вводится дополнительное упругое поле Жц, компенсирующее поверхностную составляющую поля Тц. Полное поле T*ij = Тц + 7Гц удовлетворяет уравнениям равновесия и однородным краевым условиям. Однако доказательства свойства самоуравновешенности поля Тц [45] не было дано, а также не приведено строгого обоснования структуры полного поля напряжения Т,ц. В диссертации этот пробел ликвидируется: приводится доказательство этого свойства самоуравновешенности полей Тц. И выполнено в рамках вариационного подхода обоснование структуры поля Т,ц.
В общетеоретическом плане основным результатом исследований по построению моделей материалов с дефектами структуры является
вывод о необходимости использовать при описании самоуравновешенных полей неевклидовые геометрические объекты.
Построение самоуравгювешениых полей напряжений методами механики сплошных сред выполнено в [12], [34]. При этом в [12] ноле напряжений рассматривалось как пример ненулевого решения системы уравнений в отсутствии внешних сил при нулевых граничных условиях. В [34] показано, что ненулевые самоуравповешенные поля напряжений могут быть несимметричными. Во второй главе диссертации доказано; что поля напряжений [12], [34] являются самоуравновешенными и не удовлетворяют условию совместности Сен-Венана, тем самым имеют неевклидову структуру. Кроме этого, во второй главе приведены примеры полей самоуравповешенных напряжений.
Примером среды с самоуравновешенными напряжениями являются горные породы. В работах [46], [23] решена задача о зональном распределении поля напряжений вокруг горных выработок, расположенных на больших глубинах. Эта. задача возникла из наблюдений о характере деформирования и разрушения горных пород вокруг выработок. Наверное, первые экспериментальные данные поступили с золотодобывающих рудников Южной Африки. Золотосодержащую руду часто приходится извлекать с глубины 2000 - 3000 метров, поэтому вокруг выработок образуются области разрушенной горной породы. Для исследования картины зонального разрушения были пробурены скважины перпендикулярно выработке. Перископические наблюдения показали картину разрушения, которая не укладывалась в известные научные представления о поведении горных пород. Оказалось, что разрушенная порода образует дискретные зоны, которые разделены зонами твердой породы. В работах Е.И. Шемякина, Э.А. Троппа, М.А.Розенбаума, В.М. Ревы [69] и других отечественных исследователей также отмечается зональный характер разрушения пород вокруг
горных выработок. Были проведены эксперименты на моделях из подобных материалов, которые подтвердили, что вокруг выработок возникает зональная дезинтеграция пород в виде чередования сильнораз-дроблеииых и слабопарушенных зон, которые по форме напоминают форму выработок. На этих реальных наблюдениях была построена [24] модель сплошной среды, в которой не выполняются условия совместности Сен-Венана.
В экспериментальных исследованиях над образцами горных пород в предразругаающем состоянии (при растяжении) замечено, что с ростом нагрузки [31], действующей вдоль оси цилиндрической модели, измеряемые деформации стандартного образца демонстрируют реверсивный характер: до некоторого порогового напряжения деформации имеют обычный растущий вместе с ростом напряжений характер, а затем, при дальнейшем увеличении напряжений, деформации начинают уменьшаться. По-видимому, впервые аномальный характер деформирования образцов горных пород при нагрузках, близких к разрушающим, был установлен в 1972 году при исследовании предвестников землетрясений [67]. Деформационные предвестники землетрясений исследовались в последующих работах [32], [48], [64] Института Физики Земли АН при испытании призматических и специально изготовленных образцов, а также на больших образцах и бетонных моделях [63]. В диссертационной работе применена построенная модель самоуравновешенных напряжений для решения задачи об аномальном поведении образцов горных пород в предразрушающем состоянии.
Приведем краткое содержание работы, состоящей из трех глав.
Первый параграф первой главы диссертационной работы носит вспомогательный характер. В нем показано, как основные соотношения классической теории упругости можно получить в рамках вариационного подхода, если определенным образом выбрать функционал
и приравнять его вариацию нулю. Для модели упругого тела в отсутствии внешних сил соответствующий функционал / имеет вид:
/ =
p0U - p0T(s - s0)
ГДЄ U - ПЛОТНОСТЬ Внутренней ЭНерГИИ упруГОЙ СреДЫ, (S — S()) -
отклонение энтропии от некоторого фиксированного значения So, Т -абсолютная температура.
