Содержание к диссертации
Введение
1 Теория связанных мод в волоконной брэгговской решётке 14
1.1 Уравнения связанных мод 14
1.2 Точные решения 17
1.3 Численное решение задачи рассеяния 38
2 Новые методы синтеза волоконных брэгговских решёток 41
2.1 Уравнения Гельфанда—Левитана—Марченко 42
2.2 Разложение Холецкого 52
2.3 Тёплицева симметрия и внутреннее окаймление 62
3 Синтез оптических фильтров для линий связи 74
3.1 Устойчивость восстановления решётки по зашумленным данным . 74
3.2 Прямоугольный фильтр для оптической связи 86
3.3 Оптимизация квазипрямоугольного фильтра 98
Заключение 112
Литература 113
Введение к работе
Волоконная брэгговская решётка (ВБР) представляет собой оптическое волокно, в ядре которого показатель преломления квазипериодически изменяется в продольном направлении. Такая решётка работает как узкополосный фильтр для проходящего через неё излучения. Наиболее сильно отражается свет с длиной волны, равной удвоенному периоду решётки. Амплитуда изменения показателя преломления в такой решётке мала, поэтому в любой заданной точке отражается небольшая часть излучения. Однако, за счёт участия в отражении всей длины решётки коэффициент отражения может быть большим и даже приближаться к единице. Когда волна, отражённая от одного из периодов решётки, оказывается в фазе с отражёнными от других периодов, происходит её усиление. Синфазность достигается в узком диапазоне длин волн, таким образом, решётка имеет узкую полосу отражения, а свет с другими длинами волн проходит через решётку. Отражение всей длиной решётки приводит к тому, что излучение разной частоты выходит из решётки с разными фазами — возникает неоднородная задержка сигнала (дисперсия).
Возникновение волоконной брэгговской решётки впервые описано в работе Хилла с соавторами [1]. Видимое излучение аргонового лазера с длиной волны 488 нм, направленное через торец в оптическое волокно, легированное германием, образовывало стоячую волну за счёт слабого отражения (~ 4%) от вы-
ходного конца волокна. Длительное воздействие (несколько десятков секунд) стоячей волны на материал волокна приводило к неоднородному изменению показателя преломления с образованиеы периодической структуры. Интерес к таким решёткам был ограничен тем, что их период определялся длиной волны излучения, производящего запись, кроме того процесс записи имел низкую эффективность и не позволял произвольно задавать профиль решётки. Позже было установлено [2], что фоточувствительность волокна определяется поглощением на длине волны 244 нм, а в работе [1] наблюдалось двухфотонное поглощение, что и снижало эффективность записи.
Устранить недостатки, присущие методу Хилла, удалось Мелтцу с соавторами, разработавшим метод голографическои записи [3]. В этом методе запись производится ультрафиолетовым излучением с длиной волны 244 нм. Периодическая структура формируется интерференцией двух когерентных пучков, направленных в волокно сбоку, через оболочку. Изменяя угол между пучками можно выбирать период решётки и, соответственно, брэгговскую длину волны.
Позже были созданы методы, использующие фазовую маску [4,5]. Благодаря использованию фазовой маски, дающей дифракционную картину в проходящем пучке, снизились требования к когерентности излучения и механической стабильности записывающего оборудования, появилась возможность записывать несколько решёток одновременно. Кроме того, изготовив фазовую маску нужного профиля, можно создавать «аподизированные» (плавно спадающие к краям) и «чирпованные» (с периодом, изменяющимся вдоль длины) решётки. В настоящее время активно развиваются также и другие методы записи [6,7], позволяющие создавать решётки различного назначения с широким набором свойств.
Благодаря широким возможностям методов записи и разнообразию свойств,
волоконные брэгговские решётки находят все больше приложений [8]. Они используются в оптических линиях связи [9-12], в сенсорных системах [13], а также для обработки радиочастотных и микроволновых аналоговых сигналов [14,15]. Для телекоммуникаций наиболее важные приложения—это компенсаторы дисперсии [7,16], зеркала волоконных [17-19] и полупроводниковых [20] лазеров, оптические усилители [21], фильтры для разделения каналов [22-24], в том числе для сверхплотной упаковки данных [25-27].
