Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 1
Метод возмущений в дифракции на клине 32
1.1 Интегралы Зоммерфельда и теорема Малюжинца .. , 32
Асимптотический, анализ интеграла 34
О падающей и поверхностных волнах 36
О поведении интегралов Зоммерфельда вблизи вершины .... 37
1.2 Функционально-разностные уравнения 38
Общая теория ФР уравнений (Малюжинца) 40
Функция Малюжинца и ее основные свойства 41
Решение однородных уравнений 43
Решение неоднородных уравнений 44
Модифицированное преобразование Фурье и tS-интегралы .... 44
Непосредственное использование S-интегралов 46
1.3 Дифракция плоской электромагнитной волны на клине с анизотроп
ными поверхностными импедансами 48
Введение 48
Формулировка задачи и сведение к системе линейных уравнений второго рода 50
Метод'возмущений 55
Равномерная асимптотика дальнего поля и результаты расчета волны примесной поляризации 59
1.4 Задача дифракции плоской волны, наклонно падающей на ребро клина
с анизотропным импедансом . 62
Формулировка задачи 62
О единственности решения 64
Предварительная редукция задачи 67
Случаи точного решения 68
Равномерная асимптотика решения 72
Частные случаи 75
1.5 Метод возмущений в задаче дифракции наклонно падающей плоской
волны на ребро импедансного клина . .. 75
Почти скользящее к ребру падение, sin $Q <; 1 76
Дифракционные коэффициенты 79
Почти нормальное падение, cos#o < 1- 80
2 Разностные уравнения и дифракция на клине 82
2.1 Дифракция плоской волны на тонкой диэлектрической полуплоскости,
разделяющей внешность импедансного клина 83
Введение . . . 83
Постановка задачи 85
2.2 О существовании и единственности решения 87
2.2.1 Редукция задачи 88
2.3 Разностное уравнение второго порядка 89
2.4 Фредгольмово интегральное уравнение второго рода 90
2:5 Аналитическое продолжение и особенности спектральных функций;
Асимптотика решения при г —> оо . 94
2.5.1 Аналитическое продолжение. Вычисление полюсов и вычетов в
них 94
2.5.2 Неравномерная и равномерная по углу асимптотика дальнего
поля 97
2.5.3' Принцип предельного поглощения 99
2.6 Результаты численного моделирования 102
Вычисление спектральных функций 102
Результаты расчета дальнего поля 103
2.7 Наклонное падение на ребро импедансного клшга 107
Постановка задачи 107
Функциональные уравнения 108
Об особенностях спектральных функций в полосе П(—тг —Ф, 7Г + Ф)Ш
Преобразование уравнений (2.68),(2.69) 112
Сведение к интегральным уравнениям 114
Определение постоянных 117
Неравномерная и равномерная асимптотика решения и явление Вейля-Ван- дер- Пол я для клиновидной области 119
3 Дифракция акустических волн на выпуклом импедансном конусе 123
Дифракция плоской волны на выпуклом импедансном конусе 123
Классическое решение задачи. 125
О единственности классического решения 127
Рассеяние плоской волны и интегральное представление для решения . 128
3.3 Краевая задача для спектральной функции и^(ш,о^о) . . . . 133
3.3.1 Существование и единственность. Круговой конус. 135
3.4 Представление решения интегралами Зоммерфельда . . . . 142
Аналитические свойства 4>(a,w, ш0), Ф(а,и), 0) 143-
Задачи для трансформант Зоммерфельда 145
3.5 Координатная асимптотика в задаче дифракции плоской волны на
импсдаисном конусе 147
3.5.1 Асимптотика волнового поля в "оазисе", к > 0 147
3.5.2 Область, освещенная отраженными лучами: 14S
Лучевое разложение для спектральной функции 149
Вычисление сингулярности Ф для вещественных а 153
Координатная асимптотика вне "оазиса". Отраженная волна . . 154
3.6 Поверхностные волны. Осесимметричное падение на круговой импе-
дансный конус. 157
Поведение Ф(a, u),u)q) в окрестности полюса и выражение для поверхностной волны 158
Поверхностная волна как лучевое решение 161
Явление Вейля-Ван-дер-Поля ^. 162
3.7 Формулы для дифракционных коэффициентов в области 0'(w,wo) <
7ґ и представления в форме интегралов Абеля-Пуассона . 163
3.8 Дифракция; на узком импедансном конусе. Асимптотика диаграммы
рассеяния - . 165
Сшивание асимптотик 166
Задачи для старших членов и первых поправок: 167
Вычисление Vi и B2j 170
Основная формула для дифракционного коэффициента в случае узкого конуса 172
Приложение 1. Интегральное уравнение для спектральной функции на. границе а произвольной геодезически. выпуклой области и его фредгольмовость 173
Приложение 2. Аннулирование интеграла 174
Приложение 3. Упрощение интегралов 175
4 Рассеяние электромагнитных волн на импедансном конусе 178
4.1 Формулировка задачи с условиями излучения и единственность решения 179
4.1.1 Теорема единственности для положительных волновых чисел в
задаче с условиями излучения 180
4.2 Постановка задачи для плоской падающей волны 184
4.2.1 Условия Мейкснера и следствия из них. 184
4.2.2: Условия на бесконечности 185
4.3 Задача для потенциалов Дебая . 187
4.4 Представление для потенциалов. Задачи для спектральных функций. . 189
Граничные задачи для спектральных функций. 191
Дифракционные коэффициенты 196
Дифракционные коэффициенты для узкого анизотропного импеданс-ного конуса в оазисе 196
Редукция задачи к интегральным уравнениям в случае кругового конуса.201
4.6.1 Решение вспомогательных функционально-разностных (ФР) урав
нений 204
Интегральные уравнения и их свойства 207
Соотношения для вычисления постоянных/±(1/2) ........ .210
4.7 Дифракция на конусе с изотропным поверхностным импедансом. Неко
торые результаты вычисления дифракционных коэффициентов 211
Граничные условия и уравнения в изотропном случае 211
Редукция к интегральным уравнениям для кругового конуса. . . 213
Осесимметричное падение плоской волны 214
Интегральные уравнения в изотропном случае . 216
Дополнительные соотношения для нахождения постоянных Я±(1/2, п).217
Численное решение интегральных уравнений 219
Дискретизация системы уравнений 220
Пример вычисления дифракционных коэффициентов в "оазисе". 222
4.8 Интегралы Зоммерфельда и координатная асимптотика волнового поля 223
|ГЛучевая,|асимпготика спектральных функций . ..... . . . . . . 225
Вычисление старшего сингулярного члена для Ф^(a,oj.wo) на вещественной оси. 227
Асимптотика волнового поля в переходной зоне 228
4.9 Поверхностные волны рэлеевского типа.вблизи изотропной импеданс-
ной поверхности конуса . 230
Вычисление главных частей ФЫ;1)(а, ш,0) в окрестности полюсов 231
Электрическая поверхностная волна . 233
4.9.3 Интеграл Абеля-Пуассона и дифракционные коэффициенты в
области, освещенной отраженными лучами 234
4.10 Приложение 1. Вспомогательные преобразования функциональных урав
нений.(4.109) 235
Приложение 2. Фредгольмовость интегральных уравнений в случае изотропного импеданса 236
Приложение 3. Разложение в ряд Фурье для спектральной функции падающей волны 239
Приложение 4. Связь с сингулярными интегральными уравнениями. . . 240
Приложение 5. Об аналитическом продолжении некоторых интегралов
в окрестность а = тг + Cu,v 241
5 Рассеяние волн расширяющейся поверхностью 245
Введение 246
Поле волны возмущения 248
5.2.1 Постановка задачи с плоской невозмущенной волной 248
5.2.2 Задача Дирихле б М% и метод Смирнова-Соболева.
Задача Неймана 250
Импедансное условие 253
Задачи Дирихле и Неймана между конусами в Aj 254
Рассеяние плоской электромагнитной волны равномерно расширяющейся абсолютно проводящей сферой 256
5.3 Единственность решения 258
5.3.1 Единственность для импедансного условия 259
5.4 Решение задачи в Мз 260
Отделение псевдорадиальной переменной и спектральпая задача 260
Уравнение теории потенциала 262
Граничное импедансное условие для спектральной функции . . 263
Осесимметричный случай 263
Разделение переменных для импедансного граничного условия . 266
5.5 Рассеяние волн медленно расширяющимся цилиндром 268
Асимптотическое решение 269
Асимптотика для медленно расширяющегося импедансного цилиндра 274
Модельная задача. Условие Дирихле 276
Приложение 1. К постановке задачи о расширяющемся цилиндре в
электромагнитной теории 279
5.7.1 Граничные условия 281
5.8 Приложение 2. Редукция спектральной задачи к сингулярному инте
гральному уравнению в случае импедансного цилиндра 282
5.9 Заключение 284
Литература 284
Введение к работе
Общая характеристика работы. В широком круге задан математической ;теории дифракции и распространения волн изучение канонических задач для раессивателей с ребром или конической точкой, поверхность которых описывается импедансными граничными условиями (условиями третьего рода) и их обобщениями, играет особую роль. Такие канонические задачи имеют ключевое значение при использовании геометрической теории дифракции и ее модификаций, так как являются вполне реалистичными, а с другой стороны на основе принципа локальности доставляют возможность использования дифракционных коэффициентов, называемых также диаграммами рассеяния, найденных в модельной задаче, для гораздо более общих ситуаций инженерной и исследовательской практики.1)
Некоторые важные канонические задачи, такие как дифракция на импедансном клине при нормальном падении плоской волны па ребро или дифракция на круговом конусе с идеальными условиями, могут быть решены явно. Однако, подавляющий класс задач в этой области ис допускает явного решения, Тем не менее, применение разнообразных методов математической физики и математической теории дифракции как ее части позволяет получить эффективное "решение"задачи в следующем смысле. "Удается построить удовлетворительную математическую модель дифракционных явлений (изучить соответствующую краевую задачу), исследовать ее аналитически и численно, используя разнообразный арсенал методов математической физики. На этом пути получение соответствующих интегральных представлений, исследование их свойств, обеспечение возможности эффективного вычисления того или иного дифракционного коэффициента или. коэффициента возбуждения, изучение новых дифракционных эффектов являются наиболее значимыми результатами исследования.
