Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи исследования 15
1.1. Современное состояние проблемы 15
1.2. Уравнения движения акустической среды в специальной криволинейной системе координат 43
1.3. Основные соотношения теории тонких упругих оболочек 50
1.4. Постановка начально-краевых задач о дифракции акустических волн 54
1.5. Функции влияния в нестационарных задачах дифракции акустических волн на криволинейных препятствиях 57
Глава 2. Определение переходных функций в задачах гидроупругости 60
2.1. Гипотеза 1 для пространственной задачи 60
2.2. Гипотеза 2 для пространственной задачи 63
2.3. Гипотеза 3 для пространственной задачи 70
2.4. Оценка точности гипотез для пространственной задачи 73
2.5. Переходная функция в плоской задаче дифракции 79
2.6. Гипотеза 1 для плоской задачи 81
2.7. Гипотеза 2 для решения плоской задачи 84
2.8. Гипотеза 3 для плоского случая 87
2.9. Оценка точности гипотез для плоской задачи 88
Глава 3. Дифракция акустических волн давления на выпуклых поверхностях 92
3.1. Дифракция плоской волны давления на выпуклых поверхностях (пространственная задача) 92
3.2. Дифракции сферической волны давления на выпуклых поверхностях 105
3.3. Дифракция плоской волны давления на выпуклых поверхностях (плоская задача) 114
3.4. Дифракция цилиндрической волны давления на выпуклых поверхностях (плоская задача) 123
Глава 4. Построение конечно-разностных схем для интегрирования связанных задач гидроупругости тонких оболочек 135
4.1. Постановка задачи 135
4.2. Конечно-разностная аппроксимация уравнений движения акустической среды 137
4.3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений движения оболочек 142
4.3.1 Операторная запись уравнений движения оболочки 142
4.3.2 Разностная аппроксимация дифференциальных операторов .145 4.3.3. Сходимость конечно-разностных схем 149
4.4. Аппроксимация внешней нагрузки, действующей на оболочку 156
4.5. Сравнительное исследование используемых разностных схем 159
Глава 5. Плоские нестационарные задачи дифракции акустических волн на оболочках в форме криволинейного цилиндра 162
5.1. Дифракция плоской косой акустической волны давления на упругих криволинейных цилиндрических оболочках 162
5.1.1 Дифракция плоской косой волны давления на параболической оболочке 163
5.1.2 Дифракция плоской косой волны давления на эллиптической оболочке 167
5.2. Дифракция цилиндрической волны давления на упругих криволинейных оболочках 181
5.2.1 Дифракция цилиндрической волны давления на гиперболической оболочке 181
Глава 6. Осесимметричные задачи дифракции акустических волн давления на оболочках вращения 194
6.1 Дифракция плоской акустической волны давления на оболочках вращения 194
6.1.1 Дифракция плоской волны давления на оболочке в форме параболоида вращения 195
6.1.2 Дифракция плоской волны давления на оболочке в виде эллипсоида вращения 200
6.1.3 Дифракция плоской волны давления на оболочке в виде гиперболоида вращения 206
6.2 Дифракция сферической акустической волны давления на оболочках вращения 212
Основные выводы 214
Библиографический список
- Основные соотношения теории тонких упругих оболочек
- Оценка точности гипотез для пространственной задачи
- Дифракция плоской волны давления на выпуклых поверхностях (плоская задача)
- Операторная запись уравнений движения оболочки
Введение к работе
Актуальность темы. Одной из наиболее актуальных проблем современной механики является исследование нестационарного взаимодействия ударных волн, распространяющихся в сплошных средах, с различными деформируемыми преградами. К настоящему моменту существует всего несколько точных решений задач такого класса лишь для простейших частных случаев. Исследования в данной области представляют значительный интерес как с точки зрения развития математических методов решения начально-краевых задач механики, так и для ряда технических приложений, в частности, расчета тонкостенных элементов конструкций, нагружаемых ударными волнами в жидкости.