В этом же параграфе дается определение самоуравновешенного поля напряжения. Поле напряжений Оц в теле называется самоуравновешенным, если результирующие силаХ,; и момент М^, действующие на произвольный объём Ю внутри тела, равны нулю. Доказано, что решение [45]
л- _ О/т Йг с- $т# (-\\
где Єірд- символ Леви-Чивита, а ГдШ;їГ- некий набор гладких функций, постоянные О"о и I имеют размерность напряжения и длины, соответственно, является самоуравновешенным полем напряжений.
В втором параграфе строится функционал для сплошной среды с учетом самоуравновешенных полей. Для этой цели используется полевой подход [14], [26], [33]. Согласно этому подходу полная плотность внутренней энергии U сплошной среды представляется в виде:
где XJ\ - удельная плотность внутренней энергии упругого ПОЛЯ, ІІ2 учитывает дополнительную энергию среды, которая учитывает самоуравновешенные напряжения, U\2 характеризует взаимодействие упругих и самоуравновешенных полей. В качестве полевых переменных рассматриваются термодинамические параметры. Внутренняя
энергия U\ упругой среды полагается квадратичной функцией тензора малых деформаций Ец и энтропии S, внутренняя энергия самоуравновешенных напряжений JJi - квадратичной функцией энтропии и дополнительных переменных hij} а функция U~i2 - квадратичной от переменных 6ij и Нц. В диссертационной работе рассмотрен частный случай, когда полевые переменные Ъ,ц параметризуются одной функцией д и с точностью до нормирующего множителя представляются выражениями:
** = ^-аЙг (2)
Формула (2) - частный случай (1) при условии согласования коэффициентов связности Тдт^р и внутренней метрики среды дц, а также дополнительном предположении изотропии Qij = g6ij. В третьем параграфе вычисляется вариация построенного функционала. При этом варьированию подвергаются компоненты вектора перемещений и\ определяющего тензор малых упругих деформаций Ец^ и функция д (2). Из условий стационарности функционала получены уравнения и граничные условия для рассматриваемой модели сплошной среды. Показано, что поле напряжений Sy равно сумме упругого 7Гу и само-уравновешеиного Нц (2) полей:
В отсутствие внешней нагрузки Е^ удовлетворяют уравнениям равновесия и нулевым условиям на границе:
-О, Е^ = 0. (3)
дх-1
Тем самым, методами механики сплошных сред доказано утверждение работы [45] о структуре поля напряжений в среде с само уравновешенными напряжениями.
В четвертом параграфе обсуждается связь самоуравновешенных напряжений с энтропией. Одно из положений этого обсуждения опирается на то, что самоуравновешенные напряжения связаны с дефектами в материале. Наличие дефектов в материале меняет кинематическую структуру поля смещений: в отличие от классической модели упругой сплошной среды, соответствие между начальным и конечным состоянием перестает быть взаимнооднозначным. Это означает, что условия совместности Сен-Венана для напряжений не выполняются. Поскольку характеристикой дефектов является энтропия, то несовместность поля напряжений определяется распределением энтропии в материале.
В пятом параграфе показано, что если энтропия является неоднородной функцией пространственных координат, то компоненты упругого поля напряжений не удовлетворяют условиям совместности Сен-Венана.
В шестом параграфе получено уравнение для функции д, которая определяет самоуравновешенные поля (2).
Во второй главе диссертационной работы построены аналитические решения однородных уравнений механики деформируемого твердого тела при отсутствии внешних нагрузок.
В первом параграфе приведено решение, построенное С.К. Годуновым [12], и доказано, что компоненты тензора напряжений обладают свойством самоуравновешенности.
В том же параграфе приведено решение СП. Киселёва [34] для несимметричных самоуравновешенных полей напряжений. Необходимо отметить, что в обоих решениях самоуравновешеиные поля удовлетворяют краевым условиям (3). Это означает, что нет необходимости вводить упругое поле TTij, компенсирующее поверхностную составляющую самоуравиовешенного поля напряжений.
Во втором параграфе в цилиндрической системе координат построены самоуравновешенные компоненты напряжения (7.^-, удовлетворяющие однородным уравнениям равновесия механики сплошных сред и однородным граничным условиям. Они представлены в виде:
Маг)
0W - Маг)cos 4>і гт ~ cos >,
Mar) n
аг .
