Содержание к диссертации
Введение
1 Методы управления атомами 8
1.1 Методы охлаждения и удержания атомов 8
1.1.1 Силы, дейстиутощие на атом в лазерном поло 8
1.1.2 Доплеровское охлаждение 10
1.1.3 Субдоплеропекое охлаждение и матнито-оптйчеекие ловушки 12
1.1.4 Испарительное охлаждение 16
1.1.5 Управление движением атомов с помощью нерезо-наненвтх полей. Оптические решетки 18
1.2 Управление посредством обратной связи 26
1.2.1 Классические системы 26
1.2.2 Квантовые системы 29
1.3 Выводы 37
2 Описание петли обратной связи 39
2.1 Модель 39
2.2 Квантовая теория измерений 41
2.3 Измерение коллективной координаты атомов в одномерной оптической решетка 47
2.4 Приближенная форма оператора амплитуды измерения . 61
2.5 Сдвиг коллективной координаты 63
2.6 Выводы 65
3 Динамика состояния системы 68
3.1 Один шаг- обратной связи 69
3.2 Корреляции второго порядка 74
3.3 Изменение средней энергии 77
3.4 Состояние термодинамического равновесия 80
3.5 Выводы 94
4 Стабилизация атомов в оптической решетке посредством обратной связи 97
4.1 Взаимодействие с независимыми резервуарами 97
4.2 Взаимодействие с одним резервуаром 110
4.3 Выводы 122
Заключение 126
Литература 132
- Субдоплеропекое охлаждение и матнито-оптйчеекие ловушки
- Измерение коллективной координаты атомов в одномерной оптической решетка
- Состояние термодинамического равновесия
- Взаимодействие с независимыми резервуарами
Введение к работе
Объект исследования и актуальность темпі. В настоящее время управление единичными атомами и атомными ансамблями, и частности охлаждение их до ультра низких температур, представляет важную экспериментальную и теоретическую задачу. Стандартные методы управления основаны па резонансном взаимодействии лазерного поля с атомами. Однако использование резонансных нолей в значительной степени ограничивает возможности такого управления за счет шума, вызванного спонтанным излучением. Кроме того. оти методы применимы для охлаждения только атомов, имеющих переходы резонансные доступным лазерным источникам.
Для того чтобы расширить диапазон атомов, которые могут быть охлаждены до ультра низких температур, можно использовал лазерные поля далеко отстроенные от частоты атомного перехода- В этом случае механизм управлении может быть основан на. дипольном взаимодействии атомов с полем.
Этот механизм может быть удобно реализован в так называемых нерезонансных оптических решетках, которые представляют собой периодический потенциал для атомов, созданный за счет интерференции двух или более лазерных лучей. Параметры оптической решетки, такие как постоянная решетки или глубина потенциальных ям. можно легко регулировать, изменяя длину волны, поляризацию или интенсивность лазерных лучей. Это, в частности, позволяет управлять динамикой ультра холодных атомов, удерживаемых в решетках. Например, оказалось возможным наблюдение квантового фазового перехода между режимами сверхтекучести и изолятора Мотта. Более того, поскольку атомы в оптической решетке во многом схожи с электронами н кристалле, оказалось возможно использовать их для исследования ряда фундаментальных явлений физики твердого тела, которые по различным причинам были не доступны в реальных кристаллах. Другой важной областью применения оптических решеток является атомная нанолитография, где они используются для управления процессом осаждения атомов. И наконец, оптические решетки открывают новые возможности в области, связанной с реализацией квантовых вычислений и созданием квантовых компьютеров. При этом с экспериментальной точки зрения во всех этих приложениях особую роль играет проблема стабилизации атомов.