В настоящей работе изучается динамическое поведение тонкостенных упругих изотропных оболочек, погруженных в жидкость и подверженных воздействию акустических ударных волн. Основное внимание уделяется построению приближенных моделей взаимодействия деформируемой оболочки с дифрагирующей на ней волной. Основным математическим аппаратом, развиваемым в работе, являются переходные функции -фундаментальные решения нестационарной начально-краевой задачи дифракции акустической среды на гладкой выпуклой поверхности. Применение переходных функций обеспечивает переход от решения связанной нестационарной задачи совместного движения акустической среды и деформируемого препятствия к решению задачи только для препятствия, математическая модель которого учитывает взаимодействие с окружающей средой в форме интегральных соотношений. Ядра интегральных членов уравнений движения препятствия формируются на основе переходных функций задачи дифракции. Таким образом, сокращается размерность задачи, что позволяет заметно упростить численное решение на основе конечно-элементного или конечно-разностного подхода, а в некоторых важ-
ных частных случаях построить аналитические решения и провести оценку погрешности, вносимую принимаемыми гипотезами.
Целью работы является построение приближенных моделей взаимодействия акустической волны в идеальной жидкости с деформируемым препятствием, позволяющих получить фундаментальные решения в замкнутой форме, постановка начально-краевых задач движения упругих оболочек с учетом влияния внешней среды в виде интегральных соотношений на основе построенных фундаментальных решений и разработка методик их решения.
Для реализации цели работы поставлены следующие задачи:
критический анализ существующих методов решения нестационарных задач дифракции акустической среды на деформируемых препятствиях,
построение приближенных моделей дифракции акустических волн на гладких выпуклых препятствиях, основанных на введении ряда упрощающих гипотез,
анализ принимаемых гипотез на основе оценки погрешности, вносимой в постановку задачи их применением, и выбор основной гипотезы,
построение в специальных функциях фундаментального решения задачи дифракции акустической волны на произвольной канонической поверхности второго порядка,
вывод интегро-дифференциальных уравнений движения упругой оболочки, учитывающих взаимодействие с жидкостью за счет введения интегральных членов на основе построенных фундаментальных решений,
разработка численных методов решения полученных интегро-дифференциальных уравнений движения упругих оболочек,
исследование сходимости применяемых разностных схем при различных разностных шаблонах и выбор наилучшей схемы,
обоснование эффективности предлагаемого метода путем сравнения построенных приближенных решений с численными решениями, полученными в точной постановке задачи дифракции,
исследование нестационарного деформированного состояния тонких оболочек переменной кривизны, взаимодействующих со слабыми ударными волнами, на базе разработанного метода.
Научная новизна заключается в следующих результатах работы:
формулировке и теоретическом обосновании упрощающих гипотез, применяемых при построении фундаментальных решений задачи дифракции акустических волн на гладких выпуклых препятствиях,
получении новых переходных функций задач взаимодействия акустической среды с абсолютно жесткими препятствиями,
построении новых приближенных аналитических решений ряда задач дифракции акустических волн на канонических поверхностях второго порядка,
формулировке новых математических моделей взаимодействия упругих оболочек с акустическими средами в форме интегро-дифференциальных уравнений движения с непрерывными ядрами интегральных операторов,
построении конечно-разностных схем решения интегро-дифферен-циальных уравнений движения упругих оболочек в акустической среде,
исследовании сходимости разностных схем, построенных на различных разностных шаблонах в пространственной и временной области, и выборе наивыгоднейшей разностной схемы,
получении численных решений ряда задач о нестационарном деформированном состоянии упругих оболочек переменной кривизны, подверженных воздействию акустических ударных волн.
Достоверность результатов работы обосновывается:
выбором развиваемой методики на основе критического анализа результатов, полученных ранее в области проводимого исследования,
применением апробированного математического аппарата при построении аналитических и численных решений,
проведением исследования погрешности, вносимой различными вариантами гипотез, путем сравнения с решением задачи в точной постановке,
сопоставлением полученных решений с результатами, полученными ранее рядом авторов на основе различных методов.
Апробация работы. Результаты работы представлены в форме докладов на следующих конференциях:
IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.),
III Всероссийской конференции по теории упругости (Азов, 2003 г.),
XIX-XX Всероссийских конференциях «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2003-2005 г.),
I-XIII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 1995-2007 г.),
Международных конференциях «Авиация и космонавтика» (Москва, 2001-2006 г.),
семинарах кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (государственного технического университета).
Основные результаты работы опубликованы в 12 статьях, в том числе 5 - в периодических изданиях, рекомендованных ВАК.