Очевидно, чем сложнее физическая модель, например, применяемые граничные условия, тем разнообразнее и сложнее дифракционные явления в рассматриваемых
*'Заметим, что диаграмма рассеяния является одним из основных объектов изучения и в математической теории рассеяния.
ВВЕДЕНИЕ 2
канонических задачах. Представляется, что построение соответствующей математически обоснованной теории и развитие новых методов для изучения таких более сложных и вместе с тем реалистичных задач теории дифракции является актуальной задачей.
Целью диссертации является разработка новых подходов для всестороннего и строгого исследования целого круга канонических: задач дифракции акустических и электромагнитных волн в клиновидных или конусовидных областях с условиями импедансного типа на границе, получение эффективных (асимптотических или точных) формул для решений задач, изучение свойств решений и их применение для расчетов полей. В: отличие от явно решаемых моделей изучаются более сложные канонические задачи (главы 1,2,3,4) в клиновидной или конусовидной области, которые, по-видимому, не допускают явного решения. Кроме того, рассмотрена задача дифракции волны на равномерно расширяющихся гладких объектах (глава 5). Такая задана, хотя и выглядит как задача другого типа, сводится, по-существу, к исследованию задачи для волнового уравнения между двумя конусами;в пространстве Минковского.
Для достижения поставленной цели представляется разумным
сформулировать замкнутые постановки задач рассеяния волн в клиновидных и конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа и доказать единственность их решения:
предложить: интегральные представления для. решения (типа интегралов Зо-ммерфельда, Конторовича-Лебедева, Фурье и т.п.) с целью неполного отделения естественно выделенной (радиальной) переменной:
изучить задачи для трансформант (спектральных функций), входящих в интегральные представления и зависящих от угловых переменных, в частности, задачи для векторных функциональных (разностных) уравнений в специальных классах функций, либо краевые задачи для оператора типа Лапласа-Бельтрами на области единичной сферы (или псевдосферы в Гл. 5) с нелокальными (или локальными) краевыми условиями на границе
провести редукцию упомянутых задач к интегрально-функциональным, интегральным и: т.п. уравнениям, использовав или разработав адекватные'для их исследования подходы
на основе интегральных представлений изучить координатные асимптотики (т.е. асимптотики волнового поля.на больших расстояниях от сингулярной точки границы) решения задач рассеяния
получить явные (например, в квадратурах) представления для дифракционных коэффициентов или коэффициентов возбуждения волн через спектральные функции
ВВЕДЕНИЕ З
изучить физические следствия-аналитических результатов и привести некоторые расчеты, демонстрирующие эффективность аналитических результатов
При изучении задач в клиновидной области разумно различать задачи трех уровней сложности. Это более простые задачи типа задачи Малюжипца, допускающие решения в квадратурах. Второй круг задач состоит из тех, что сводятся к векторным функционально-разностным (ФР) уравнениям, т.е. не имеют в общем случае явного решения (например, из-за сложных граничных условий), однако, задачи являются: односкоростными (волновое число и уравнениях одно и. то же). Наконец, наиболее трудными ; являются задачи; с двумя скоростями: в клиновидных областях, когда сложность и разнообразие волновых процессов,, появляющиеся в том числе из-за сингулярной точки границы, увеличиваются возможностью распространения волн с двумя различными скоростями. При этом аналитические трудности исследования задач естественным образом возрастают в соответствии с разнообразием и сложностью волновых процессов.
Примерно также можно классифицировать и задачи дифракции в конусовидных областях.
В-данной работе мы изучаем задачи второго уровня сложности. Оказывается, что такие задачи не только реалистичны, но являются вполне содержательными и с аналитической точки зрения.
Структура и-объем;диссертации. Работа состоит из Введения, пяти глав и Приложений к ним, Заключения и списка литературы из 172 назвагшй. Общий объем работы - 304 страниц, включая 22 рисунка и список литературы.
Содержание диссертации.
Во Введении указано место работы в теории дифракции. и распространения волн, сформулированы цели и результаты работы, кратко описано содержание работы, приведены положения, выносимые на защиту.
Обзор известных результатов, постановки задач и содержание работы по Главам.
До последнего времени не ослабевает интерес к исследованию канонических задач рассеяния электромагнитных и акустических волн в угловых ьли клиновидных областях. История соответствующих задач начинается-с классических работ А.Пуанкаре и А.Зоммерфельда по дифракции на идеально проводящем клине. Стоит отметить,, что становление теории дифракции.как раздела математической физики во многом обязано именно этим классическим работам.
Важным этапом в исследовании точных решений канонических задач явилось решение задачи: дифракции на плоскости со скачком импеданса, предложенное В.А. Фоком и Г.А.Гринбергом при изучении береговой рефракции радиоволн.
В задаче дифракции в клиновидной области с импедансньши граничными условиями принципиально новые результаты в 1950е годы были связаны с именем Г.Д. Ма-люжинца, который предложил новый в дифракции подход сведения задачи к функ-
ВВЕДЕНИЕ 4
циональным уравнениям для трансформанты интеграла Зоммерфельда и разработал метод их решения.
Далее развитие методов исследования задач дифракции в клиновидных областях проходило в различных направлениях. Мы отметим только некоторые работы, которые наиболее близки нам, так как связаны с более аккуратными в математическом смысле подходами, оставляя без обсуждения многочисленные прикладные работы физического характера.
Изучались довольно сложные клиновидные области с различными граничными условиями в электромагнитных задачах. Г.И.Макаров, А.В.Осипов и А.П.Созонов рассматривали некоторые новые интегральные уравнения ' в прозрачной клиновидной области, исследовали дифракцию цилиндрической волны на прямоугольной клиновидной структуре. А.В.Осипов (1995) предложил подход к исследованию распространения волн в секториальной: среде. В этом случае применялся .вариант интегрального представления:Конторовича-Лебедева (КЛ) и выводились сингулярные интегральные уравнения; которые требовали регуляризации. Для прямоугольных клиновидных структур оказалось возможным применение методов типа Винера-Хопфа для получения и исследования регуляризованных интегральных уравнений.
В работах A.D.Rawlins'a (1977) исследовалась дифракция на клине прямоугольной структуры сведением задачи к интегральному уравнению, полученному из формулы Грина, и решению его методом возмущений для случая слабого контраста.. К такого типа работам примыкает работа S.Bemtsen'a (1983), в которой метод, интегральных уравнений комбинируется с явными выражениями физической оптики. D.S.Jones (2000) проанализировал, применимость импедансных граничных условий для прямоугольного поглощающего клипа, исследуя соответствующее интегральное уравнение в задаче.
В работе J.Keller'a и t.Kammetzky используются формальные асимптотические методы для получения выражений дифракционных коэффициентов прозрачных клиньев или конусов, которые применяются непосредственно к краевой задаче без предварительной редукции к интегральным уравнениям. Для задачи дифракции па узком идеальном конусе получены и обоснованы асимптотики решения в работе (Mazja, Nazarow, Plamenevski; 1991)
В работе J.-M.L. Beraard'a исследовалась задача о наклонном падении плоской электромагнитной волны на ребро импедансного клина. Задача сводилась к системе спаренных функциональных уравнений (Малюжинца), а затем к нелинейному функциональному уравнению типа Риккати, Был и. выделены случаи; когда последнее допускает явное решение.
В последнее время возродился интерес к подходу, восходящему к работам RJost'a (а также S.Albeverio) и основанному на исследовании функционально-разностного (ФР) уравнения в дифракции в клиновидной области посредством его редукции к более простым уравнениям, но па некоторой римановой поверхности (см. также недавнюю работу [Antipov, Silvestrov, (2004)]),
ВВЕДЕНИЕ 5
На этом пути иногда удается получить и явные решения ( Т.В.А. Senior, S.Legaut, а также C.Demetrescu и др.) для ФР уравнений второго порядка при специальных значениях параметров. Однако, представляется естественным подход (М.А.Лялинов), основанный на дальнейшей редукции ФР уравнений второго порядка к фредгол'ьмо-вым интегральным уравнениям их полном исследовании (см. Гл. 2). В этом случае не ставится задачи получения-решения в явном виде, так как в большинстве случаев это вряд ли возможно.
В связи с аналитической теорией разностных уравнений второго порядка, локальный вариант которой развивался Дж.Биркгоффом параллельно аналитической теории дифференциальных уравнений, необходимо отметить серию работ В.С.Буслаева и А.А.Федотова [1995-2001], в которой получены достаточно общие результаты для модельных уравнений с периодическими коэффициентами/Имеется ввиду глобальная аналитическая теория таких уравнений, в частности, доказательство существования и изучение свойств так называемых минимальных решений. Эти результаты находят свое применение в спектральной теории уравнения Харпера в квантовой теории твердого телаЯ Аналогичное разностное уравнение второго порядка встречается в статистической механике (уравнение Бакстера), а также в одномерной задаче рассеяния трех частиц в квантовой теории. Стоит отметить, что ФР уравнения теории дифракции, в частности, в задаче дифракции па импедансном конусе, вообще говоря, отличаются от таких уравнений. Отличаются и постановки задач для них..
