Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка плоской задачи дифракции для тонких упругих оболочек и акустических сред 18
1.1. Уравнения движения акустической среды. 18
1.2. Основные соотношения теории тонких упругих оболочек 25
1.3. Начальные и граничные условия в задачах нестационарного взаимодействия 35
1.4. Переходные функции в нестационарных задачах дифракции... 37
Глава 2. Теория погранслоя в задачах дифракции 40
2.1. Криволинейная система координат, связанная с поверхностью.. 40
2.2. Определение переходной функции влияния в теории тонкого слоя 42
2.3. Дифракция плоской косой волны на криволинейных поверхностях второго порядка 45
Глава 3. Построение конечно-разностных схем для интегрирования уравнений движения оболочки 53
3.1. Конечно-разностная аппроксимация дифференциальной задачи 56
3.2. Модельные задачи для круговой цилиндрической оболочки при действии подвижной нагрузки 63
Глава 4. Плоские нестационарные задачи дифракции акустических волн на упругих криволинейных оболочках 74
4.1. Взаимодействие плоской косой акустической волны давления с упругими оболочками 74
4.2. Дифракция плоской косой волны давления на параболическом цилиндре 77
4.3. Гиперболический цилиндр под действием акустической волны давления 87
4.4. Параметрический анализ решения задачи дифракции плоской косой волны давления на параболическом цилиндре 96
Заключение 102
Список использованных источников 103
- Начальные и граничные условия в задачах нестационарного взаимодействия
- Дифракция плоской косой волны на криволинейных поверхностях второго порядка
- Модельные задачи для круговой цилиндрической оболочки при действии подвижной нагрузки
- Параметрический анализ решения задачи дифракции плоской косой волны давления на параболическом цилиндре
Введение к работе
Рассматриваются задачи гидроупругости для слабых ударных (акустических) волн давления, распространяющихся в идеальной (невязкой и нетеплопроводной) сжимаемой жидкости. В этом случае движение среды описывается одним волновым уравнением акустического приближения. Общие закономерности распространения ударных волн в свободной жидкости, а также вопросы, связанные с установлением пределов применимости акустической теории при решении задач дифракции и излучения, изложены в [1,2].
Теория взаимодействия ударных волн с различными погруженными в жидкость объектами (твердые тела, пластины, оболочки) интенсивно начала развиваться в начале 50-х гт. (см. библиографию в [Г, 4, 6]).
К настоящему времени в этой области получено достаточно много результатов, но они относятся в основном к идеализированным объектам. Это связано с тем, что задачи взаимодействия нестационарных волн давления с деформируемыми телами относятся к числу одних их наиболее сложных задач механики. Быстрое изменение параметров процесса во времени, наличие волновых фронтов, перемещающихся во времени, и навигационных явлений, возникновение пластических зон в материале преграды, а также отраженных и излученных волн - все это существенно затрудняет исследование и вынуждает прибегать к ряду упрощающих предположений и гипотез. Значительные трудности возникают при дифракции ударных волн на сложных составных оболочечных конструкциях, состоящих из однослойных или многослойных оболочек вращения различной формы (или системы оболочек), подкрепленных продольно-поперечным силовым набором и связанных с жесткими массами. Обычно форма таких конструкций содержит геометрические особенности (типа вершины, ребра, линии пересечения поверхностей и т.д.), которые вносят дополнительное возмущение в дифракционном поле.
Основные достижения, полученные в области взаимодействия ударных волн с преградами, погруженными в жидкость, отмечены в работах [4, 7, 8].
Так как теория акустического приближения применима на достаточно больших расстояниях от центра взрыва, то во многих случаях кривизну поверхности волнового фронта можно не учитывать (т.е. волну будем считать плоской). Для определенности рассмотрим взаимодействие замкнутой упругой тонкостенной оболочки вращения общего вида, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью и погруженной в акустическую среду, с плоской волной давления. Возмущенное движение жидкости внутри и вне оболочки считается потенциальным и подчиняется соответствующим волновым уравнениям. Пусть движение оболочки описывается линейными уравнениями теории упругих тонких оболочек в перемещениях. Тогда контактная задача гидроупругости сведется к решению следующей системы уравнений:
ZVrPo^-tAMr^l^ 0'= 1,2,3),
J"' (В Л)
Дф*= zrf, Чк=-Рк^г (к-1,2).
ск or ct
Здесь ы(. - перемещения срединной поверхности оболочки; перемещение ui направлено в сторону внешней нормали;. І.- известные дифференциальные операторы на поверхности;р0, h- плотность и толщина оболочки; рх- давление в падающей волне; qx- гидродинамическое давление отраженных и излученных волн во внешнюю среду; q2- давление на поверхности оболочки, обусловленное излучением во внутреннюю область; <р,- потенциальная функция дополнительных скоростей, вызванных возмущенным движением внешней жидкости; <р2- потенциал скоростей для внутренней жидкости; Д-оператор Лапласа в пространстве, занятом жидкостью; ск, р4 - скорость звука и плотность для внешней и внутренней жидкостей; t- время; 5(>- символ
Кронекера.
Из условия совместного движения оболочки и прилегающих к ней частиц среды получим условия непроницаемости оболочки:
Ct СП СП Ct СП
где лу, - потенциал скорости падающей на оболочку волны (р{ =-plB\[fJdt), п- внешняя нормаль.