На защиту выносятся:
модифицированная гипотеза тонкого слоя, применяемая при построении приближенных решений задач дифракции акустической среды на гладких выпуклых препятствиях,
фундаментальные решения двумерных задач дифракции плоских и цилиндрических акустических волн на криволинейных цилиндрах,
фундаментальные решения пространственных задач дифракции плоских и сферических акустических волн на поверхностях вращения,
интегродифференциальные уравнения движения упругих оболочек в акустических средах с ядрами, полученными на основе предложенных фундаментальных решений,
разностные схемы численного решения интегродифференциальных уравнений движения упругих оболочек в акустической среде,
результаты исследования динамического поведения упругих оболочек под действием акустических волн в жидкости предложенным методом.
Содержание работы. 1. Первая глава посвящена постановке задач исследования на основе анализа основных результатов, достигнутых к настоящему времени.
Первый параграф главы посвящен развернутому обзору опубликованных работ и критическому анализу основных методов решения рассматриваемого класса задач. Отдельно рассматриваются точные и приближенные, в том числе и численные, методы решения нестационарных задач дифракции акустических волн на различных препятствиях, как жестких, так и деформируемых, и задач излучения акустических волн движущимися препятствиями.
Во втором параграфе главы приводится постановка нестационарной задачи динамики идеальной сжимаемой жидкости и линеаризованная модель акустической среды. Задача сформулирована в произвольной
криволинейной системе координат, как частный случай, рассматривается ортогональная система координат, связанная с гладкой выпуклой поверхностью. Приведена постановка задачи динамики акустической среды в потенциалах, сводящаяся к одному волновому уравнению.
В третьем параграфе главы 1 приведена постановка нестационарной задачи динамики упругой оболочки средней толщины, основанная на сдвиговой модели (Райсснера-Миндлина-Тимошенко).
В четвертом параграфе формулируется задача о дифракции акустической волны на жестком или деформируемом препятствии. В последнем случае в силу линейности модели акустической среды решение сведено к суперпозиция решений задачи о дифракции волны на неподвижной абсолютно жесткой поверхности и задачи об излучении акустической волны движущейся поверхностью.
В пятом параграфе излагается постановка задачи об определении фундаментального решения нестационарной задачи о дифракции акустических волн на гладких поверхностях и метод определения давления акустической среды на поверхностях жестких или деформируемых препятствий на основе фундаментальных решений.
2. Вторая глава диссертации посвящена исследованию различных гипотез, применяемых при упрощении постановки задачи о дифракции акустической волны на выпуклом препятствии, обоснованию и выбору оптимальной гипотезы.
2.1. В первом параграфе рассматривается гипотеза нормального движения, согласно которой давление на поверхности препятствия создается в основном за счет движения акустической среды по нормали к поверхности, влияние движения по касательной мало. За счет пренебрежения производными по криволинейным координатам и сохранения в волновом уравнении только производной по нормальной координате трехмерная начально-краевая задача сводится к одномерной, допускающей
аналитическое решение на основе интегрального преобразования Лапласа по времени.
Во втором параграфе рассматривается гипотеза о независимости коэффициентов волнового уравнения от координаты, нормальной к поверхности. Таким образом, разыскивается решение волнового уравнения, соответствующее состоянию акустической среды на поверхности препятствия. Показано, что данное приближение приводит к трехмерной начально-краевой задаче, допускающей решение только для ряда частных случаев геометрии препятствия.
В третьем параграфе вводится гипотеза тонкого слоя, представляющая собой комбинацию гипотезы нормального движения и гипотезы постоянных коэффициентов. Предполагается, что основное давление на поверхности препятствия развивается за счет нормального движения акустической среды, при этом коэффициенты волнового уравнения считаются не зависящими от нормальной координаты. Показано, что в этом случае преобразованием Лапласа по времени волновое уравнение сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, имеющему аналитическое решение, которое, в свою очередь, допускает обратное преобразование Лапласа. Таким образом удается построить фундаментальное решение нестационарной задачи на поверхности препятствия.
В четвертом параграфе проводится исследование погрешности, вносимой применением гипотез в постановку задачи. Приведено решение модельных задач и на основе сравнения приближенных решений с точными показано, что на начальном этапе дифракции акустической волны погрешность любой из трех приближенных моделей не превышает 10-12%. Дается обоснование использования модифицированной гипотезы тонкого слоя, как наиболее простой, во всех дальнейших исследованиях.
