Содержание к диссертации
Введение
1 Охлаждение атомных ансамблей посредством обратной связи 9
1.1 Квантовая обратная связь 9
1.2 Метод стохастического охлаждения 11
1.3 Стохастическое охлаждение захваченных атомов 15
1.4 Выводы 23
2 Квантовая теория стохастического охлаждения 25
2.1 Трёхмерная модель 25
2.2 Квантовая теория обратной связи в применении к многоатомным системам 28
2.2.1 Обобщённые квантовые измерения 28
2.2.2 Измерение суммарного импульса 31
2.2.3 Унитарный оператор сдвига коллективного импульса 33
2.3 Один шаг обратной связи 37
2.3.1 Одноатомная матрица плотности 38
2.3.2 Изменение средней энергии 41
2.4 Изменение продольной энергии 44
2.4.1 Численные расчёты 48
2.5 Изменение полной энергии ' 56
2.5.1 Изменение поперечной энергии 56
2.5.2 Невырожденный газ 62
2.5.3 Асимптотическое решение для случая большого числа атомов 70
2.6 Выводы 75
3 Непрерывная обратная связь для многоатомных систем 78
3.1 Одномерный газ Бозе-Эйнштейна 78
3.2 Вывод основного уравнения состояния 81
3.2.1 Преобразование состояния системы в результате действия обратной связи 84
3.2.2 Переход к пределу непрерывной обратной связи . 87
3.3 Выводы 91
4 Динамика единичного атома в непрерывно контролируемом ансамбле 93
4.1 Уравнение Фоккера-Планка 93
4.2 Стохастические дифференциальные уравнения 99
4.3 Немарковская динамика единичного атома 103
4.4 Характеристики движения единичного атома 107
4.4.1 Динамика средних значений 107
4.4.2 Среднеквадратичные отклонения динамических переменных единичного атома 110
4.5 Корреляции второго порядка в атомном ансамбле 115
4.6 Выводы 118
Выводы работы 121
Литература 128
Формальное представление действия петли обратной связи 136
- Стохастическое охлаждение захваченных атомов
- Унитарный оператор сдвига коллективного импульса
- Преобразование состояния системы в результате действия обратной связи
- Среднеквадратичные отклонения динамических переменных единичного атома
Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. Метод обратной связи широко используется в технике для управления поведением различного рода электрических и механических систем, а также для защиты этих систем от воздействия внешних шумов. Метод управления посредством обратной связи включает в себя два основных этапа: измерение некоторой динамической характеристики с целью получения информации о состоянии системы и последующее воздействие на систему, обусловленное результатом измерения. Теория обратной связи хорошо разработана для систем удовлетворительно описываемых в рамках классической физики, иными словами, когда принципиально возможно получить полную информацию о динамических переменных.
Однако, если пытаться контролировать объекты, обладающие малыми размерами и низкими энергиями, такие как молекулы, атомы или холодные газы, удерживаемые в ловушках, то классическая теория обратной связи становится неприменима. Поскольку для описания таких систем необходимо использовать квантовую теорию, то доступная информация о динамических переменных ограничена соотношением неопределенности Гейзенберга. Следовательно, возможности манипулирования поведением таких систем оказываются также ограниченными. Тогда возникает важный вопрос о пределах управляемости микроскопических систем в квантовом режиме.
Поставленный таким образом вопрос отнюдь не является академическим. Технические возможности в настоящее время позволяют проводить эксперименты как с отдельными атомами, ионами или молекулами, захваченными в ловушках различных типов, так и с ансамблями таких частиц, охлаждёнными до температур квантового вырождения. Все эти системы играют исключительно важную роль в современной науке. Возможность манипулирования отдельными
частицами открывает новые пути экспериментального исследования фундаментальных проблем квантовой механики и служит отправной точкой в реализации нового типа вычислительных устройств — квантовых компьютеров. Развитие же методов контроля атомных (молекулярных) ансамблей является необходимым условием для создания различного рода систем, использующих когерентные волны материи, таких как атомный лазер. В частности, использование основанного на обратной связи стохастического охлаждения атомов может позволить преодолеть недостатки широко используемых в настоящее время методов лазерного и испарительного (evaporative) охлаждения атомов в ловушках.