Для определения потенциалов <рк необходимо, чтобы потенциальная функция ф, удовлетворяла условию на бесконечности (обычно принимают
К дифференциальным уравнениям (В.1) в общем случае необходимо присоединить граничные условия, зависящие от формы оболочки и ее закрепления в пространстве,
№(щ,и2>щ) = 0 (^1,2,...). (В.З)
Здесь N" - некоторые дифференциальные операторы на граничных линиях
срединной поверхности. Вид этих операторов и их число определяется в каждом конкретном случае формой оболочки и характером ее закрепления.
За начальный момент времени / = 0 принимается момент соприкосновения оболочки и падающей волны. При этом
Ъ =^ = 4- = ^ = 0, (1-1,2,3; к = 1,2). (В.4)
ct ct
Таким образом, поставленная, задача сводится к совместному решению системы (В.1) при указанных выше граничных и начальных условиях. Эта задача очень сложна. Основная трудность заключается в определении гидродинамических сил: гипотеза о несжимаемости жидкости [2], гипотеза плоского отражения (излучения), гипотеза цилиндрического (сферического и сфероидального) отражения (см. библиографию в [I, 4]).
В силу линейности внешней гидродинамической задачи давление qx
можно представить, как алгебраическую сумму давлений р2+Рз> где р2 -давление в волне, отраженной от жесткой и неподвижной оболочки (давле-
ниє в отраженной и дифрагированной волнах), ръ- давление излученных волн. В этом случае потенциал (pt = vj/2 + \\/3, причем потенциал \у2 - соответствует давленторг, a i]/3 - давлению/.
Неизвестные потенциалы л|/2, у3 и ф2 можно выразить через так называемые переходные функции [1].
Обзор методов решения системы уравнений (В. 1) дан в [4]. Отметим одно обстоятельство, которое обычно подразумевается при исследовании задач нестационарной гидроупругости. Уравнения движения жидкости обычно рассматриваются в эйлеровых координатах и граничные условия задаются на поверхности, которая считается неподвижной (в действительности эта поверхность может смещаться и деформироваться). Это несоответствие, вызванное тем, что граничные условия сносятся на неподвижную поверхность, в задачах линейной гидроупругости несущественно, так как истинное смещение границ мало по сравнению с характерными геометрическими размерами объекта. В случае нелинейного взаимодействия ударных волн с тонкостенными конструкциями, когда проявляются (вместе или отдельно) нелинейные свойства (геометрические или физические) взаимодействующих сред, вопросы корректной постановки граничных условий на поверхности контакта приобретают особую важность.
Различные подходы (с использованием лагранжевых, смешанных и деформируемых координат) к излучению больших смещений деформируемых тел в идеальной жидкости, а также варианты записи кинематических и динамических условий на поверхности контакта приводятся в [11].
В ряде случаев при взаимодействии ударных волн с упругими конструкциями в жидкости могут образовываться разрывы сплошности (кавнтаци-онные каверны), Эти вопросы очень сложны и требуют проведения серьезных экспериментально-теоретических исследований. В приближенной постановке решения некоторых задач гидроупругости с учетом кавитационных явлений при взаимодействии ударных волн с пластинами и оболочками изложены в [12, 14,31,36].
Определение гидродинамических нагрузок на круговые цилиндрические оболочки. В случае бесконечно длинной цилиндрической оболочки, погруженной в идеальную жидкость, задача определения гидродинамических нагрузок (точнее переходных функций) формально не представляет больших математических трудностей. Раскладывая искомые величины по собственным формам и используя преобразование Лапласа по времени, нетрудно получить выражение для потенциала ф, на поверхности оболочки:
ои,„
4-С, ^-
7 аи,.л
Ф, = ^]costt0j
и=0 о
I дП Lx 5т
^(т-т,)Л,,. (В.5)-
где s - параметр преобразования Лапласа по безразмерному временит; R -радиус оболочки; п- номер формы; Kn(s)- модифицированные функции Бесселя второго рода (функции Макдональда);г, 8- полярная система координат.
Несмотря на то, что выражение (В.5) в рамках линейной теории дает точное решение, непосредственное использование его для вычисления давления оказывается весьма затруднительным из-за наличия полюсов и точек ветвления в (В.6).
Некоторые свойства функции FB(i) и ее предельные значения для цилиндра описываются в [1, 13]. Эта функция имеет быстро затухающий осциллирующий вид, причем в начальные моменты времени убывание происходит по экспоненциальному закону. Точное значение функции Fn(z) есть
[13]
e~"dx
1[пКп(х) + хКп_х(х))1 + п2[пГП(х)-х1л„1(х)]'
-S-
2 '
,=[ j(
s; + п
Здесь In(x) и Кп(х) - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно; s{ - комплексно-сопряженные корни уравнения
Наиболее естественный путь упрощения структуры функций F„(x) заключается в использовании асимптотических разложений для функций Мак-дональда при s~>од, а также в замене исходного изображения более простыми функциями с учетом особых точек и предельных соотношений при 5->оо и s->0. Таким образом, можно достаточно просто получить те или иные приближенные соотношения для гидродинамических сил, которые предлагались различными авторами.
