Содержание к диссертации
Введение
1 Обобщенные импедансные граничные условия с разрыв ными коэффициентами 12
1.1 Вывод граничных условий, моделирующих тонкий диэлектрический слой, лежащий на поверхности проводника 13
1.2 Вывод контактных условий, моделирующих стык двух тонких слоев 21
1.3 Теорема единственности 24
2 Модельные задачи дифракции с одной точкой контакта 32
2.1 Дифракция плоской электромагнитной волны на стыке двух однородных полупространств 33
2.1.1 Решение задачи 36
2.1.2 Контактное условие. Регуляризация интегралов 42
2.1.3 Асимптотическое исследование решения . 44
2.2 Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на круговой спирали с одной точкой контакта . 47
2.2.1 Постановка задачи 47
2.2.2 Решение задачи 49
2.2.3 Контактное условие 56
2.3 Исследование решения задачи дифракции цилиндрической волны на спирали с одной точкой контакта 58
2.4 Коротковолновая асимптотика волнового поля в задаче дифракции на гладкой выпуклой кривой с одной точкой контакта 70
Заключение 76
Литература 77
- Вывод контактных условий, моделирующих стык двух тонких слоев
- Контактное условие. Регуляризация интегралов
- Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на круговой спирали с одной точкой контакта
- Исследование решения задачи дифракции цилиндрической волны на спирали с одной точкой контакта
Введение к работе
В последнее время широкий интерес исследователей вызывают задачи дифракции на телах с граничными условиями, содержащими, помимо самого поля и его нормальной производной, касательные производные поля различных порядков. В наиболее общей форме граничные условия такого типа, в плоских задачах, могут быть записаны в виде / д_ \ ди V 'dsJ дп s = U(S>l)U где s — координата вдоль границы, п — нормальная к границе координата, Lit2 — дифференциальные операторы, являющиеся полиномами по — с коэффициентами, зависящими от s.
В точках разрыва коэффициентов операторов Li и L2 ставятся дополнительные условия Av = B>w, (2) где векторы v и w составлены из предельных значений касательных производных функции и слева и справа от точки разрыва соответственно, а матрицы А и В определяются физическими свойствами контакта.
Граничные условия (1) называются обобщенными импеданс-ными граничными условиями (ОБИГУ), а условия (2) в точке разрыва — контактными условиями (КУ). В работах В.Н. Красильни-кова [1], Д.П. Коузова [2] и других исследователей задачи с условиями (1), (2) получили название гранично-контактных задач.
Задачи дифракции акустических волн с граничными условием (1) активно изучаются в последние 20 лет. В электродинамике подобные задачи стали рассматриваться особенно интенсивно в последнее время, и это связано с появлением композитных электромагнитных покрытий и широким применением в промышленности и научных исследованиях лазерной техники. Актуальность указанной тематики в электродинамике подтверждается нарастающим потоком публикаций за рубежом, особенно в США [3], [4], [5].
Цель настоящей работы: вывести ОБИГУ (1) на поверхности тонкого диэлектрического слоя, лежащего на металлической подложке вывести контактные условия (2), моделирующие стык двух тонких диэлектрических слоев на металлической подложке построить решения модельных, скалярных задач дифракции с ОБИГУ, содержащими одну точку разрыва коэффициентов в случае прямолинейной и круговой границы провести асимптотическое исследование волнового поля и в частности получить формулы для волны соскальзывания в задаче с круговой границей на основе анализа высокочастотной асимптотики решений модельных задач указать вид асимптотического разложения (анзатц) для волнового поля в гранично-контактной задаче дифракции на произвольной выпуклой кривой с одной точкой контакта
В скалярных задачах дифракции на поверхности идеально отражающих тел выполняются классические краевые условия Дирихле или Неймана. М.А. Леонтовичем [6] и СМ. Рытовым [7] было показано, что на поверхности сильно поглощающих тел с большой степенью точности выполняется краевое условие третьего рода, или импедансное краевое условие, получившее название условия Леонтовича и позволившее при решении задач дифракции исключить из рассмотрения волновое поле в поглощающем теле.