где Jo(ar), J\\Qir) - функции Бесселя нулевого и первого порядков, коэффициент а является ненулевым корнем уравнения J\{aK) — О, R - радиус цилиндра.
В третьем параграфе на основе подхода, развитого в первой главе, построены решения уравнений равновесия в полярной системе координат. Компоненты полных напряжений S,;?- равны сумме компонент упругого и самоуравновешенного полей напряжения:
2 „. - ЛрП~2 COS Пф + -J [pJ'n(p)~n2Jn{p)] COSTVf,
2
%w = -Ар"~2 COSnif 2 [РАПІРІ + (Р2 " nVnW] COS7J
r^ = —Apn~2 sin nt/? + a2n (Jn(p)j p)' sin n<>,
где a - один из ненулевых корней уравнения Jn+i{aR) — О, R -радиус круга, параметр Л = п(п - 1) Jn(aR) / (ап~2 Rn).
В третьей главе решена задача описания аномального поведения образцов горных пород на основе подходов, развитых при исследовании самоуравновешенных полей.
В первом параграфе приводится описание эксперимента по сжатию образов гранодиорита цилиндрической формы по стандартной методике с фиксированием деформаций тензорезисторам и и использованием необходимой регистрирующей аппаратуры.
Во втором параграфе обсуждается математическая постановка задачи для описания результатов эксперимента.
Цилиндрический образец горной породы радиуса R, высотой 2/г сжимается осевым давлением Р. Боковая поверхность этого цилиндра свободна от усилий. В рассматриваемой задаче компоненты напряжения Оц удовлетворяют однородным уравнениям равновесия:
Краевые условия имеют вид:
&zz\z=±h — ~Р, ffrz\z=±h ~ &z
Grr\r=R — &гх\г=В. = ^Ttp\r=R — 0-Классическое решение задачи хорошо известно [2] и имеет вид:
р т-^ р Р р р р г\ f Л\
zz ~~~ ~~* і <р'р тт пр rz
p p
рє _ _^_ ре ___ е __ е _ е __ е. __ Л
czz трі (pip rr Ції ^rip crz
где E - модуль Юнга, V ~ коэффициент Пуассона.
Анализ экспериментальных данных показывает, что при Р > Р*. где Р* - критическое давление, компоненты деформации zz, Є\р^ на боковой поверхности образца зависят от угловой переменной if. Но правая часть (4) постоянна, и другого упругого решения по теореме единственности [56] не существует. Тогда инженерная постановка, задачи моделирования поведения горных образцов в предразрушаго-щей области может быть сформулирована следующим образом: восстановление структуры поля Пу внутри образца, используя данные о величине продольных Ezz и поперечных Ерр деформаций на его поверхности. Сразу видим, что математическая формулировка этой
задачи в классической форме требует корректировки, поскольку при выполнении уравнений равновесия и краевых условий, не зависящих от угловой переменной, нельзя построить (в силу теоремы единственности) ПерИОДИЧеСКОГО решеїІИЯ ДЛЯ Iljj.
Общая идея её решения может быть сформулирована на основе подхода, предложенного в первой главе диссертации. С точки зрения физики [33], [49], |55J состояние предразрушения характеризуется наличием дефектов различных типов в образце. Они создают дополнительное поле напряжений Т^, меняющее деформированное состояние материала. Это проявляется, например, в том. что при Р большем P:t измеряемые на поверхности образца деформации зависят от угла <р, тогда как в отсутствии дефектов при Р меньше Р% такой зависимости от угла нет. Поскольку образец находится в равновесии, то силы, определяемые полем Тц, должны быть скомпенсированы. В качестве компенсирующего поля естественным кандидатом является Т\ц. При этом полное поле напряжений S„' внутри образца равно Еу = Пу + Tij, а компоненты напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия (3). Однако в условиях проведенных измерений эволюция поля T{j не рассматривалась. Таким образом, при построении поля упругих напряжений Пу остаётся параметрический произвол, определяемый полем самоуравновешенных напряжений Тц. На боковой поверхности образца измеряются деформации, которые определяют напряжения в дискретном наборе точек. Поэтому возможная постановка задачи состоит в построении такого упругого поля П,;,, чтобы соответствующие ему деформации Ец совпадали с измеренными значениями на границе в дискретном наборе точек.
В третьем параграфе приближенное решение задачи строится в форме:
где 7Гу - это ограниченный конечным числом членов отрезок ряда Фурье по переменной {р.