Часто приходится говорить не столько о методах получения решения ФР уравнений сколько о развитии заведомо приближенных и численных методов для исходных краевых задач в клине, например, таких как метод параболического уравнения (Г.Д. Малюжинец, А.В. Попов,.N.Y. Zhu и др.) Стоит отметить, что строгое оправдание метода параболического уравнения в задачах дифракции в клиновидной области на настоящее время отсутствует, хотя метод успешно применялся в ряде конкретных задач.
Для различных приложений наиболее интересна равномерная по углу асимптотика дальнего поля, получаемая на основе локальных асимптотик. Здесь адекватным является подход, использованный В.А.Боровиковым еще в 1960е годы. Суть его состоит в том, что локальные по углу асимптотики "сшиваются"в окрестности границ свет-тень с помощью интегралов френелевского типа. Этот подход или его эквивалентные версии многократно используются в данной работе.
Стоит отметить, что в отличие от известных строгих результатов о поведении решений в окрестности ребер и конических точек ДЛЯ:общих эллиптических задач с идеальными граничными условиями (В.А. Кондратьев, В.Т. Мазья, С.А. Назаров, Б.А. Пламеневский и др.), в теории дифракции наиболее интересны асимптотики решений вдали от сингулярных точек границы.
Параллельно был достигнут несомненный прогресс в задаче дифракции волн
2)Спектральная теория разностных уравнений представлена в большом числе публикаций.
ВВЕДЕНИЕ 6
в упругом клине. Недавние продвижения связаны с именами Б.В. Будаева, А,К. Gautesen'a, G.Lebeau, В.В.Камоцкого, В.М.Бабича и других. В работах Будаева ФР уравнения преобразовывались к сингулярным интегральным уравнениям, а затем, проводилась их. регуляризация. Однако, насколько нам известно, получаемые интегральные уравнения не являются фредгольмовыми в разумном классе функций (В.В.Камоцкий). Стоит отметить, что фредгольмовость получаемых уравнений часто является принципиально важным обстоятельством, показывающим корректность постановки задачи и возможность применения устойчивых численных методов решения.
Gautesen сводит задачу к сингулярному интегральному уравнению и, не заботясь о его регуляризации и фредгольмовости, применяет численные методы для его решения напрямую. Результаты вычислений оказываются устойчивыми и выдерживают сравнение с некоторыми другими расчетами (В.В.Камоцкий, В.М.Бабич и др.).
G.Lebeau.разработал подход, основанный на обобщении: потенциалов простого (двойного) слоя. Центральным моментом при таком подходе является так называемая теорема об изоморфизме при редукции задачи к некоторым интегрально функциональным уравнениям. С использованием подхода Lebeau, Камоцким и Lebeau были доказаны существование и еди ист ценность решения задачи дифракции плоской волны.в упругом клине.
К задачам дифракции в клиновидной области примыкают задачи рассеяния на ограниченных экранах в пространстве. Достаточно подробное и строгое исследование задач дифракциина тонких:идеально проводящих экранах предложено в работах А.С.Ильинского и Ю.Г.Смирнова. Основой подхода в этом случае является теория псевдодифифференциальных операторов (ПДО) и соответствующих операторных уравнений. В этих работах получены строгие результаты о решениях соответствующих задач, однако, насколько нам известно, реальные вычисления полей не проводились в достаточном объеме.
В первых двух главах: работы исследуется дифракция электромагнитных волн в клиновидных областях с граничными: условиями импеданского типа. Эти конкретные задачи выделены еще и тем, что находят естественное применение в качестве ключевых: задач в инженерных приложениях, хотя и не допускают явного решения.
В первой части Главы- Г приведены известные сведения, касающиеся, свойств интегралов Зоммерфельда, а также скалярных функционально-разностных уравнений. Этот материал является классическим и его изложение сопровождается.разве что некоторыми:методическими новшествами. Описанные результаты многократно используются на протяжении первых четырех глав работы.
В случае обычных импедансных граничных условий электромагнитная задача дифракции вне клина может быть расщеплена на две скалярных для ТМ,ТЕ поляризаций в случае нормального падения плоской волны.на ребро и, значит, может быть решеЕіа явно. Если такое расщепление невозможно, решение задачи значительно осложняется. К задачам такого типа относится задача дифракции на клине с анизо-
ВВЕДЕНИЕ 7
тройными поверхностными импедансами, которая также рассматривается в данной
главе.
Пусть введена полярная система координат (г, ф) вне клина с углом раскрыва
2Ф. Полярная ось OZ направлена вдоль ребра клина. Направление падения плоской
волны
Е\ ~ D] ехр(—гкт cos(<^ — фо) ),
(1) Н\ ~ I>2 ехр( —ikr cos(0 - фа) )
ортогонально к ребру клина. Электромагнитное поле выражается через компоненты Ez и Hz, которые не зависят от z-координаты. Неизвестные Ez и Нх удовлетворяют уравнению Гельмгольца в области г > О, \ф\ < 2Ф
\EZ + к^Ег = О,
Д Hz + к2 И* = О и " анизотропным "импедансным граничным условиям
(2)
% ше0
(^fl-i/ffaiC-^f)-^
ІдЕг
r дір
1 V. eq І. шДо
(-i)J+r
(3)
на обеих сторонах Si и 52 клина, гдє t$ и {л$ это материальные постоянные среды вне клина, и) угловая частота, а элементы матрицы {rj^J, j = 1, 2 определяются свойствами анизотропных покрытий.клина [Курушин и др., 1975]. Граничные условия (3) могут быть переписаны в более удобной форме
/ Г-1Р+11 ^к \
К ' г д<р
\
1,2,
(4)
где матрица В1* = [Цк }^=1 условно называется матрицей анизотропного импеданса. Элементы матрицы Bj выражаются через т^. Если 6t2 = fyn = 0: рассматриваемая задача расщепляется на две независимых для каждой поляризации, и классическое решение может быть построено в 5ІВНОЙ форме. Равенство внедиагональных элементов .матрицы В нулю соответствует случаю туп = 7/22 = 0 в граничном условии (3), т,е. отсутствию взаимности. Компоненты Ez и Hz должны удовлетворять условию Мейкснера
Е, = Qt + 0(r5), HZ^Q2 + 0(г5}, 5 > О, (5)
ВВЕДЕНИЕ 8
где (Зі, Q% и 5 постоянные. Наконец, необходимо сформулировать условие на бесконечности (г —> со). Так как мы рассматриваем дифракцию плоской волны на неограниченном рассеивателе, условие на бесконечности принимает вид
\Ez{r,
(6)
\Hz{rtv) - Н\ ~ Щ\ <:exp(-almfcr), г -н. оо, Іт (Аг) > О,
где f и Щ - плоские волны, отраженные от S в соответствии с геометрической оптикой. Выражения для ?| и Щ вычисляются явно в соответствии с граничными условиями (3), а - положительная постоянная. Решение задачи при положительных волновых числах интерпретируется в смысле принципа предельного поглощения, Im(fc) = 0. В данной Главе мы не рассматриваем содержательные вопросы обоснования принципа предельного поглощения (т.е. существование и единственность предельного решения), оставляя обсуждение соответствующих вопросов до следующей Главы,.
С использованием стандартного подхода, основанного на формуле Грина, легко доказать единственность решения.
Предложение. Если вещественная часть матрицы анизотропного импеданса неотрицательна
Im Bj > 0, j= 1,2 (7)
и, если классическое решение (1)-(7)- существует, то оно единственно.
С помощью техники интегралов Зоммерфельда и теоремы Малюжинца эта задача редуцирована к системе функционально разностных (ФР) уравнений для пары неизвестных функций. Можно показать, что система может быть сведена к матричной задаче Римана-Гильберта и, следовательно, не решается явно в общем случае. Мы не используем такую редукцию, вместо этого система функциональных уравнений исследуется непосредственно.
Система ФР уравнений с помощью техники "обращения"некоторых разностных операторов из параграфа 2 редуцируется к системе линейных (интегрально-разностных) уравнений второго.рода в весовом пространстве ЛДП() вектор-функций (,C)f регулярных в полосе, включающей мнимую ось. Справедливо следующее предложение:
Предложение. Для того, чтобы пара функций из ЛДП) была решением за~ дачи для системы ФР уравнений необходимо и достаточно, чтобы эти функции удовлетворяли системе линейных уравнений
a)-u?)m+(s)-
ВВЕДЕНИЕ 9
где К\ и К-2 линейные операторы в As(Tlf), определенные равенствами
^8ФЛя L
х ( *(г-(-1)таФ)
\ sin г — ( —
t(-T - (-1)"*Ф)
l)"*8inxm -sinr - (-l)msinxr
(9)
x ( і(т-(-1)"Ф) П-г-(-ІГФ) \ ]
V sinr - (-l)msin0m -sinr - (-l)msin0m/ J' ;
Cm(T,2) = sin дг / [cos дг + ( — l)m sin fiz], \x = тг/2Ф
сіїл |Ле(^)| < Ф. суш Ф < |Яе(г)} < Ф 4- є, то для построения продолжения выражений (9) из П на более широкую полосу Xllf мы используем процедуру аналитического продолжения S-интегралов из первой главы. Интегрирование в (9) проводится по мнимой оси.
Доказана ограниченность операторов Кі$ в уравнениях, причем К"1>2 не являются компактными.
В случае существования малого параметра (параметр взаимности) операторы оказываются сжимающими и удается построить решение этих уравнений в виде сходящихся рядов Неймана.
Традиционные асимптотические методы применяются к интегралам Зоммерфель-да, что, в частности, позволяет получить локальные и равномерные (в терминах интеграла Френеля) по углу формулы для примесной поляризации рассеянного поля. Приведен пример расчета волны примесной поляризации.