2.5. В пятом-девятом параграфах второй главы аналогичные исследования проводятся для плоской задачи о дифракции акустической волны на криволинейном цилиндрическом препятствии. Показано, что погрешность, вносимая применением гипотезы тонкого слоя в случае плоской задачи, не превышает 8-11%.
3. Третья глава диссертации посвящена построению фундаментальных решений плоской задачи о дифракции косых плоских и цилиндрических акустических волн на криволинейных цилиндрах и пространственной задачи о дифракции косых плоских и сферических волн на поверхностях вращения.
В первом параграфе главы 3 в пространственной постановке рассматриваются задачи о дифракции плоских косых акустических волн на поверхностях вращения второго порядка - параболоиде, гиперболоиде и эллипсоиде вращения. На примере задачи о лобовом набегании плоской акустической волны давления на параболоид вращения показано хорошее совпадение результатов, полученных с использованием гипотезы тонкого слоя, с точным решением Ф.Фридлендера.
Во втором параграфе рассмотрены пространственные задачи о дифракции сферической волны с произвольным расположением источника на параболоиде, гиперболоиде и эллипсоиде вращения.
В третьем параграфе приводится решение плоских задач о дифракции косых плоских волн на криволинейных цилиндрических поверхностях - параболическом, гиперболическом и эллиптическом цилиндре. На примере задачи о лобовом набегании плоской акустической волны давления на параболический цилиндр показано хорошее совпадение результатов, полученных с использованием гипотезы тонкого слоя, с точным решением Ф.Фридлендера.
В четвертом параграфе главы приведены решения плоских задач о дифракции цилиндрических волн с произвольным расположением источ-
ника на гиперболических, эллиптических и параболических цилиндрах. 4. Четвертая глава диссертации посвящена построению конечно-разностных схем для численного решения нестационарной задачи динамики акустической среды и нестационарной динамики упругой оболочки.
В первом параграфе главы приведена постановка связанной задачи динамики акустической среды и упругой оболочки для случая малых деформаций.
Во втором параграфе среды приводится постановка плоской задачи динамики акустической среды в форме системы уравнений второго порядка, записанной в скоростях, в системе координат, нормально связанной с поверхностью оболочки для случая малых деформаций. Описан девятиточечный шаблон разностной схемы и приведены разностные операторы дифференцирования по пространственным и временным переменным.
В параграфе 3 описана конечно-разностная аппроксимация уравнений движения упругой оболочки на основе сдвиговой модели Райсснера-Тимошенко. Уравнения движения оболочки даны в матричной форме. Описываются трехточечный и пятиточечный разностные шаблоны по пространственной переменной и выписаны основные разностные соотношения. Приведено доказательство сходимости разностных схем. Устойчивость схемы исследуется методом гармонического анализа. Для разностной схемы на пятиточечном шаблоне получено число Куранта и показано ослабление устойчивости при повышении точности схемы по сравнению с трехточечным шаблоном.
В четвертом параграфе описана аппроксимация интегрального оператора типа свертки, входящего в уравнения движения оболочки в аку-
стической среде, на основе метода трапеций, и построена аппроксимация интегро-дифференциальных уравнений движения. 4,5, В параграфе 5 приведено сравнение численных решений с использованием разностных схем на трехточечном и пятиточечном шаблонах.
5, Пятая глава диссертации посвящена решению задач о нестационарном
взаимодействии плоских косых и цилиндрических акустических волн
на упругих оболочках в форме криволинейных цилиндров.
Первый параграф главы посвящен исследованию взаимодействия оболочек в форме параболического и эллиптического цилиндров с плоскими акустическими волнами. Приведено сравнение решения на основе гипотезы тонкого слоя и численного решения связанной задачи динамики оболочки и акустической среды в точной постановке методом конечных разностей.
Во втором параграфе исследуется взаимодействие оболочки в форме гиперболического и эллиптического цилиндров с цилиндрической волной давления с произвольным расположением источника.
6. В шестой главе работы рассмотрены осесимметричные задачи дифрак
ции акустических волн давления на оболочках вращения со срединны
ми поверхностями второго порядка - параболоидами, гиперболоидами
и эллипсоидами вращения
В первом параграфе получены кинематические параметры оболочек в форме параболоида, эллипсоида и гиперболоида вращения при действии плоской прямой акустической волны.