В четвертом параграфе вычислены феноменологические параметры модели на основе экспериментальных данных и проведен анализ полученных результатов.
Функционал внутренней энергии с учетом самоуравновешенных полей напряжения
По аналогии с классической теорией упругости строим функционал энергии I = dV Poll - p0T{s - s0) (1.30) V
При построении новых моделей сплошных сред в рамках вариационного подхода [4] постулируется, что остается неизменным вариационное уравнение 51 — 0. В конкретизации нуждается внутренняя энергия сплошной среды. При ее построении будем следовать подходу, развитому в теории поля [37]. Термодинамические параметры принимаются в качестве полевых переменных, в частности, для модели упругой среды ими являются энтропия S и тензор упругих деформаций Eij. Поскольку мы поставили задачу описания внутренней энергии сплошной среды с учетом самоуравиовешеииых напряжений Нц, то их следует рассматривать в качестве дополнительных полевых переменных.
Для простоты анализа рассмотрим случай, когда самоуравнове-шеиные напряжения полностью определяются внутренней метрикой многообразия дц [45] Ц 0[)1 ipqSjmn ут dxndxq (1.31) Пусть тензор Qij изотропен: 9ij=95ij. (1-32) Из (2.3) самоуравновешенные напряжения (1.31) будут иметь вид: « = {№-шЬ) д=а&- (L33)
В дальнейшем будем предполагать, что в объёме V существуют, наряду с упругими Иц, самоуравновешенные напряжения Нц (2). Формулы (2) и (1.33) совпадают с точностью до нормирующего множителя 2(TQI , поэтому напряжения (1.33) в дальнейшем использоваться не будут. Согласно нолевому подходу [37] полная внутренняя энергия U сплошной среды равна Функция U\ определяется (1.4) и соответствует внутренней энергии упругого поля, U2 учитывает дополнительную энергию среды, определяемую наличием в ней самоуравновешенных напряжений, a U\2 характеризует взаимодействие поля упругих напряжений с самоуравновешенными. Функции U2, U\2 запишем в виде квадратичных форм по переменным Ец. hij и величины [S — SQ): p0U2 = -тг2(5 - sQ)hkk + w{hhkf + hijhij, (1-34) PoUn = viEkkhi + V2%jhij, (1-35) где 7 A2, /І2; 1, Vlr дополнительные параметры модели, возникающие из условия квадратичности функций \]% 11]%. Складывая (1.4), (1.34), (1.35) получим: wpo, PQU = PQTQ(S - So) + —(s - So) + Л (1.36) 2,2 + -y jfe + Mij j (s - sQ)hkk+ + ViEkkhi + vzSijhij. Из уравнения (1.36) с учетом (1.7) вычислим температуру Т" РОТ = PO-np- = i0 0 - 7Tljfcfc - 7T2/ljfcjfc + № (в S0). (1-37) Исключая абсолютную температуру Т, преобразуем подынтегральное выражение в /: Ро U - T(s - S0) Р0/_ ч2 , Л 2 2 (s-5o) + 2fcft + № + Л 2L2 Отсюда получаем выражение для функционала /: = dV Ai Л skk + 1 + г( кк) + p 2hijh ij+ U "У V + ЩЄккІНі + 2 w o (s - 50У (1.38) Дополнительно предполагаем, что сплошная среда находится в состоянии термического равновесия, т.е. температура Т = Т$. Тогда из (1.37) следует соотношение, связывающее инварианты Єкк, hkk и функцию (s So): Роф - S0) = ВД + Т Ы: (1.39) Подставив [S — SQ) ИЗ (1.39) в (1.38), преобразуем функционал / к вицу: / = Ь + h + I dV Лі + V + v dK ЇГ( АА) + Vofaijhij + (1.40) + сД/ Nitkkhii + Sjjhij у в котором новые параметры Aj, Л2, iVi определяются согласно формулам ТТп 1І 7Гі7Г2 (1.41) Лі = Лі - --Ц Л2 - Л2 - -Ц JVi = wp0 шро Заметим, если проварьировать каждый из функционалов Д, /21 - 3 с учетом (1.8), то получившиеся выражения аналогичны вариации (1.21) классической теории упругости, в которой коэффициенты Л, jl заменяются на Лі, }Х\ в I\.t в /2 - на Л2, \і% в 1% - на iVj, 7/2.