Сенсорные устройства на основе волоконных брэгговских решёток [28—31] могут применяться для измерения статических и динамических полей деформации, температуры и давления. Действие сенсоров основано на том, что при изменении температуры или деформации среды, в которую внедрена решётка, изменяется период решётки. Это приводит к изменению брэгговской длины волны и, соответственно, к смещению полосы отражения. Такой принцип действия обеспечивает малую чувствительность сенсорной системы к шумам и линейность характеристики в широком диапазоне значений измеряемой величины. Если размеры отдельного датчика малы, его деформацию можно считать однородной, а сигнал датчика несет информацию только об одной точке среды. Чтобы получить пространственное распределение измеряемой величины, решётки объединяются в сенсорные сети. Каждая решётка должна иметь брэгговскую длину волны, отличную от всех остальных. Для такого применения требуются узкий спектр отражения и малые размеры [28]. Возможно также использование длинной решётки как распределённого датчика, для этого необходимо измерять частотную зависимость коэффициента отражения. Решив для полученного спектра обратную задачу рассеяния, можно определить структуру решётки и, следовательно, распределение параметров вдоль волокна [28,32].
Для передачи данных по оптоволоконной линии связи они кодируются по-
следовательностью коротких световых импульсов, генерируемых волоконным или полупроводниковым лазером. В качестве зеркал в нём используются узкополосные брэгговские решётки с характерными параметрами АЛ = 0.1 — 1 нм, R = 1 — 100%. Данные передаются одновременно на нескольких частотных каналах, что требует мультиплексирования на входе в линию и демультиплексирования на выходе. Демультиплексор на основе брэгговской решётки должен обеспечивать спектр отражения с шириной ДА = 0.2 — 1 нм и высокую (> 30 дБ) степень подавления соседних каналов. При распространении импульсов в оптоволоконной линии связи, они расплываются за счёт дисперсии волокна, взаимодействуют друг с другом за счёт нелинейности и затухают. Все эти явления приводят ограничению дальности и скорости передачи данных. Затухание импульсов компенсируется волоконными оптическими усилителями, расположенными периодически вдоль линии связи. Волоконный усилитель содержит высокоотражающее зеркало с параметрами АЛ = 2 — 25 нм, R — 100 %. Дисперсионное расплывание импульсов устраняется периодически расположенными компенсаторами дисперсии АЛ = 2—25 нм, групповая задержка 1600 пс/нм [9,28].
Многообразие приложений требует создания решёток с различными спектральными характеристиками, которые определяются деталями строения решётки: медленно-изменяющимися профилем огибающей и слабой модуляцией периода решётки вдоль её длины. Конструирование решётки требует решения прямой и обратной задач рассеяния. Первая заключается в нахождении комплексных коэффициентов отражения и прохождения излучения падающего на решётку с заданными профилем в нужном диапазоне длин волн, вторая—в определении профиля решётки по заданному комплексному спектру отражения. Обычно задача рассматривается как одномерная: при вычислениях ис-
пользуется только продольное распределение одной компоненты электромагнитного поля, а поперечное учитывается введением эффективного показателя преломления. Прямая задача рассеяния решается однозначно — задавая с необходимой подробностью всегда конечную по длине решётку, можно получать с соответствующей точностью спектральные характеристики решётки. В то же время, входными данными для решения обратной задачи является комплексный спектр отражения, который подразумевается заданным при всех частотах, что невозможно при численном решении задачи. При этом две решётки, спектры которых совпадают лишь в заданном диапазоне частот, могут иметь между собой мало общего. Таким образом, обратная задача рассеяния подразделяется на задачу восстановления профиля существующей решётки по данным рассеяния (измеренным в эксперименте) и задачу конструирования (синтеза) решётки, удовлетворяющей некоторым заданным требованиям [33,34].
Решение прямой задачи рассеяния для волоконной брэгговской решётки сводится к решению линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Гельмгольца) или системы двух уравнений первого порядка и потому не представляет значительных сложностей. Обратная задача рассеяния более сложна, существует несколько подходов к её решению.