Действительно, в нерезонансных оптических решетках отсутствует внутренний механизм охлаждения. Несмотря на то. что в таких решетках шум спонтанного излучении сказывается слабо, во всех реальных экспериментах присутствуют шумы из-за флуктуации параметров решетки и столкновений с атомами фона. Поэтому, для того чтобы иметь возможность предотвращать воздействие на атомы внешних шумов или даже охлаждать их. необходимо позаботиться о механизме диссипации энергии. Такой механизм, может быть обеспечен за счет введения петли обратной связи, с помощью которой можно управлять поведением системы, используя информацию о ее состоянии, полученную из измерения. Этот метод не оказывает воздействие на внутренние степени свободы атомов и, поэтому, может быть применен к различным видам атомов и даже к молекулам.
Теория управления посредством обратной связи хорошо разработана, для классических систем, то есть в том случае, когда можно получить полную информацию о динамических переменных. Однако в случае ква.нтовых систем, таких как, например, атомы и холодные і азы, классическая теория управления перестает быть адекватной. Однако к настоящему времени достаточно полно исследована работа метода обратной связи для единичных систем (атом, мода оптического резонатора) и в квантовом режиме. Стоит отметить, что эти исследования включаю-! в себя не только теоретическое описание, но и экспериментальную реализацию этого метода управления. В частности, было продемонстрировано охлаждение единичного атома и единичного иона посредством обралтюй связи. Особый интерес: представляет также использование обратной связи для управления многочастич-ньгми системами. Несмотря на то, что квантовые особенности применения обратной связи для управления много частичным и системами теоретически исследовались, важные аспекты работы этого метода далеко не полностью освещены.
В связи с вышеизложенным, полью настоящей диссертационной работы является всестороннее исследование возможностей метода обратной связи для управления многоатомными системами в оптических решетках. В соответствии с указанной целью исследования были поставлены следую конкретные задачи:
1. развить описание работы управления посредством обратной связи коллективной координатой атомов, удерживаемых в оптической решетке, с учетом как квантово-механических особенностей, так и мпогочастичного характера системы;
2. на основании полученной теории исследовать динамику атомов в результате применения серии актов обратной связи;
3. определить факторы, влияющие на эффективность управления посредством обратной связи квантовыми многоатомными системами, и установить границы применимости метода:
4- исследовать возможности метода обратной связи для стабилизации атомных систем, подверженных воздействию различных типов внешних источников шума.
Научная новизна;
1. В диссертации впервые рассматривается последовательная квантовая теория измерения координат атомов в оптических решетках с учетом многочаотичноео характера проблемы.
2. Впервые получены аналитические выражения для атом атомных корреляций, возникающих в результате применения обратной связи, и проанализировано совокупное влияние неточности измерения и корреляции между атомами на эффективность управления посредством обратной связи.
3. Впервые исследовано совместное влияние петли обратной связи и источников внешнего шума на динамику атомов в оптической решетке. Продемонстрирована принципиальная возможность увеличения времени жизни (стабилизации) атомов за счет управлении их коллективной координатой.
Практическая ценность. На основании результатов работы предложен и обоснован новый метод охлаждения атомов. Кроме того, показано, что метод обратной связи может быть использован для увеличения времени жизни атомов в оптической решетке.
Положения, выносимые на защиту:
1- Общий вид наблюдаемой, измеряемой в экспериментах по управлению коллективной координатой атомов в оптических решетках.
2. Аналитическое выражение для преобразования атом атомных корреляций в результате применения мгновенных актов обратной связи. Аналитическое выражение для изменения средней энергии атомов в результате действия обратной связи с учетом свободной эволюции атомов между актами обратной связи.
3. Атом атомные корреляции, возникающие в результате работы обратной связи, оказывают значительное влияние па эффективность управления. С учетом этого факта предложен новый метод охлаждения атом OR, комбинирующий идеи обратной связи и сим патетического охлаждения.
4. Управление посредством обратной связи может быть использовано для стабилизации атомов в оптической решетке. Происходит подавление как длинноволнового, так и коротковолнового шумов.
Обоснованность и достоверность результатов подтверждена двумя публикациями в рецензируемых журналах и одной публикацией в сборнике "Лазерные исследования в Санкт-Петербургском государственном университете".