В следующем параграфе ставится и исследуется задача дифракции плоской вол-НЫ) падающей наклонно па ребро клина с анизотропным поверхностным импедансом. Постановка задачи аналогична указанной выше.
Грани клина совпадают с полуплоскостями tp — ±Ф, где 0 < Ф < 7г. Пусть гармоническая (т.е. с зависимостью от времени е~гЫ) плоская электромагнитная волна произвольной поляризации освещает клин с направления {в0,<ра), где 0 < в < тг и \ifo\ < Ф. Так z-компоненты падающего поля имеют вид
[ZQHl(r, (p;z) ЕЦг, tp; z)} = Uoexp[~ik,arcos{
(10)
Мы обозначим волновое число и внутренний импеданс однородной изотропной среды, окружающей клин, через ко и Zq. Ujo,j — 1,2 - комплексные амплитуды электрической и магнитной компонент параллельных ребру.
ВВЕДЕНИЕ 10
Мы ищем z-компоненты полного поля, учитывая, что остальные компоненты могут быть выражены через них с помощью уравнений Максвелла. Компоненты поля вдоль ребра могут быть представлены в виде
[ZoH^wz) Дг,^!Т = Щ^)ехр(ОД, Щг,^) = [[Мг,^) U2(r,
Вектор-функция U(г, (/?) удовлетворяет уравнению Гельмгольца в угловой области \<р\ <Ф,0 <г
[гдг \дг) rW .
и граничным условиям на сторонах клина
Щт,<р)=0, (12)
— - T(sm0o)ZA U(r, ±Ф) + cos0o ±j- '-, (13)
kQr dp kadr
причем
(14)
*-№«*) Нїї)
Здесь a% для j, к =-1,2- нормированные (на ZQ) элементы матриц тензорного импеданса на грани (р = ±Ф. Мы рассмотрим случай af2 = aJi =: %ъ аГг = а2\ ~'- - Для формального упрощения, общий случай изучается аналогично. Наложим условия пассивности граней (энергия поглощается на гранях клина)
ReA > 0. (15)
Электромагнитное поле выражается через 1]\ и 6 компоненты, которые удовлетворяют условию Мейкснсра
C/i = const + 0{(k0r)s), U2= const + 0{{k0r)s), 5>0 (16)
и условиям на бесконечности (волновое число имеет малую положительную мнимую часть, т.е. &о + їк, где к > 0)
{(Ui - U9,0, U2 - Щ)т\ < С е~акг, а > 0 (17)
равномерно по углу, где из полного поля вычли его геометрооптическуго часть, явное выражение для которой находится элементарными методами. Считаем, что угол раствора клина 2Ф > тг, 0 < 1 5; эг/2. Мы строим классическое решение задачи.
Доказана единственность классического решения задачи.
Выделены случаи специального типа поверхностного импеданса, когда задача допускает явное решение в квадратурах, сведением к скалярным ФР уравнениям. Этот случай соответствует возможности сведения системы ФР уравнений к виду с "треугольной" матрицей.
ВВЕДЕНИЕ 11
Последний параграф посвящен решению. указанной задачи с помощью метода возмущений при условии наличия малых параметров в задаче: почти нормальное и почти касательное падение волны на ребро. Основной целью здесь является построение относительно простых явных выражений! . для дифракционных коэффициентов, тогда как обоснование метода возмущений не приводится; ввиду того, что такое обоснование во многом повторяет подробно описанную процедуру в предыдущей задаче. Предложены приближенные выражения для дифракционных коэффициентов. В частности, для почти скользящего падения на ребро дифракционные коэффициенты выражаются в виде интегралов типа Фурье от специальной хф-ФУ"К[ши - известного обобщения функции Малюжинца.
В Главе 2 развивается метод решения задач дифракции в угловых областях, связанный с редукцией ФР уравнений (типа векторных уравнений Малюжинца) к разностным уравнениям второго порядка, а затем к интегральным уравнениям фред-гольмова.типа. В частности, рассматриваются две задачи. В качестве первого содержательного примера исследуется задача дифракции на клине, внешность которого разделена пополам тонкой диэлектрической полуплоскостью.
Пусть электрическая компонента Е2 электромагнитного поля удовлетворяет уравнению Гельмгольца в угловой области \<р\ < Ф, г > О
(A + k2)Ez=0, (18)
граничному условию на абсолютно проводящей грани клина <р = Ф
Ег(г,Ф) = 0\ (19)
так называемым условиям гюлупрозрачности3' на линии р = 0 (предполагается е_1Ш' зависимость от времени)
19 Е го<р
- J ~е\ +ікЩ[Е+ + Е~\ = О,
гду ] 2.1 г zl (20)
[Е+ - E-z) = 0,
где ys - нормированный на 1/ поверхностный адмитанс, Zq - импеданс свободного пространства, Ef. предельные значения с сверху и снизу от линии <р ~ 0,г > 0, и импедансному граничному условию на второй грани клина <р — ~Ф
-—г+ !-, = 0, (21)
г dtp г/
г} - нормированный (на Zq) поверхностный импеданс. Считаем выполненными условия Мейкснера
3Н1:шестно, что топкий диэлектрический слой может быть моделирован двусторонними граничными условиями, которые получаются в результате стандартной процедуры асимптотического разложения волнового поля по соответствующему малому параметру.
ВВЕДЕНИЕ 12
\ЕЯі < const r\ 8>-l/4
\drEz\ < const rs~l
равномерно no tp,4^ и условия на бесконечности. Это, в частности, означает, что полное электромагнитное поле принадлежит энергетическому классу решений. Мы строим классическое решение задачи дважды непрерывно дифференцируемое в области решение, имеющее непрерывные производные на гладкой части границы. Введем sin і? = ys/% 0 < Re# < їг/2, .smi?i = т}^1, 0 < Retfi < 7г/2. Строгие неравенства означают поглощение энергии,на гранях.
В качестве условий на бесконечности мы используем условия типа принципа предельного поглощения, При малой положительной мнимой части к волнового числа k = / + гк, к0 > 0 и неизлучающих гранях клиньев несложно доказать теорему сди нственности.
Пусть Ez при г — со удовлетворяет оценке
|E,(r, ip) - Е9г(г, ip)\ < const (е-ает) (22)
равномерно по у?, а > 0, причем |(г, у7) гсометрооптическая часть поля, которая элементарно находится до решения задачи и является суммой падающей и отраженных волн в соответствии с геометрической оптикой. Падающая волна имеет вид
ЕЦг, ф) = Eq ехр[—ikr сов(<р — у>о)\. (23)
Если волновое число имеет положительную мнимую часть, то условия на бесконечности сводятся к оценке (22), означающей экспоненциальное убывание рассеянного поля. В этих условиях задача имеет единственное решение.
В случае положительных волновых чисел и поглощающих граней клиновидной области решение удовлетворяет условиям излучения
— гки
da -» О, R -> оо, (24)
где и = Ег~ Е%, Sr дуга большого радиуса, и - разность полного и геометрооптичс-ского поля. В этих условиях также доказывается теорема единственности. Если одна из:граней реактивна, то есть поглощение отсутствует, то при определенном:знаке мнимой части импеданса условия излучения модифицируются, так как вдоль грани может распространяться поверхностная волна.
Решение задачи ищется в виде интегралов Зоммерфельда
E,{kr,
4'Можно показать, что 5 — т/АФ в нашем случае.
ВВЕДЕНИЕ 13
В условиях положительности мнимой части волнового числа, с помощью интеграла Зоммерфельда задача редуцируется к системе ФР уравнений, а затем к разностному уравнению второго рода для одной из двух спектральных функций, вторая находится по явным формулам. Разностное уравнение второго рода имеет вид
sin г? 1 +
,/ . л^\ , Г, sm^ 1 sina —sini?i ,. „_
5т(а + Ф).
^ ' [ ат(а-Ф)] sma + smi?i '
ф(а),
sirn? sin г? sin о; — sin ї?і п
sin(a + Ф) sin(a — Ф) sin a + sin t3j
решаемое в специальном классе меромофных функций.
Разностное уравнение преобразуется к упрощенному виду - с постоянными коэффициентами в левой: части. Для этого используется специальная Хф функция, обобщающая функцию Малюжиица. Обращением разностного оператора задача сводится к фредгольмову интегральному уравнению, которое оказывается однозначно разрешимым. Для этого, в частности, используется теорема единственности решения задачи при 1т к > 0.
Легко прослеживается предельный переход к решению с положительными волновыми числами. Справедливы утверждения
Предложение (предельное поглощение) Если "О ^ i?i не зависят от волнового числа, 0 < Re-д < тг/2, 0 < Re&\ < тг/2, то существует поточечный предел Ez(kar,(p) = hxnK^u+E2((ko + in)rt
Теорема (единственности) Пусть к > 0, 0 < Яеі? < тг/2,.0 < Rcd\ < тг/2, классическое решение задачи (18)-(21) удовлетворяет условиям Мейкснера и условиям излучения (24-). Тогда, если решение существует, то оно единственно.
Таким образом, так как предельное решение задачи удовлетворяет интегральному условию излучения Зоммерфельда, в силу теоремы единственности это приводит к обоснованию принципа предельного поглощения в данной задаче.
Как один из этапов обоснования, построена равномерная по углу асимптотика дальнего поля, которая представляет наибольший интерес в теории дифракции. Представлены также некоторые результаты расчетов.
Совершенно аналогичная программа реализована в последнем параграфе главы при исследовании задачи рассеяния плоской волны, наклонно падающей па ребро импедансного клина, которая, по-существу, уже рассматривалась в первой главе при определенных ограничениях на параметры. В этой главе предлагаемый метод позволяет избавиться от всех ограничений, связанных с применимостью метода возмущений и, тем самым, решить задачу в общей ситуации, обосновав при этом принцип предельного поглощения.
