Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы 23
1.1 Различные подходы к решению задач дифракции ультракоротких импульсов 23
1.2 Дельта-функция как модель ультракороткого импульса 32
1.3 Ультракороткие импульсы и теория краевых волн 43
1.4 Выводы по главе 45
2 Теоретические основы импульсного метода 47
2.1 Понятия дельта-функции и тета-функции 47
2.2 Оптическая система как линейный преобразователь сигнала. Аппаратная функция 49
2.3 Выводы по главе 51
3 Дифракция плоской волны, нормально падающей на плоский экран 52
3.1 Экран с произвольным пропусканием 52
3.2 Круглое отверстие в плоском экране 57
3.2.1 Аппаратная функция круглого отверстия в случае нормального падения исходной волны 57
3.2.2 Дифракция монохроматической волны на круглом отверстии 61
3.3 Отверстие в виде узкого кольца 65
3.4 Применение полученных результатов для описания работы реальных физических устройств 69
3.4.1 Зонная пластинка 69
3.4.2 Восстановление изображения в дельта-голографии . 78
3.5 Выводы по главе 85
4 Дифракция плоской волны, падающей на экран под углом 86
4.1 Экран с произвольным пропусканием 86
4.2 Круглое отверстие в плоском экране. Точка наблюдения находится на оси симметрии отверстия 91
4.2.1 Аппаратная функция круглого отверстия в случае наклонного падения исходной волны 91
4.2.2 Выполнение принципа соответствия (связь полученного решения и результов исследования задачи о нормальном падении 5-импульса на круглое отверстие) 99
4.3 Выводы по главе 100
5 Дифракция сходящейся сферической волны 102
5.1 Экран с произвольным пропусканием 102
5.2 Круглое отверстие в сферическом экране 105
5.2.1 Аппаратная функция круглого отверстия в случае, когда точка наблюдения расположена на оси симметрии системы 105
5.2.2 Аппаратная функция круглого отверстия в случае, когда точка наблюдения лежит вне оси симметрии системы 110
5.2.3 Дифракция сходящейся сферической монохроматической волны на круглом отверстии 115
5.2.4 Выполнение принципа соответствия (Связь между аппаратной функцией для точки наблюдения вне оси симметрии системы и аппаратной фукнцией для точки наблюдения на ОСУ) 120
5.3 Применение полученных результатов для описания работы реальных физических устройств 123
5.3.1 Линза Френеля 123
5.4 Дифракция расходящейся сферической волны 131
5.4.1 Экран с произвольным пропусканием 131
5.4.2 Круглое отверстие в сферическом экране 133
5.5 Выводы по главе 134
6 Общие свойства импульсных откликов 136
6.1 Алгебраическая простота 136
6.2 Разделение во времени прошедшей и краевой волн 137
6.3 «Стягивание» к производной от дельта-функции 139
6.4 Равенство нулю интеграла по полному временному промежутку существования отклика (доказано только для двух случаев) 144
6.5 Выводы по главе 146
Заключение 148
Приложения 152
- Дельта-функция как модель ультракороткого импульса
- Оптическая система как линейный преобразователь сигнала. Аппаратная функция
- Аппаратная функция круглого отверстия в случае нормального падения исходной волны
- Круглое отверстие в плоском экране. Точка наблюдения находится на оси симметрии отверстия
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена развитию одной из основных областей как классической, так и современной оптики — исследованию дифракции светового излучения. Задачи дифракции возникают повсеместно: при описании большинства процессов распространения волн и их взаимодействия с системами преобразования формы волновых фронтов, при разработке новых оптических, акустических и радиотехнических устройств, в появившейся в последние десятилетия проблеме изучения ультракоротких импульсов света, и т.д. Традиционный способ решения дифракционных задач заключается в том, что сложный входной сигнал раскладывается в спектр монохроматических волн, а затем отдельно изучается прохождение каждой монохроматической компоненты сквозь исследуемую оптическую систему. Сумма полученных откликов является реакцией системы на первоначальное воздействие. Несмотря на кажущуюся простоту по своей постановке, классический подход представляет собой весьма громоздкую процедуру, так как только для ограниченного круга простейших систем удается привести аналитическое выражение для реакции системы на одну монохроматическую волну. При этом сама математическая форма отклика системы на такую волну имеет сложный вид (содержит специальные интегральные функции или бесконечные суммы этих функций), и дальнейшее суммирование таких откликов является весьма трудоемкой операцией даже для современных компьютеров.