Одномерная обратная задача рассеяния может быть сведена к системе двух интегральных уравнений Гельфанда—Левитана—Марченко (ГЛМ) [35]. Если решётку длины L разбить на N слоев толщины h = L/N, а интегралы заменить суммами, то получится система линейных алгебраических уравнений — дискретный аналог интегральных уравнений. Как известно, решение системы уравнений с матрицей общего вида требует N3 операций. Однако, в отличие от классических интегральных уравнений, решение системы ГЛМ является функцией двух переменных, то есть задачу размерности N нужно ре-
шить N раз. Решение f(x, у) надо найти в N точках по оси у при различных значениях переменной х. Отсюда получается, что непосредственное численное решение требует порядка iV4 операций. При характерных N ~ 104 расчёт представлялся слишком трудоёмким, это заставило исследователей искать более эффективные методы численного решения обратной задачи, основанные на других подходах. Эти методы могут быть разделены на три группы. Первая и наиболее распространённая группа состоит из нескольких модификаций алгоритма послойного восстановления: непрерывного [36] и дискретного [33]. Вторая группа, использующая уравнения ГЛМ, включает различные численные методы. Третья группа использует конечно-разностные схемы для решения нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений [37], эквивалентных ГЛМ для достаточно гладких функций, так называемые методы чехарды (leapfrog) [38-41]. Методы первой и третьей групп — очень быстрые, так как требуемое число операций — порядка N2. Однако, они имеют сравнительно низкую точность, особенно при высоком отражении, поскольку профиль ВБР аппроксимируется кусочно-постоянной функцией [42].
Один из основных подходов в настоящее время — послойное восстановление решётки (layer peeling), метод, давно известный в квантовой механике и геофизике и применённый к синтезу ВБР Феседом с соавторами [43], Поладиа-ном [36] и Скааром с соавторами [33]. Его достоинствами являются высокая скорость (порядка N2 арифметических операций) и ясная физическая интерпретация применяемых процедур.
Он основан на использовании принципа причинности—задача переформулируется таким образом, что вместо стационарного пространственного распределения гармоник рассматривается распространение в решётке бесконечно короткого (5-образного импульса. Импульс, упавший на решётку в момент времени
t = О, вызовет отклик, форма которого зависит от устройства решётки. Однако, вне зависимости от устройства решётки отклик обладает двумя свойствами: он равен нулю при t < О, а при t > 0 несет информацию только о передней части решётки длиной ct/2n, так как свет, отражённый дальше этой точки к моменту t ещё не успел вернуться. Здесь с—скорость света в вакууме, п — средний показатель преломления волокна. Решётка представляется как совокупность различных однородных слоев или точечных отражателей. Каждый тонкий слой имеет слабое отражение и может рассматриваться в первом борновском приближении.
В итоге, решение обратной задачи рассеяния сводится к следующему: 1) вычисляется импульсный отклик решётки при t = 0,2) определяются параметры первого слоя решётки, 3) решается задача о распространении волн в слое, параметры которого определены на предыдущем шаге, 4) определяется отношение амплитуд противоположно-направленных волн на выходе из слоя, совпадающее с коэффициентом отражения оставшейся части решётки. Процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнут конец решётки, определяемый соотношением неопределённости для дискретизованного спектра отражения.
Благодаря высокой эффективности метод приобрёл широкое распространение. Недостаток обычного метода послойного восстановления—экспоненциальное падение точности вдоль решётки вследствие накопления ошибки в процессе восстановления [42]. Лучшие результаты для сильно-отражающей решётки продемонстрировал комбинированный метод, сочетающий итерации и послойное восстановление, интегральный метод послойного восстановления, предложенный Розенталем и Хоровицем [44]. Решётка разбивается на тонкие слои, которые однако не предполагаются однородными. Профиль каждого слоя находится итерационным решением уравнений ГЛМ. Этот метод уменьшает
накопление ошибки и работает до очень высоких коэффициентов отражения, но требует для сходимости заранее неизвестного числа операций.
Ко второй группе относятся различные итерационные методы с числом операций Ш3, где I — число итераций, необходимое для сходимости. Например, метод последовательных приближений ядра, предложенный Франгосом и Джаг-гардом [45], метод борновских приближений высших порядков, предложенный Пералом с соавторами [46] или усовершенствованный алгоритм Поладиана [47], который использует информацию о спектрах отражения от обоих концов решётки. Иногда используются дополнительные предположения. Например, Сонг и Шин [48] заменили заданный спектр отражения дробно-рациональной функцией, а Ахмад и Раззаг [49] аппроксимировали ядра интегральных уравнений полиномами. Эти методы плохо сходятся, особенно при сильном отражении.