Приближенные выражения для переходных функций, которые справедливы на любом этапе взаимодействия цилиндрической оболочки с жидкостью при погружении приводятся в [37, 49].
Определение нагрузок на сферические оболочки. При действии плоской волны давления на замкнутую сферическую оболочку радиуса R переходная функция Fn(x) определяется выражением
л+ 1+J
Ш = —
e"ds , (В.7).
где Kn+][2(s) - функции Макдональдс полуцелого порядка(л = 0,1,2,...).
Как ив случае цилиндрической оболочки, рядом авторов предлагались упрощенные зависимости, справедливые для различных этапов взаимодействия сферической оболочки с жидкостью при погружении (см. [49, 61, 66] и библиографию в [35]).
Излучение звука различными препятствиями. Для определения составляющих суммарного давления ръ и р2 (давление излучения во внутреннюю область) необходимо решить задачу об излучении при произвольном законе движения препятствия. В случае гармонических колебаний задача излучения получила большое развитие, библиография по этому вопросу огромная. Между задачами излучения и дифракции много общего. Эта общность
состоит в том, что как в первом, так и во втором случае, требуется найти решение волнового уравнения при сходных граничных условиях, что осуществляется одними и теми же математическими методами.
Простейшей задачей излучения является движение с заданной скоростью v(/) плоского безграничного экрана. В этом случае решение волнового уравнения для давления в плоской волне имеет вид
Pi (V) = pcv(i-z/c)H0(t-z/c), где z - отстояние точки наблюдения от экрана, t- время отсчитываемое от момента начала движения экрана, с- скорость звука в жидкости, HQ(...)~
функция ХевисаЙда.
При z = 0 эта формула определяет давление излучения на поверхности экрана.
В случае цилиндрических и сферических оболочек наиболее важными формами движения является нулевая и первая.
- Распределение давления среды на цилиндр радиуса R, поверхность которого в начальный момент времени была неподвижна, а затем начинала двигаться по некоторому закону (в окружном и осевом направлениях), рассматривалось рядом авторов (см. библиографию в [35, 49, 71]). Раскладывая перемещения оболочки в ряды Фурье, для переходной функции получаем следующее выражение ({;„- волновое число вдоль оси оболочки):
(и,т = 0,1,2,...).
Различные пути упрощения структуры функции (В.8) отмечены в [35, 49].
Л.В. Фремке (см. библиографию в [35]) в развитии теории тонкого слоя было найдено следующее выражение для переходной функции:
которое справедливо для любых этапов взаимодействия.
Если внутренняя полость оболочки заполнена идеальной жидкостью, то необходимо решать задачу по определению давления р2 (т.е. возникает
нестационарная задача излучения для внутренней области). В случае неустановившегося движения цилиндрической оболочки, содержащей акустическую среду (плоская задача), переходная функция характеризуется зависимостью
2т" .І s?n М R
где In(s) - модифицированные функции Бесселя первого рода, с2 - скорость
звука в жидкости, заполняющей оболочку.
Для вычисления интеграла в (В .9) на практике используют различные приближенные приемы (асимптотические разложения, степенные ряды и т.д.).
Анализ результатов по определению давления излучения для различных оболочек и полостей дан в [35, 49].
Действие ударных волн на бесконечно длинные цилиндрические оболочки. Реакция гладкой цилиндрической оболочки (плоская задача) на плоскую волну давления наиболее подробно изучена на основании метода разложения по собственным формам. Неизвестные функции времени могут быть найдены численно с помощью интегральных преобразований по времени или путвхМ сведения задачи к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода.
Обзор применения численных методов для решения задач дифракции на цилиндрических оболочках представлен в [16, 18, 29, 35].
Из анализа полученных результатов следует, что асимптотические формулы для определения давления применимы для начальных моментов соударения и наиболее эффективны при оценке ускорений и скоростей движения оболочки, которые за этот период времени достигают максимальных значений (в общем случае максимальное значение скорости может оказаться
при больших т).
Метод разделения переменных (перемещения представляются в виде рядов по собственным формам колебаний), по-видимому, целесообразно использовать только при оценке напряженного состояния, так как время развития максимальных напряжений достаточно большое и соизмеримо с периодом обтекания оболочки волной давления, основную роль именно в это время играют низшие формы колебаний (которыми обычно на практике и ограничиваются).
При действии ударной волны число и расположение вмятин сильно зависит от интенсивности давления в волне и от геометрических параметров оболочки. В случае малых давлений деформация оболочки происходит по низшим формам и можно пользоваться результатами безмоментной теории оболочек. При больших перепадах давлений на фронте волны необходимо учитывать моментное состояние оболочки и конечность прогибов, но при этом надо принимать во внимание пределы применимости акустической теории.
Для описания явлений на фронте волны необходимо удерживать большое число форм колебаний, если задача решается методом разделения переменных.
Действие ударных волн на сферические оболочки. Для решения задач дифракции на объектах сферической формы в основном применяются те же методы, что и при решении задач дифракции на преградах цилиндрической формы [29, 35]. При использовании метода разделения переменных, перемещения раскладываются в ряды по полиномам Лежандра.
Для нахождения неизвестных обобщенных координат в разложениях можно воспользоваться интегральными преобразованиями Фурье или Лапласа во времени t у а также численными методами. Различные аспекты этой проблемы обсуждаются в [35, 49].