Таким образом, давно назрела необходимость в разработке альтернативного метода решения задач дифракции, который характеризовался бы меньшими вычислительными затратами. Меньший объем вычислений позволит рассматривать более сложные дифракционные системы и более сложные входные сигналы (например, ультракороткие импульсы, которые сегодня имеют множество областей применения). Именно такой метод, названный импульсным, был развит в данной работе и применен для решения нескольких типичных оптических задач.
ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.
В диссертации исследуются различные задачи дифракции импульсных волн, а именно:
• задача дифракции плоской волны на круглом отверстии в случае нормального и наклонного падения волны на экран;
• задача дифракции сферической сходящейся и расходящейся волн на круглом отверстии;
• задача дифракции плоской волны на узком кольце, зонной пластинке Cope-Френеля и линзе Френеля;
• задача восстановления сигнала в импульсно-кодовой голографии.
Для решения указанных задач применяется импульсный метод, разработанный на кафедре оптики СПбГУ и получивший дальнейшее развитие в диссертационной работе.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИИ состоят, во-первых, в том, чтобы развить метод решения задач дифракции скалярных волн, который был бы лишен недостатков, присущих классической теории монохроматических волн в применении к импульсным процессам. В работе показано, что использование импульсного метода позволяет в значительной степени устранить такие недостатки классической теории, как отсутствие прозрачности физической интерпретации, громоздкость и неприспособленность для решения задач, в которых входным сигналом является существенно немонохроматическое излучение. Во-вторых, целью проведенных исследований была демонстрация преимуществ использования импульсного метода для изучения распространения ультракоротких волновых процессов.
В третьих, работа была направлена на развитие методов качественного описания особенностей работы дифракционных оптических систем в условиях воздействия на них импульсных сигналов.
НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Способ решения дифракционных задач, названный «импульсным методом», который является альтернативой классической теории, оперирующей монохроматическими волнами.
2. Конкретные математические соотношения, полученные при использовании импульсного метода для решения оптических задач, перечисленных в пункте «Объект исследования и методы исследования»;
3. Результаты применения полученных соотношений для анализа процессов дифракции ультракоротких импульсов, качественное и количественное описание особенностей этих процессов.
4. Наглядная демонстрация того факта, что дифрагированная волна состоит из двух слагаемых: прошедшей волны Vpass(P,t), которая распространяется по законам геометрической оптики, и краевой волны Vscat(P,t), которая является результатом рассеяния падающей волны на краях отверстия, причем качественная ее структура также может быть изучена на основании геометрических соображений.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты, перечисленные в разделе «Научные положения, выносимые на защиту», а также основные выводы диссертации, являются новыми, включая полученные в каждой задаче аналитические выражения для отклика систем на бесконечно короткий во времени импульс и анализ формы этих откликов.
ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ подтверждена несколькими способами. Прежде всего, на основании результатов применения импульсного метода вычислялась реакция хорошо изученных в научной литературе систем на монохроматическую волну. Полученные данные сравнивались с известными выводами классической теории дифракции монохроматических волн. Проведенное сравнение показало точное совпадение результатов, представленных в аналитическом виде, и близость в пределах погрешности численных расчетов в том случае, когда невозможно получить аналитические соотношения.
