Содержание к диссертации
Введение
Глава I О решетке универсально аксиоматизируемых классов полугрупп 20
1. Основные определения. Структурная теорема 20
1.1. Основные определения 21
1.2. Операторы К и Thy 22
1.3. Теорема об универсальном замыкании класса систем У\ 24
1.4. Дистрибутивность фильтрованного произведения относительно декартова произведения 28
2. Атомы решетки V -классов полугрупп 29
2.1. Описание атомов решетки уП 30
2.2. Покрывающие атомов. Постановка задачи 31
3. Атомы подрешетки 32
3.1. Описание атомов подрешетки f 32
Глава II Коммутативные покрытия подрешетки .35
1 .Атомы UN,I И UQ 36
1.1. Атом C/JV,I 36
1.2 Атом С/о 37
2. Атомы Us,i и Us>2 40
2.1. Атом USil 40
2.2. Атом U3i2 43
3. Атом Up 48
3.1. Универсальная эквивалентность Sp и (N х Gp) 48
3.2. Атомы Up , где р — простое 51
4. Основная теорема 54
Глава III Некоммутативные атомы решетки 73
1. Свободная полугруппа ранга два 74
1.1 .Свободные полугруппы 74
1.2. Свойства свободных полугрупп 75
1.3. Атом, порожденный свободной полугруппой ранга два 80
Литература 87
- Дистрибутивность фильтрованного произведения относительно декартова произведения
- Атомы подрешетки
- Атомы Us,i и Us>2
- Универсальная эквивалентность Sp и (N х Gp)
Введение к работе
1. Актуальность темы исследований.
Изучение решеток, которые образуют относительно включения те или иные классы алгебр данной сигнатуры, является важным направлением алгебраических исследований [30], [52], [4].
В качестве объектов, составляющих элементы решеток, выбирались классы алгебраических систем, определяемые теми или иными формулами языка первой ступени: многообразия, D -многообразия и так далее. В случае многообразий сами эти объекты, то есть многообразия, а также и образуемые ими решетки давно стали классическими объектами исследований [3], [49], [4].
Решетки универсальных (то есть аксиоматизируемых универсальными формулами соответствующего языка первой ступени) классов алгебраических систем, как самостоятельный объект изучения, впервые отмечался, по-видимому, А. И. Мальцевым [30] в докладе "О некоторых пограничных вопросах алгебры и логики" на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 году.
Пусть Г — класс формул языка первой ступени сигнатуры О какого-нибудь специального вида, а Я — какой-нибудь класс алгеб-
_4-
Введение. 1. Актуальность темы иследований.
раических систем той же сигнатуры О,. Тогда Г-теорией класса Я называется совокупность формул из Г, каждая из которых истинна в каждой системе из класса Я. Обозначим Г - теорию — ГЪД.
Напротив, если задано какое-то конкретное подмножество Г' множества формул Г сигнатуры О , то через KqV обозначим класс всех тех алгебраических систем сигнатуры Q,, в каждой из которых истинны все формулы из Г' (будем называть его Г'-классом).
Пусть зафиксирован какой-нибудь тип формул Г. Совокупность всех Г-подклассов произвольного Г-класса Я является полной решеткой относительно теоретико-множественного включения. Эту решетку условимся обозначать через р(Д) Заметим, что наименьшим элементом в решетке р(Д) может оказаться пустой класс.
В этом направлении наиболее активно исследуются вопросы:
для наиболее важных классов формул Г, описать подрешетки Г(Д) [3], [6], [20];
изучить вопрос о наличии покрывающих элементов в тех или иных решетках, а в частности описать их атомы [7], [13], [25], [49];
для наиболее важных классов Я алгебраических систем и наиболее интересных классов формул Г найти алгоритмическую природу теории ГПЯ [13], [28], [29];
для наиболее интересных классов формул Г найти общие алгоритмические свойства классов алгебраических систем вида KqT [9], [12], [19].
То есть, важность такого направления алгебраических исследований, как изучение различных решеток различных алгебраических систем, не вызывает сомнений.
Этому направлению посвящены многие из работ следующих авторов: А. П. Бирюков [5] (описание решетки многообразий идемпотент-
Введение. 1. Актуальность темы иследованйй.