Для анализа нестационарных процессов в оболочках применяются различные методы интегрирования разрешающих систем уравнений. Выбор наиболее подходящего метода связан с используемыми моделями теории
оболочек и типа внешних нагрузок. Методы решения задач динамического деформирования оболочек можно разделить на аналитические и приближенные.
Аналитические методы интегрирования разработаны для решения линейных задач, для оболочек простой конфигурации и при определенных ограничениях на вид внешней нагрузки. При этом часто используют метод интегральных преобразований и разложении решений в ряд Фурье. Обзор результатов по аналитическим методам содержится в [5, 83].
Вариационные методы (метод Ритца, Бубнова-Галеркина и различные их модификации) относятся к приближенным аналитическим методам. Вариационные методы основаны на приближенном задании перемещений конструкции и в конечном итоге сводят задачу к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория этих методов достаточно хорошо разработана [81]. Однако трудности, возникающие при подборе аппроксимирующих функций для многих типов граничных условий, ограничили область их применения..
Точные и приближенные аналитические методы являются необходимым и очень мощным инструментом решения задач динамического деформирования и потери устойчивости элементов конструкций. Решение нелинейных нестационарных динамических задач этими методами наталкивается на непреодолимые трудности. При этом, особенно при решении прикладных задач, широкое применение получили различные численные методы интегрирования.
Обстоятельные обзоры по численным методам интегрирования приведены в монографиях [24, 74, 94, 95]. Среди существующих в настоящее время численных методов интегрирования систем гиперболических уравнений наиболее распространенными являются метод характеристик, метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) и вариационно-разностные методы (ВРМ).
Метод характеристик является достаточно распространенным методом интегрирования систем гиперболических уравнений. Идеи этого метода достаточно подробно изложены в монографии [95]. Метод характеристик хорошо разработан для решения линейных одномерных задач о переходных волновых процессах в стержнях и цилиндрических оболочках [84]. Так же получили развитие так называемые характеристические конечно-разностные методы, которые сочетают в себе достоинства метода характеристик и универсальность метода конечных разностей. С.К. Годуновым был предложен метод решения нелинейных задач гидрогазодинамики [33], основанный на точном решении задачи о распаде разрыва. Различные аспекты применения метода характеристик можно найти в работах [25, 26, 53, 72, 74, 96, 102]. Основным преимуществом этого метода является возможность детального описания разрывов и особенностей решения. Недостатки метода связаны со сложной логикой расчета особенностей и построения многократных взаимодействий скачков.
Вторым методом решения нелинейных задач динамического деформирования является метод конечных разностей (МКР). С основными идеями МКР можно познакомиться по монографиям [68, 87]. В МКР [34, 74, 94, 98] для приближенного решения начально-краевой задачи вводится конечно-разностная сетка и аппроксимируются соответствующим образом дифференциальные операторы, граничные и начальные условия, что позволяет свести задачу нестационарного деформирования; к системе алгебраических уравнений и найти решение задачи в узлах. Одной из наиболее популярных схем МКР является схема «крест», предложенная впервые в работе [76]. Достоинством схемы «крест» является ее простота и высокая алгоритмичность по сравнению с другими явными схемами сквозного счета. Недостатки схемы «крест» связаны с меньшей точностью в районе фронтов. Впервые явная конечно-разностная схема «крест» была использована Т. Пианом [106] для решения геометрически нелинейных упругопластнческих задач динамического деформирования балок, колец, пластин оболочек вращения при импульсных
воздействиях в рамках модели Кирхгофа-Лява. Развитие этой методики на геометрически и физически нелинейные задачи нестационарного деформирования пластин и оболочек на основе модели Тимошенко выполнено в работах В.Г. Баженова и др. [21, 22].
Модель Тимошенко впервые была применена для получения конечно-разностного решения осесимметричной задачи ударного выпучивания цилиндрических и конических оболочек В.А. Фельдштейном [100]. В более общей постановке ударное выпучивание гладких и составных оболочек вращения рассматривалось в работах [17, 19, 60]. Особенности применения МКР для решения задач указанного класса можно найти в статье обзорного характера [74] и в работах [17, 19, 51, 60].
Широкое применение для решения нестационарных задач линейного деформирования тонких оболочек находит метод конечных элементов [32, 62, 80]. Идея метода заключается в минимизации функционала вариационной задачи, осуществляемой на совокупности финитных функций. Это позволяет в каждой подобласти использовать стандартную последовательность базисных функций и получать решения для задач, отличающихся распределением параметров внутри области, ее геометрией, граничными условиями и т.д.
Также необходимо отметить следующие достоинства МКЭ: возможность приведения к системам алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений с малозаполненными, узколенточными, симметричными и положительно определенными матрицами коэффициентов при неизвестных; независимость вычислений в отдельных элементах; возможность построения улучшенных решений путем увеличения числа параметров, описывающих каждый элемент; гибкость, приспособленность матричного аппарата МКЭ к реализации на ЭВМ.