Выполнено сопоставление полученных в данной работе откликов исследуемых систем на бесконечно короткий импульс с известными из литературы данными по дифракции ультракоротких импульсов. Сравнение показало полную идентичность результатов для тех областей пространства, где возможно применение обеих теорий. Отмечается как совпадение величины и формы амплитудных коэффициентов соответствующих волн, так и одинаковые значения временных промежутков между моментами прихода соответствующих сигналов в точку наблюдения.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ И ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Научная и практическая значимость данной работы состоит, прежде всего, в том, что для каждой из исследуемых оптических систем получена универсальная характеристика этой системы (так называемый импульсный отклик), которая, во-первых, позволяет вычислить реакцию системы на реальное входное воздействие с произвольной зависимостью от времени с помощью быстро выполнимой операции свертки импульсного отклика и входного сигнала. Во-вторых, анализ импульсного отклика выявляет многие особенности распространения ультракоротких импульсов, которые остаются скрытыми при использовании теории монохроматических волн. На основании полученных результатов в диссертации показано, что физическое толкование процессов дифракции более близко к идеям, которые связывают с именем Томаса Юнга, нежели к общепринятому принципу Гюйгенса-Френеля. Представленные в диссертационной работе материалы связаны, в основном, с исследованием оптических систем, но полученные выводы в равной степени могут быть использованы при решении любых задач распространения волны в трехмерных средах (например, в таких разделах физики, как акустика или радиофизика). От исследуемой системы требуется только свойство линейности.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на: III Международной конференции по лазерной оптике для молодых ученых (Санкт-Петербург, 2006). конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной физики. Демидовские чтения» (Москва, 2006), XII региональной конференции по распространению радиоволн (Санкт-Петербург, 2004), X Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Санкт-Петербург, 2004), Международном оптическом конгрессе «Оптика-XXI век» (Санкт-Петербург, 2004 и 2002), X Региональной конференции по распространению радиоволн (Санкт-Петербург. 2004), II Международной конференции по лазерной оптике для молодых ученых (Санкт-Петербург, 2003), VII Всероссийской научной конференции студентов-радиофизиков (Санкт-Петербург, 2003). По материалам работ присуждено II место на конкурсе научных трудов молодых ученых и студентов СПбГУ в 2004 г, стипендия имени С.Э. Фриша в 2003 г. и стипендия фирмы НИЕНШАНЦ в 2001 г. Научная работа в 2005-2006 и 2001-2002 гг. поддержана грантами молодых ученых, присуждаемыми администрацией Санкт-Петербурга. ПУБЛИКАЦИИ. Теме диссертации посвящено 22 публикации, включая 7 статей в реферируемых журналах. Список публикаций приведен ниже.
ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА. Основы импульсного метода в использованной в диссертации форме были разработаны М.К. Лебедевым и Ю.А. Толмачевым. Конкретные задачи дифракции, перечисленные в разделе «Объект исследования и методы исследования», были решены лично автором в рамках импульсного метода. Моделирование некоторых описанных в работе процессов, например, процесса восстановления изображения в импульсно-кодовой голографии и процесса фокусировки плоской волны с помощью линзы, было выполнено студентом А.В. Кытмановым на основе результатов, полученных автором.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из общей характеристики, введения, шести глав, заключения и четырех приложений. Полный объем диссертации (без учета приложений) составляет 151 страницу, включая 46 рисунков, и список литературы из 97 наименований.
Дельта-функция как модель ультракороткого импульса
Самой очевидной моделью ультракороткого импульса является -фукнция Дирака. В работе [2] получено аналитическое выражение для амлитуды поля сходящейся бесконечно короткой во времени сферической волны, дифрагированной на круглом отверстии. Как известно, такая задача является аналогом прохождения плоской световой волны сквозь тонкую недиспергирую щую линзу. Вычисления сделаны в предположении, что размеры круглого отверстия гораздо больше, чем расстояние от плоскости отверстия до фокуса сходящейся волны. Начало координат помещено в точку фокуса; волна распространяется вдоль оси OZ, начальный момент времени — это момент, когда волна достигает точки фокуса. Для решения уравнения Гельмгольца автор использует разложение на монохроматические волны.
Проанализируем соотношение (5). Первое слагаемое в нем является просто сферической сходящейся либо расходящейся волной. Отклик круглого отверстия на дельта-импульс, полученный в нашей работе, тоже содержит сферическую волну, распространяющуюся по законам геометрической оптики (см., например, формулы (70) и (73)). Если учесть разницу в выборе начала координат и начала отсчета времени, то выражения для этих сферических волн окажутся идентичными. Второе и третье слагаемые в формуле (5) можно, используя наши понятия, представить как краевую волну.
Зная поведение бесконечно короткого импульса, автор осуществляет переход к анализу сигналов конечной длительности, для чего автор вычисляет свертку V(x,y,z,t) с некоторой гладкой функцией a(i). При этом, в частности, получается, что при больших фокусных расстояниях / в фокусе линзы формируется не сама падающая волна, а производная по времени от нее. К такому же результату приводят наши вычисления (см. 101).
Таким образом, представление ультракороткого импульса в виде суммы бесконечно протяженных во времени монохроматических волн зачастую приводит к чрезмерному усложнению математических выкладок, что не позволяет получить ответ в аналитической форме, доступной для наглядной интерпретации.