Проблема метода обратной связи в применении к единичным квантовым системам исследована довольно полно. Теоретически проработаны различные варианты управления движением единичных атомов или ионов, изучена возможность контроля состояния единичной моды оптического резонатора, проведены эксперименты, подтверждающие эффективность обратной связи. Проблема контроля посредством обратной связи многочастичных систем или многомодовых полей напротив исследована недостаточно полно. Причиной этому является значительная сложность таких систем, что выражается, во-первых, в нехватке аналитических методов и, во-вторых, в необходимости привлечения существенных вычислительных ресурсов при численных расчётах.
В связи с вышеизложенным, целью настоящей диссертационной работы является всесторонний анализ возможностей метода обратной связи для контроля многочастичных квантовых систем, таких как разреженные газы, удерживаемые в ловушках.
В соответствии с указанной целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:
развить общий подход к теоретическому описанию работы метода обратной связи многочастичных систем в квантовом режиме с учётом неразличимости частиц;
на основании полученной теории провести детальное исследование механизмов охлаждения и возможного нагревания атомов,
подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна, в процессе стохастического охлаждения;
установить предел стохастического охлаждения;
исследовать динамику многочастичной системы, подверженной непрерывному (распределённому во времени) контролю посредством обратной связи;
определить влияние атом-атомных корреляций на поведение контролируемой многоатомной системы;
Научная новизна:
В диссертации впервые проводится последовательный квантово-механический анализ работы метода обратной связи для управления ансамблем бозонов, удерживаемых в оптической дипольной или магнитной ловушке.
На основании разработанного в диссертации общего подхода впервые проанализирована работа стохастического охлаждения удерживаемых атомов с учётом квантово-статистических особенностей таких систем.
Разработан оригинальный подход, позволяющий получить аналитическое решение квантовой многочастичной проблемы - проблемы непрерывного контроля коллективной координаты ансамбля бозонов. Таким образом показано, что рассматриваемая проблема относится к немногим аналитически решаемым проблемам квантовой теории многочастичных систем.
Положения, выносимые на защиту:
Метод исследования стохастического охлаждения удерживаемых атомов на основе квантовой теории обратной связи для многочастичных систем.
Установление и количественный анализ негативного влияния флуктуации числа атомов на работу стохастического охлаждения.
Определение оптимального разрешения измерения коллективного импульса.
Наличие шума за счёт измерения коллективного импульса и флуктуации числа атомов не запрещают охлаждение газа бозонов ниже температуры конденсации Бозе-Эйнштейна.
Установление наличия и выяснение природы поперечных эффектов при стохастическом охлаждении и их количественный анализ на основе приближения невырожденного газа. Определение минимального диаметра контролирующего лазерного луча, при котором поперечные эффекты не приводят к нагреванию.
Результаты приближённого анализа совместного действия поперечных эффектов, флуктуации числа атомов и шума за счёт измерения.
Сведение многочастичной проблемы непрерывного управления ансамблем бозонов к аналитически решаемой проблеме движения двух тел.
Атом-атомные корреляции, возникающие в результате работы обратной связи выражаются в немарковском движении единичного атома в ансамбле, где коллективная координата контролируется посредством марковской обратной связи.
Новый способ определения характера атом-атомных корреляций в ансамбле бозонов, основанный на применении обратной связи, позволяющий выявить нарушение неравенства Коши-Буняковского-Шварца и, тем самым, обнаружить неклассичность состояния ансамбля.
Обоснованность и достоверность результатов подтверждена тремя публикациями в рецензируемых журналах и двумя публикациями в сборниках трудов международных конференций.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
На 67-м ежегодном заседании немецкого физического общества "67. Physikertagung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft" (Ганновер, Германия, 2003 г.);
На международной конференции "8th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations" (Пуэбло, Мексика, 2003 г.)
На международной конференции "10th Central-European Workshop on Quantum Optics" (Росток, Германия, 2003 г.)
На 68-м ежегодном заседании немецкого физического общества " 68. Physikertagung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft" (Мюнхен, Германия, 2004 г.)
На международной конференции "SPIE Second Internation Symposium on Fluctuations and КоІ8е"(Маспаломас, Гран Канария, Испания, 2004 г.)