Вариация функционала (1.40) вычисляется при варьировании компоненты вектора перемещения и1, определяющего тензор упругих деформаций (1.3), и варьировании внутренней метрики Нц. определяемой по (2). Вариация (1.40) равна сумме вариаций каждого слагаемого. Вариация первого интеграла в (1.40) с точностью до числовых коэф фициентов совпадает с (1.21) и равна:
Преобразуем каждое из четырех слагаемых с учетом (1.10) в интеграле (1.48) так, чтобы можно было применить формулу (1-11). hkkSejj = hkk— - —(SvJhkk) - 5uJ-fa]- (L49) Преобразование второго слагаемого в (1.48) учитывает (1.44): „ д25д Ekk5h» = &МШ " = 2А(еЛ_2 = (1-50) d&Vkkdafl) to to? V ; = 2— (є 36g 5 дЄкк) 25 д2кк to V дхі to? І to? to? Третье и четвертое слагаемые в (1.48) преобразуются с учетом (2): , г , д6иг д , ,- , {дКц Меч = h3j- = -Q-(5U hij) - Su - -, (1.5 i2 dz5g дЧд 4- b too" toto" d f 85g d5g\ to? ьАеккЪх з гз д Г dejjdSg дєккдбд dxJ to to to? / д2єкк д% g\dxJdxi toto. д ( dbg d5g (1.52) to? V " to y 9.тг Упругое поле напряжений удовлетворяет условиям совместности Сен-Венана (см. [2]), и следствием этих условий является тождество: д\ = 0. дхідхі дхгдхг дхгдхі В последнем выражении индекс І ф j. Из (1.49)-(1.53) и (1.11) запишем выражение для 51%: д\ и ч д2Е, dxWxi дхгдхі д2є. її dh + n У — (1.53) 5h = dV д Ь7—- (NiSijhkk 4- 2 ) + v + 2N15gAekk + + dSrij дхі № + )[ $;-Sg )- (1.54) ev ( d5g дєіз дх1 дх Hj + 5иг( NiSijhkk+ v2h Для получения системы уравнений равновесия и краевых условий, необходимо просуммировать вариации оД, оД» о/з и приравнять эту сумму нулю.
Связь самоуравновешенных полей напряжений с энтропией
В классической механике одним из основных понятий является понятие точки, положение которой в фазовом пространстве характеризуется радиус- вектором и скоростью. Сплошная среда. - система с большим числом частиц, для которой проявляются новые закономерности поведения, отличающиеся от поведения одной точки. На макроскопическом уровне моделирование таких систем обычно связано с введением сокращенного числа параметров: мы теряем информацию о детальном поведении частиц системы, вводя энтропию 5 в качестве дополнительного параметра описания.
Согласно вариационному принципу Гиббса [4] для изолированной системы в состоянии термодинамического равновесия внутренняя энергия достигает минимума при заданном уровне энтропии. В соответствии со вторым законом термодинамики в изолированной системе энтропия не убывает.
Пусть мы рассматриваем идеальный кристалл в состоянии равновесия. С точки зрения физики, идеальный кристалл - это решетка, в узлах которой находятся атомы; решетка обладает определенной группой симметрии, при этом дефекты в идеальном кристалле отсутствуют. В изолированной системе формирование дефектов возможно при потере атомами состояния неустойчивого равновесия, например, в результате флуктуации. Такой переход изменяет конфигурацию кристаллической решётки, вызывая её перестройку и формирование более устойчивого состояния равновесия. Новое состояние характеризуется большим значением энтропии, поскольку она не убывает в изолированной системе. Выше было указано, что дефекты определяют величину остаточных напряжений, тогда характеристикой этих напряжений,
естественно, рассматривать энтропию образца. Заметим, что в сплошной среде при выполнении условий термодинамического равновесия прирост энтропии имеет внутреннюю природу и полностью определяется конфигурационными эффектами в материале.
С другой стороны, наличие дефектов в материале меняет кинематическую структуру поля смещений: в отличие от классической модели упругой сплошной среды, соответствие между начальным и конечным состоянием перестает быть взаимнооднозначным. Это означает, что условия совместности Сен-Венана для напряжений не выполняются. Поскольку характеристикой дефектов является энтропия, то несовместность поля напряжений определяется распределением энтропии в материале.
Резюмируем все сказанное выше: естественная идея связать поле самоуравновешенных напряжений с термодинамическими параметрами состоит в том, чтобы вычислить эти напряжения через распределение энтропии в среде.