В работах [8], [9] были получены краевые условия, обобщающие условия Леонтовича и получившие название обобщенных импедансных граничных условий (ОБИГУ). Вывод ОБИГУ на поверхности поглощающего тела основан на асимптотическом разложении поля внутри поглощающего тела по малому параметру, пропорциональному глубине проникновения поля в поглощающее тело. При этом в [8] предполагается, что глубина проникновения поля внутрь отражающего тела мала по сравнению с длиной вол- ны падающего поля, а в [9] это предположение заменено более слабым: глубина проникновения поля внутрь отражающего тела мала по сравнению с его характерными размерами. Однако в последней работе рассмотрен лишь случай отражения плоской волны от кругового поглощающего цилиндра и результат получен лишь в первом приближении. В работах [10], [11] были получены ОБИГУ в произвольном приближении, на поверхности хорошо поглощающего тела для скалярной и векторной задачи дифракции. В этих работах предполагалось, что глубина проникновения поля внутрь отражающего тела мала по сравнению с длиной волны в вакууме.
В работе [12] получены обобщенные граничные условия на поверхности диэлектрического слоя, лежащего на металлической подложке в случае скалярной задачи дифракции. За малый параметр принято отношение толщины слоя диэлектрика к длине падающей волны.
В первой главе настоящей работы выводятся ОБИГУ моделирующие тонкий диэлектрический слой, лежащий на поверхности проводника, в случае векторной задачи дифракции. Вывод граничных условий основан на асимптотическом разложении поля в диэлектрическом слое по малому параметру — отношению толщины слоя диэлектрика к длине падающей волны.
Контактные условия (2) определяются физическими процессами, происходящими в точках разрыва коэффициентов ОБИГУ.
В теории упругости контактные условия выводятся из механических законов сохранения [2]. В электродинамике контактные условия могут быть получены при асимптотическом исследовании точнорешаемых модельных задач. В работе [12] получены контактные условия, описывающие бесконечно тонкий идеальный проводник, разделяющий два различных импедансных покрытия. В первой главе настоящей работы предложен новый способ нахождения контактных условий, моделирующих стык двух тонких покрытий, основанный на замене скачкообразного поведения коэффициентов ОБИГУ непрерывным изменением на некотором малом промежутке, с последующим предельным переходом к нулевой длине промежутка. Идея такого способа получения контактных условий принадлежит Р. Фейнману. В книге [13] аналогичным способом выводятся граничные условия для векторов электромагнитного поля на стыке двух диэлектриков.
В первой главе, также, доказана теорема, которая утверждает, что если в точках контакта потребовать выполнения полученных контактных условий, то, при некоторых ограничениях на коэффициенты ОБИГУ, скалярная задача дифракции имеет единственное решение. Аналогичное доказательство единственности решения для задачи с граничными условиями Дирихле или Неймана проведено в [14].
Решение гранично-контактных задач дифракции сопряжено с большими трудностями. Для плоских границ, используя метод Винера-Хопфа, можно построить решение в квадратурах.
Для границ произвольной формы построить точное решение гранично-контактных задач не удается. Приходится либо использовать численные методы и с помощью компьютера находить приближенное решение задачи, либо использовать асимптотические методы.
Решения основных гранично-контактных задач акустики с плоскими границами получены в работах Д.П. Коузова. В работах [15] и [16] решены гранично-контактные задачи о дифракции плоской и цилиндрической гидроакустической волны на стыке двух плоских упругих пластин, являющихся продолжением одна другой.
Во второй главе диссертации решена задача дифракции плоской электромагнитной волны на полупространстве, разделенным вертикальной границей. Среды, заполняющие две части полупространства, моделируются обобщенными импедансными граничными условиями второго порядка с постоянными коэффициентами. В точке разрыва коэффициентов ОБИГУ ставятся контактные условия полученные в первой главе.