ных полугрупп), С. И. Кублановский [17] и М. В. Сапир [46] (независимо описавших многообразия финитно апроксимируемых полугрупп "по модулю групп"), Ф. Ф. Лысенко [23] (описание зквациональных теорий полугрупповых многообразий, порожденных нильпотентными группами), Г. И. Машевицкий [32] (многообразия вполне простых полугрупп), А. Ю. Ольшанский (описание многообразий финитно апроксимируемых групп) [34],
Одной из первых статей, затрагивающих проблему описания решетки многообразий полугрупп, стала обзорная статья Эванса в 1971 году [52] . В дальнейшем эта тема исследований получила свое развитие в работах многих известных специалистов ( Л. Н. Шеврин, М. В. Волков [51], Е. С. Ляпин [24], [25], Б. К. Богута [7], А. Я. Айзенштат [2] и др.). Описанием решеток квазимногообразий занимались В. А. Горбунов [13] , В. И. Туманов [48]
и многие другие. Большой интерес вызывают решетки тождественно включительных многообразий и D -многообразий. Им посвящены работы Е. С. Ляпина [24], [25], Б. И. Плоткина [45], С. Ю. Ку-лабухова [19], [20], С. Н. Братчикова [9], Л. Н. Бобриковой [6].
Занимаясь исследованием тех или иных решеток, естественно, одним из первых поставить вопрос о наличии покрывающего элемента для каждого элемента решетки. Для полугрупп эта проблема отмечалась Эвансом [52] .
Первое продвижение в решении этой проблемы для решетки многообразий полутрупп было осуществлено А. Я. Айзенштат в 1972 году [1] . Было доказано, что всякое над коммутативное многообразие полугрупп имеет покрытие в решетке всех многообразий полугрупп. А. Н. Трахтман в 1974 году [49] показал существование покрывающего элемента для каждого элемента в решетке многообразий ал-
Введение. 1. Актуальность темы иследованкгй.
гебр в сигнатуре, не содержащей унарных операций. Тем самым, в частности, была решена проблема Эванса. Целый цикл работ таких авторов, как А. Я. Айзенштат [1], [2], Б. К. Богута [7] , [3] ,
A. М. Николаев [8] , посвящен описанию различных покрывающих в
решетке многообразий полугрупп.
Покрывающие элементы в решетке квазимногообразий изучались
B. А. Горбуновым [13] .
Затрагивая вопрос о покрывающих, нельзя не отметить важность изучения атомов — покрывающих наименьшего элемента в различных решетках. В решетке многообразий полугрупп они описаны Я.Ка-лицким и Д.Скоттом в 1961 году [53], в решетке тождественно вклю-чительных многообразий — Е. С. Ляпиным в 1975 году [25]. Атомы решетки D -многообразий полугрупп описаны С. Ю. Кулабуховым в 1996 году [20].
Представляется вполне естественным и актуальным исследование решетки классов алгебраических систем, определяемых универсальными формулами. Абстрактной характеристике решетки всех универсальных классов алгебр с одной унарной операцией посвящены работы Е. А. Гильмана 1983 - 1985 года [11], [12] . Так им описаны неразложимые элементы, цепные элементы и все конечные идеалы этой решетки, даны необходимые и достаточные условия существования элементов, сильно покрывающих элементы решетки.
К этому направлению относится и данная работа. Более точно, основной целью данной работы является изучение универсально аксиоматизируемых классов полугрупп с точки зрения решеток, которые они образуют. При этом главный акцент делается на исследование покрывающих, в частности, покрывающих атомов этой решетки.
Введение. 1. Актуальность темы иследований.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь Б. С. Ляпина [41], на международной геометрической школе-семинаре памяти Н. В. Ефимова [44], на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории полугрупп, на семинаре по теории полугрупп в ТГПИ (г. Таганрог), многократно на Ростовском городском семинаре по теории полугрупп (г. Ростов-на-Дону).
Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава разбита на параграфы, а параграфы — на пункты. Ссылка на тот или иной пункт состоит из тройки: номер главы, параграфа, пункта.
Введение. 2. Основные определения и обозначения.
2. Основные определения и обозначения.
2.1. Основные определения и обозначения. 7V —множество всех натуральных чисел.
TVo — множество всех натуральных чисел с нулем.
Е — единичная полугруппа.
П — класс всех полугрупп.
Ф=* — "тогда и только тогда".
== -— "следует".
= — "изоморфно".
Полугруппой (5, ) называется непустое множество S вместе с бинарной операцией , удовлетворяющей ассоциативному закону:
(Va;,y,z Є S)(x (у z) = (х -у) z).