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
1. на 1-ом российско-французском лазерном симпозиуме для молодых ученых "1st Russian-French Laser Physics Workshop for Young Scientists" (Санкт-Петербург. 2004);
2. на международной конференции "International Conference on Coherent and Nonlinear Optics" (Санкт-Петербург; 200! );
3. на международной конференции "XI Inteniationai Conference on Quantum Optics" (Минск, Беларусь, 200G).
Субдоплеропекое охлаждение и матнито-оптйчеекие ловушки
Идея использования силы радиационного давления для охлаждения атомов была предложена в работах /2, 3/ и основала, на. том факте, что поглощение лазерного излучения атомом зависит от отстройки частоты атомного перехода и лазера и, следовательно, в силу эффекта Доплера от скорости атома. Из-за важности эффекта Доплера этот метод охлаждения носит название доплеровского охлаждения. Предположим, что атом движется в поле бегущей волны Е = bcos(k г — cot). Тогда в отсутствие насыщения (OR = 0 В знаменателе (1.3)) и при малой скорости атома выра,-жепие для радиационной силы (1.3) может быть записано в виде где первое слагаемое является постоянной отклоняющей силой, второе ела,-гаемое пропорционально скорости атома и, следовательно, может приводить к сжатию распределения атомов по скоростям. Если лазерный луч направлен навстречу атомному пучку и отстроен в красную область по отношению к атомному переходу, 5 0, (Рис. 1.2 а), компонента радиационной силы в выражении (1.4), зависящая от скорости, оказывается направленной против вектора скорости атома и ведет себя подобно силе трения, приводя тем самым к замедлению движения атома.
Поскольку эффективность замедления зависит от скорости атомов, радиационная сила приводит также к сжатию распределепия атомов по скоростям, то есть, другими словами, позволяет охлаждать их. Вернемся к выражению (1.3) для силы радиационного давления. Вследствие лорен-цовой зависимости от скорости эта сила эффективно действует на атомы, скорости которых лежат в достаточно узком диапазоне относительно резонансной скорости t, res == Щ/k (Рис. 1.2 б). Те атомы, которые движутся слишком быстро или слитиком медленно, взаимодействуют с полем менее эффективно. Тем самым, как только скорости атомов становятся меньше резонансной, взаимодействие с полем, а, следовательно, и замедление у худ шнотоя. Для преодоления этого ограничения, связанного с уменьшением доштеровеко] о сдвига по мере охлаждения атомов, обычно используют дна метода. Во-первых, можно изменять частоту лазера /4, 5/ так, чтобы поддерживать его в резонансе с атомным переходом. Другой метод состоит в изменении частоты перехода атома с помощью неоднородного магнитного поля /6; 7/ при фиксированной частоте лазера. В результате начальное распределение по скоростям сжимается, и его центр сдвигается в область меньших скоростей, как показано на Рис. 1.2 в, что соответствует увеличению плотности атомов в фазовом пространстве и, следовательно, охлаждению,
Использование одной бегущей лазерной волны позволяет влиять на движение тех атомов, вектор скорости которых направлен против лазерного луча. Если же поместить атомный газ в поле двух направленных на,-встречу друг другу лазерных лучей, имеющих красную отстройку, то в такой конфигурации можно добиться замедления всех атомов, движущихся вдоль лазерных луней. Поскольку суммарная сила, действующая на атом. оказывается направленной против вектора скорости и для небольших скоростей эквивалентна силе трения, то движение атомов можно сравнить с движением частиц в вязкой жидкости, что дало название этому методу охлаждения - охлаждение в "оптической патоке" {optical molasses) /8/. Охлаждение в трех пространственных направлениях достигается за счет облучения газа тремя парами лазерных лучей в трех ортогональных пространственных направлениях.
Торможение атомов за счет действия силы трения сопровождается флуктуациямн, вызванными спонтанным излучением фотонов. В результате этого атом приобретает случайный импульс отдачи, приводящий к диффузии импульса. Как и в случае броуновского движения конкуренция между трением и диффузией приводит к равновесному состоянию с некоторой температурой. Эта предельно достижимая методом доплеровекого охлаждения температура равна где / - постоянная Больцмана. Для наиболее часто используемых в экспериментах по охлаждению атомов щелочных металлов доплеровокий предел составляет примерна 100 мкК.