Третья группа методов, сравнимая по эффективности (iV2 операций) с первой, включает метод Чао и Яширо [40], которые преобразовали интегральные уравнения ГЛМ в систему гиперболических уравнений в частных производных и решили её сеточный аналог. Существуют также другие разновидности этого метода, например, Папахристос и Франгос [38] вывели и решили дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Во всех случаях точность остаётся невысокой из-за аппроксимации спектра отражения ступенчатой функцией.
Цель настоящей диссертации — разработка эффективных методов решения интегральных уравнений ГЛМ для синтеза ВБР.
Исследование состояло из трёх этапов:
1. Выбор эффективных алгоритмов решения прямой задачи рассеяния. Проверка точности методов и приближения связанных мод. Исследование ана-
литических решений.
Преобразование системы интегральных уравнений Гельфанда—Левитана—Марченко к эрмитовой и тёплицевой форме. Разработка эффективных и точных алгоритмов решения обратной задачи рассеяния.
Проверка точности и устойчивости предложенных методов синтеза брэг-говской решётки на аналитических решениях. Синтез прямоугольных оптических фильтров для линий связи с частотным уплотнением каналов. Оптимизация спектральных характеристик фильтров.
Диссертация состоит из Введения, трёх глав и Заключения. Первая глава посвящена изложению теории связанных мод для волоконной брэгговской решётки. В разделе 1.1 приведён вывод уравнений связанных мод и обсузкдение пределов их применимости. В разделе 1.2 приводится несколько примеров точных решений уравнений связанных мод, которые в следующих главах используются для тестирования численных методов решения обратной задачи рассеяния. Особое внимание уделено решётке с постоянной амплитудой и линейной модуляцией пространственной частоты. В разделе 1.3 описан метод трансфер-матриц (Т-матриц) решения задачи рассеяния для одномерного уравнения Гельмгольца и для системы уравнений связанных мод.
Во Второй главе описаны новые численные методы решения обратной задачи рассеяния для уравнений связанных мод, основанные на решении системы интегральных уравнений Гельфанда—Левитана—Марченко с использованием присущей задаче симметрии. В разделе 2.1 приведён вывод уравнений ГЛМ. В разделе 2.2 представлена ускоренная процедура решения уравнений ГЛМ, основанная на разложении Холецкого. Показано, как повысить порядок аппроксимации, не увеличивая требуемое число арифметических операций. В
Точные решения
Известно лишь несколько профилей q(x), для которых система уравнений (1.6) имеет аналитическое решение. Простейший из них — это конечная решётка длины L с постоянным коэффициентом связи q — const. Такая решётка называется однородной, а решение выражается через экспоненты [50]. Другой простой случай—это бесконечная решётка с профилем в виде гиперболического секанса q(x) = sech (х/l), где I — характерная ширина профиля, а также её асимметричные обобщения [55]. Среди точно решаемых также имеется профиль в виде комбинации экспонент, который соответствует дробно-рациональному частотному спектру [48].
У однородной решётки глубина и период модуляции показателя преломления постоянны на всей длине: y(z) = const, (5(z) = const, 9(z) = const. Хотя однородная решётка и не является наилучшим выбором для практических применений из-за спектра отражения, содержащего большие по амплитуде медленно-убывающие осцилляции, она представляет основу численных методов решения задачи рассеяния для более сложных решёток, а также качественного объяснения связи их профилей со спектрами отражения. Задача рассеяния для однородной решётки в случае, описываемом приближением связанных мод, может быть решена точно.
Здесь введено обозначение p = \f\q\2 — 2. Для того, чтобы решить задачу рассеяния, то есть найти коэффициент отражения, нужно использовать условия на концах решётки. В силу линейности уравнения (1.9) можно «перенести» условие с левого конца решётки на правый: вместо a(zi) = 1 считать, что a(zr) = 1. Коэффициент отражения, как и прежде, определяется выражением г (к) — b(zi)/a(zi).
Характерный вид спектра отражения однородной решётки приведён на рисунке 1.2. Кроме центрального максимума спектр содержит боковые «лепестки», связанные с резкими краями профиля — интерференция волн, отражённых от краёв, приводит к возникновению боковой структуры. Можно рассматривать однородную решётку как эталон Фабри—Перо, зеркалами которого являются края решётки. Чтобы избежать возникновения боковой структуры в спектре, решётку «аподизируют», то есть сглаживают края её профиля, устраняя боковые зеркала резонатора.