Самоуравновешенные поля напряжений при неоднородном распределении энтропии
В классической теории упругости предполагается, что энтропия постоянна S = So, а также должны выполняться геометрические условия совместности Сен-Венана [2]. Тогда хорошо известно [2], что первый инвариант о тензора напряжений является гармонической функцией Да-0, (т = -акк. (1.73) Компоненты тензора напряжения удовлетворяют системе уравнений Бельтрами-Митчелла [47] ЗА + 2Д , 3(А + / ) av которые являются следствием уравнений равновесия (1.1), закона Гука (1.2) и условий совместности Сеи-Венана [2].
В соответствии с 1.4 «обратим внимание» на энтропию, так как в предыдущем параграфе с физической точки зрения установлено, что самоуравновешенные напряжения и энтропия связаны. Однако соотношения, с помощью которого самоуравновешенное поле напряжений выражается через термодинамическую переменную S, не приведено. Не проверен факт, удовлетворяют или нет самоура,вновешеиные напряжения условиям совместности Сеі-ьВеиана. Уравнение этой связи приведем в следующем параграфе, а в этом - проверим указанный выше факт.
Пусть энтропия является неоднородной функцией относительно пространственных переменных. Однако, по-прежнему предполагаем выполнение условия совместности для компонент деформаций в виде д% + d2ejk _ д2єік _ d2Sjj = 0 (1 75, дх дхк дхідх дх-ідхі дх1дхь Выразим компоненты тензора деформаций Ец из (1.16)
Самоуравновешенное поле напряжений в цилиндрической системе координат
Пример ненулевого решения системы уравнений (1.1) в декартовой системе координат #1,3 3 для единичного куба приведен в [12] и имеет следующий вид (Гц COST i COS 7ГЖ2 + COS 71 022 = C0S7Ta:i COS7TX2 + C0S7nCb 7"12 = (721 Sill 7ГХі Sill 7ГЖ2, C"33 — 0"13 = 31 — "23 — 32 = 0. Покажем, что данное поле напряжений является самоуравновешенным.
Доказательство этого предположения основано на том, что, если поле напряжении является самоуравновешенным, то оно выражается через функцию д, которая определяется (2), в виде уравнений: д2д ffll = Т 9 = cos пх1 cos 9 + cos пх2 I д2д дх{ д2д 2 wuno/iwu/i 1 wun i, СГ12 = —7:—?г = sm7ra:1sm7rx2. гаї 0 2 cos7rxicos7r.T2 + cos7ra;i, (2.2) Интегрируя первое и второе уравнения по соответствующей координате, для функции полунаем выражения: д = —Л cos 70:-1003 7 2 +cos 7гж2) + x2fi{xi) + /2( 1), Ті1 д — —г (cos7Ti cos 7 2 + cos7r i) + Ximi{x2) + 7712( 2) 7Г2 Из равенства этих соотношений следует fi{xi) = mi(.x2) = 0, f2{xi) = —rcos7rrcb 7Г2 TO2(z2) = rCOS7r 2. 7Г2 Тогда функция д равна: д = —r(cos7ra:i COSTT.T2 + COS7TX2 + COSTT I) . (2.3) 7Г
Покажем, что упругий потенциал, соответствующий решению (2.1), не является строго выпуклым. Действительно, пусть (Гц определяются через тензор деформаций Ец в соответствии с формулами Мурнагаиа (1.13). Введем тензор деформаций Ец и упругий потенциал W в виде: 13 2\дх3 дхг) д2д д2д д2д ОХ{ 0X2 0X10X2 1 1 W = -(ЄИ + Є22? - - (є2п + Є222 + 2Є?2) = Єі1Є22 е\2- (2.4) і / х dg Здесь 0 = —r(cos7riCOS7r:E2+cos7ra;i+cos7ra;2), о-Щ = «—. 7Г OXi компоненты вектора перемещений. При этом упругий потенциал W не является строго выпуклой функцией компонент деформаций так как матрица вторых производных этой функции (2.4) d W \ (01 \ dfsr) = \ 10 (25) ч и/ \ о 0 -0.5 / не является строго положительной, потому не выполняется критерий Гурвица [35]. Докажем, что для компонент напряжения не выполняются условия совместности Сен-Венана. Достаточно проверить (1.73) Д( 7ц + сг22) = = A(2cOS7rXiCOS7rX2 + С08 7ГЗ;2 + С08 7Га;і) = (2.6) = —7Г (4 COS 7ГЗ;і COS 7Г2 + COS 7ГЖ2 + COS 7TX\j . Из (2.6) следует, что условия совместности не удовлетворяются.