На наш взгляд, особенности коротких и ультракоротких импульсов требуют альтернативного подхода к решению подобных задач. Эти особенности и учитывает «импульсный метод». Как уже упоминалось во введении, базовым понятием импульсного метода является так называемый «импульсный отклик» что есть, по определению, реакция исследуемой линейной оптической системы на бесконечно короткий во времени импульс (в данной работе импульсный отклик называется еще «аппаратной функцией»). Универсальность импульсного отклика заключается в том, что взаимодействие системы с реальным физическим сигналом описывается как свертка, импульсного отклика и входного сигнала. Математическое обоснование импульсного метода приводится в разделе 2.2 диссертации. Немаловажное преимущество импульсного метода состоит в том, что достаточно один раз вычислить аппаратную функцию оптической системы, и в дальнейшем взаимодействие этой системы с любым падающим сигналом может быть найдено с помощью относительно простой операции свертки. В теории линейных дифференциальных уравнений синонимом выражения «импульсный отклик» является понятие «фундаментального решения» уравнения.
Родоначальниками применения импульсного метода для решения задачи распространения волн, вероятно, следует считать ученых ЛГУ [34, 35]. Авторы рассматривали переходные процессы в акустических полях, создаваемых плоскими поршневыми мембранами в жестком экране. Изучались мембраны с контуром общего вида, а также мембраны конкретной формы: круглые, квадратные и треугольные. Эти работы были незаслуженно забыты, что отчасти связано с недостаточным развитием в то время теории обобщенных функций. В оптике к импульсному методу обращались лишь спорадически [36-38], и многие важные особенности метода остались за рамками исследований.
Следуя импульсному методу, рассмотрим возмущающую силу в виде точечного источника, который излучает колебания с частотой / = LO/2-K. Пусть наш точечный источник равномерно перемещается с постоянной скоростью v. Это перемещение начинается в момент времени t = 0 и происходит в положительном направлении оси ОХ, т.е. в том же направлении, в каком мы регистрируем акустическую волну.
Оптическая система как линейный преобразователь сигнала. Аппаратная функция
Рассмотрим произвольную оптическую систему, которая преобразует амплитуду входного сигнала по линейному закону. Предположение о линейности правильно отражает поведение систем, в которых оптические параметры среды не зависят от амплитуды поля. Для описания нашей системы будем использовать линейный оператор {...}, который показывает, как система действует на входной импульс, чтобы получить выходной. Пусть, например, функция ф{) описывает произвольную зависимость от времени входного сигнала системы, а Ф(Р, ) — соответствующий выходной сигнал в точке наблюдения Р пространства за оптической системой.
Рассмотрим следующую задачу: в плоскости OXY расположен плоский поглощающий экран, имеющий отверстие. Пропускание экрана описывается функцией Т(х,у). На него нормально падает плоская волна, распространяющаяся вдоль оси OZ в направлении положительных z. Требуется найти амплитуду световой волны в некоторой точке Р(жо,уО) zo) пространства за экраном (рис. 6).
Будем решать задачу в рамках импульсного метода, т.е. найдем аппаратную функцию пашей оптической системы (см. раздел 2.2). Для этого нам нужно рассмотреть дифракцию -импульса вида v (t) = S(t — z/c) на плоском экране. Аргумент -функции (t — z/c) означает, что в момент времени t плоскость J-импульса находится в точке с координатой z, и, соответственно, за начало отсчета времени принимается момент рассеяния падающей волны на экране, где z = 0. Отметим, что в применении к монохроматическим волнам выбор начала отсчета времени в конечном счете влияет только на фазовый множитель результата, и, соответственно, не меняет распределения мощности колебаний светового поля. Задача дифракции плоской волны на плоском экране с произвольным пропусканием была решена в [42]. Изложим здесь основные этапы решения и полученный результат.