Однако оказалось, что в реальных экспериментах в оптической патоке удается достичь температур гораздо ниже доплеровекого предела (1.5) /9/. Возможность охлаждения до суб-доплеровских температур может быть объяснена, если учесть многоуровневую природу атомов, в частности расщепление основного состояния на магнитные подуровни. Как было показано в работах /10, 11/, более глубокое охлаждение многоуровневых атомов по сравнению с /двухуровневыми возможно за счет наличия в первом случае мкогофотот-тшлх процессов, вносящих дополнительный вклад в радиационную силу.
Рассмотрим атом, основное состояние которого имеет два зееманов-ских подуровня Mg = ±l/2, движущийся в поле двух встречных лазерных волн; линейно поляризованных в ортогональных направлениях, с одинаковыми частотами и интенсивностью. Интерференция этих волн дает стоянуго волну с сильным градиентом поляризации. В поле такой конфигурации вследствие модуляции поляризации происходит пространственная модуляция сдвигов подуровней и скоростей оптической накалки атома (Рис. 1.3). Предположим, что атом в состоянии /Ц. —+1/2 начинает движение и точке х = 0. где поляризация о +, как показано на Рис. 1.3. Подуровень, на котором находится атом сдвинут в этом случае в сторону от резонанса с лазерным полем. Вероятность оптической накачки а/гома в этом случае мала. Атом движется в сторону увеличения потенциала, не поглощая фотона. В максимуме потенциала, где поляризация а", положение iV/g — +1/2 изменяется таким образом, что атом становится резонансным оптическому полю. Процесс оптической накачки переводит атом в состояние Ма = —1/2. при этом он опять оказывается в минимуме и должен взбираться на следующий потенциальный холм. При движении вверх часть кинетической эттер, гни атома, переходит в потенциальную. Затем в процессе оптической па-качки приобретенная потенциальная энергия, равная величине сдвига подуровня, теряется, поскольку частота спонтанно излученного фотона больше частоты поглощенного фотона. Таким образом, оказывается, что атом все время движется в направлении увеличения потенциала, в результате теряя энергию. Это происходит до тех пор, пока кинетическая энергия атома не уменьшится настолько, что он не сможет забраться на следующий потенциальный холм. Этот метод охлаждения носит название сизпфовс.кого охлаждения (Sisyphus cooling).
Измерение коллективной координаты атомов в одномерной оптической решетка
Авторы работы /39/ рассматривают атомы 87Rb и 23Na, ядерный спин которых равен 3/2. Поскольку спин не равен нулю в лазерном поле основное состояние Sij2 атомов расщепляется на два подуровня ms = ibl/2. Эти два подуровня, которые обозначим как \а) и \Ь) для ms—1/2 и ms = -1/2, соответственно, и образую111 интересующий нас кубит. Атомы помещаются в тюле стоячей волны, образованной двумя линейно поляризованными лазерными волнами распространяющимся навстречу друг другу, векторы электрического поля которых образуют угол 20. Электрическое поле такой волны представляет суперпозицию двух стоячих волн с правой (ст+) и левой ( т ) круговыми поляризациями где е± обозначает единичные векторы правой и левой круговой поляриза,-ции, к =и)/с - волновой вектор лазера, Ец - амплитуда поля. Поле (1-12) создает удерживающий потенциал, который для атомов в состояниях \а) и \Ь) равен Vajj = a5oj2sm3(A;:c±(9), где а - поляризуемость. Изменение угла 9 от л/4 до л/2 приводит к движению потенциалов Va и Ц, в противоположных направлениях, до тех пор пока они полностью не нерекроготся. В тот момент, когда потенциалы перекрываются, атомы испытываю ] столкновение. Стоит1 отметить, что внутренние состояния атомов при таком столкновении не изменяются. Если до столкновения атомы находились в состоянии й)і&Ь) есть первый атом был в состоянии \а), а второй- в состоянии /;), то в результате столкновения они окажутся в состоянии е-" , где фпь - фаза, возникающая за счет столкновения. Такое преобразование состояния соответствует двухкубитоьой логической операции /40/. При этом посколт.ку сдвиг потенциала решетки приводит к столкновению каждого атома с соседним, то в оптической решетке возможно параллельное манипулирование атомами, в результате чего реализуется не одна, а целый ряд логических операций.