Если точка контакта двух различных ОБИГУ расположена на произвольной выпуклой границе, то из физических соображений ясно, что точка контакта будет излучать волну, которая распространяется вдоль границы. Для того, чтобы найти решение, соответствующее такой волне, выяснить как на это решение влияет кривизна границы и контактные условия, необходимо решить гранично-контактную задачу с криволинейной границей. Модельной задачей дифракции на выпуклой границе с одной точкой контакта, является задача о дифракции цилиндрической волны на круговой бесконечной спирали с одной точкой контакта, расположенной на бесконечнолистной римановой поверхности логарифмического типа1.
Во второй главе построено решение задача дифракции цилиндрической волны на круговой спирали. На круговой спирали ставятся ОБИГУ, содержащие касательные к спирали производные второго порядка, имеющие одну точку контакта. Решение этой задачи получено в квадратурах методом Винера-Хопфа. Во второй главе, также, найдена высокочастотная асимптотика полученного решения. Точка контакта порождает в освещенную область цилиндрическую волну, а в область тени — волну соскальзывания. Волна соскальзывания распространяется от точки контакта вдоль границы и соскальзывает в точку наблюдения по касательному к границе лучу. При этом волна соскальзывания экспоненциально затухает при распространении вдоль поверхности тела.
Построенная асимптотика позволяет указать вид асимптотического разложения волнового поля (анзатц) для задачи дифракции на произвольной выпуклой кривой с одной точкой контакта. 1 Многолистная поверхность в задаче дифракции на цилиндре впервые была введена в [17] (см. также [18])
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. Buldyrev V.S., Tanchenko А.Р., Nonclassical boundary and contact conditions for a body covered with dielectric layer., Proc. of the international Seminar "Day on Diffraction 95", 1995, pp. 48-52
Булдырев B.C., Танченко А.П., Гранично-контактные условия в электродинамике. Рассеяние плоской электромагнитной волны на стыке двух однородных хорошо поглощающих полупространств., Журнал Выч. Мат. и Мат. физики, 1999, т.39, №12, стр. 1981-1990
Булдырев B.C., Танченко А.П., Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на круговой бесконечно-листной спирали с одной точкой контакта., Электронный журнал "Исследовано в России", 2003, т.6, стр. 431-443.
Вывод контактных условий, моделирующих стык двух тонких слоев
Рассмотрим плоскую область О, с гладкой выпуклой границей Г = дО., состоящую из двух подобластей 0,\ и Г - Внешнюю границу подобласти Qj, j = 1,2 обозначим Г (Г = Гі U Гг). Пусть s — длина дуги границы Г, отсчитываемая от токи О — точки соприкосновения границ Гі и Гг, причем s 0 для точек границы Гі и s 0 для точек границы Г2, а п — длина внешней нормали к границе (рис. 1.2). Предположим, что границы областей 0,\ и Q.2, это два тонких, однородных диэлектрических слоя на металлической подложке, которые моделируются ОБИГУ второго порядка (1.12) и aj(s), /ЗДя) — достаточно гладкие функции, определенные при .7 = 1 для s 0 и при j = 2 для 5 0. Фун коэффициентов ОБИГУ (1.13) непрерывным изменением на некотором малом промежутке — g s g с последующим переходом к пределу g — 0 (рис. 1.3). Идея такого способа вывода кон тактных условий принадлежит Р. Фейнману. В книге [13] аналогичным способом выводятся граничные условия для векторов электромагнитного поля на стыке двух диэлектриков. Запишем ОБИГУ с гладкими коэффициентами на границе Г и ae(s), PQ(S) — достаточно гладкие функции длины дуги s, совпадающие при з — g с функциями a\(s), /?i(s), а при s g — с функциями аг(5), (s). Положим здесь т = g, и устремим д к нулю, при этом, в силу непрерывности функции u(s) и условий Мейкснера, правая часть равенства стремится к нулю. В пределе получим. — скачок функции /(s) в точке контакта. Условие (1.17) представляет собой искомое контактное условие. Аналогично случаю ОБИГУ второго порядка можно рассмотреть случай ОБИГУ более высокого порядка. При этом операцию последовательного интегрирования и предельного перехода пришлось бы проводить большее число раз. Например, в случае ОБИГУ четвертого порядка В следующем параграфе будет доказано, что полученные контактные условия обеспечивают единственность гранично-контактной задачи дифракции. Сформулируем и докажем теорему единственности решения задачи дифракции с импедансными граничными условиями вида (1.13) и контактным условием (1.17), полученным в предыдущем параграфе. Доказательство аналогично доказательству для задачи с граничными условиями