В отличие от цитированных в обзоре работ, стоящий в (21) импульсный отклик содержит два слагаемых, амплитуда первого убывает с расстоянием как г-2, а второго - как г-1. Именно второе слагаемое фигурирует в работах большинства исследователей, причем это безусловно верно для дальней зоны дифракции сигнала с ограниченным спектром (в том числе монохроматических и квазимонохроматических волн). Вместе с тем. прямым интегрированием было показано, что только при учете слагаемого «ближнего» поля можно получить правильное описание распространения импульса в свободном пространстве. Естественно, учет этого слагаемого несколько усложняет анализ, но в итоге найденные решения хорошо описывают динамику развития поля не только в дальней зоне дифракции, но и на расстояниях порядка минимального характерного размера отверстия. Сделанные при выводе допущения:
1. Предположение о том, что интеграл по большой полусфере О стремится к нулю. Недостаточную обоснованность этого предположения иногда подкрепляют тем, что между исходным сигналом и откликом замыкающей полусферы существует значительная временная задержка. Для 6-импульса это тем более верно.
2. Краевые условия (20) Кирхгофа. Эти условия предполагают, что в пределах отверстия поле падающей волны такое же, как и в отсутствие экрана, а в пределах экрана это поле равно нулю. Т.е., мы пренебрегаем действием экрана па исходный сигнал. Это утверждение не может быть абсолютно справедливым и с физической точки зрения (экран обязательно исказит падающую волну), и с математической (из теории потенциала следует, что при выполнении условий (20) поле v должно быть тождественным нулем во всем пространстве). Тем не менее, если считать, что минимальный размер отверстия а гораздо больше максимальной длины волны Л в исходном волновом пакете, то изложенными несоответствиями можно пренебречь и использовать краевые условия в том виде, в каком они представлены в (20) (т.е. действовать в рамках приближения Кирхгофа). Применимость неравенства а » А по отношению к ()-импульсу следует оговорить особо. Дело в том, что спектр ()-функции есть вся частотная область, и Є (—оо, +оо). Вырежем из этого сверхширокополосного спектра небольшую область в окрестности нуля, в которой частоты столь малы, а длины волн, соответственно, столь велики, что условие а » А уже не выполняется. Будем считать, что при этом сама 5-функция изменится не сильно.
Данные рассуждения о возможности пренебречь влиянием экрана на амплитуду волны в пределах отверстия были дополнены результатами численного эксперимента. С этой целью исследовалось развитие поля в пределах плоскости круга или щели [30]. Проведенное нами моделирование нестационарного процесса формирования поля с аппроксимацией 5-сигнала последовательностью гауссовых импульсов показало, что поправка па повторное рассеяние не превышает единиц процентов. Следовательно, учитывать ее нужно только в прецизионных расчетах, что выходит далеко за рамки приближения Кирхгофа.
3. При выводе формулы Кирхгофа используются интегральные теоремы (основным звеном является теорема Грина). Во многих работах поднимался вопрос о применимости интегральных теорем к полям определенного типа. Например, в [15] используется непрерывность функции v и ее частных производных вплоть до второго порядка на поверхности S и внутри объема, ею ограниченного. Мы не рассматривали в полной мере вопрос об обоснованности использования интегральных теорем для дельтаобразных импульсов вида (19). Одним из аргументов в пользу допустимости применения бесконечно коротких импульсов в теореме Кирхгофа является тот факт, что дельта-функцию можно представить как предел последовательности функций, обладающих необходимыми свойствами непрерывности. Это позволяет надеяться, что требуемые свойства сохранятся и при предельном переходе.
Аппаратная функция круглого отверстия в случае нормального падения исходной волны
Пусть в плоском экране расположено круглое отверстие радиуса а. Начало координат совпадает с центром отверстия. Для описания этой оптической системы, как и любой другой, в первую очередь требуется найти отклик системы на плоский J-импульс вида (19). другими словами, найти аппаратную фукнцию круглого отверстия. Это было сделано в работах [30, 42, 43] и других. Использовалось уравнение (21), где функция пропускания Т(х, у) была равна единице в точках отверстия и нулю — в точках экрана.