ВВЕДЕНИЕ 14
Как промежуточный результат получены равномерные асимптотики для дифракционных коэффициентов, изучено явление Вейля-Ван-дер-Поля.
В последнее время очевиден существенный прогресс в исследовании такой важной канонической задачи как дифракция па идеальном конусе. В работах В.А.Боровикова, D.S.Jones'a, В.П.Смышляева, В.М.Бабича и его сотрудников, а также ряда других исследователей, изучение этой ключевой задачи приобрело такой уровень, что задачу можно считать решенной в смысле, описанном выше.
Если не считать многочисленные исследования явного решения на идеальном круговом (эллиптическом) конусе {L.Felsen, А.Горяинов, Б.Николаев, S.Blume и др.), первые оригинальные результаты в задаче дифракции на выпуклом идеальном конусе были получены В.А.Боровиковым:(1966). Использовалась нестационарная постановка задачи, а результаты в стационарной задаче выводились с помощью преобразования Фурье. Решение задачи, было представлено в терминах гармонической -функции в единичном шаре с вырезанной в нем конусом областью. На границе ставились соответствующие условия. Была описана структура дальнего поля.. В электромагнитной задаче использовались потенциалы Дебая и она редуцировалась к двум скалярным.
В работах D.S.Jones'a исследовались вопросы единственности решения, а также обсуждались.интегральные представления решения типа Конторовича-Лебедева.
В конце 1980х годов В.П.Смышляев, используя некоторые идеи работы J.Cheeger'a и M.Taylor'а (1982), с помощью интегрального представления, тесно связанного с преобразованием Конторовича-Лебедева, свел задачу к исследованию краевой задачи для оператора типа Лапласа-Бельтрами на области единичной сферы с отверстием, вырезанным конусом. На границе отверстия выполнялись,условия Дирихле или Неймана. Для исследования координатной асимптотики и получения представления для дифракционных коэффициентов: (в области, не засвеченной: отраженными от конуса лучами) было использовано интегральное представление Зоммерфельда. Были обнаружены содержательные связи задачи со спектральными характеристиками оператора Лапласа-Бельтрами, а также с распространением особенностей решения некоторого гиперболического уравнения на единичной сфере.
Как естественное развитие этих результатов В.М.Бабичем была предложена идея исследования упомянутой задачи для оператора Лапласа-Бельтрами с помощью интегральных уравнений теории потенциала па единичной сфере. При этом, доказательство фредгольмовостй этих уравнений оказывается вполне стандартным. Кроме того, В.М.Бабичем и его сотрудниками были получены численные результаты для дифракционных коэффициентов, представленных интегралами Абеля-Пуассона. Результаты получены для произвольного выпуклого конуса. Была исследована асимптотика волнового поля в так называемых сингулярных направлениях.
Задача дифракции электромагнитных или акустических волн на-имнедансном конусе оказывается существенно более сложной, чем соответствующая задача для идеального конуса. Это видно уже из того, что даже для кругового конуса явного
ВВЕДЕНИЕ 15
решения найти не удается. Первые оригинальные результаты в этой канонической задаче получены лишь недавно J. -MX. Bernard'ом [1997] для кругового конуса. В; этой работе методом разделения переменных было выведено интегральное уравнение для коэффициентов Фурье и показано, что в L2 {заметим, что не для всех рассматриваемых свободных членов уравнения достаточно использовать L2) это уравнение является фредгольмовым, т.е, оператор представим в виде в виде ограниченно обратимого и компактного. Отмечено, что процедура полуобращения может быть выполнена явно. Приведены: также некоторые полезные оценки и свойства для коэффициентов Фурье, и связь этих оценок с некоторыми условиями исходной задачи дифракции. Хотя исходная постановка задачи все же не полна, так как нет отчетливой постановки условий излучения на бесконечности, а также не обсуждаются координатные асимптотики волнового поля, результаты работы являются вполне содержательными. В электромагнитной задаче используются аналогичные подходы, и выводятся интегральные уравнения, хотя свойства.этих уравнений и редукция их к фредгольмовым не обсуждается. Как следует из последующих совместных работ (Bernard, Lyalinov; 2004 электромагнитная задача) интегральные уравнения в этом случае должны быть дополнены двумя линейными соотношениями и может быть доказана их фредгольмовость и однозначная разрешимость. Исправлены также некоторые неточности в коэффициентах уравнений (знаки). Последовательное оправдание решения скалярной и векторной задач, вычисление координатных асимптотик, а также другие вопросы изучаются в работах (М.А.Лялинов 2003а; 2003b) и в данной диссертации. Выражения для дифракционных коэффициентов в случае узкого конуса для скалярнойи электромагнитной: задач обсуждаются в работах (Bernard, Lyalinov 1999; 2000; 2001)
Некоторые численные результаты:при осесимметричгюм рассеянии плоской волны н скалярной-задаче приведены в работе (Yu.A.Antipov; 2002).
Задачи дифракции акустических и электромагнитных волн в конусовидной области исследуются в Главах 3 и 4 соответственно.
В Главе 3 исследуется задача рассеяния плоской5' акустической волны на выпуклом импедансном конусе.
Пусть коническая поверхность С вырезает область Е на единичной сфере S2 с центром О в вершине конуса. Точки шц = (i?o, <Ро) и ш = ($, <р) на единичной сфере соответствуют направлению падения плоской волны Ul(kr, w, 0) и точке наблюдения г , О = r/r. Считаем, что плоская волна целиком освещает поверхность конуса. Пусть 9(и>, uq) геодезическое расстояние между w и wq на сфере, к- волновое число, тогда
Vі = е-'Ь-eos^M,} ^ fc = п/с. (27)
5^Б отличие от случая точечного источника, представления для поля при падении плоской волны задаются однократными, а не двукратными интегралами Конторовнча-Лебедева, что технически проще при исследовании задачи.
ВВЕДЕНИЕ 16
Гармоническая зависимость от времени є іШ здесь и в дальнейшем опускается. Рассеянное поле /(fcr,u>,wo) удовлетворяет уравнению Гельмголыда
(А + к2) U = 0, (28)
в сумме с падающим полем граничному условию
д (U + IIі)
- гкт] {U + IIі)
= О, (29)
где п - внутренняя нормаль к С, tj - импеданс. Мы считаем, что Re?/ > 0 , т.е коническая поверхность является поглощающей, если не оговорено противное. В вершине конуса решение U удовлетворяет условию Мейкснера
U-0(rh) , r\VU\ = 0(rh) , Л > —1/2 (30)
равномерно по угловым переменным, что обеспечивает локальную интегрируемость плотности энергии. Также выполнено условие
їтік f—Uds ~* 0, е^О, (31)
означающее, что поток энергии через сферу радиуса є стремится к нулю при є —+ 0. Считаем, что конус острый, т.е. Е принадлежит полусфере в S2, и выпуклый.
Предложение 1.
Пусть к > 0, Rer] > 0, классическое -решение однородной (U1 = 0) задачи дифракции на конусе, кроме прочего, удовлетворяет условиям излучения
—- - ikUl ds -> 0, R^oo, (32)
где Sk сфера радиуса R с центром в вершине конуса, тогда U = 0.
В случае, когда рассеянное поле не удовлетворяет этому условию излучения, именно, для плоской падающей волны, в работе описаны асимптотики вол ново го поля вдали от вершины. При определенных условиях на параметры задачи для волновых чисел, имеющих положительную мнимую часть, демонстрируется единственность решения и в этой ситуации.
Для плоской падающей волны, рассеянное поле ищется в виде интеграла типа Конторовича-Лебедева (КЛ)
U{kr,u,njo) =.—-= / i/sm7ri/M„(w,wo}—r —- dv , (33)
iv2ir J-ico y/{~ikr)
где и„(и?, oja) спектральная функция, удовлетворяющая задаче:
ВВЕДЕНИЕ 17
Предположим, что uv(uj,dq) дважды непрерывно дифференцируемая функция w = (в, (р), где ($, if) ~ сферические координаты в S2\S , и имеет непрерывную производную на границе а для любых v, принадлежащих полосе П^ = \у : \Rcis\ < 1 + 5} ,
г п is тт - и»
о > 0 малое; Кроме того, и„ четная и регулярная в Щ вместе с производной
где yvw - внутренняя нормаль к <т, лежащая в касательной плоскости к S2. Будем считать, что и„ решает спектральную задачу для уравнения
(Да + \v2 - 1/4)) u„(w, w0) = 0 (34)
с граничным условием
»+1
dU^x
= {-2v)r)U
(35)
U ~ uv+u[,, Аш - оператор Лапласа - Бельтрами иа сфере S2, Дш = -г—- д$ (sin в д$) +
—5- &L і ul ~ известная функция, sin 0 v
Для сходимости интегрального представления u„(u>,wo) должна экспоненциально
убывать для всех со Є 52\Е, точнее, мы потребуем, чтобы выполнялись оценки В IV
iuJit), W0) I < Const-; тт г-^т, При &'(iO, О>о) > 7Г , ft ^ 0 , (36)
|cos[(tt + є)и\\ ё > 0 некоторое малое положительное число. При в'{и,и0) < тг считаем, что
Ыы,Ч>) I < Const ~ff , К1 > -1/2, (37)
|cos[j/(?'(w,wo)]|
^(ш, ojq).= mmsec (0(w, s) + 6(s, w0)J .
Справедливо следующее утверждение для классического решения задачи (отделение радиальной переменной).
Предложение 2.