Стохастическое охлаждение захваченных атомов
Одним из приложений многочастичной обратной связи является так называемое стохастическое охлаждение атомов /32/. Этот метод основан на измерении суммарного импульса атомов и последующей компенсации этого импульса таким образом, что атомы теряют свою кинетическую энергию. Для реализации измерения и компенсации суммарного импульса авторы работы /32/ предложили использовать нерезонансное лазерное излучение, создающее действующие на атомы дипольные силы. Такой подход позволяет манипулировать атомным ансамблем не возмущая внутренних степеней свободы атомов. Поэтому, стохастическое охлаждение является весьма общим методом, применимым к различным видам атомов и даже к молекулам.
Для выяснения преимуществ стохастического охлаждения рассмотрим кратко основные особенности других методов охлаждения атомов. К настоящему времени открыты различные механизмы охлаждения, основанные на взаимодействии атомов с лазерным излучением, называемые в совокупности лазерным охлаждением /33, 34, 35/. Первый предложенный и экспериментально реализованный механизм - это так называемое доплеровское охлаждение /36, 37, 38, 39, 40/. Именно этот механизм предполагался изначально в качестве основного механизма охлаждения в так называемой оптической патоке "optical molasses" /41, 42, 43/. В этом методе атомы замедляются внутри распространяющихся навстречу друг другу лазерных лучей в результате действия силы, вызванной поглощением фотонов. Атомы также испытывают случайные толчки в результате спонтанного излучения. В итоге совместное действие этих двух процессов должно приводить к некоторому равновесному состоянию ансамбля атомов, обладающему температурой порядка 1тК (атомы щелочных металлов). Эта температура все еще достаточно велика, чтобы наблюдать эффекты, связанные с квантовой статистикой.
Позднее в оптической патоке было обнаружено наличие другого механизма охлаждения, названного сизифовским охлаждением или охлаждением за счет наличия градиента поляризации /34, 44/. Оказалось, что используя магнитные подуровни чувствительные к излучению с различной поляризацией можно заставить атомы двигаться все время в сторону максимума потенциала, образованного стоячей оптической волной, теряя при этом потенциальную энергию. Этот механизм позволяет достичь предела охлаждения, определяемого исключительно энергией отдачи атомов при спонтанном излучении и позволяет достичь температур порядка 10 /Ж. Тем не менее даже эта температура все еще слишком велика для наблюдения квантового вырождения. Для преодоления этого предела можно продолжать использовать лазерное излучение, привлекая такие методы как рамановское охлаждение /45/ или метод охлаждения на основе селективного по скорости когерентного пленения населенности /46, 47/. Эти методы, однако, не могут охлаждать достаточно плотные атомные ансамбли до необходимых температур.
Для преодоления этой проблемы был использован метод испарительного (evaporative) охлаждения /48, 49/. Этот метод основан на удалении высоко энергетических атомов из ловушки и последующей ретермализации оставшихся атомов посредством упругих столкновений. В результате внутренняя энергия оставшихся атомов уменьшается от цикла к циклу. Использование этого метода дало возможность достичь необходимых ультра низких температур при достаточных плотностях атомов и наблюдать Бозе-Эйнштейн конденсацию /50, 51, 52, 53, 54/.
Несмотря на значительные успехи, достигнутые при использовании лазерного и испарительного охлаждений эти методы обладают определенными недостатками. Важным ограничением лазерного охлаждения является потребность в специфической структуре энергетических уровней охлаждаемых атомов, подходящей для реализации циклических переходов с использованием доступных в настоящее время источников лазерного излучения. Это ограничивает диапазон атомов, которые можно охладить этим способом и более того существенно затрудняет применение лазерного охлаждения к молекулам, чьи энергетические спектры как правило чрезвычайно сложны. Применение испарительного охлаждения ограниченно необходимостью больших скоростей атомных столкновений для обеспечения быстрой ретермализации. Кроме этого, внутренне присущая методу испарительного охлаждения потеря атомов ограничивает до определенной степени сферу применения данного метода. В частности, этот метод не может применяться непрерывно, что было бы желательно для подавления возможного нагревания за счет внешних шумов различной природы.