Аппаратная функция круглого отверстия (22) содержит два слагаемых, названных VpaSs(P, t) и VSCat(P, t). Первое слагаемое описывает ту часть исходной волны, которая прошла сквозь отверстие без изменений и сохранит свою форму при бесконечном удалении от экрана (прошедшая волна), а второе — волну, рассеянную краем отверстия (краевая волна). Разность О-функций в выражении для краевой волны ограничивает время существования этой волны в данной точке Р. В самом деле, в аргументе первой тета-функции стоит время t i = -\/ZQ + (хо + а)2/с, что есть не что иное как время, которое необходимо световой волне, чтобы преодолеть расстояние от самой дальней точки отверстия до точки наблюдения (рис. 9). Аналогично для второй тета функции: ii = Л/ZQ + (OCQ — а)2/с — это время на расстояние от ближайшей P(Xo ,z0)
Расположение волн в пространстве в результате дифракции -импульса на круглой апертуре. Сплошными цветными линиями показаны поверхности положительных сигналов, штриховыми — отрицательных, штрих/пунктиром — граница свет /тень в приближении геометрической оптики. Синяя линяя — это краевая волна, красная — прошедшая волна точки отверстия до точки Р 3. Разностью между этими двумя моментами времени и определяется время существования сигнала в точке наблюдения, что «зашифровано» в разности 0-функций в (22). Расположение прошедшей и краевой волн в пространстве в некоторый момент времени показано на рис. 9. Сплошные и пунктирные линии на этом рисунке — это мгновенные положения -волны.
Напомним, что за начало отсчета времени принят момент, когда падающая волна достигает экрана. на оси симметрии, то расстояния до ближней и дальней границ отверстия становятся одинаковыми. Это означает, что отрезок времени, в течение которого в точке Р фиксируется краевая волна, должен «стянуться» к одному моменту на оси времени. Поэтому в выражение для краевой волны в (23) входит -функция, а не разность 9-функций.
Отметим также, что все последующие решения дифракционных задач, представленные в данной работе, тоже допускают четкое разделение на прошедшую и краевую волны. Мы еще не раз вернемся к этому факту. 3.2.2 Дифракция монохроматической волны на круглом отверстии
Итак, аппаратная функция круглого отверстия нам известна (см. (22) и (23)). Теперь, согласно основополагающему принципу импульсного метода, мы можем узнать реакцию круглого отверстия на произвольный сигнал ф(t) с помощью операции свертки (17). В качестве ф() возьмем монохроматическую волну, ф{Ь) = e lujt.
Полученный ответ в точности совпадает, с результатами классической теории, описывающей дифракцию монохроматической волны на круглом отверстии в приближении Фраунгофера. Например, Дж. Гудмен приводит идентичное выражение в работе [75]. Абсолютное соответствие выводов, сделанных с помощью импульсного и классичесокого подходов, может служить некоторым гарантом того, что для исходных сигналов более сложного типа, чем монохроматическая волна, импульсный метод тоже даст хорошие результаты.
Полученный результат соответствует тому, что подынтегральное выражение бесконечно велико на правом и левом концах отрезка интегрирования и близко к нулю в его центральной части (см. рис. 10). Это означает, что при вычислении интеграла (27) мы пренебрегаем центральной областью подынтегрального выражения. Оценим ошибку АФ, которая при этом возникает. Обратимся к формуле (28). В центре отрезка интегрирования можно считать р о. Разложим в ряд Тейлора предэкспоненциальный множитель оставив только первое слагаемое, получим.
В ряде типичных для оптики задач возникает необходимость описать дифракцию на апертурах, обладающих круговой симметрией. Как промежуточный, при этом встает вопрос о дифракции плоской волны на отверстии в виде узкого кольца. Итак, пусть в плоском экране расположено кольцо, которое образовано концентрическим непрозрачным внутренним диском радиуса а\ и круглым отверстием радиуса ач а\, при этом а — а і «С а г (рис. 11). Требуется найти амплитуду светового поля в точке P(XQ, г/о о) пространства за экраном.
Математическая запись реакции физической системы на ультракороткий импульс, как правило, содержит разность функций Хевисайда, которая ограничивает временной промежуток существования отклика. Формула (34) для аппаратной функции кольца — не исключение. Но кроме разности тета-функций в ней появляются две дельта-функции на концах временного отрезка существования сигнала. Проиллюстрируем на качественном уровне появление этих дельта-функций. График зависимости импульсного отклика круглого отверстия от времени приводился на рис. 10.
Круглое отверстие в плоском экране. Точка наблюдения находится на оси симметрии отверстия
Рассмотрим типичную задачу дифракции плоской волны на круглой апертуре. Пусть в плоскости OXY расположено круглое отверстие радиуса а, угол между фронтом падающего d-импульса и плоскостью экрана равен а, требуется найти амплитуду светового поля в точке наблюдения Р, расположенной на оси симметрии, привязанной к отверстию (рис. 27). Напомним, что за начало отсчета времени принят момент, когда плоскость падающего J-импульса достигает центра отверстия. Поместим начало координат в центр отверстия, тогда точка Р будет иметь координаты Р(0,0, ZQ).