Во втором параграфе приведены результаты исследования взаимодействия оболочки в форме эллипсоида вращения со сферической акустической волной.
Основные соотношения теории тонких упругих оболочек
В работе исследуются переходные процессы в жидкости, для которых можно пренебречь теплообменом. В этом случае может быть использована модель баротропной идеальной жидкости, система уравнений движения которой при отсутствии массовых сил и постоянстве энтропии имеет вид [71]: + Igrad/7 = 0; (1.2.1) at р + pdivv = 0; (1.2.2) dt Р = Р(Р), (1-2-3) где v - вектор скорости сплошной среды, р - плотность, р - давление, t - время.
Система (1.2.1) - (1.2.3) является нелинейной. Ее линеаризация соответствует модели акустической среды, которая основывается на следующих допущениях. Рассматривается движение жидкости в окрестности некоторого исходного состояния v0, р0, р0. При этом суммарные параметры представляются в виде суперпозиции р- р0 + др, v = v0 + 8v и р = р0 + бр, где 8р, 5v, 8р являются малыми величинами. Линеаризация уравнений (1.2.1) - (1.2.3) при условии v0 =0 приводит к следующей замкнутой системе уравнений [71]: p0 — + grad/ = 0 (1.2.4) dt + p0c02divv = 0. (1.2.5) Здесь и далее полагается, что р = 8р, с0 - скорость звука в среде.
Исследования, посвященные применимости акустического приближения, показывают, что соотношения (1.2.4) - (1.2.5) хорошо описывают распространение слабых волн с перепадом давления на фронте до ЮОМПа для воды и 7 -Ю-3 МПа для воздуха [208].
Система (1.2.6) - (1.2.7) эквивалентна любому из следующих уравнений относительно давления р и вектора скорости v [71]: д2Р dt 2 =с0Ар, A = divgrad; (1.2.6) д2у 2 =c02(Av + rotrotv), (1.2.7) dt где А - оператор Лапласа.
В случае потенциального движения акустической среды [1412], т.е. при условии rotv = 0, (1.2.8) вектор скорости v представим в виде v = gradcp, (1.2.9) где ф - потенциал скорости, удовлетворяющий скалярному волновому уравнению Будем рассматривать изотропные оболочки малой постоянной толщины: h h(Z,\Z,2), hA-mm{d,-kx,-k2) \, (1.3.1) где d= sup p(MvM2), р(М,,М2)= inf \MlM2\ - расстояние и диа метр по координатной поверхности оболочки П между М, є П и М2 є П, кі - ее главные кривизны. Далее в качестве координатной примем срединную поверхность оболочки.
При этом будем использовать модель типа Тимошенко, уравнения движения которой в системе координат (1.2.28) имеют вид [67]: ph = VyN -b ; (1.3.2) ph =b,yN»y+vyQy+p; (1-3.3) p/ = VyMp - 2P. (1.3.4)
Здесь ир и xP - контравариантные компоненты вектора перемещения и вектора углов поворота нормали; w - нормальное перемещение точек срединной поверхности П; iVYp,MaP и ?р -контравариантные компоненты несимметричного тензора тангенциальных усилий, симметричного тензора изгибающих моментов и вектора перерезывающих сил; р - нормальное давление на срединную поверхность оболочки (положительное направление совпадает с направлением внешней нормали к П); Vp - оператор ковариантного дифференцирования; р - плотность материала оболоч ки, I = tf j\2, b и b - ковариантные и смешанные компоненты тензора кривизны. Здесь и далее применяется суммирование по повторяющимся греческим индексам, пробегающим значения 1,2.