В последние два года нерезонаненые оптические решетки стали активно применяться в области, связанной с созданием новых стандартов частоты и времени /41, 42, 43/. Это связано с тем, что используя ансамбли, состоящие из большого числа холодных атомов, можно добиться стабильности и точности оптических часов, которые превосходят стабильность и точность систем на основе единичного иона или цезиевого фонтана (cesium fountain). Такое превосходство достигается за счет увеличения отношения сигнал-шум. Исследования оптических часов на основе ансамблей атомов в свободном пространстве показали, что в этом случае точность ограничивается за счет движения атомов. В нерезонансных оптических решетках атомы достаточно хорошо локализованы, и, поэтому, эффект Доплера не оказывает влияние на частоту исследуемого перехода. Таким образом, в оптических часах на основе атомов в нерезонансных оптических решетках может быть одновременно обеспечено высокое значение отношения сигнал-шум, большое время взаимодействия, а также отсутствие неоднородного упшрения липни.
Описанные выше примеры демонстрируют преимущества использования перезонансных оптических решеток для локализации холодных атомов на размерах, сравнимых с длиной волны лазерного излучении. Однако, поскольку в перезонансных полях движение атомов определяется в основном потенциальной градиентной силой, то в них, очевидно, отсутствует внутренний диссипативный механизм, приводящий к уменьшению энергии атомов в методах лазерного охлаждения. Таким образом, для того чтобы иметь возможность не только удерживать атомы, но и достигать сжатия фазового объема, необходимо введение дополнительного диссипативного механизма. Такой механизм может быть реализован за счет введения петли отрицательной обратной связи, корректирующей движение атомов на основании измерения их динамических переменных (координата или импульс). На первый взгляд может показаться, что такой способ управления атомным движением противоречит теореме Лиувилля /44/, которая запрещает сжатие фазового объема, если система находится в поле потенциальных сил или, другими словами, если динамика системы может быть описана уравнениями Гамильтона. Однако в данном случае вследствие наличия процесса измерения, входящего в петлю обратной связи, эволюция системы становится неунитарной. Это означает, что теорема Лиувилля оказывается неприменимой и, следовательно, не запрещает работу описанного ште механизма диссипации. Управление посредством обратной связи представляет собой основной механизм, с помощью которого осуществляется стабилизация и поддерживается равновесие как в природных, так и в искусственных системах. В общем случае процесс управления состоит во взаимодействии динамической системы с некоторым устройством, которое, используя выходной сиг-пал системы, влияет на ее состояние требуемым образом. В биологических системах ярким примером работы обратной связи является гомеостази с -механизм, посредством которого живой организм поддерживает параметры своей внутренней среды на таком уровне, когда возможна здоровая жизнь.
В применении к искусственным системам управление посредством обратной связи является инженерной наукой, а ее развитие тесно связано с необходимостью решения человечеством в процессе его эволюции вес новых и новых практических проблем. На ранних этапах развития цивилизации человек пытался понять свое положение во времени и пространстве. В связи с этим в античные времена принцип обратной связи использовался в основном для создания механизмов, позволяющих более менее точно определять время. Так. например, в 3 веке до н.э. в Греции был изобретен поплавковый регулятор для водных часов, функцией которого было поддерживать постоянный уровень воды в сосуде. Это обеспечивало постоянную скорость вытекания воды через отверстие в дне сосуда, а следовательно равномерное наполнения второго сосуда. Уровень воды во втором сосуде, тем самым, зависел от прошедшего времени и мог использоваться для отсчета времени. Поплавковый регулятор контролировал поток воды с помощью клапана, который открывался, когда уровень воды падал, снова наполняя сосуд.