Стохастическое охлаждение не имеет указанных выше ограничений. Этот метод был развит в физике высоких энергий /55, 56/, где приходится иметь дело с элементарными частицами, не обладающими легко доступными внутренними степенями свободы. Поэтому, стохастическое охлаждение может быть потенциально использовано для охлаждения широкого диапазона атомов и молекул. Более того, этот метод не связан с потерей атомов и, более того, может быть использован для охлаждения слабо взаимодействующих частиц.
Задачей, которую решает стохастическое охлаждение в области физики высоких энергий, является получение высококачественных пучков элементарных частиц в ускорительных кольцах. Под качеством пучков понимается узкое распределение по импульсу вдоль оси ускорительного кольца и узкое распределение по импульсу и координате в перпендикулярных этой оси направлениях. Применение стохастического охлаждения позволило получить очень высококачественные пучки элементарных частиц, что в свою очередь, привело к открытию ZQ и W± бозонов /56/. Позднее было предложено использовать этот метод для охлаждения ионов в ловушках Пеннинга /57, 58, 59/, молекул в специализированных накопительных кольцах /60/, и, удерживаемых в ловушках, нейтральных атомов /32/.
Унитарный оператор сдвига коллективного импульса
Классическая модель, рассмотренная в предыдущей главе, может быть адекватно применена только в области относительно высоких температур охлаждаемого атомного ансамбля. В этом случае энергии атомов велики, и поведение системы может быть описано классически. Однако, наибольший интерес представляет исследование работы стохастического охлаждения при низких и ультранизких температурах, где стохастическое охлаждение может служить потенциальным конкурентом испарительного охлаждения при решении проблем получения и/или стабилизации Бозе-Эйнштейн конденсатов. В этом пределе начинают сказываться квантово-механические особенности движения отдельных атомов и квантовая статистика атомных ансамблей, следовательно, рассмотренный выше классический подход перестаёт быть удовлетворительным.
Для того чтобы построить квантовую теорию стохастического охлаждения атомов мы рассмотрим более общую трёхмерную модель эксперимента. Дело в том, что в одномерном случае, описанном в предыдущем параграфе, измерение импульса происходит внутри области ограниченной в том же направлении что и измеряемая компонента импульса. Поэтому в квантовом режиме точность такого измерения определяется не только характеристиками измеряющего устройства, но и пространственными размерами области обратной связи. Этот факт является прямым следствием соотношений неопределенности Гейзенберга. Однако, от указанной дополнительной неточности присущей одномерной схеме можно избавиться рассматривая работу стохастического охлаждения в двух или трёх измерениях. В этом случае можно организовать обратную связь в области, которая не ограничена в направленииконтролируемой проекции коллективного импульса. Будучи ограниченной в перпендикулярном направлении, такая область обратной связи всё же позволит воспользоваться преимуществом пространственного разрешения. В частности, остаётся возможность подавления влияния атом-атомных корреляций, которое обсуждалось в предыдущей главе.
Наиболее просто последнее утверждение может быть продемонстрировано на примере двух атомов, движущихся в двух измерениях. Эта ситуация показана на Рис. 2.1, где атомы имеют различные координаты, но практически равные по величине и противоположно направленные -компоненты импульсов. Такая ситуация, как обсуждалось, становится вероятной после нескольких актов обратной связи, в которой контролируется х проекция импульса. Можно видеть, что для большей области [а , Ъ } измеренный импульс практически равен нулю Pw —plz-\-p2z : 0, в то время как в случае меньшей области [а,Ь] может оказаться, что только один атом подвергается действию обратной связи и, соответственно, измеренный сигнал Pw=p\jZ оказывается существенным.
Таким образом, в диссертации рассматриваться следующая геометрия эксперимента. Атомы захватываются в трёх-мерном изотропном гармоническом потенциале, см. Рис. 2.2. Измерение и сдвиг полного импульса осуществляется в направлении оси z и воздействует только на те атомы, которые попадают внутрь контролирующего лазерного луча, имеющего, в общем случае, меньшие размеры вжиг/ направлениях, чем размер атомного облака. Охлаждение газа, таким образом, достигается за счёт компенсации кинетической энергии атомов в направлении оси z.