Пусть спектральная функция u^co^uq) является решением спектральной задачи в классе функций, описанном выше. Тогда, если
в'{и}и)о) > Я-/2-+ |arg(-ife)l , |arg(-tA:)| < тг/2 , (38)
интегральное представление КЛ для U является классическим решением уравнения Гелъмгольца, удовлетворяет граничному условию, условию Мейкснера и при кг —+ со в "оазисе "(в'(и),&а) > 7Г) имеет асимптотику
U(kWu;o}^D(^0)-^(l + o(^y (39)
ВВЕДЕНИЕ 18
о /чоо
D{bJ,wo) = т / vsin-Kituv(u},ujQ)dv (40)
^ J—ioa
диаграмма рассеяния.
Удобно исследовать эквивалентную задачу для спектральной функции Предложение. Для того, чтобы функция и^(ш,и>0) решала задачу в описанном выше классе функций, необходимо и достаточно, чтобы она была решением уравнения (34) и удовлетворяла условию
| := І Г
= tjAu,,^ , и*, = и* + т, (41)
t sm(wt) uv\a dt
COS(7Tf) + COs(TTt)
Во'втором параграфе наряду с доказательством Предложений показана единственность решения спектральной задачи, а.также предложено интегральное представление для решения справедливое без ограничений (38)
и(кг,и,и0)^4г^ П ^-'^4(^,^)4==^, (42)
V * Лое-1*
где Ф Є (0,7г/2), причем концы интегрирования'в интеграле справа могут быть про воден и параллельно вещественной оси, охватывая особенности, если особенности и„(ь),ojo) но v находятся в некоторой полосе вдоль этой оси. Последнее обстоятельство следует из свойств щ(іо,и;0).
Лемма. Интегральное представление (4%) является аналитическим продолоюе-нием представления КЛ на положительные значения к и любые ш S2 \ .
Третий параграф посвящен изучению разрешимости задачи для спектральной функции в случае кругового конуса. Решение ищется неполным разделением угловых переменных в виде ряда Фурье. Для коэффициентов ряда получено интегральное уравнение (см. также Bernard; 1997), проведено его полное исследование (однозначная разрешимость в Lp(0,1)), исследована сходимость ряда. Интегральное уравнение для произвольного выпуклого конуса обсуждается в Приложении к Главе.
В четвертом параграфе интегральное представление К Л преобразуется к интегралу Зоммерфельда и изучаются некоторые свойства (область регулярности) и задачи для трансформант.
Особенности трансформант отвечают различным компонентам координатной асимптотики рассеянного поля: это полюса и точки ветвления. Точки ветвления дают вклад в асимптотику дальнего поля при деформации контура в перевальный и определяют отраженную волну (5-й параграф).
ВВЕДЕНИЕ 19
Для вычисления этих особенностей в пятом параграфе используется естественная связь асимптотики спектральной функции и ее преобразования Фурье. При этом асимптотика спектральной функции находится формально с помощью лучевых соображений. Задача для ч„ зависит от v в.уравнении типа Лапласа-Бельтрами квазиклассическим образом {у -> гоо), задача решается на сфере с отверстием и нелокальным (по и) граничным условием. Роль лучей играют круги большого радиуса на сфере, которые выходят из и>0 и отражаются от границы отверстия по законам геометрической оптики. В условиях, когда падающая волна целиком освещает конус, падающие лучи пересекают границу трансверсально, и лучевой метод для вычисления асимптотики применяется традиционным образом. Осложнения могут возникать, если падающие лучи приходят к границе по касательной (зона Фока), что в данной работе не рассматривается. Преобразование Фурье "лучевого"ряда приводит к асимптотике по гладкости в окрестности искомых точек ветвления.
Вклад полюсов, поверхностные волны и коэффициенты их возбуждения, а также явление Вей ля-Ван-дер-Поля обсуждаются в 6-ом параграфе. Явление Вейля-Ван-дср-Поля имеет асимптотическое происхождение и соответствует возможности слияния полюса трансформанты Зоммерфельда и точки перевала при асимптотической оценке интеграла. В соответствующем приповерхностном пограничном слое порядка 0((кг)~1?2) по углу, описываемом интегралом Френеля, происходит интерференция поверхностной и сферической волн, распространяющихся с близкими скоростями,
Интегральные представления типа Абеля-Пуассона для дифракционного коэффициента для области, засвеченной отраженными лучами, выведены в 7-ом параграфе. Установлена их связь с аналитическим продолжением трансформанты Зоммерфельда,
Методом сшивания локальных разложений построены (параграф 8} первые два члена формальной асимптотики дифракционного коэффициента для узкого конуса, которые зависят от интегральных характеристик рассеивателя. Старший член асимптотики диаграммы рассеяния вычисляется в элементарных функциях и зависит от простейшей интегральной характеристики - длины контура сечения конической поверхности единичной сферой с центром в ее вершине. Поправочный член зависит также и от других интегральных характеристик, таких как площадь сечения и поляризация.
Приложения к главе посвящены некоторому вспомогательному техническому материалу или дополнительным замечаниям к основному тексту.
В Главе 4 мы исследуем дифракцию плоской падающей электромагнитной волны на выпуклом конусе с анизотропными импедансными граничными условиями на поверхности.
Волновое поле удовлетворяет уравнениям Максвелла
-гкЕ = rot(2bff), ikZ0H = rotE, (43)
div = 0, divtf = 0, (44)
ВВЕДЕНИЕ 20
условиям Мейкснера в вершине конуса
Р := Re
~ |((ЛГ, Е Л Z0ir) + (Л", * Л Я0Я ))ds
L 5S J
О, <г -> 0, (45)
где Єє - сфера малого радиуса є с центром в вершине, Af - внутренняя нормаль к сфере и * означает комплексное сопряжение, (.,.) - скалярное произведение в Я3. Условие (45) подразумевает, что поток энергии через сферу радиуса є исчезает в пределе. Считаем, что плотность энергии локально интегрируема
f{\E\2 + \ZQH\2)dv < const. (46)
На границе конуса С выполнены условия с анизотропным поверхностным импедансом. Конус С предполагается гладким вне вершины, т.е. из С2,
(47)
где г, $ обозначают радиальную и ортогональные к радиальной касательные к поверхности С компоненты поля. Матрица
Л:=
- матрица нормированного поверхностного анизотропного импеданса. Предполагается, что вещественная часть этой матрицы положительно определена
ПеЛ > 0. (48)
Обратимся к условиям излучения на бесконечности. Мы используем их интегральную форму
aR := I \E-erAZ0H\2ds -* 0, / := I \Z0H + eT AE\2ds -*0пряй->оо, (49)
sR Sr
где 5д - часть сферы радиуса R, расположенная вне конуса, ет = r/jrj.
Б этих условиях показано, что классическое решение задачи, если существует, то только одно.
В следующем параграфе обсуждаются условия излучения в случае падения плоской волны, а также некоторые следствия условий Мейкснера.
ВВЕДЕНИЕ 21
В третьем параграфе вводятся потенциалы Дебая
Ё = eT{df(ru) + к2ги) + г~гУшдг(ги) + ikV^v Л еГ,
ZqH .= eT(dr(rv) + k2rv) + г~1^^дт(ту) - ikVwu Л еТі гщ
Vм = евде + ~~0^ з\пв
и для них формулируется краевая задача.
В частности, справедливо
Предложение 3. Пусть потенциалы {u,v) являются классическими решениями (из С2) уравнения Гельмголъца
/\и + к2и = 0, (51)
Av + k2v~0 (52)
в области впе конуса. Если, кроме того, потенциалы в гладких точках границы удовлетворяют условиям
"- (*+U (I <*>)) - [*<*>+*2лі S№г)+*ЗД] (и)
где и = г> + и*, й = w + ti', (u%ul потенч«олы падающей волны), тогда полное поле, построенное по формулам Дебая, является классическим решением уравнений Максвелла и удовлетворяет анизотропным граничным условиям, а^ связаны с эле-ментами матрицы анизотропного импеданса.
Обсуждается связь свойств потенциалов с условиями Мейкснера и с условиями на бесконечности.
В четвертом параграфе вводятся представления типа КЛ для потенциалов и формулируется задача для спектральных функций. Спектральные функции gu
&u9u,v + {1? - l/4)pulV = 0 , (54)
a gu Joj, uq, 1/2) решагот аналогичное уравнение с и — 1/2, удовлетворяют граничным
ВВЕДЕНИЕ 22
условиям
\ t(ft.+fia^+i)-(ff«.+ffU("-i)]L +
+ ~~[(ff,+91)(^+1)-{9у+0І)(^-1))1 +
+Q2l"
г^
(і/2 - 1/4) dN
(0« + э)|,И
_i г с?
(& + sJ)>+i) ^ (A. + ffJ)(f-i)"
(^+1/2)
(*-1/2)
т ~
[(^ + ^)^ + 1)-(^ + 5^)^-1)11,+
(55)
г an
+ 2^ [(^ + ^)(^+1)-(^ + 30(^-^1.+
(ги д
+ ("«и)
Vі -IfA) 8N
_і і' с1 2
(я>+ $!«>) =
(9u + 9i)W+l) ^ ($« + ffi)(f-l)
an -
(v+1/2) («/-1/2)
для v ф ±1/2, и принадлежат классу мероморфпых функций по спектральной переменной, экспоненциально убывающих на мнимой бесконечности, g%uv известны и определяются падающей волной.