Состояние термодинамического равновесия
Прежде чем приступить к описанию нетли обратной связи обсудим детали модели, в рамках которой будет проводиться рассмотрение. За основу рассмотрения возьмем схему эксперимента, примененную в работе /76/ для управления коллективным движением атомов в оптической ре7петке. Однако, в отличие от этого эксперимента, где измерение и воздействие производится непрерывно, в данной диссертационной работе предполагается дискретная обратная связь. Это означает, что акты обратной связи применяются но непрерывно, а через некоторые промежутки времени, в течение которых система эволюционирует свободно.
Ограничимся случаем одномерной оптической рептетки, которая представляет собой стоячую волну, образованную за счет интерференции двух лазерных лучей- Очевидно, что описание управления атомами в решетках больших размерностей проводится аналогично и представляет собой простое обобщение одномерного случая. Будем считать, что перед загрузкой в оптическую решетку ансамбль, состоящий из JV атомов, предварительно охлаждается до таких температур, что длина волны де Бройля атомов становится сравнимой с длиной волны Л лазерных лучей, формирующих решетку. Тогда, оказываясь захваченными в потенциале оптической рептетки, атомы удерживаются г, областях пространства, сравнимых с их длиной волны де Бройля, и. следовательно, их движение должно описываться квантово-механически. Если глубина потенциала оптической решетки достаточно велика, то решетка может быть заполнена атомами таким образом, что каждая ячейка будет содержать пе более одного атома (так называемый режим изолятора Мотта (см. параграф 1.1.5)). Именно такой режим предполагается при описании управления. В этом случае можно пренебречь тунпелировавием атомов между соседними узлами и, кроме того, различать их в соответствии с занимаемыми узлами. Различимость атомов позволяет упростить динамическое описание ансамбля, поскольку в этом случае состояние системы принадлежит прямому произведению гильбертовьтх пространств отдельных атомов, а не его симметричному или антисимметричному подпространству. Кроме того, в этом случае используется статистика Больцмапа, а не Бозе-Эйшптейна или Ферми-Дирака.
Более того, поскольку атомы удерживаются в различных узлах, взаимодействие между ними мало и сказывается на эволюции системы незначительным образом. В рассматриваемой модели это взаимодействие учитываться не будет, И наконец, в пределе низких энергий можно считать, что атомы занимают связанные состояния глубоко в потенциальных ямах. Б этом случае потенциал оптической решетки, который пропорционален cos2 (kx). вблизи точек кх — ±тг/2, ±37г/2...., соответствующих его минимумам, может быть приближен гармоническим потенциалом (кх)". Таким образом, потенциал оптической решетки представляет собой набор гармонических потенциальных ям.
В рамках такой модели, как будет показано, оказывается возможным получить достаточно полное описание эволюции состояния многоатомной системы, управляемой посредством обратной связи.
Рассматриваемая в диссертации петля обратной связи включает в себя два шага. Первый шаг состоит в измерении коллективной координаты атомов. На втором шаге результат этого измерения используется, чтобы определить величину и осуществить пространственный сдвиг потенциала оптической решетки, необходимый для компенсации этой коллективной координаты. Обычно частота осцилляции атома в решетке составляет порядка 10 Гц, что гораздо медленнее по сравнению с временным откликом электронных устройств, осуществляющих измерение и сдвиг координаты. Таким образом, можно считать, что применение петли обратной связи происходит мгновенно.
Как отмечалось выше, в интересующем нас пределе низких температур необходимо учитывать квантово-мехапические особенности движения атомов. В этом случае описание петли обратной связи тоже должно проводиться в рамках квантовой теории. Основной задачей при этом является учет особой роли измерения координаты квантовой системы. Как известно, любое измерение, проведенное над квантовой системой, вносит в нее неконтролируемое возмущение. Это возмущение является дополнительным источником шума, и, следовательно, может оказывать негативное влияние на работу петли обратной связи.