В рассматриваемой модели для простоты предполагается что область обратной связи формируется только одним лазерным лучом, хотя для реализации обратной связи, рассмотренной в главе 1 требуется два луча. Таким образом, довольно сложная форма области образованной пересечением двух лазерных лучей (см. Рис. 1.4) аппроксимируется независящей от продольной координаты г цилиндрической областью. Для того чтобы охарактеризовать поперечное распределение интенсивности луча введём функцию профиля ttfi(r) = Wj_(x,y), которую пока будем считать произвольной. Принципиальным моментом, отличающим описание работы обратной связи в квантовом случае, является учёт особой роли измерения, проводимого над контролируемой системой. В случае реализации обратной связи квантовая система, подвергается повторным или даже непрерывным наблюдениям, что ведёт к значительному влиянию эффекта обратного воздействия на эволюцию системы. Стандартная теория квантовых измерений, созданная фон Нейманом /4/, в большинстве случаев не может быть адекватно применена к повторным и непрерывным измерениям, поскольку она описывает только бесконечно точные, а значит обладающие бесконечно большим эффектом обратного воздействия, измерения. Для описания измерений имеющих конечную точность применяется обобщённая теория, основанная на применении наборов операторов, составляющих положительную операторно-значную меру /8, 9/.
В общем, следуя теории фон Неймана, действие измерения на систему приводит к тому, что система оказывается в одном из собственных состояний оператора измеряемой величины - состоянии, соответствующем собственному значению равному результату измерения. Другими словами, действие измерения можно описывать с помощью проекционного оператора где s - зарегистрированный результат измерения. Тогда нормированный оператор плотности системы сразу после измерения будет иметь вид
Здесь р это оператор плотности системы до измерения. В интересующем нас случае измерения импульса применение такого измерения приводит систему к собственному состоянию оператора импульса, обладающему бесконечной неопределённостью координаты. Если измеряемый таким образом атом (система атомов) находятся в некотором потенциале, то такое состояние будет обладать бесконечной потенциальной энергией. Разумеется, для реализации такого измерения потребуется сообщить системе бесконечную энергию, что явно не может быть осуществлено экспериментально.
Обобщить теорию фон Неймана на случай неточных измерений можно следующим образом, см. /7/. Реальные измерения микросистем как правило производятся не на самих системах, а на системах-посредниках, взаимодействующих с интересующей системой. Предположим, что в начальный момент состояния посредника и измеряемой системы независимы. Тогда оператор плотности рд+s полной системы, включающей как посредник так и объект измерения, представляет собой прямое произведение операторов плотности посредника /Зд и измеряемой системы Ps
Преобразование состояния системы в результате действия обратной связи
Здесь ANW = Nw — (Nw) представляет собой отклонение действительного числа атомов внутри контролирующего лазерного луча от его среднего значения. Первое слагаемое (2.85) - это кинетическая энергия, которая остается в системе в результате неточности измерения коллективного импульса, осуществляемого с разрешением о. Искомый эффект охлаждения представлен вторым слагаемым, которое является кинетической энергией центра масс, удаленной в результате одного акта обратной связи. Последнее слагаемое возникает в результате квантовых флуктуации числа атомов внутри контролирующего лазерного луча. Это слагаемое, ответственное за нагревание, появляется в результате того, что в процессе сдвига коллективного импульса действительное число атомов Nw точно неизвестно, а лишь оценивается как (Nw). Можно заметить, что это слагаемое представляет собой член первого порядка в разложении в ряд Тейлора по отклонению ANW кинетической энергии центра масс. Замечательно, что все члены высших порядков в этом разложении исчезают, напомним, что выражение (2.85) получено без использования приближений.
Прежде всего необходимо выбрать состояние газа, на которое действует петля обратной связи. Для этой цели естественно использовать состояние термодинамического равновесия. В этом случае, можно охарактеризовать стохастическое охлаждение в терминах энергии, отнимаемой при воздействии петли обратной связи на газ, обладающий определенной температурой. Это, в частности, должно позволить определить предел стохастического охлаждения как температуру, при которой изменение энергии АЕ меняет знак с отрицательного на положительный.