В пятом параграфе на основе интегральных представлений выведены асимптотические выражения для дифракционных коэффициентов в случае узкого конуса в области, где в дальнем поле присутствует только сферическая волна от вершины
[oi2cos/? + ansin/?] sin0 sin0о /, іЛ/Я2і a \\
A> = l(
4тг (cos 0 + cos eQf-
[й2і sin /3 + a22 cos /3] sin в sin #0
(cos0 + COS 0o)
(l + O^logA,)),
(56)
k- длина контура границы отверстия Е в сфере S2,j3- угол, определяющий поляризацию падающей волны, /Зо малый параметр, ш = (#, <р), wq = 0?о. 'о)- В частном случае изотропного импедапеного конуса приходим к известному результату [Bernard, Lyalinov, 2004], а2\ = —1//J, aw = Z, a%2 = an — 0.
Шестой параграф посвящен редукции краевой задачи для спектральных функций к фредгольмовым интегральным уравнениям. Неполным разделением угловых переменных, приходим к системе ФР уравнений для.коэффициентов ряда Фурье.
Система ФР уравнений преобразуется к системе интегральных уравнений второго рода, нагруженной двумя линейными соотношениями. Показано, что при определенных условиях полученные уравнения обладают фредгольмовым свойством в ^2(0,1):
ВВЕДЕНИЕ 23
оператор в уравнениях представим в виде суммы ограниченно обратимого и компактного. Этот результат получен методами исследования, близкими к использованным в скалярной задаче.
В седьмом параграфе рассматривается частный случай изотропного импеданса, причем получены численные результаты для дифракционных коэффициентов в случае осесимметричного падения плоской волны. Как и в предыдущем параграфе выведены нагруженные фредгольмовы интегральные уравнен ия} построена схема дискретизации для их численного решения, представлены результаты расчета.
Вычисления асимптотики дальнего поля аналогичны скалярному случаю главы 4 и основаны на редукции интегралов Конторовича-Лебедева к интегралам Зоммер-фельда {параграф 8). Обсуждается асимптотика дальнего поля вблизи границы области, освещенной отражеЕтными лучами, и оазисом, в так называемой переходной зоне. Асимптотика описывается в терминах функций параболического цилиндра. Этот случай соответствует близости точки ветвления и точки перевала при асимптотической оценке интеграла Зоммерфельда,
В'девятом параграфе изучается попрос о возникновении электромагнитных поверхностных волн рэлеевского типа. Для этого, исследуются полюсы трансформант Зоммерфельда, которые могут быть захвачены при при деформации контура в перевальные.
Хотя результаты аналогичны скалярному случаю, существует принципиальное отличие, состоящее в том, что электромагнитные поверхностные волны существуют всегда. Тип этих волн - электрический или магнитный, определяется знаком мнимой части поверхностного импеданса. Для осесимметричного случая получены выражения для коэффициентов возбуждения.
В последнем пункте параграфа кратко обсуждаются интегральные представления типа Абеля-Пуассона для дифракционных коэффициентов в области,. засвеченной отраженными лучами.
Приложения к главе посвящены вспомогательным или техническим вопросам, используемым в основном тексте.
Еще один круг задач, рассматриваемых в диссертационной работе, связан с изучением возмущения плоской волны равномерно расширяющимися гладкими объектами (цилиндрами, сферами) с граничными условиями Дирихле, Неймана или импеданс-ными. Задачи исследования параметрических колебаний в областях с подвижными границами находят применение в различных областях инженерной и: исследовательской практики. Стоит упомянуть, например, существовавший интерес к задачам, связанным с радиоизлучением при воздушном ядерном взрыве.
Среди работ математического характера, примыкающих к данной тематике, отметим работу С.Л.Соболева (1942), в которой рассматриваются корректные постановки задач и некоторые оценки решения волнового уравнения внутри области с подвижными границами.
В 1960-1970е годы появилась серия работ В.Н.Краснльникова и В,А.Класса, по-
ВВЕДЕНИЕ 24
священная изучению рассеяния электромагнитных волн сферой (цилиндром) с изменяющимся радиусом. Применялись различные приближения при изучении.задач, исследовались различные асимптотические режимы. Основные результаты приведены із .монографии (Красильников; 1996). Рассмотрения велись.в основном на так называемом "физическом"уровне строгости. По нашему мнению, следовало уделить большее внимание исследованию момента возникновения сферы: (или началу, взаимодействия с фронтом нестационарной плоской волны) при постановке задачи, а также изучению поведения волны возмущения в окрестности ее фронта. Аналогичная задача исследовалась в. работах J.Lahm'a (1968) и М.А.Лялинова (1994,1999), В.М.Бабича и М.А.Лялинова (1998). В последней работе, в частности, обсуждаются условия типа Мейкснера для момента возникновения расширяющейся поверхности, а также поведение поля в окрестности фронта волны возмущения. Изучается корректная постановка и доказаны некоторые теоремы единственности.
В Главе 5 исследуется класс задач дифракции волн на равномерно расширяющихся гладких объектах.
Изучаются волны возмущения, появляющиеся в процессе взаимодействия невозмущенной волны с равномерно расширяющейся поверхностью.
Во вводном параграфе к главе кратко обсуждаются некоторые известные работы, описывается круг задач,, в которых может быть использованы развиваемые подходы, а также возможные методы решения такого сорта задач, в частности, пространственно-временной лучевой метод, описана физическая мотивировка для последующей (во втором параграфе) постановки задачи.
В следующем параграфе представлена мотивированная постановка задач с различными граничными условиями на расширяющейся поверхности.
Волновое поле и = Ег (или-и = #z) удовлетворяет уравнению
(Дх,у - dl) и = 0, (57)
и = v + иг,
невозмущенная волна.
На расширяющемся цилиндре (контуре его поперечного сечения) $т = \{х,у) : Ф(сс/т,у/т) = О, г > D ], т фиксировано, выполнено импедаисное граничное условие
Wo дії Du\ W дт + дп)
= 0 , WD = J^ , (58)
От *
либо условия Дирихле или Неймана.
Возмущенное волновое поле.и(т,х,#) удовлетворяет начальным условиям
т = о =0, (59)
х ф 0, у ф О
ВВЕДЕНИЕ 25
dv дт
r = o =0, (60)
х ф 0, у ф О
которые означают, что полное поле u = v + и1 в начальный момент времени совпадает с невозмущенной волной везде, кроме линии (точки) х = у — 0 возникновения расширяющегося цилиндра (контура), так как решение не зависит от г.
В последующие моменты времени т > 0 волна возмущения занимает область между фронтом х2 + у2 — т2 (г фиксировано) и контуром ST С R2. Таким образом, решение v(t, х, у) отлично от нуля между двумя конусами - световым Ей конусом S, представляющим расширяющийся цилиндр в пространстве Минковского.
Точка х = у = т — 0 является сингулярной (конической) точкой решения и. Естественно описать поведение решения и в окрестности сингулярной точки условием типа Мейкснера в вершине
If {\VxVv\2 + \dTv\2) dxdy - 0, т0 -+0, (61)
1 Jain)
где 17 (т0) С Ш? - область между конусами и S в момент времени т = т0.
Решение и[т, ж, у) равно нулю при х2 + у2 > т2, г > 0 и справедлива асимптотика
v(r,x>y) ^ О (^т2-х^ту т>0,
(62) т- -Jx? + у2 ~+ 0+ .
В частности, это позволяет с помощью формулы Кирхгоффа перейти к задаче для волнового уравнения между конусами (световым и конической поверхностью 5) в пространстве Минковского. В задаче с граничным условием Дирихле необходимо это условие несколько изменить.
Ищется классическое решение волнового уравнения в области, удовлетворяющее граничным условиям и условию типа Мейкснера.
Основная часть параграфа посвящена вычислению оценок типа (62) для задач в пространствах Минковского М3, М4 в случае задач для волнового уравнения, а также уравнений Максвелла. Используются классы однородных решений волнового уравнения для изучения решения в окрестности фронта. В случае уравігепий Максвелла для редукции к волновому уравнению использованы нестационарные потенциалы Дебая.
Для импедансных условий (или Неймана) в третьем параграфе доказана единственность классических решений с помощью энергетических соображений.
В 4-ом параграфе решение для волны возмущения ищется отделением псевдора-дилышй переменной,
m=0
ВВЕДЕНИЕ 20
и формулируется спектральная задача для оператора Лапласа-Бельтрами на псевдосфере Я (верхняя полость гиперболида) с отверстием Ё, вырезанным конусом S
Ooi>m - >>mvm = 0, Am = m(m+1), m = 0,1,..., (64)
vm \st ~ j—(coshtf -smhi9cos<^)m |ag (65)
для условия Дирихле на S1.6' С этой задачей связывается естественный самосопряженный оператор, а задача однозначно разрешима для указанных значений Хт. Здесь становится очевидной связь с соответствующей спектральной задачей для импеданс-ного конуса, хотя соответствующее граничное условие проще - оно локально.
Задача для неспектральных значений параметра т, с помощью потенциала двойного слоя, сводится к интегральному уравнению второго рода с непрерывным ядром. Оценки ядра показывают, что свойства уравнения не ухудшаются с ростом параметра.
В осесимметричном случае (круговой конус S) решение находится полным разделением переменных в терминах функций Лежандра. Приведены некоторые результаты расчетов волны возмущения.
В пятом параграфе получен старший член формальной асимптотики решения задачи для медленно расширяющейся поверхности для условий Дирихле и импедансно-го. Асимптотика решения строится на основе сшивания локальных асимптотических разложений для эллиптических уравнений на многообразии с малым отверстием. В обоих случаях старший член зависит от интегральных характеристик рассеивателя (винеровская емкость и длина контура соответственно).