Ниже приводится краткое описание обобщенной квантовой теории из мерений и затем на ее основании проводится описание измерения коллективной координаты атомов в оптической решетке.
Под измерением обычно понимается процесе, в котором наблюдатель получает знания об окружающей его реальности путем приведения во взаимодействие исследуемой системы с измерительным прибором. Задала квантовой теории измерения состоит в определении вероятностей возможных результатов измерения, а также состояния системы после измерения, исходя из знаний о начальном состоянии системы. Часто достаточно уметь определять только вероятности исходов измерения, поскольку измерение обычно является финальной стадией исследования, и то, что происходит с системой после измерения интереса не представляет. Однако, при описании обратной связи, где измерение является составной частью процесса, без знания состояния системы после измерения обойтись нельзя. Формальное описание измерения основано на постулатах фон Неймана (von Neumann). о которых речь пойдет пиже. В рамках теории фон Неймана возникает понятие редукции волнового пакета или, как иногда говорят, коллапса волновой функции - вызванного измерением мгновенного изменения состояния системы. В связи с "мгновенностью" понятие редукции традиционно имеет определенные проблемы с интерпретацией и даже иногда считается несколько парадоксальным.
Однако, если основываться на информационной трактовке состояния, смысл редукции становится очевидным. В рамках этой интерпретации квантовое состояние, как чистое, так и смешанное, является "состоянием знания" /78/. То есть состояние квантовой системы не является объективной реальностью, а лишь отражает ту информацию, которой мы владеем. В качестве аргумента в пользу такой трактовки можно привести известное рассуждение Эйнштейна, Подольского, Розена /79/. Рассмотрим две пространственно разнесенные системы А. и JJ., приготовленные в некотором перепутанном состоянии \ФАВ) таком, что его нельзя представить в виде прямого произведения состояний подсистем. Тогда, совершив измерение одной из двух наблюдаемых системы Л, можно немедленно записать новое состояние системы В. Поскольку это выполняется в независимости от того, как далеко друг от друга находятся системы, можно сделать вывод о том, что квантовые состояния не могут быть тем. что "происходит на самом деле" (state of affairs). Согласиться с этим кыводом - это значит признать, что новое состояние представляет частичное знание о системе В. Измеряя А, мы лишь узнаем что-то о /?, при этом состояние само по себе не может быть истолковано иначе как отражение этого нового знания.
Взаимодействие с независимыми резервуарами
Данная глава посвящена квантово-механическому описанию петли обратной связи, включающей измерение и последующий сдвиг коллективной координаты атомов в одномерной оптической решетке. Это описание проводится в рамках модели, предполагающей, что в каждой ячейки решетки содержится пе более одного атома. Это позволяет, во-первых пренебречь туттелироваттием атомов между соседними узлами и различать атомы в соответствии с занимаемыми узлами. Во-вторых, в этом случае, можно не учитывать взаимодействие атомов. Кроме того, предполагается, что энергии атомов достаточно малы так. что потенциал оптической решетки можно представить набором гармонических потенциальных ям.
В первой масти главы излагается основа квантовой теории измерений - поступать! фон Неймана, непосредственное применение которых, используя формализм проекционных операторов, позволяет описывать идеально точные измерения. Затем обсуждается обобщение теории проекционных измерений, допускающее возможность конечной ошибки измерения. Процесс измерения при этом рассматривается как взаимодействие измеряемой квантовой системы с некоторой квантовой же системой-посредником. Поскольку в результате взаимодействия состояния указанных систем становятся скорректированными, то, производя после выключения взаимодействия, точное измерение системы-посредника, описываемое формализмом фон Неймана, можно получить информацию об интересующей характеристике квантовой системы. Результат измерения в этом случае описывается с помощью операторов, называемых эффектами, полный набор которых, как иногда говорят, образует положительную оператортю-зиачпуто меру.