Касательные нагрузки на поверхности оболочки здесь и далее приняты равными нулю. Физические соотношения этой модели для изотропного материала записываются так: Здесь ерц и крц, хр и 9р - ковариантные компоненты симметричных тензоров тангенциальных деформаций и изменений кривизны, а также векторов углов отклонения элемента оболочки, нормального к П до деформации, от нормали и углов девиации вектора нормали к срединной поверхности при деформировании; gPy - ковариантные компоненты метрического тензора; А,, ц - параметры Ламе; ГаР - контравариантные компоненты симметричного тензора тангенциальных усилий, связанного с тензором тангенциальных усилий соотношением Кинематические соотношения оболочки типа Тимошенко имеют вид:
Система уравнений (1.3.2) - (1.3.9) имеет гиперболический тип. Другая распространенная модель оболочки Кирхгофа-Лява приводит к системе уравнений, имеющей параболический тип. В ряде работ показано, что для оболочки малой толщины решения динамических задач на основе этих двух моделей различаются незначительно. Тем не менее, применение модели, описываемой гиперболической системой уравнений, в задачах нестационарной динамики представляется предпочтительным. Кроме того, при переходе к постановке задачи в перемещениях уравнения, соответствующие модели Тимошенко, не содержат пространственных производных выше второго порядка, что дает определенные преимущества при численном решении.
Оценка точности гипотез для пространственной задачи
Переходная функция (функция влияния) определяется из начально-краевой задачи (1.5.5) - (1.5.7), решение которой в общем случае получить весьма затруднительно. Для построения приближенного аналитического решения задачи используем упрощающие гипотезы, связанные с малостью производных по криволинейным координатам Q и 2, и с «замораживанием» переменных коэффициентов уравнения по координате ц, Эти предположения оправданы с точки зрения физического смысла и подтверждается результатами научных исследований [71,92,103].
Гипотеза 1 предполагает, что основной вклад в гидродинамическую нагрузку вносит движение среды по нормали к поверхности, т.е. движением среды по касательной поверхности П можно пренебречь. 1 0
Полагая все производные по криволинейным координатам Ъ, и Ъ, равными нулю, из (1.5.5) - (1.5.7) получаем начально-краевую задачу для определения переходной функции:
Она предполагает независимость коэффициентов от координаты по нормали к поверхности. При этом заменяем коэффициенты уравнения (1.2.34) на их значения на поверхности препятствия. В результате, полагая г) = 0, получаем начально-краевую задачу:При решении задач дифракции, источник возмущения, как правило, моделируется плоскими и сферическими волнами, откуда следует осевая симметрия задачи для сферических тел. В этом случае переходная функция не зависит от (р, q , и в (2.2.20) и (2.2,21) следует положить / = 0. Тогда с учетом (2.2.14) и (2.2.18) получаем:
Предположим, что основной вклад в гидродинамическую нагрузку вносит движение среды по нормали к поверхности препятствия П (п. 2.1, гипотеза 1) и оператор Лапласа в волновом уравнении движения для акустической среды вычисляется на поверхности препятствия (п. 2.2, гипотеза 3). Совместное использование этих предположений носит название гипотезы тонкого слоя [71, 92].
Соответствующая начально-краевая задача для переходной функции G имеет вид (2.1.1) - (2.1.3), где необходимо заменить к1 2,!-]] на его значение при г = 0 см. (2.1.10): А5 ( 2, л) = 2 ( 2). При этом остается в силе представление функции влияния (2.1.4) и формулы (2.1.8), (2.1.9) для давления, а задачи (2.1.5) - (2.1.7) и (2.1.11), (2.1.12) принимают вид:
Для сравнения переходных функций, полученных результате использования упрощающих гипотез, рассмотрим задачу о нестационарном воздействии плоской ступенчатой волны давления на абсолютно жесткую сферу [101] радиуса R0. Полагаем, что волна с фронтом, составляющим углы а, = 0, а2 = я/2, а3 = я/2 с осями Ох , в начальный момент времени х = 0 касается поверхности П в точке А (рис. 2.2).
Давление за фронтом волны в системе координат 0, ф, г задается следующим соотношением: р,(в,ц,т) = p0H[x + (R0+T))cosQ-R0]. (2.4.1) Ему соответствует потенциал скорости падающей волны: Ф.(Є,л,х) = -л[т + К + л)со8Є- ]я[х + (/г0+л)со8Є-Д,].(2.4.2)
Нормальная компонента скорости в падающей волне на поверхности препятствия определяется следующим образом: , (е,т)=а № (2.4.3) дг\ = -р0 cos 0Я [т - R0 (1 - cos 0)]. Найдем давление /?, (0,т), где значения индекса / = 1,2,3 соответствует гипотезам 1,2,3, а г" = 0 отвечает точному решению. Для гипотез 1 и 3 воспользуемся соотношением (2.1.8), которое с учетом (2.4.3) и симметрии задачи принимает вид:
Из анализа этих графиков следует, что результаты тестовой задачи при использовании различных гипотез мало отличаются от точного решения и близки друг другу. Однако, использование для дальнейших исследований переходной функции, полученной в рамках гипотезы тонкого слоя (гипотеза 3, формулы (2.3.9), (2.3.10)) предпочтительней, т.к. в этом случае значительно упрощаются формулы для определения отраженного и излученного давлений (2.1.8), (2.1.9) в отличие от формул (1.5.9), (1.5.10) и увеличивается точность вычислительных операций в связи с уменьшением размерности задачи.