Дирихле или Неймана [14]. где к — положительное число, f — локальная функция, не может иметь более одного решения, удовлетворяющего 1. ОБИГУ второго порядка otj{s), Pj(s), j = 1,2 — достаточно гладкие, определенные на контурах Tj, j = 1,2, функции длины дуги s контура Г (Т = ГіиГг), удовлетворяющие условиям lm aj 0, Imfij О, п — внешняя нормаль к контуру Г; 2. контактным кции a(s), fi(s) зависят от кривизны кривой Tj и диэлектрической и магнитной проницаемости слоев. При выводе контактных условий (КУ) будем предполагать, что в точке стыка 5 = 0 функция и остается непрерывной и удовлетворяет условию Мейкснера где г — расстояние до точки Ои0 д 1 - произвольное число. Это предположение означает отсутствие в точке стыка источника электромагнитного поля. Получим контактные условия, заменив скачкообразное изменение коэффициентов ОБИГУ (1.13) непрерывным изменением на некотором малом промежутке — g s g с последующим переходом к пределу g — 0 (рис. 1.3). Идея такого способа вывода кон тактных условий принадлежит Р. Фейнману. В книге [13] аналогичным способом выводятся граничные условия для векторов электромагнитного поля на стыке двух диэлектриков. Запишем ОБИГУ с гладкими коэффициентами на границе Г и ae(s), PQ(S) — достаточно гладкие функции длины дуги s, совпадающие при з — g с функциями a\(s), /?i(s), а при s g — с функциями аг(5), (s). Положим здесь т = g, и устремим д к нулю, при этом, в силу непрерывности функции u(s) и условий Мейкснера, правая часть равенства стремится к нулю. В пределе получим. — скачок функции /(s) в точке контакта. Условие (1.17) представляет собой искомое контактное условие. Аналогично случаю ОБИГУ второго порядка можно рассмотреть случай ОБИГУ более высокого порядка. При этом операцию последовательного интегрирования и предельного перехода пришлось бы проводить большее число раз. Например, в случае ОБИГУ четвертого порядка В следующем параграфе будет доказано, что полученные контактные условия обеспечивают единственность гранично-контактной задачи дифракции. Сформулируем и докажем теорему единственности решения задачи дифракции с импедансными граничными условиями вида (1.13) и контактным условием (1.17), полученным в предыдущем параграфе. Доказательство аналогично доказательству для задачи с граничными условиями Дирихле или Неймана [14]. где к — положительное число, f — локальная функция, не может иметь более одного решения, удовлетворяющего 1. ОБИГУ второго порядка otj{s), Pj(s), j = 1,2 — достаточно гладкие, определенные на контурах Tj, j = 1,2, функции длины дуги s контура Г (Т = ГіиГг), удовлетворяющие условиям lm aj 0, Imfij О, п — внешняя нормаль к контуру Г; 2. контактным условиям
Контактное условие. Регуляризация интегралов
При вычислении 7і непосредственно переходить к пределу под знаком интеграла нельзя, так как получемые при этом интегралы будут расходиться. Преобразуем интегралы вформулах для 7і так, чтобы предельный переход под знаком интегралов был бы возможен. Деформируя в равенстве для интеграла /+ контур интегрирования - вещественную ось в верхнюю полуплоскость, перейдем от интегрирования по вещественной оси к интегрированию по контуру Г+, обходящему разрез, исходящий из точки к. При этом будет пересечен полюс подынтегрального выражения, располо женный в корне функции h2 (z). В результате получим равенство Прибавляя и отнимая от правой части полученного равенства сходящийся интеграл где придем к равенству Третье слагаемое в правой части этого