В этом случае уравнения связанных мод имеют точное решение, которое может быть выражено через гипергеометрические функции Гаусса. Коэффициент отражения может быть выражен через Г-функцйи из более общего решения [55] ф) = sh (7ГЛ0 Щ± -Г Q -ЦшС- Л/")) Г Q - і (ц, + ЛГ)) , (1.13) где Г—гамма-функции Эйлера [56]. Спектр отражения такой решётки приведён на странице 67, как видно из рисунка 2.6, он не содержит боковых лепестков. Для решёток с фазовой (и частотной) модуляцией, называемых также чир-пованными, тоже имеются точно решаемые профили. Во-первых, это решётка конечной длины с постоянной амплитудой и квадратичной модуляцией фазы в(х) = ах2/2, что соответствует линейной модуляции частоты (линейному чир-пу).
Таким образом, немногие существующие точные решения описывают все четыре основных типа решёток: с чирпом и без чирпа, с аподизацией и без аподи-зации. В главе 2 они применяются для тестирования новых численных методов решения обратной задачи рассеяния. Теория линейно чирпованных решеток занимает центральное место в волоконной оптике. Чирпованные решётки представляют интерес ввиду их применения в качестве устройств корректирующих или компенсирующих дисперсию [59]. Исследование линейно-чирпованных решёток полезно для получения приближённого решения более общей задачи сложной гауссовой модуляции [60]. Групповая задержка как функция частоты — линейная функция с дополнительными осцилляцияни. В приложениях требуется минимизировать амплитуду регулярных осцилляции и шума, возникающего из-за ошибок изготовления [7].
Разложение Холецкого
Рассмотрим дискретный аналого уравнений ГЛМ (2.15), (2.16). Предположим, что R(z) известна в дискретных точках zn = nh с шагом h = 2L/N, и обозначим Rn = R(zn), п = 0,..., N. Определим сеточные функции «и"0 = А2І.Хт, Тп - Xm), Ф{2] = Ф(Жткп, (Гк), где дискретные координаты даются выражениями xm = m-, m=l,...,N, (2.19) Tn=(n--J/i, ak=(k--)h, n, k = 1,...,m. (2.20) Заменяя интегралы в уравнениях (2.15), (2.16) конечными суммами подынтегральных выражений взятых в серединах интервалов дискретизации, получим матричное уравнение Q(m)u(m) =b(m)_ (2.21) Здесь вектор fr[m) = (Rk + Rk-i)/2, к = 1,..., га— аппроксимация функции R(t) в точках t = п(к - 1/2) с точностью 0{h2) тлт х т матрица G(m) = E(m) — ф(т), где Е(т) —единичная матрица, а эрмитова матрица Ф(т) с ТОЧНОСТЬЮ 0(h2) даётся суммой bW- y-h -iUU, (2-22) 1=1 Ro = Ro/2, Rk = Rk, к ф 0. Эта матрица имеет рекуррентное представление. Пусть матрица фМ-і)— известна, тогда Ф(т) может быть получена из матрицы фМ-і) окаймлением: ФЙ ФЇГ4 п, к = 1,...,т-1, (2.23) = - -1, п=1,...,т-1. /=1 Только последняя строчка и последний столбец Ф,\ +і = ( m+iln) находятся на каждой итерации по формуле (2.22). Окаймление требует 0(т2) операций.
Эрмитовость матриц G m позволяет использовать специальное треугольное разложение, так называемое разложение Холецкого [70, 76], на каждом шаге т. Рекуррентное представление (2.23) позволяет выполнять разложение Холецкого рекуррентно.