Промежуточное положение между МКР и МКЭ занимают вариационно-разностные методы (ВРМ). ВРМ сочетают в себе простоту в реализации, присущую МКР, и алгоритмичность конечно-элементного подхода и являются, по существу, простейшим вариантом последнего. При некоторых видах
аппроксимации функционалов МКЭ и ВРМ тождественны [69]. ВРМ, рассматривался в работе В.Г. Баженова, А.Г. Угодчикова, АЛ. Шинкаренко [20] для решения геометрически и физически нелинейных задач динамики оболочек типа Тимошенко с криволинейными контурами и отверстиями, в основе которого лежала дивергентная схема аппроксимации частных производных по пространственным координатам и явная схема интегрирования уравнений движения по времени.
Методы численного решения предполагают дискретизацию определяющей системы уравнений и по временной переменной. Здесь возможны два способа дискретизации: одновременное и последовательное пространственно-временное деление области. При одновременном разделении области определения [87] задача сводится к системе алгебраических уравнений, в которую входят неизвестные на всех временных слоях. Этот способ является трудоемким и практически не используется в расчетах. При последовательной пространственной и временной дискретизации задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, для интегрирования которых применяются как явные, так и неявные разностные схемы. Для решения прикладных задач динамического деформирования тонких оболочек обычно используются явные трехслойные схемы второго порядка точности относительно шага по времени [74]. Эти схемы обладают некоторым преимуществом по сравнению с неявными, так как позволяют обойтись без решения системы линейных уравнений на каждом шаге. Однако эффективность явных схем существенно снижается необходимостью соблюдения условия устойчивости, согласно которому шаг интегрирования по времени должен быть меньше отношения характерного размера ячейки к наибольшей скорости упругих волн в материале. Неявные схемы обычно применяются при интегрировании гладких решений, например, при анализе низкочастотных колебаний упругих конструкций, где требуется проследить историю напряженно-деформированного состояния на протяжении нескольких десятков и более времен прохождения волн напряжений по длине оболочки, так как в линей-
ном случае. Как правило, если доказана безусловная устойчивость разностной схемы, то ограничение на временной шаг определяется из условия точности аппроксимации, а не условие устойчивости. Последнее, как правило, более жесткое.
Данная работа связана с решением новых нестационарных задач дифракции акустических ударных волн на криволинейных преградах [39, 38, 42-44, 58, 59] и цилиндрических упругих оболочках [40, 41, 56, 57] переменной кривизны,
В первой главе приведена математическая постановка плоской задачи дифракции для тонких упругих оболочек, контактирующих с акустической средой.
Вторая глава посвящена определению в аналитическом виде выражения для переходной функции, с использованием которой определяются составляющие суммарного давления, действующего на оболочку.
В третьей главе вводится конечно-разностная аппроксимация исходной начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных,
В четвертой главе рассмотрены плоские нестационарные задачи дифракции акустических волн давления на тонких упругих изотропных оболочках, имеющих форму криволинейного цилиндра.
В заключении приведены основные результаты и выводы.
Начальные и граничные условия в задачах нестационарного взаимодействия
Аналитические методы интегрирования разработаны для решения линейных задач, для оболочек простой конфигурации и при определенных ограничениях на вид внешней нагрузки. При этом часто используют метод интегральных преобразований и разложении решений в ряд Фурье. Обзор результатов по аналитическим методам содержится в [5, 83].
Вариационные методы (метод Ритца, Бубнова-Галеркина и различные их модификации) относятся к приближенным аналитическим методам. Вариационные методы основаны на приближенном задании перемещений конструкции и в конечном итоге сводят задачу к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория этих методов достаточно хорошо разработана [81]. Однако трудности, возникающие при подборе аппроксимирующих функций для многих типов граничных условий, ограничили область их применения..
Точные и приближенные аналитические методы являются необходимым и очень мощным инструментом решения задач динамического деформирования и потери устойчивости элементов конструкций. Решение нелинейных нестационарных динамических задач этими методами наталкивается на непреодолимые трудности. При этом, особенно при решении прикладных задач, широкое применение получили различные численные методы интегрирования.
Обстоятельные обзоры по численным методам интегрирования приведены в монографиях [24, 74, 94, 95]. Среди существующих в настоящее время численных методов интегрирования систем гиперболических уравнений наиболее распространенными являются метод характеристик, метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) и вариационно-разностные методы (ВРМ).
Метод характеристик является достаточно распространенным методом интегрирования систем гиперболических уравнений. Идеи этого метода достаточно подробно изложены в монографии [95]. Метод характеристик хорошо разработан для решения линейных одномерных задач о переходных волновых процессах в стержнях и цилиндрических оболочках [84]. Так же получили развитие так называемые характеристические конечно-разностные методы, которые сочетают в себе достоинства метода характеристик и универсальность метода конечных разностей. С.К. Годуновым был предложен метод решения нелинейных задач гидрогазодинамики [33], основанный на точном решении задачи о распаде разрыва. Различные аспекты применения метода характеристик можно найти в работах [25, 26, 53, 72, 74, 96, 102]. Основным преимуществом этого метода является возможность детального описания разрывов и особенностей решения. Недостатки метода связаны со сложной логикой расчета особенностей и построения многократных взаимодействий скачков.