Однако, рассмотрение только состояний термодинамического равновесия предполагает определенные ограничения. В этом случае среднее значение, компенсируемого коллективного импульса равно нулю, а компенсируются только случайные отклонения этого импульса. С другой стороны, находясь в неравновесном состоянии, газ может обладать отличным от нуля средним импульсом атомов в области обратной связи, компенсируя который можно было бы добиться большего вычитания энергии. Таким образом, применение стохастического охлаждения к состоянию термодинамического равновесия может рассматриваться как наименее благоприятная ситуация, которую особенно интересно исследовать с целью определения предельных возможностей метода.
Как правило, захваченные атомы представляют собой изолированную систему, которая практически не обменивается ни энергией, ни веществом с окружением. 4 Таким образом, адекватное статистическое описание должно основываться на рассмотрении микроканонического ансамбля /70, 72/ (см. также /73/). Однако в этом случае математическое описание оказывается довольно сложным /70/. С другой стороны атомы в ловушке могут быть приближенно описаны используя большой канонический ансамбль, где специфицируется температура и химический потенциал атомов. Такой подход оказывается математически более простым и приводит к правильным предсказаниям температуры Бозе-Эйнштейн конденсации и температурной зависимости числа конденсированных атомов в ловушке /71, 74/. В силу этих причин большой канонический ансамбль весьма часто применяется для описания захваченных атомов и будет использоваться в настоящей работе. Однако, следует иметь в виду, что флуктуации чисел заполнения, рассчитанные в большом каноническом ансамбле, оказываются большими чем это имеет место быть в действительности.
Оператор плотности газа в большом каноническом ансамбле имеет Это обычно имеет место, когда процесс охлаждения уже завершён. где кв - постоянная Больцмана, Т - температура газа и /х - химический потенциал. Химический потенциал характеризует зависимость энергии от числа атомов в газе, и определяется фиксированием среднего полного числа атомов в системе.
Используя (2.86), можно вычислить квантово-статистические средние в выражениях для продольной потенциальной (2.71) и кинетической (2.85) энергий. Для этого можно выразить все эти средние значения в терминах сумм по одноатомным состояниям в ловушке и произвести численное суммирование.
Рассмотрим сначала среднее число атомов внутри контролирующего лазерного луча {Nw). Разлагая операторы поля по базису собственных состояний оператора энергии в ловушке ФІ(Г), средняя плотность атомов в ловушке может быть записана как где операторы ф\ и ф\ - операторы рождения и уничтожения атома на энергетическом уровне, определяемом набором квантовых чисел і. Поскольку рассматривается трёхмерная проблема, все используемые индексы состоят из трех компонент, соответствующих различным пространственным направлениям, т.е. і = {ix,iy,iz}. Для состояния термодинамического равновесия бозонов след в выражении (2.87) дается функцией распределения Бозе-Эйнштейна (см., например, /68/). Этот след имеет вид 5
Среднеквадратичные отклонения динамических переменных единичного атома
Для единичных квантовых систем теория непрерывной обратной связи в квантовом режиме разработана достаточно полно /1, 2, 7, 79/. Однако единичные квантовые системы такие как атом или ион, удерживаемые в ловушке, или одна мода оптического резонатора представляют собой весьма специфическую хотя и очень важную экспериментальную ситуацию. В общем случае мы имеем дело с объектами, состоящими из нескольких, обычно достаточно многих, взаимодействующих или невзаимодействующих составляющих. Это, например, имеет место в экспериментах с удерживаемыми в ловушках разреженными квантовыми газами.
В таких экспериментах объекты, как правило, наблюдаются целиком, без детального разрешения их внутренней структуры /80/. Это означает, что действие измерительного прибора или устройства, используемого для манипулирования такими объектами, оказывает влияние только на коллективные характеристики такого рода систем. Однако эти манипуляции и, в частности, контроль посредством обратной связи воздействуют определённым образом также на внутренние степени свободы контролируемых объектов. Этот факт, не смотря на то, что ему часто не придается значение, в случае обратной связи может приводить к важным модификациям внутреннего состояния контролируемого объекта. Другими словами, возникает важный вопрос, что происходит с единичным атомом составного квантового объекта, если последний оказывается подверженным действию обратной связи. В качестве модели составного объекта мы рассмотрим газ невзаимодействующих бозонов. Петля обратной связи представляет собой непрерывное измерение положения X центра масс всех атомов газа и сдвиг этого положения в сторону заданного значения. Макроскопическая картина такого процесса обратной связи схематически представлена левой частью Рис. 3.1. Непрерывное измерение и сдвиг координаты центра масс X приводят к стохастической эволюции X(t) центра масс. В квантовом режиме такая динамика хорошо изучена /7, 81/ и представляет собой движение эквивалентное движению броуновской частицы /82, 83/.