Во второй части главы на основании обобщенной квантовой теории измерений проводится описание процесса измерения коллективной координаты аі омов в оптической рететке, которое осуществляется в результате взаимодействия атомов с, полем лазерных лучей, формирующих решетку. Исходя из полуклассического рассмотрения следует что. детектируя разность числа фотонов в лазерных лучах, возникающую за счет взаимодействия с атомами, можно измерить коллективную переменную атомов, которая представляет собой сумму синусов их координат.
Рассматривая взаимодействие ансамбля N двухуровневых атомов с полем кольцевого резонатора, имеющего две распространяющиеся навстречу ДРУГ ДРУГУ моды, получено общее выражение, описывающее преобразование оператора плотности многоатомной системы в результате измерения разницы числа, фотонов в модах. При этом оказалось, что измеряемая экспериментально разность числа фотонов определяет не просто сумму синусов атомных координат, а более сложную функцию, зависящую как от суммы синусов, так и от суммы косинусов. Анализ полученных выражений показал, что в зависимости от величины произведения константы взаимодействия и времени взаимодействия ет можно выделить два режима, измерения. Первый режим соответствует слабому взаимодействию атомов с полем (ет — 0), когда можно пренебречь влиянием атомов на поле. В этом случае выражение для разницы числа фотонов совпадает с полуклассическим результатом. Второй режим реализуется в случае, когда произведение ет достаточно велико. Очевидно, что время взаимодействия должно быть выбрано достаточно малым, поэтому данный режим измерения может быть реализован только в случае сильного взаимодействия.
На примере измерения фазового сдвига оптической решетки, необходимого для уменьшения потенциальной энергии атомов в методе охлаждения посредством так называемого "оптического встряхивания", описанного в /77/. проводится сравнение двух указанных режимов измерения. В общем случае для определения требуемого фазового сдвига одного измерения не достаточно. Однако при условии, что имеется априорная информация о некоторой наблюдаемой системы, приемлемая точность может быть достигнута в результате единственного измерения. При этом в случае слабого взаимодействия ошибка определяется первой степенью отклонения известного среднего значения от точного. При работе в режиме сильного взаимодействия ошибка определяется квадратом упомянутой флуктуации. Таким образом, продемонстрировано преимущество использования режима сильного взаимодействия. Также показано, что при условии достаточно большого числа атомов реализация режима сильного взаимодействия не требует экстремально больших значений константы взаимодействия.
Далее рассмотрен случай низких энергий атомов, когда отклонения положений атомов от центров, занимаемых ими потенциальных ям малы но сравнению с размерами этих ям. Величина, которая измеряется в этом случае посредством измерения разности числа фотонов в модах, представляет собой среднюю координату атомов. Полученный в этом приближении оператор разрешения измерения имеет гауссову форму с шириной, характеризующей точность измерения.
В конце главы описывается заключительная фаза петли обратной связи, состоящая в сдвиге средней координаты атомов, основанном на результате измерения. Этот сдвиг организуется таким образом, чтобы компенсировать отклонение измеренной координаты от нулевого значения.
Обычно при решении проблем, связанных с динамикой управляемых квантовых систем, рассматривается эволюция оператора плотности всей системы /90, 96/. При этом в случае дискретного управления оператор плотности системы после взаимодействия с контролирующим устройством выражается через начальный оператор плотности посредством операторного соотношения (2.81). Однако, часто оказывается удобным переформулировать проблему в терминах фазово-пространствепиых распределений таких, например, как хорошо известная в квантовой оптике функция Вигнера /97/. Такой подход позволяет наглядно интерпретировать изменение состояния ансамбля атомов. Так. например, в соответствии со стандартной статистической интерпретацией сжатие фазово-пространственного распределения будет соответствовать охлаждению ансамбля. Стоит, однако, отметить, что функция распределения Вигнера как и другие квазираспредо-ления (Р- и ( -распределения) /98/ не обладает всеми свойствами классической плотности вероятности. В частности, она может принимать отрица.-толы-тые значения для состояний, которт.те тте имеют классического аналога и, следовательно, может быть использована для идентификации "некдас-сичности".