равенства равно нулю в силу того, что подынтегральное выражение в третьем слагаемом не меняется при переходе с левого берега разреза на правый. Во втором же слагаемом теперь можно перейти к пределу под знаком интеграла, так как полученный при этом интеграл будет абсолютно сходиться Аналогичным образом для выполнения предельного перехода x — — 0 преобразуется интеграл в формуле для / . И мы приходим к равенству асимптотику полного поля и(х,у) (2.11) при ку/х2 + у2 — со и ImA; = 0. Перейдем к полярным координатам (г, ф), введем безразмерную переменную интегрирования = z/k и функцию P{Q = KKkQh ikQ. Перепишем равенство (2.11) в виде При Im fc = 0 контур интегрирования в интеграле 1 огибает полюс Ср = sintf в нижней полуплоскости. Асимптотику интегралов (2.14), (2.15) будем проводить методом перевала. Вклады в асимптотику рассматриваемых интегралов дадут: тока перевала Cs = cosy? (О р 7г), полюс р и корни функции Р(С). Вклад от точки перевала s представляет собой цилиндрическую волну, распространяющуюся от токи контакта. Вклад от полюса СР дает плоскую волну, распространяющуюся под углом отражения. Вклады от нулей функции Р() дают поверхностные волны, распространяющиеся в окрестности границы у = 0. Поверхностные волны в случае импедансных граничных условий, не содержащих касательных производных (условия Леонтовича) и плоской границы рассмотрены в работе [22]. Будем считать, что мнимые части корней функции P(z) велики и поверхностные волны экспоненциально малы уже на малых расстояниях от границы. Поэтому в дальнейшем мы будем пренебрегать поверхностными волнами. оложение перевального контура Г , зависит от положения перевальной точки ,, = cos . Перевальный контур Г\, имеет асимптоты Re С cos (р ± Imsin p = 1. При углах 0 р 7г/2 — -д точка перевала s лежит правее полюса С,р (рис. 2.4) и вклады в асимптотику 1 вносят точка перевала и полюс. Вычисляя вычет подынтегрального выражения и применяя формулу метода перевала при О (р it/2 — д - є, є 0, получаем Следовательно, в выражении (2.11) для полного поля и плоская волна щ, отраженная от левой полуплоскости, при 0 ip 7г/2 — і? сокращается и имеет место асимптотическое представление г(ЬЧ-) — коэффициент возбуждения цилиндрической волны. При углах яг/2 — г? ip it, точка перевала (3 лежит левее полюса СР и вклад в асимптотику дает только точка перевала, и , следовательно, при таких углах имеем у27гАт Из формул (2.12), (2.16) видно, что коэффициент возбуждения цилиндрической волны линейно зависит от разности (3\ — /. Когда /?i = /?2, коэффициент возбуждения цилиндрической волны гс равен нулю и точка контакта не излучает цилиндрической волны.
Рассмотрим плоскую задачу дифракции цилиндрической волны на бесконечной круговой спирали. На круговую спираль г = a 0, —оо ip +00 (r, (p — полярные координаты), расположенную на римановои поверхности логарифмического типа, падает цилиндрическая волна, порожденная точечным источником, расположенным в точке г = го а, ір = (ро (\іро\ тт/2). Функция и(г,(р), описывающая падающее и рассеянное волновое поле, удовлетворяет: 1. во внешности спирали г а, —оо (р +оо неоднородному уравнению Гельмгольца где к 0 — волновое число, го, (ро — полярные координаты источника цилиндрической волны; 2. на спирали ОБИГУ, содержащим касательные производные (производные по углу ip) второго порядка, которые удобно записать в виде считать, что 6(ка) 1; 3. в точке контакта С (г = a, ip = 0) условию Мейкснера (условию конечности энергии в окрестности точки С), контакт ным условиям, найденным в первой главе С точке контакта; и условию непрерывности: функции и и /2-тг-непрерывны в точке С. 4. принципу предельного поглощения (зависимость от времени задается множителем е ші). Построим решение поставленной задачи. В кольце а г го искомую функцию u(r, ip) представим суммою двух слагаемых где Яг (р), Яг (р) — функции Ханкеля первого и второго рода, и q(z) — неизвестная функция. Если г го, то в выражении для и1 (г, ф) нужно поменять местами г и го В дальнейшем будем считать, ЧТО Г TQ.
Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на круговой спирали с одной точкой контакта
Асимптотику интегралов (2.14), (2.15) будем проводить методом перевала. Вклады в асимптотику рассматриваемых интегралов дадут: тока перевала Cs = cosy? (О р 7г), полюс р и корни функции Р(С). Вклад от точки перевала s представляет собой цилиндрическую волну, распространяющуюся от токи контакта. Вклад от полюса СР дает плоскую волну, распространяющуюся под углом отражения. Вклады от нулей функции Р() дают поверхностные волны, распространяющиеся в окрестности границы у = 0. Поверхностные волны в случае импедансных граничных условий, не содержащих касательных производных (условия Леонтовича) и плоской границы рассмотрены в работе [22]. Будем считать, что мнимые части корней функции P(z) велики и поверхностные волны экспоненциально малы уже на малых расстояниях от границы. Поэтому в дальнейшем мы будем пренебрегать поверхностными волнами. оложение перевального контура Г , зависит от положения перевальной точки ,, = cos . Перевальный контур Г\, имеет асимптоты Re С cos (р ± Imsin p = 1. При углах 0 р 7г/2 — -д точка перевала s лежит правее полюса С,р (рис. 2.4) и вклады в асимптотику 1 вносят точка перевала и полюс. Вычисляя вычет подынтегрального выражения и применяя формулу метода перевала при О (р it/2 — д - є, є 0, получаем Следовательно, в выражении (2.11) для полного поля и плоская волна щ, отраженная от левой полуплоскости, при 0 ip 7г/2 — і? сокращается и имеет место асимптотическое представление — коэффициент возбуждения цилиндрической волны. При углах яг/2 — г? ip it, точка перевала (3 лежит левее полюса СР и вклад в асимптотику дает только точка перевала, и , следовательно, при таких углах имеем у27гАт Из формул (2.12), (2.16) видно, что коэффициент возбуждения цилиндрической волны линейно зависит от разности (3\ — /. Когда /?i = /?2, коэффициент возбуждения цилиндрической волны гс равен нулю и точка контакта не излучает цилиндрической волны. Рассмотрим плоскую задачу дифракции цилиндрической волны на бесконечной круговой спирали. На круговую спираль г = a 0, —оо ip +00 (r, (p — полярные координаты), расположенную на римановои поверхности логарифмического типа, падает цилиндрическая волна, порожденная точечным источником, расположенным в точке г = го а, ір = (ро (\іро\ тт/2). Функция и(г,(р), описывающая падающее и рассеянное волновое поле, удовлетворяет: 1. во внешности спирали г а, —оо (р +оо неоднородному уравнению Гельмгольца где к 0 — волновое число, го, (ро — полярные координаты источника цилиндрической волны; 2. на спирали ОБИГУ, содержащим касательные производные (производные по углу ip) второго порядка, которые удобно записать в виде считать, что 6(ка) 1; 3. в точке контакта С (г = a, ip = 0) условию
Мейкснера (условию конечности энергии в окрестности точки С), контакт ным условиям, найденным в первой главе С точке контакта; и условию непрерывности: функции и и /2-тг-непрерывны в точке С. 4. принципу предельного поглощения (зависимость от времени задается множителем е ші). Построим решение поставленной задачи. В кольце а г го искомую функцию u(r, ip) представим суммою двух слагаемых где Яг (р), Яг (р) — функции Ханкеля первого и второго рода, и q(z) — неизвестная функция. Если г го, то в выражении для и1 (г, ф) нужно поменять местами г и го В дальнейшем будем считать, ЧТО Г TQ. Первое слагаемое и \г, ір) в равенстве (2.21) является функцией Грина для бесконечной круговой спирали, на которой выполнено ОБИГУ (2.18) с постоянными коэффициентами ос\ и Р\ на всей спирали (см. [23]). Второе слагаемое v{r, р), очевидно, удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца и принципу предельного поглощения, неизвестная же функция q{z) должна быть выбрана так, чтобы выполнялись ОБИГУ (2.18), (2.19) и контактные условия (2.20). Функция и(г, р), определенная равенством (2.21), удовлетворяет уравнению Гельмгольца (2.17) и принципу предельного поглощения. Поскольку первое слагаемое и (г, / ) в формуле (2.21) непрерывно в точке контакта, второе слагаемое v(r, р) также должно быть непрерывно. Используя асимптотические представления функций Ханкеля Hz \р), Щ (р) (см. приложение) [24] можно показать, что для того чтобы в точке контакта функция v(r, ip) была бы непрерывной, достаточно потребовать, чтобы для искомой функции q(z) на бесконечности выполнялась оценка q(z) = 0(z 2), z -+ со. Граничные условия (2.18), (2.19), также как и в параграфе 2.1, приводят к парным интегральным уравнениям для функции q(z) Н І\ка) Интегралы в левых частях равенств (2.22) и (2.23) за счет роста множителей hj(z) при z —» ±оо являются расходящимися в обычном смысле. Расходящиеся интегралы в этих равенствах следует понимать в смысле обобщенного преобразования Фурье [2]. Для выполнения равенства (2.22) достаточно потребовать, чтобы функция была аналитической в нижней полуплоскости вплоть до вещественной оси и возрастала при \z\ — со не быстрее некоторой степени z. Для выполнения равенства (2.23) достаточно потребовать, чтобы функция была аналитической в верхней полуплоскости вплоть до вещественной оси и возрастала при z — оо не быстрее некоторой степени Z. Исключая из равенств (2.24) и (2.25) функцию q(z), приходим к неоднородной задаче Римана: найти функцию H+(z), аналитическую в верхней полуплоскости и функцию Я-(г), аналитическую в нижней полуплоскости, для которых на вещественной оси выполняется равенство Представим функции hj(z), j — 1,2 в виде произведений двух множителей hf(z), аналитических соответственно в верхней и нижней полуплоскости Функции имеют на комплексной плоскости z бесконечное число полюсов первого порядка {±ип} =1, совпадающих с нулями функции Хан-келя Щ (ка) и по два простых корня ±Zj (рис. 2.6). Функции $ j{z), оставшиеся после такого выделения, аналитичны на всей комплексной плоскости за исключением полюсов первого порядка {±ип}=1 и стремятся на бесконечности к единице. Представим \ri(t)j{z) с помощью формулы Коши контурным интегралом г здесь Г — произвольный замкнутый контур, охватывающий точку z. Устремляя контур Г на бесконечность, не пересекая при этом полюсов ±ип придем к двум контурам Г+ и Г_, охватывающим линии корней ±ип (рис. 2.6) и следующему равенству
Исследование решения задачи дифракции цилиндрической волны на спирали с одной точкой контакта
Построенное в предыдущем пункте точное решение и(г, (р) задачи дифракции на спирали с одной точкой контакта будет нами исследовано в освещенной области по отношению к падающей волне в предположении ка 1 (к — волновое число, а — радиус спирали). Как было уже отмечено, первое слагаемое и (г, (р) в равенстве (2.32) является функцией Грина для круговой спирали, на которой выполнено ОБИГУ (2.18) с постоянными коэффициентами ai и Рі на всей спирали. Построение асимптотики функции и \г,ф) по методу перевала проведено в работе [26]. В освещенной области имеет место следующее асимптотическое представление здесь R — расстояние от точки источника Q до точки наблюдения М (рис. 2.8), /о — расстояние от точки источника Q до точки падения Р на спираль, 1\ — расстояние от точки падения Р до точки наблюдения М, її — угол падения, J — геометрическая расходимость отраженных лучей в точке наблюдения М. Первое слагаемое в (2.38), очевидно, дает падающую цилиндрическую волну, второе — отраженную волну с коэффициентом отражения Пользуясь асимптотикой Дебая функции Ханкеля (см. приложение), представим подынтегральную функцию интеграла и с\г, ф) в области, ограниченной на плоскости С, = — нулями функции H{z]{ka) Н?\ка) в виде Вычисление асимптотики слагаемого v№ представим подынтегральную функцию интеграла и с\г, ф) в области, ограниченной на плоскости С, = — нулями функции H{z]{ka) Н?