Следовательно, доказано, что построенное С.К. Годуновым решение однородных уравнений равновесия, удовлетворяющее нулевым граничным условиям, является самоуравновешенным полем с невыпуклым потенциалом тензора напряжений. Для этого же поля напряжений не выполняются условия совместности Сен-Венана.
В работе [34] приведены примеры самоуравновешенных полей, описывающие распределение напряжений в единичном кубе декартовой системы координат. Компоненты этих напряжений несимметричны и имеют вид: (Гц = Am7rcosm7rrc2(cosn7rxi + 1), (Т22 = Amr COS ШГГЕї (cos 7П7га;2 + 1), 712 — Аш 8штжх28тшхі, (2.7) (721 — Ат7Г Sill т7ПС2 Sill П7ПСі, п = 2к + 17 т = 21 + 1. Проверим, что выполняются уравнения равновесия и граничные условия при отсутствии внешних сил. дап д т\г _ дх\ дх2 — Апттт (cos 7П7І-Х2 sin ШХ\ — — cosm7nE2sinrwnci) = О, (2.8) дап дам + 6 і дх2 = АпГПП ( COS П7ГХ2 sin ЇТИГЖ1 — - cosn7ra;2sm77i7rxi) = 0. Уравнения равновесия удовлетворяются. Проверим граничные условия: 0"11 (J\2 021 0"22 (2.9) _±] - /m7rcos(m7r 2)[cos(±rwr) +1] = 0, Атг зт(ттгж2) sm(±mr) = 0, — Am7rsin(dbm7r)sin(n7rrEi) = 0, _±1 Лп7гсо8(птгя;і)[со8(±т7г) + 1] = 0. Условия на границе нулевые, что и требовалось доказать.
Самоуравновешенность приведенных компонент напряжения докажем из (1.27), в которых ведется интегрирование по произвольной поверхности ди. В выражениях (2.9) компоненты напряжений не зависят от координаты Жз, поэтому интегрирование по поверхности сведется к интегрированию вдоль кривой, ограничивающую плоскую область 0J. В качестве произвольной области UJ. возьмем прямоугольник со 1 1 сторонами KLT i и тггт вдоль осей Х\ и Х2 соответственно, принадлежащий квадрату со стороной единица. Координаты вершин этого прямоугольника на плоскости будут г т „s__ s \ („т+1_ г + 1 s ,Xl 2k + v 2 2і + і) г1 "аь + і а + і. - т +i_s +l Xi —_ _, -)2 — ) x2 2/ + 1 X r+l_ r + 1 2кТЇ s+l_ 5 + 1 \ I _r_ „Я+1 21 + 1) Vі 2k + l Первое условие (1.27) имеет вид: dSiijU3 — d#i СІХ dxi dxr, (2.10) 3w где под знаком всех четырех интегралов стоит одно выражение: 1 У\\П +(7і2?г . Учтем значения компонент вектора нормали для каждого из интегралов в (2.10): (0, —1); (1,0); (0,1); и (—1,0). Тогда (2.10) можно продолжить (Tudxi (7Udx2 + ai2dx[ crndx2 = Q. (2.11) Все интегралы будут равны нулю, так как каждый равен произведению, один из сомножителей которого совпадает с 5ІЩ7ШХ\ либо sin(тшгжг). Пределами интегрирования в (2.11) будут либо Х у х\ ), либо (ж, Ж2 ) и выполняются очевидные равенства: „г+1 s+l smirwnrj) — sin(n7rs ) = sii mTra ) = sin(m7rx2 -0. 9 Анапогинно вычисляется интеграл от (721 fl + 22 .Следовательно, первое соотношение в (1.27) выполняется.
Второе условие в (1.27) проверяется только для І ф jt для остальных значений индексов это условие тождественно равно нулю
Поле упругих напряжений в образце
Во введении определяются давление Р и критическое давление Р . Пусть осевое давление Р меньше Р тогда компоненты тензоров напряжений Оц и деформаций Єц не зависящие от угловой переменной /?, удовлетворяют уравнениям равновесия (3.2), краевым условиям (3.1) и закону Гука (З.З).Во введении также определяются компоненты ofj, sfj, которые записываются в виде (4).