Использование формул (2.3.9), (2.3.10) дает возможность также получить аналитические выражения для суммарного давления при различных задачах дифракции на неподвижных поверхностях [59, 66].
Дифракция плоской волны давления на выпуклых поверхностях (плоская задача)
Далее рассмотрим примеры задач о дифракции цилиндрической акустической волны давления на цилиндрах, ограниченных поверхностями второго порядка.
Параболический цилиндр. Данная поверхность с фокальным расстоянием а 0 в декартовой прямоугольной системе координат Ох определяется соотношениями (3.3.9). Главная кривизна и компоненты вектора единичной нормали задаются формулами (3.3.10), (3.3.11). Для определения координаты точки касания из (3.4.22) с учетом соотношений (3.3.9) имеем следующее кубическое уравнение:
Корни этого уравнения определяются численно в среде Maple 9 с использованием решения Кардано [99]. Расстояние d вычисляется из уравнения (3.4.21) при найденной из (3.4.24) координате точки касания.
Сначала рассмотрим действие цилиндрической волны давления с источником возмущения, расположенным на оси симметрии цилиндра (точка касания А совпадает с лобовой точкой, рис. 3.46).
На рис. 3.47 представлено соответствующее пространственно-временное распределение давления р{Ъ,,х) с источником возмущения расположенным в точке К с координатами (Ь0 = 0, с0=-2) при р0 = 1. При этом 0 = 0, d = 2.
Гиперболический цилиндр. Далее рассмотрим дифракцию цилиндрической волны давления на гиперболическом препятствии.
Данная поверхность в декартовой прямоугольной системе координат Ох определяется по формуле (3.3.13). Кривизна и компоненты вектора единичной нормали задаются формулами (3.3.14), (3.3.15). Координата точки касания находится из иррационального уравнения, которое получается при подстановке (3.3.13) в (3.4.22): Корни этого уравнения аналогично уравнению (3.4.24) вычисляются численно в среде Maple 9. Решение этого уравнения позволяет определить константу d из уравнения (3.4.21).
На рис. 3.53 представлено пространственно-временное распределение давления р(%,т)=p (%,i)+Pifat) при действии цилиндрической волны давления на гиперболическое препятствие с источником возмущения расположенным в точке К с координатами (Ь0 = 0, с0 =-2) при действии давления на фронте р0 = \. Здесь ,0 = 0, d = 3.
Рассматривается задача дифракции нестационарных акустических волн на тонких упругих выпуклых оболочках. Интегрирование уравнений движения оболочек осуществляется методом конечных разностей. Гидродинамическое давление на поверхности оболочки определяется либо приближенно на основе гипотезы тонкого слоя [71, 92, 176, 61, 248], либо из численного решения связанной задачи движения акустической среды на основе метода конечных разностей.
Двумерная (плоская или осесимметричная) задача о взаимодействии акустической волны давления с тонкой упругой оболочкой сводится к совместному решению уравнений, описывающих движение акустической среды (1.4.7) с однородными начальными условиями (1.4.8) и оболочки (1.3.16)-(1.3.18) с однородными начальными условиями, следующими из (1.3.21), и краевыми условиями (1.3.22) - (1.3.25). На поверхности оболочки ставятся условия непротекания (1.4.4). Таким образом, решение задачи дифракции акустической волны давления с тонкой упругой оболочкой переменной кривизны сводится к совместному решению следующей системы уравнений:
Здесь ф - потенциал скоростей акустической среды, pt - давление в падающей волне, р - давление в отраженной и излученной волнах, v -вектор скорости акустической среды, ui - обобщенные перемещения срединной поверхности оболочки: щ = и - тангенциальное перемещение, щ = w - прогиб оболочки, щ=% - поворот нормали оболочки, L.. - дифференциальные операторы плоской задачи теории оболочек Райсснера-Тимошенко, соответствующие (1.3.2) - (1.3.4) определяемой геометрией срединной поверхности оболочки в той или иной криволинейной системе координат, 5;). - символы Кронекера. Соотношения (4.1.5) определяют с помощью операторов ІД граничные условия, В±(т) - заданные краевые функции, (^,г|) - криволинейные координаты, \± -координаты граничных точек оболочки (рис. 4.1).