Восстановление профиля решётки по заданному г(и ) состоит из двух шагов: получение функции R(x) из г(ш) при помощи быстрого преобразования Фурье, и решение уравнений ГЛМ. Цель данного раздела — рассмотрение второго шага, поэтому для исключения влияния ошибки, вносимой фурье-преобразованием, оно выполнялось с избыточной точностью: значения г (и) брались в 220 точек (число точек в координатном пространстве было значительно меньше). Графики этой величины при различных значениях коэффициента связи до приведены на рисунке 2.2. Из рисунка видно, что -2Д(0) = до- Число осцилляции на графиках возрастает с ростом до, в то же время, характерная ширина Az = 1/д0 функции R(z) (ширина главного провала при z — 0) убывает. Рисунок 2.4 (а) показывает восстановленную функцию q(x) = 2А2{х,х), при этом точное решение — константа q(x) = qo- Вычисления для интервала 0 х 1 были проделаны при qQ = 2,4,6, эти решётки дают спектр отражения со следующими значениями максимального абсолютного отклонения от единицы: 1 — г( )ша1 = 3.6 х 10 2, 6.7 х Ю-4, 1.2 х Ю-5, соответственно. Отклонение восстановленной функции q(x) от константы q = q0 характеризует погрешность вычислений. Погрешность мала при iV = 1024. Для того, чтобы выявить погрешность, было проведено вычисление для g0 = 6 с меньшим числом шагов, результаты показаны на рисунке 2.4(b). Видно, что ошибка убывает с увеличением N. Сравнение численного расчёта предложенным методом с алгоритмом ДПВ для профиля (1.12) при iV = 512 показано на рисунке 2.5, rmax = 1 - Ю-3 (а), Рис. 2.3: Решение (2.25) уравнений ГЛМ при х = L/2, —x z х: снизу вверх при о = 2,4,6.
Прямой метод, изложенный в данном разделе свободен от указанного недостатка. Однако, он сводится к обращению матрицы, следовательно, его область применимости ограничена задачами с хорошо обусловленными матрицами. При большой плотности решётки (при q0L 8 в представленных результатах) матрица G становится плохо обусловленной. Её минимальное собственное значение порядка 1—rlmax и стремится к нулю. В результате даже небольшая ошибка в численной аппроксимации функции R(x) делает матрицу G необратимой.
Комбинированный метод интегрального послойного восстановления (ИПВ), предложенный Розенталем и Хоровицен [44] не имеет упомянутых выше двух недостатков. В этом подходе решётка делится на М слоев, состоящих из т точек каждый. Полное число точек вдоль решётки составляет N = тМ. Восстановление каждого слоя осуществляется при помощи итерационного решения интегральных уравнений ГЛМ, и коэффициент отражения усечённой решётки на каждом шаге находится с нужной точностью. В результате более точного решения прямой задачи рассеяния внутри каждого слоя авторы восстановили однородную решётку с максимумом отражения rmax = 1-Ю-10. Более того комбинированный подход делает возможным повышение скорости вплоть до - N2 InN операций, где I — число итераций при восстановлении слоя. Если слой — тонкий и итерации не требуются, то I — О и число операций становится меньше, чем N2. Заметим, что без итераций устойчивость и точность метода уменьшаются.
Можно предположить, что объединение предложенного прямого метода с подходом ИПВ даст лучшие результаты. Ожидаемое число операций объединённого метода составляет N In N + т3 на каждом слое, эта величина должна быть умножена на число слоев М = N/m. Максимальная эффективность должна достигаться при т (N In N)1/3 точек на слой. Следовательно, полное число операций будет N5/3(lnN)2/3 Ат2, N — со. До тех пор пока каждый слой достаточно тонок и его оптическая плотность мала (g0L/M 1), метод с обращением матриц будет давать лучшие результаты по сравнению с итерационным. Такое объединение методов должно устранить источник численной погрешности, присущий методу послойного восстановления.
Таким образом, в данном разделе предложен новый численный метод решения обратной задачи рассеяния. Он состоит в прямом численном решении уравнений ГЛМ и основан на процедуре окаймления, разложении Холецкого и кусочно-линейной аппроксимации функций. Окаймление уменьшает необходимое число операций с 0(N ) до 0(N3). Разложение Холецкого повышает устойчивость. Линейная аппроксимация повышает точность до є = 0(N 2) по сравнению с б = 0(N l) для ступенчатой аппроксимации.
Сравнение различных методов может быть проведено при фиксированном N или при фиксированной погрешности є. Результаты этих сравнений могут различаться. Предложенный метод уступает ДПВ в скорости при фиксированном N, так как последний требует всего 0(N2) операций. Однако, если сравнивать методы при заданной точности в — 0, то новый метод окажется более эффективным: он требует 0{e z 2) операций по сравнению с 0(є-2) для ДПВ.