Вторым методом решения нелинейных задач динамического деформирования является метод конечных разностей (МКР). С основными идеями МКР можно познакомиться по монографиям [68, 87]. В МКР [34, 74, 94, 98] для приближенного решения начально-краевой задачи вводится конечно-разностная сетка и аппроксимируются соответствующим образом дифференциальные операторы, граничные и начальные условия, что позволяет свести задачу нестационарного деформирования; к системе алгебраических уравнений и найти решение задачи в узлах. Одной из наиболее популярных схем МКР является схема «крест», предложенная впервые в работе [76]. Достоинством схемы «крест» является ее простота и высокая алгоритмичность по сравнению с другими явными схемами сквозного счета. Недостатки схемы «крест» связаны с меньшей точностью в районе фронтов. Впервые явная конечно-разностная схема «крест» была использована Т. Пианом [106] для решения геометрически нелинейных упругопластнческих задач динамического деформирования балок, колец, пластин оболочек вращения при импульсных воздействиях в рамках модели Кирхгофа-Лява. Развитие этой методики на геометрически и физически нелинейные задачи нестационарного деформирования пластин и оболочек на основе модели Тимошенко выполнено в работах В.Г. Баженова и др. [21, 22].
Модель Тимошенко впервые была применена для получения конечно-разностного решения осесимметричной задачи ударного выпучивания цилиндрических и конических оболочек В.А. Фельдштейном [100]. В более общей постановке ударное выпучивание гладких и составных оболочек вращения рассматривалось в работах [17, 19, 60]. Особенности применения МКР для решения задач указанного класса можно найти в статье обзорного характера [74] и в работах [17, 19, 51, 60].
Широкое применение для решения нестационарных задач линейного деформирования тонких оболочек находит метод конечных элементов [32, 62, 80]. Идея метода заключается в минимизации функционала вариационной задачи, осуществляемой на совокупности финитных функций. Это позволяет в каждой подобласти использовать стандартную последовательность базисных функций и получать решения для задач, отличающихся распределением параметров внутри области, ее геометрией, граничными условиями и т.д.
Также необходимо отметить следующие достоинства МКЭ: возможность приведения к системам алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений с малозаполненными, узколенточными, симметричными и положительно определенными матрицами коэффициентов при неизвестных; независимость вычислений в отдельных элементах; возможность построения улучшенных решений путем увеличения числа параметров, описывающих каждый элемент; гибкость, приспособленность матричного аппарата МКЭ к реализации на ЭВМ.
Промежуточное положение между МКР и МКЭ занимают вариационно-разностные методы (ВРМ). ВРМ сочетают в себе простоту в реализации, присущую МКР, и алгоритмичность конечно-элементного подхода и являются, по существу, простейшим вариантом последнего. При некоторых видах аппроксимации функционалов МКЭ и ВРМ тождественны [69]. ВРМ, рассматривался в работе В.Г. Баженова, А.Г. Угодчикова, АЛ. Шинкаренко [20] для решения геометрически и физически нелинейных задач динамики оболочек типа Тимошенко с криволинейными контурами и отверстиями, в основе которого лежала дивергентная схема аппроксимации частных производных по пространственным координатам и явная схема интегрирования уравнений движения по времени.
Дифракция плоской косой волны на криволинейных поверхностях второго порядка
В общем случае решение приведенной начально-краевой задачи может быть получено только одним из численных методов. В большинстве случаев для решения подобных практических задач применяются методы конечных элементов (МКЭ) и конечных разностей (МКР). Несмотря на более широкое распространение первого, в последнее время преимущества того или иного подхода не являются абсолютными и широко дискутируются. В частности, ряд публикаций, обзор которых приведен в [75], демонстрируют рабо тоспособность МКР при решении гиперболических начально-краевых задач динамики тонких оболочек ([86], [48] и т.д.).
К достоинствам МКР следует отнести достаточно простую реализацию автоматического построения дискретных аналогов систем уравнений, записанных изначально в тензорной форме, на основе преобразований методами компьютерной алгебры [79].
Уравнения движения оболочки, соответствующие сдвиговой модели, записаны в тензорной нотации. Построение разрешающих уравнений в координатной форме для случая срединной поверхности оболочки в форме криволинейного (параболического, гиперболического и т.п. цилиндра) осуществляется при помощи формальной программной процедуры, реализованной на языке компьютерной алгебры Maple с использованием стандартного пакета расширения Tensor. Входными данными для процедуры являются уравнения,. описывающие срединную поверхность оболочки в трехмерном пространстве, выходными - коэффициенты дифференциальных уравнений движения в перемещениях. Процедура оформлена в виде .src- функции системы Matlab, интегрирована в разработанный комплекс программ и может быть использована в сочетании с различными численными решателями дифференциальных уравнений [92]. Конечно-разностная дискретизация и численное решение дифференциальных уравнений выполнено в виде функции на языке Matlab. Таким образом, решение задачи на этапах от построения разрешающих уравнений в произвольной криволинейной системе координат до их численного решения полностью автоматизировано. Следует отметить, что выбор конечно-разностной схемы для интегрирования уравнений движения сформулированной выше задачи продиктован необходимостью распространения методики на задачи, приводящие к уравнениям с переменными коэффициентами, тем самым применение подхода, разработанного в [15, 63, 64], становится невозможным. Этим объясняется выбор алгоритма из класса явных схем.