В общем, движение броуновской частицы является результатом совместного действия диссипативной силы и случайных толчков, вызванных окружением. Однако, как было замечено Менским и Штенхольмом /84/, действие окружения может быть смоделировано как некоторый процесс управления броуновской частицы посредством непрерывной обратной связи. Более того, подход к описанию динамики броуновской частицы, основанный на использовании понятия обратной связи, приводит непосредственно к линдбладовой форме /85/ уравнения состояния, что обеспечивает положительность оператора плотности броуновской частицы на протяжении всей ее эволюции.
Другой подход к квантовому описанию броуновского движения состоит в рассмотрении гамильтоновой эволюции броуновской частицы, взаимодействующей с окружением, которое, как правило, моделируется системой большого числа гармонических осцилляторов /81, 86, 87, 88, 89/. В этом случае уравнение движения для матрицы плотности броуновской частицы находится взятием следа по степеням свободы окружения. Вообще, приведение квантовой системы в контакт с окружением является типичным подходом при рассмотрении квантовых проблем с диссипацией /10, 90, 91/. Однако, в некоторых случаях /86, 92/ такой подход, примененный к броуновскому движению приводит к марковскому уравнению состояния, которое не является линдбладовым /10, 93/. Тогда оказывается, что матрица плотности частицы может быть отрицательна для небольших времен эволюции системы, для больших времен наблюдается правильная динамика. Важно отметить, что линдбладова форма уравнения состояния не является необходимым условием положительности матрицы плотности. Действительно, немарковское уравнение состояния, сохраняющее тем не менее положительность матрицы плотности было получено для случая броуновского движения /94, 95/. Формальное рассмотрение проблемы броуновского движения /6, 85, 96, 97/, предполагающее линдбладовость уравнения состояния с самого начала, приводит к тем же самым результатам, что и подход, основанный на моделе броуновского движения как процессе управления частицы посредством обратной связи /84/.
С микроскопической точки зрения (правая часть Рис. 3.1) контролируемая система в интересующем нас случае состоит из большого числа атомов. Поведение отдельного атома в газе в случае, если только коллективное движение подвергается внешнему контролю, может достаточно сильно отличаться от движения центра масс. Более того, движение отдельного атома не может быть получено тривиальным образом из движения центра масс из-за возникновения атом-атомных корреляций, индуцируемых процессом измерения коллективных динамических переменных, см. раздел 2.2 настоящей диссертации. Хотя указанные корреляции могут быть аналитически учтены при рассмотрении единичного шага коллективной обратной связи, как это было при исследовании стохастического охлаждения, a priori не ясно, возможно ли получить аналитический результат для непрерывного режима. Тем не менее, ниже будет показано, что такой аналитический результат, характеризующий движение отдельного атома, действительно может быть получен без использования каких-либо приближений.
Подобная проблема возникает при рассмотрении динамики многочастичных систем, состоящих из взаимодействующих частиц, но неподверженных внешнему контролю. В этом случае возникновение корреляций обусловлено наличием взаимодействия между частицами. В физике многих частиц развит ряд приближенных подходов, позволяющих рассмотрение таких сильно скоррелированных систем, пренебрегая при этом корреляциями высоких порядков. Точное аналитическое решение, однако, может быть найдено только для некоторых модельных систем /98/.
Помимо описания нескольких специфических случаев применения контроля обратной связи, таких как стабилизация работы атомного лазера /24, 25, 99/, теория многочастичной обратной связи может быть также применена для общего описания непрерывного измерения многочастичных систем в квантовом режиме. Как отмечалось Кейвсом и Милбурном /7/, непрерывное наблюдение некоторого объекта приводит постепенно к увеличению неопределенности импульса этого объекта и, значит, может приводить к исчезновению объекта из области наблюдения. Таким образом, практически любой эксперимент неявно содержит некоторый механизм, позволяющий удерживать объект в фиксированном положении в лаборатории. Такой механизм может быть формально описан с использованием общего понятия обратной связи.