Прямоугольный фильтр для оптической связи
Управление дисперсией и спектральное уплотнение данных значительно повысили скорость передачи информации по оптическим линиям связи [11]. Главным препятствием к дальнейшему увеличению производительности линии являются взаимодействие сигналов в соседних каналах и межбитовое взаимодействие в одном канале. При заданной ширине полосы для уменьшения взаимодействия между каналами требуется уменьшать ширину каналов. Однако, это приводит к увеличению длительности импульсов. Тогда при заданной частоте следования импульсы начинают перекрываться. При этом усиливается межбитовое взаимодействие и затрудняется распознавание битов.
Соотношение между шириной каналов и величиной битового интервала можно определить рассмотрев задачу о генерации последовательности импульсов при помощи идеального прямоугольного фильтра. Пропустим короткий гауссов импульс через узкий прямоугольный фильтр. Если ширина спектра импульса много больше ширины фильтра В, на выходе получим импульс с прямоугольным спектром, имеющий sine-образную форму sine ixBt — sin тхBt/жВЬ. Ширина фильтра В, должна быть выбрана так, чтобы соседние каналы не перекрывались, а полоса частот была занята полностью. Оптимальной частотой следования импульсов является такая, при которой максимум каждого следующего импульса попадает в первый нуль предыдущего [26]. Экспериментальная реализация фильтра такого типа в виде брэгговского отражателя представлена в работе [25].
На длинных линиях связи проявляются дополнительные факторы, искажающие сигнал: керровская нелинейность, шумы усилителей, хроматическая дисперсия волокна, неидеальность фильтра. Дисперсия групповой скорости компенсируется периодически расположенными отрезками волокна с противоположным знаком дисперсии. В линейной системе средняя величина дисперсии (D) = х J0 D(z)dz, где L — длина секции (сумма длин сегмента основного волокна с положительной дисперсией и компенсирующего волокна с отрицательной дисперсией), может выбираться произвольной и компенсироваться в конце линии. Однако из-за нелинейности оптимальной становится неполная компенсация. Наилучшая величина средней дисперсии определяется параметрами линии и сигнала, она заранее неизвестна и остается одним из параметров оптимизации. Другим регулирующим параметром служит ширина фильтра.
Цель данного раздела — оптимизация оптической системы с плотной упаковкой каналов для увеличения расстояния, на которое битовые последовательности распространяются с приемлемым уровнем ошибок. Оптимизация проводилась при фиксированной скорости передачи данных в каждом канале и заданной вероятности ошибки.
Для моделирования оптического канала передачи информации битовая последовательность, составленная из коротких гауссовых импульсов, предварительно была пропущена через оптический фильтр в виде брэгговской решетки. Не всякая спектральная характеристика фильтра может быть реализована, поэтому требуется, задав предварительно желаемую характеристику, решить обратную задачу рассеяния и найти профиль брэгговской решетки со спектром отражения близким к заданному. Затем надо решить прямую задачу рассеяния и определить «реальную» спектральную характеристику фильтра. В общем случае для конечной решетки «реальная» характеристика будет отличаться от желаемой, причем не только амплитудой коэффициента отражения, но и групповой задержкой.
«Реальная» передаточная функция фильтра изображена на рис. 3.7 (а) вместе с групповой задержкой, а предложенный профиль брэгговскои решетки на рис. 3.7 (Ь). Как видно из рис. 3.7 (а) неоднородность групповой задержки при уменьшении коэффициента отражения от максимума в десять раз составляет около 1 пс. Поэтому задержка внутри полосы отражения значительно меньше расстояния между импульсами и ширины отдельного импульса. После прохождения через такой фильтр узкий гауссов импульс приобретает sinc-обраэную форму.
Ширина оптического фильтра В подобрана таким образом, что нули функции находятся в серединах битовых интервалов, которые составляют 25 пс. В результате этого взаимодействие между соседними битами уменьшается. На приемном конце линии производится разделение каналов при помощи таких же фильтров, что и в начале линии. Импульсы проходят через фильтр повторно, это приводит к дополнительному изменению их формы. На рис. 3.8 показаны профили импульсов после однократного (штриховая линия) и двукратного (сплошная линия) прохождения оптического фильтра. Первый нуль функции практически совпадает с первым нулем функции sinc7r.B, в особенности после второго фильтра. Далекие хвосты функции разумеется убывают значительно быстрее, чем у sincirBt, поскольку спектральный профиль коэффициента отражения фильтра выбран в виде гладкой функции (3.9).
Похожие диссертации на Методы решения обратной задачи рассеяния для волоконных брэгговских решеток