В то же время в [82] показано, что решение задачи нестационарной динамики оболочки, описываемой теорией Тимошенко, имеет волновой ха рактер с относительно узким участком быстрого изменения решения, но является непрерывным, что следует из физического смысла неизвестных задач, при разрывных начальных данных. Далее будет показано, что такой характер решения сохраняется лишь в начальный, достаточно малый, временной период воздействия на оболочку. В дальнейшем решение заметно сглаживается и не имеет ярко выраженного волнового характера. Следовательно, для исследования динамических процессов в упругой оболочке на протяженном временном отрезке применение специфических разностных схем, применяемых для решения гиперболических систем с разрывными решениями, не требуется.,
С другой стороны, наличие в уравнениях (1.2.37) слагаемых, содержащих большой множитель /г-2, приводит к наличию быстро осциллирующих и слабо затухающих во времени компонентов решения вида e±n h .При этом, как указано в [75], при h =0.002-0.001 построение численного решения для достаточно больших промежутков времени может привести к развитию неустойчивости и, соответственно, потребовать введения весьма малого шага по времени Дт. Однако ряд результатов, приведенных, например, в [78], позволяет утверждать, что при h 0.02 -0.01 влияние на устойчивость численного решения недифференциальных членов уравнений с множителем h l не столь существенно, а оболочки меньшей, чем 0.01-0.02, относительной толщины далее по физическим соображениям рассматриваться не будут, представляется возможным использование классической явной конечно-разностной схемы на оболочке типа «крест» без использования специальных приемов, описанных в [53-55], для выделения быстро осциллирующих компонентов решения. Как показано далее на практических примерах, величина Дт и, соответственно, машинное время, требуемое для интегрирования уравнений на промежутке времени, соответствующем периоду поперечных колебаний, является приемлемым, тогда как реализация классической схемы типа «крест» заметно проще.
Далее всюду используется конечно-разностная схема типа «крест» различного порядка аппроксимации по безразмерной пространственной координате.
Модельные задачи для круговой цилиндрической оболочки при действии подвижной нагрузки
На основании приведенной выше процедуры численно-аналитического решения двумерной задачи нестационарного взаимодействия плоской акустической волны давления с выпуклой оболочкой становится возможным параметрический анализ решения задачи.
Будем варьировать, в частности, следующие параметры: 1. Относительную толщину оболочки h . 2. Угол падения 0 плоской косой волны давления на оболочку. Относительная толщина оболочки варьировалась в пределах h є [0.02,0.1]. При этом оценивались наибольшая и наименьшая нормальная скорость движения оболочки W( ,T) и наибольший и наименьший прогиб оболочки w(j т) на всей области определения задачи [-1, і] х [0, 2]. Верхнее ограничение толщины выбрано приближенно исходя из требования адекватности применяемой сдвиговой модели оболочки. В начальный период нестационарного взаимодействия оболочки с акустической волной нормальное давление р на внешней лицевой поверхности оболочки носит приблизительно кусочный характер, что следует из 4.1.4), (4Л.5). С одной стороны, при этом (см. п. 1.1), сдвиговая модель описывает деформирование оболочки с приемлемой точностью при h « supp р (т). Для оболочки в форме параболического цилиндра h =supp (р.(т) + рх{х)\ при т«0.005, следовательно, корректным можно считать решение только при т»0.005. С другой стороны, при относительной толщине оболочки h 0.1 адекватность сдвиговой модели исследована только для оболочек канонической геометрии - сферы, цилиндра и т.д. при гладких, не зависящих или мало зависящих от координат краевых условиях на лицевых поверхностях. Нижнее ограничение толщины выбиралось опытным путем по условию /7(,т) 0 V ;e[-l,l], [0,2]. Как показывают проведенные расчеты, при h 0.012 для параболического и h 0.019 для гиперболического цилиндра 3 ( , т) є [-1, і] х [0,2]: р(,т) 0, что соответствует «отрыву» акустической среды от упругого тела, сопровождается на практике кавитационными явлениями в сплошной среде, не описываемыми построенной приближенной математической моделью процесса нестационарного взаимодействия.
Как следует из результатов расчетов, приведенных на рис. 4.4.1 - 4.4.2, наибольшая скорость и наибольшее перемещение монотонно убывают с увеличением относительной толщины, и, следовательно, жесткости оболочки. Наименьший прогиб приблизительно равен нулю и изменяется в зависимости от толщины незначительно, наименьшая скорость также по абсолютной величине уступает наибольшей и находится в окрестности —2-10 3.