В последнем параграфе построена модель типа потенциала нулевого радиуса для задачи Дирихле на основе стандартной техники самосопряженных расширений. По-существу, задача сводится к самосопряженному расширению некоторого обыкновенно і 'о дифференциального оператора, а неизвестный в рамках теории параметр расширения находится сравнением с асимптотическим решением задачи. В итоге, возникает модель - начально-краевая задача для волнового уравнения с некоторым граничным условием на временной оси. Модель является явно разрешимой, и ее решение совпадает со старшим членом асимптотики решения исходной задачи в условиях медленного расширения.
Приложения к главе посвящены вопросам физического обоснования постановки задач, а также выводу сингулярного интегрального уравнения, соответствующего спектральной задаче с импедансньши условиями.
В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Научная новизна и практическая ценность.
Основные новые результаты, полученные в работе, состоят в следующем
6'Для импедаисного краевого условия возникает так называемая задача с косой производной, соответствующее сингулярное интегральное уравнение выведено в Приложении к Главе.
ВВЕДЕНИЕ 27
Предложены корректные постановки задач дифракции в угловой области и доказаны теоремы единственности решений на основе интегрального варианта условий излучения Зоммерфельда.
С помощью интегралов Зоммерфельда задача сведена к системе ФР уравнений в адекватном классе функций. Для случая, когда задача дифракции-в клиновидной области имеет естественный малый:параметр, векторная система ФР уравнений преобразована к системе интегрально-функциональных уравнений в некотором пространстве и доказаны сжимающие свойства операторов. Решение уравнений построено в виде сходящихся рядов Неймана.
Получены координатные асимптотики и вычислены приближенные выражения для: дифракционных коэффициентов; выведено выражение для волны примесной поляризации > (клин с анизотропными условиями на гранях), а также приближенные выражения для дифракционных коэффициентов (наклонное падение на импедансный клин).
Для сложных клиновидных областей (в случае общего положения, когда малые параметры в задаче отсутствуют) с граничными условиями импедансного типа предложена замкнутая постановка задачи при положительных волновых числах (с интегральными условиями излучения Зоммерфельда) и при волновых числах, имеющих малую мнимую часть. Доказаны теоремы единственности и существования, обоснован принцип предельного поглощения (гл 2),
Для достижения этих результатов использован новый в теории дифракция подход, основанный на редукции системы ФР уравнений в некотором классе ме-роморфных функций к разностному уравнению второго порядка, а затем к интегральному уравнению фредгольмова типа. Доказана однозначная разрешимость последнего и построена численная схема его решения. Выведены равномерные по углу координатные асимптотики решения. Приведены результаты численного моделирования.
В задаче дифракции на пассивном выпуклом импедансном конусе (гл. 3) доказана теорема единственности классического решения при освещении:компактным источником при положительных волновых числах. Для плоской падающей волны, на основе интегралов Конторовича-Лебедева (КЛ) задача редуцирована к краевой задаче для оператора типа Лапласа-Бельтрами на единичной сфере с отверстием, вырезанным конусом, и нелокальными граничными условиями для спектральных функций. Тем самым, предложено обобщение подхода, использованного для идеальных условий,7 на случай импедансных условий.
Выделен класс мероморфных функций, в котором задача спектральной функции имеет единственное решение. Существование доказано для случая кругового конуса дополнительным неполным разделением угловых переменных. Для
ВВЕДЕНИЕ 28
коэффициентов Фурье получено и исследовано интегральное уравнение второго рода.в р(0,1), 1 < р < р*. На основе метода полуобращения доказана однозначная разрешимость уравнения и сходимость ряда Фурье.
Интегралы К Л для решения преобразованы к интегралам Зоммерфельда с целью построения координатных асимптотик решения. Изучены особенности трансформант Зоммерфельда,
Построены координатные асимптотики решения,.предложены выражения для дифракционных коэффициентов, описаны условия возникновения и вычислены-"поверхностные" волны вблизи импедансной поверхности конуса. Изучено явление Вейля-Ван-дер-Поля.
Для случая узкого импедансного конуса вычислены старший член и первая поправка формальной асимптотики дифракционного коэффициента в области, не засвеченной отраженными лучами.
Предложена постановка и доказана единственность классического решения электромагнитной задачи рассеяния волн на выпуклом конусе с анизотропным пассивным поверхностным импедансом при положительных волновых числах (гл. 4).
С использованием потенциалов Дебая задача рассеяния сведена к задаче для уравнения Гельмгольца для пары.скалярных потенциалов и сложных (анизотропных) граничных условий импедансного типа на границе конуса. Посредством интегральных представлений КЛ выведена задача для пары спектральных функций, удовлетворяющих уравнениям типа Лапласа-Бельтрами на единичной сфере с отверстием и нелокальными связанными граничными условиями на границе.
В случае кругового конуса неполным разделением угловых переменных построена задача для системы ФР уравнений второго порядка для коэффициентов Фурье, которая обобщает систему в случае изотропного импеданса. Система преобразуется к нагруженным (т.е. с дополнительными алгебраическими линейными уравнениями) интегральным уравнениям, для которых доказана их фредгольмовость.
Для случая изотропного импеданса предложена численная схема решения интегральных уравнении.и для осесимметричной ситуации получены численные результаты для дифракционных коэффициентов в области, не засвеченной отраженными лучами.
С использованием связи интегралов КЛ и Зоммерфельда выведены координатные асимптотики, для чего изучены особенности трансформант Зоммерфельда.
ВВЕДЕНИЕ 29
В неравномерной асимптотике выделены сферическая волна от вершины, волна, отраженная: от: конуса по законам геометрической оптики, поверхностные, волны (случаи электрического и магнитного типов.поверхностных волн). Вычислен старший;член асимптотики волнового поля в окрестности сингулярных направлений в: терминах функций параболического цилиндра.
Получены старшие члены формальной.асимптотики для дифракционных коэффициентов в области, не засвеченной отраженными лучами, в случае узкого конуса с анизотропным поверхностным импедансом.
Предложены замкнутые постановки задач рассеяния плоской волны равномерно расширяющимся гладким телом (цилиндр, сфера), возникающим в некоторый начальный момент времени (гл. 5). Для классического решения доказаны теоремы единственности, изучено поведение решения в окрестности фронта волны возмущения. (Изучаются случаи идеальных и импедаисных граничных, условий.)
Решение строится отделением псевдорадиальной: переменной, устанавливается связь со спектральной задачей для оператора типа Лапласа-Бельтрами на псевдосфере с отверстием. Задача для спектральной функции (на псевдосфере с отверстием) сведена к интегральному уравнению теории потенциала двойного слоя.(условие Дирихле) со стандартными свойствами интегрального оператора; Для осесимметричного случая решение задачи получено разделением переменных явно в терминах функций Лежандра.
При малой относительной скорости расширения цилиндра получена формальная асимптотика решения, а также для условий Дирихле на основе теории самосопряженных расширений построена модель задачи типа потенциала нулевого радиуса;
Аналитические подходы^ разработанные в главах, 3,4, нашли свое применение в задаче электромагнитной дифракции на полупрозрачной конической поверхности, а также в скалярной задаче дифракции на прозрачном конусе (М.А.Лялинов; 2003).7^
Полученные результаты могут быть использованы в качестве ключевых блоков при построении теории распространения волн и в более сложных, чем рассмотренные, задачах. На основе принципа локальности в высокочастотной теории распространения, волн дифракционные коэффициенты в изученных канонических задачах могут быть применены для.создания.равномерных вариантов асимптотической теории в сложных областях, имеющих ребра или конические точки импедаисной границы. Обычно, создание компьютерных алгоритмов, основанных на такого рода асимптотических формулах, не вызывает серьезных трудностей. При этом, соответствую-
7'Соответствующие результаты не приведены в диссертационной работе.
ВВЕДЕНИЕ ЗО
щие программы обладают надежностью и относительным быстродействием, а полученные численные результаты допускают однозначную физическую интерпретацию. Таким образом, в работе развит единый математически обоснованный подход к исследованию достаточно широкого класса канонических задач, не допускающих явного решения, в клиновидных или конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа. Предлагаемый подход обобщает известные методы для идеальных граничных условий (а также для случая явного решения некоторых задач с импеданснъшч условиями) и дает новые возможности для изучения более сложных канонических задач с импедансиыми граничными условиями.
ВВЕДЕНИЕ 31
Положения, выносимые на защиту.
Развит единый математически обоснованный подход к изучению канонических задач, не допускающих явного решения, в клиновидных или конусовидных областях с граничными условиями импедансного типа. Предлагаемый подход обобщает известные методы на более сложные канонические задачи с импе-дансиыми граничными условиями.
В частности, разработан способ вычисления дифракционных коэффициентов в клиновидных областях с граничными условиями импедансного типа на основе редукции разностных уравнений второго порядка к интегральным. Предложен и обоснован принцип предельного поглощения для такого класса задач.
Предложен метод возмущений и его обоснование для решения спаренных функциональных уравнений Малюжинца в задачах дифракции в клиновидных областях для сложных (анизотропных) граничных условий. Построены равномерные асимптотики дальнего поля. Предложены приближенные формулы для дифракционных коэффициентов.
Построена математически: обоснованная теория волновых явлений (на основе неполного разделения переменных) для задач дифракции в конусовидной области с граничными условиями импедансного типа.
Вычислены дифракционные коэффициенты. в задачах дифракции акустических и электромагнитных волн на выпуклом импсдансном конусе. Получена асимптотика дифракционных коэффициентов для узкого конуса и исследована структура волнового поля вдали от вершины.
Предложена теория поверхностных волн рэлеевского типа, распространяющихся от вершины импедансного конуса и изучены условия возникновения явления-Вей ля-Ван-дер-Пол я.
Описаны корректная постановка задачи и процедура вычисления волны возмущения от равномерно расширяющегося гладкого объекта. Выведена формальная асимптотика решения задачи для медленного расширения поверхности.