Поскольку деформация является однородной, то параметры v.s Е можно найти из экспериментальных наблюдений за поведением величин Ez2, Єщ на боковой поверхности образца-Соотношения (4) введения определяют классическое решение о деформировании образца под действием нагрузки Р. Однако при Р, превышающем Р , этими соотношениями нельзя воспользоваться для описания результатов наблюдений. Это следует, в частности, из того, что величины cZZ)Emm на боковой границе образца должны зави-сеть от угловой переменной, тогда как справа в (4) стоит постоянная величина. Это означает, что при моделировании поведения образца в предразрушающей области необходимо строить решение системы уравнений (3.2) для поля напряжений Оц, зависящее от угловой переменной. Однако хорошо известно [56], что если компоненты Оц и ij связаны законом Гука (3.3), а компоненты деформации Ец определены через компоненты вектора перемещения щ по формулам (1.3), то справедлива теорема единственности. Таким образом, для краевых условий (3.1) в рамках линейных соотношений (3.3) нельзя построить решения, отличного от классического.
С другой стороны, анализ результатов экспериментов показывает, что в области аномального поведения горных образцов поверхностные деформации, отсчитываемые от уровня, соответствующего нагрузке Р — Р (в дальнейшем эти деформации обозначим Ец). совпадают по порядку величины с деформациями Ец в области Р меньше Р . Это позволяет предположить, что напряжения rijj, соответствующие деформациям Eij, можно связать с Ец линейными соотношениями, аналогичными по своей алгебраической структуре закону Гука (3.3). В этой ситуации инженерная постановка задачи моделирования поведения горных образцов в предразрушающей области может быть сформулирована следующим образом: восстановление структуры поля Tlij внутри образца, используя данные о величине продольных Ezz и поперечных Ефф деформаций на его поверхности. Отсюда следует, что математическая формулировка этой задачи в классической форме требует корректировки, поскольку при выполнении уравнений равновесия (3.2) и краевых условий (3.1). не зависящих от угловой переменной, нельзя построить (в силу теоремы единственности) периодически о решения для Пу. Таким образом, существует проблема математической постановки задачи для определения поля Т\ц. Идея решения этой постановки может быть сформулирована на основе следующего подхода. Во введении указывалось, что состояние предразрушения в образце характеризуется наличием различных дефектов. Они создают такое дополнительное поле напряжений Х -, которое меняет деформированное состояние материала. Проявляется это в том, что при Р большем Р измеряемые на поверхности образца деформации зависят от угла (/?, а если дефекты отсутствуют при Р меньше Р%} то такой зависимости от угла нет. Поскольку образец находится в равновесии, то силы, определяемые полем Тц-, должны быть скомпенсированы. Естественным кандидатом в качестве компенсирующего ПОЛЯ ЯВЛЯеТСЯ Пу. При ЭТОМ ПОЛНОе ПОЛЄ Напряжений Ti{j внутри образца равно Sy = Iljj+Ty. Оно удовлетворяет уравнениям равновесия (3.2) и краевым условиям (3.1) в следующей форме: ЯП.. ЯТ-. -faT = F- -Q .=-F Щщ\дУ = Т12п2\ду. (3.4)
Из (3.4) следует, что функциональная зависимость упругого поля в образце от угловой переменной может определяться или объёмными силами F или взаимодействием упругого поля с полем дефектов на границе. При этом структура и распределение полей Тц в материале зависит от типа рассматриваемых дефектов . Но в условиях проведенных измерений эволюция дефектной структуры не рассматривалась, и. следовательно, можно считать, что F\ 0. Из уравнений (3.4), следует = 0, - = 0. (3. дЩ п дТг] о dxj Ох,
Граничные условия к уравнениям (3.5) совпадают с последним соотношением в (3.4): Uij7lj\gv = ij7lj\dV Таким образом, при построении поля упругих напряжений Пу остаётся произвол, определяемый полем самоуравновешенных напряжений Tij. На боковой поверхности образца измеряются деформации, которые определяют напряжения в дискретном наборе точек. Поэтому возможная постановка задачи для уравнения (3.5) состоит в построении такого упругого поля Пу, чтобы соответствующие ему деформации Eij совпадали с измеренными значениями па границе в дискретном наборе точек.