Угол падения плоской косой акустической волны давления на оболочку в форме параболического цилиндра варьировался в пределах 0...45. Оценивались также наибольшая и наименьшая нормальная скорость движения оболочки VV( T) и наибольший и наименьший прогиб оболочки W( ,T) на всей области определения задачи [-1, 1]х[0, 2]. Результаты расчетов приведены на рис. 4.4.3 - 4.4.4. Наибольший прогиб и наибольшие скорости реализуются при значении угла падения 9 « 45. В диссертационной работе получили развитие методы решения плоских нестационарных задач дифракции акустических ударных волн на криволинейных упругих цилиндрических оболочках (параболической и гиперболической формы). В процессе исследований получен ряд новых результатов, краткая формулировка которых приводится ниже. 1. В рамках теории тонкого слоя, путем введения единой локальной криволинейной системы координат, нормально связанной со срединной поверхностью оболочки, и преобразования Лапласа, получены в аналитической форме выражения для переходных функций, используемых при решении нестационарных задач дифракции на криволинейных поверхностях в акустических средах. 2. С использованием найденных выражений для переходных функций определены составляющие полного гидродинамического давления (через параметры движения оболочки), действующего на упругие цилиндрические оболочки переменной кривизны, заключенные в жесткий экран, при действии на них акустических ударных волн, распространяющихся под произвольным углом к оси симметрии оболочек. 3. Разработана конечно-разностная схема интегрирования уравнений динамики тонких упругих цилиндрических оболочек переменной кривизны типа Тимошенко при дифракции на них плоских акустических волн (плоская задача). Разработано программное обеспечение для динамических расчетов. 4; Представлены результаты численного решения новых плоских задач дифракции акустических ударных волн на цилиндрических оболочках параболической и гиперболической форм при произвольных углах падения.
Параметрический анализ решения задачи дифракции плоской косой волны давления на параболическом цилиндре
Обзор методов решения системы уравнений (В. 1) дан в [4]. Отметим одно обстоятельство, которое обычно подразумевается при исследовании задач нестационарной гидроупругости. Уравнения движения жидкости обычно рассматриваются в эйлеровых координатах и граничные условия задаются на поверхности, которая считается неподвижной (в действительности эта поверхность может смещаться и деформироваться). Это несоответствие, вызванное тем, что граничные условия сносятся на неподвижную поверхность, в задачах линейной гидроупругости несущественно, так как истинное смещение границ мало по сравнению с характерными геометрическими размерами объекта. В случае нелинейного взаимодействия ударных волн с тонкостенными конструкциями, когда проявляются (вместе или отдельно) нелинейные свойства (геометрические или физические) взаимодействующих сред, вопросы корректной постановки граничных условий на поверхности контакта приобретают особую важность.
Различные подходы (с использованием лагранжевых, смешанных и деформируемых координат) к излучению больших смещений деформируемых тел в идеальной жидкости, а также варианты записи кинематических и динамических условий на поверхности контакта приводятся в [11].
В ряде случаев при взаимодействии ударных волн с упругими конструкциями в жидкости могут образовываться разрывы сплошности (кавнтаци-онные каверны), Эти вопросы очень сложны и требуют проведения серьезных экспериментально-теоретических исследований. В приближенной постановке решения некоторых задач гидроупругости с учетом кавитационных явлений при взаимодействии ударных волн с пластинами и оболочками изложены в [12, 14,31,36]. Определение гидродинамических нагрузок на круговые цилиндрические оболочки. В случае бесконечно длинной цилиндрической оболочки, погруженной в идеальную жидкость, задача определения гидродинамических нагрузок (точнее переходных функций) формально не представляет больших математических трудностей. Раскладывая искомые величины по собственным формам и используя преобразование Лапласа по времени, нетрудно получить выражение для потенциала ф, на поверхности оболочки: где s - параметр преобразования Лапласа по безразмерному временит; R -радиус оболочки; п- номер формы; Kn(s)- модифицированные функции Бесселя второго рода (функции Макдональда);г, 8- полярная система координат. Несмотря на то, что выражение (В.5) в рамках линейной теории дает точное решение, непосредственное использование его для вычисления давления оказывается весьма затруднительным из-за наличия полюсов и точек ветвления в (В.6). Некоторые свойства функции FB(i) и ее предельные значения для цилиндра описываются в [1, 13]. Эта функция имеет быстро затухающий осциллирующий вид, причем в начальные моменты времени убывание происходит по экспоненциальному закону. Точное значение функции Fn(z) есть [13] Здесь In(x) и Кп(х) - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно; s{ - комплексно-сопряженные корни уравнения Наиболее естественный путь упрощения структуры функций F„(x) заключается в использовании асимптотических разложений для функций Мак-дональда при s од, а также в замене исходного изображения более простыми функциями с учетом особых точек и предельных соотношений при 5- оо и s- 0. Таким образом, можно достаточно просто получить те или иные приближенные соотношения для гидродинамических сил, которые предлагались различными авторами. Приближенные выражения для переходных функций, которые справедливы на любом этапе взаимодействия цилиндрической оболочки с жидкостью при погружении приводятся в [37, 49]. Определение нагрузок на сферические оболочки. При действии плоской волны давления на замкнутую сферическую оболочку радиуса R переходная функция Fn(x) определяется выражением где Kn+][2(s) - функции Макдональдс полуцелого порядка(л = 0,1,2,...). Как ив случае цилиндрической оболочки, рядом авторов предлагались упрощенные зависимости, справедливые для различных этапов взаимодействия сферической оболочки с жидкостью при погружении (см. [49, 61, 66] и библиографию в [35]). Излучение звука различными препятствиями. Для определения составляющих суммарного давления ръ и р2 (давление излучения во внутреннюю область) необходимо решить задачу об излучении при произвольном законе движения препятствия. В случае гармонических колебаний задача излучения получила большое развитие, библиография по этому вопросу огромная. Между задачами излучения и дифракции много общего. Эта общность состоит в том, что как в первом, так и во втором случае, требуется найти решение волнового уравнения при сходных граничных условиях, что осуществляется одними и теми же математическими методами.