Рассеянная волна в точке Р существует ограниченный промежуток времени. Границы этого интервала определяются разностью временных отрезков, которые требуются световой волне на преодоление расстояния между краями отверстия и точкой наблюдения. Это рассуждение наглядно иллюстрируется с помощью простых геометрических построений (рис. 30). Напомним, что за нуль на временной шкале мы приняли тот момент, когда плоскость падающего -импульса достигает начала координат (в данном случае центра кругового отверстия).
Длительность сигнала в точке Р есть промежуток между двумя моментами времени — моментом прихода в точку Р сигнала от края А и от края В. От края А сигнал приходит на А/с раньше, чем от центра отверстия, от края В — на А/с позлее (расстояние Л, определяющее задержку или опережение сигнала, обозначено на рис. 30). Следовательно, наименьшее время, через которое световой сигнал появится в точке Р — это t\ = (yjzl + a2 — a sin а) /с, а наибольшее — это 2 = ( y/zo + я2 + а sin а) Iе- Указанный факт и отражает разность тета-функций в (58).
Другими словами, если точка наблюдения лежит в освещенной области пространства, то при вычислении амплитуды прошедшей волны следует пользоваться одной заменой переменных в интеграле Кирхгофа, если в области тени — то другой. Соответственно, ответы дифракционных задач в области света и в области тени окажутся разными, что полностью соответствует физическому смыслу задачи. Для вычисления интеграла (59) требуется провести ряд громоздких расчетов. Они описаны в приложении Б.
Сравнение импульсного отклика (63), который состоит только из элементарных алгебраических функций, и реакции круглого отверстия на монохроматическую волну (64), куда входят двойные бесконечные суммы специальных функций, демонстрирует явные вычислительные преимущства импульсного метода. 4.2.2 Выполнение принципа соответствия (связь полученного решения и результов исследования задачи о нормальном падении 5-импульса на круглое отверстие)
Получили, что отклик круглого отверстия на падающую наклонно плоскую о"-волну совпадает с аналогичным выражением для нормально падающего импульса при устремлении к нулю угла падения.
Таким образом, в рамках импульсного метода решена задача дифракции плоской волны, падающей на круглое отверсие под углом. Импульсный отклик системы вычислялся с помощью теоремы Кирхгофа. Ограничения, которые накладывает использование этой теоремы, перечислены в разделе 3.1. Оказалось, что импульсный отклик состоит из прошедшей и краевой волн. как это было и в задаче о нормальном падении. Выражение для импульсного отклика (63) содержит только элементарные алгебраические функции, чем оно чрезвычайно выгодно отличается от решения аналогичной задачи в теории монохроматических волн (64), куда входят бесконечные суммы специальных функций с коэффициентами, которые сами являются сфероидальными функциями. Если в полученном импульсном отклике (63) устремить угол между плоскостью импульса и плоскостью экрана к нулю, то решение задачи о наклонно падающей волне превращается в решение задачи о нормальном падении, что является одним из подтверждений правильности выводов.
Идеальная сферическая волна (т. е. волна, напряженность поля которой зависит только от модуля радиус-вектора) является в оптике таким же эталонным объектом, как и плоская волна. Задача дифракции сходящейся сферической волны на круглом отверстии имеет важное практическое значение, потому что эта задача эквивалентна задаче о прохождении плоской волны через обычную недиспергирующую линзу с учетом дифракции на краях этой линзы. Распределение амплитуды поля в окрестности фокуса линзы позволяет судить о таких технических параметрах оптического устройства, как, например, глубина резкости, или приемлемая величина допуска в положении плоскости изображения. Как и прежде, мы будем использовать приближение Кирхгофа для рассмотрения дифракции сферической волны на круглом отверстии. Это приближение означает, как уже упоминалось в разделе 3.1, что мы пренебрегаем особенностями взаимодействия падающей волны и экрана, а также возможностью многократного переизлучения рассеянной волны краем. А из этого, в свою очередь, следует, что форма экрана, в котором расположено круглое отверстие, не имеет принципиального значения. В данной задаче, исходя из геометрических соображений, удобно рассматривать сферический экран.
Похожие диссертации на Исследование импульсного метода решения задач дифракции скалярных волн и его применение для анализа работы различных оптических систем