Операторная запись уравнений движения оболочки
Следовательно, при ограниченных третьих и четвертых производных искомой функции и ограниченных коэффициентах уравнения дифференциальный оператор начально-краевой задачи аппроксимируется разностным аналогом (4.3.21) с порядком погрешности /z . При этом для разностной схемы «крест» условие устойчивости Куранта-Фридриха-Леви выполняется при числах Куранта г 1, т.е. при достаточно малых г данная явная схема будет устойчивой и, следовательно, сходящейся.
Исследование устойчивости явной схемы на пятиточечном шаблоне методом гармонического анализа.
Для сходимости решения по конечно-разностной схеме к решению дифференциальной задачи при стремлении сеточных характеристик \ и к нулю, кроме аппроксимации, необходимо исследовать устойчивость конечно-разностной схемы.
Устойчивость схемы «крест» для волнового уравнения и = а2и" хорошо изучена [48, 97]. При этом, схема «крест», как и все явные схемы, условно устойчива при условии г = Л2 К i, 153 где г - число Куранта, содержащее сеточные характеристики и характеристики переноса возмущений.
Исследуем устойчивость явной пятиточечной по пространственной переменной схемы для волнового уравнения по шаблону (рис. 4.36). Для этого запишем эту схему в следующем виде (здесь верхние индексы в отличие от показателей степени взяты в скобки): и -2и\к)+и\Ы) =-1( )+161/ -ЗОи + 161/ -1/). (4.3.29) j J J 19
Подставим в (4.3.27) одну из гармоник разложения в ряд Фурье значений сеточных функций по собственным функциям соответствующей сеточной задачи Штурма-Лиувилля. uf=U-qk fSx№,&j)t (4.3.30) где U -qk - амплитудная часть гармоники, зависящая от времени с размерным множителем U и коэффициентом qk, а ехр(А,,Д.) - фазовая часть гармоники, содержащая собственные значения задачи Штурма-Лиувилля. Так как ехр(/А,,Ду) 1, то неустойчивость из-за фазовой части гармоники не наблюдается.
Таким образом, из (4.3.30) видно, что для устойчивости конечно-разностной схемы коэффициент перехода q должен удовлетворять условию: 1. (4.3.31) Подставляя (4.3.28) в (4.3.27), получаем UeAAj (qM - 2qk + qkA) = -Uqke [-/"(2/ + w 12 (4.3.32) +16 +30 + 16 -/- ].
Используя формулы Эйлера e±l Aj =cos(XlfeJ)±ism(XnZ)J)1 получим, что выражение в квадратных скобках формулы (4.3.32) равно 4/Зт,(4-т2),где щ = sin2(Xnh /2), т2=соБ2(Хп /2),
Таким образом, сравнение условий устойчивости г \ для трехточечного по пространственной переменной шаблона и (4.3.38) для пятиточ-нечного шаблона, показывают, что применение пятиточечного шаблона накладывает более жесткие ограничения на сеточные характеристики, чем для трехточечного. Это связано с увеличением точности и усложнением 5-узлового шаблона по сравнению с трехточечным.
Акустическая волна в начальный момент времени т = 0 касается поверхности оболочки с направляющей Г в точке А (рис. 4.1).
Давление на поверхности оболочки описывается соотношением р = p. + Pi+p2, где pt - давление в падающей волне, рх - давление в отраженной абсолютно жесткой неподвижной оболочкой волне, р2 - давление в волне излучаемой упругой оболочкой.
Давления рх и р2 в отраженной и излученной волнах могут быть найдены с помощью переходной функции G(x ,x), построенной в рамках гипотезы тонкого слоя (звездочкой обозначена операция свертки по времени х)