\ка) в виде Вычисление асимптотики слагаемого v№ (г, /?) производится различным образом в зависимости от положения точки наблюдения М. Пусть у arccos - (точка наблюдения М принадлежит обла-сти Qc, распололоженной правее касательной к спирали в точке контакта С (рис. 2.7). В этом случае фазовая функция S(Q имеет одну вещественную перевальную точку Сс = — sin $с. $с — угол между нормалью к спирали в точке контакта и прямой, соединяющей точку контакта и точку наблюдения. Деформируя контур интегрирования - вещественную ось в перевальный контур, проходящий через точку перевала с и пользуясь известными формулами метода перевала, получим следующее асимптотическое представление для функции и (г,ср) расстояние от точки контакта до точки наблюдения. Формула (2.39) имеет наглядный физический смысл: в области Qc функция и описывает цилиндрическую волну с коэффициентом возбуждения гс, которую излучает точка контакта. Из формул (2.36), (2.39) видно, что как и в случае плоской границы, коэффициент возбуждения цилиндрической волны линейно зависит от разности / — /. Когда j3\ = /. коэффициент возбуждения цилиндрической волны гс равен нулю и точка контакта не излучает цилиндрической волны. Пусть \ip\ arccos- — точка наблюдения находится в зоне глубокой тени Qs, относительно источника, помещенного в точку контакта. В этом случае перевальных точек у фазовой функции S() нет, и интеграл и может быть представлен суммой вычетов в полюсах подынтегральной функции, которые совпадают с нулями z = Vj, j = 1,2,..., функции Щ (ка) и с нулями функции P(z) = h\(z)h2{z). Вклады от нулей функции P(z) описывают поверхностные волны, распространяющиеся с внешней стороны спирали и экспоненциально затухающие при удалении точки наблюдения по нормали к спирали. В непосредственной близости от спирали поверхностные волны могут быть заметны, а зависимость их амплитуды от коэффициентов ОБИГУ представляет интерес.
В настоящей работе мы не будем исследовать поверхностные волны. (г, /?) производится различным образом в зависимости от положения точки наблюдения М. Пусть у arccos - (точка наблюдения М принадлежит обла-сти Qc, распололоженной правее касательной к спирали в точке контакта С (рис. 2.7). В этом случае фазовая функция S(Q имеет одну вещественную перевальную точку Сс = — sin $с. $с — угол между нормалью к спирали в точке контакта и прямой, соединяющей точку контакта и точку наблюдения. Деформируя контур интегрирования - вещественную ось в перевальный контур, проходящий через точку перевала с и пользуясь известными формулами метода перевала, получим следующее асимптотическое представление для функции и (г,ср) расстояние от точки контакта до точки наблюдения. Формула (2.39) имеет наглядный физический смысл: в области Qc функция и описывает цилиндрическую волну с коэффициентом возбуждения гс, которую излучает точка контакта. Из формул (2.36), (2.39) видно, что как и в случае плоской границы, коэффициент возбуждения цилиндрической волны линейно зависит от разности / — /. Когда j3\ = /. коэффициент возбуждения цилиндрической волны гс равен нулю и точка контакта не излучает цилиндрической волны. Пусть \ip\ arccos- — точка наблюдения находится в зоне глубокой тени Qs, относительно источника, помещенного в точку контакта. В этом случае перевальных точек у фазовой функции S() нет, и интеграл и может быть представлен суммой вычетов в полюсах подынтегральной функции, которые совпадают с нулями z = Vj, j = 1,2,..., функции Щ (ка) и с нулями функции P(z) = h\(z)h2{z). Вклады от нулей функции P(z) описывают поверхностные волны, распространяющиеся с внешней стороны спирали и экспоненциально затухающие при удалении точки наблюдения по нормали к спирали. В непосредственной близости от спирали поверхностные волны могут быть заметны, а зависимость их амплитуды от коэффициентов ОБИГУ представляет интерес. В настоящей работе мы не будем исследовать поверхностные волны.