Определение единицы, нуля полугруппы, идемпотента и другие термины теории полугрупп, давно ставшие фольклорными, в работе не приводятся, но их легко найти в общеизвестных монографиях Е. С. Ляпина [24] , А. Клиффорда, Г. Престона [15] , [16] , Ж. Лал-лемана [22] .
Гомоморфизмом полугруппы (5,-) в полугруппу (5',*) называется отображение (р множества S в множество S!, такое, что (Уж, у Є S) (<р(х -у) = <р(х)*<р(у)). Запись р: (S, ) -> (S',*) будет обозначать, что задан гомоморфизм ср из полугруппы (5, ) в полугруппу (S'y-k). Если гомоморфизм (р сюръективен, то мы называем его гомоморфизмом S на S' (эпиморфизмом) и S' называется эпиоморфным образом полугруппы S. Инъективный гомоморфизм будем называть мономорфизмом. Изоморфизмом S на S' называется гомоморфизм, если он одновременно инъективен и сюръективен.
Введение. 2. Основные определения и обозначения.
Гомоморфизм S в себя называется эндоморфизмом, а изоморфизм на себя — автоморфизмом.
2.2. Фильтры и ультрафильтры. Фильтром [31] над непустым множеством / называется любая непустая совокупность D подмножеств множества І", удовлетворяющая требованиям:
пересечение любых двух подмножеств из D принадлежит D;
все надмножества любого подмножества, принадлежащего D, принадлежат D;
пустое подмножество 0 не принадлежит D.
Из условий 1), 2) непосредственно вытекает, что пересечение любого конечного числа множеств, принадлежащих фильтру, принадлежит этому же фильтру и что базисное множество / принадлежит каждому фильтру над I. В дальнейшем фильтр D над I будет обозначаться либо одной буквой D, либо парой {I,D).
Совокупность всех надмножеств какого-нибудь фиксированного непустого множества М С /, очевидно удовлетворяет требованиям 1), 2), 3) и поэтому является фильтром. В частности, фильтром является само множество J, взятое в отдельности. Фильтры этого вида называются главными. Остальные фильтры называются неглавными. Фильтр F тогда и только тогда главный, когда F содержит пересечение всех своих множеств.
Поскольку конечное множество имеет лишь конечное число подмножеств, а пересечение конечного числа подмножеств из фильтра принадлежит фильтру, то все фильтры над конечным множеством / являются главными.
Введение. 2. Основные определения и обозначения.
Максимальные фильтры, то есть не лежащие ни в каком другом фильтре над множеством I, называются ультрафильтрами над /.
Над каждым бесконечным множеством І" существуют неглавные фильтры. Если пересечение всех множеств заданного фильтра D пусто, то каждый содержащий D ультрафильтр также будет неглавным и потому над каждым бесконечным множеством существуют неглавные ультрафильтры.
2.3. Ультрапроизведения. Пусть каждому элементу а какого-то множества I поставлена в соответствие некоторая алгебраическая система %а = (Aa,fi) фиксированной сигнатуры О. Элементами декартова произведения
М = ЦАа (аЄІ)
носителей Аа указанных систем являются функции /, определенные на І", значения которых удовлетворяют условию /(a) Є Аа. Вместо /(a) будем писать /а и будем /а называть проекцией элемента / на сомножитель Аа.
Пусть D — какой-нибудь фильтр над I. Введем на М бинарное отношение =), полагая по определению
/ =D д ^ {а Є I | Г = 9а} Є D (f7g Є М). (1)
Если / =) д, то говорят, что / эквивалентен д по фильтру D.
Из определения (1) видно, что отношение =) есть отношение эквивалентности на множестве М, и мы можем образовать фактормножество А— /= , которое называется редуцированным по D или фильтрованным по D произведением множеств Аа и обозначается символически через Л /п (а G /). Символом /D (/Є М) обозначается класс элементов из М, эквивалентных / по D.
Введение. 2. Основные определения и обозначения.
Мы хотим теперь определить на множестве А = /_ алгебраическую систему сигнатуры О. Пусть R — какой-то т-арный предикатный символ из Q, По определению полагаем
R(f1D,...JmD) = l^{a\R(f?y...J«) = l}eD. (2)
Истинностное значение R{f1Di..., fmD), определенное формулой (2), не зависит от выбора представителей /і, , /т в классах
Если F есть п -арный функциональный символ из Q, то в соответствии с условием (2) полагаем
F(f1D,...JnD) = fD^{a\F(f?,...JZ) = r}eD. (3)
Как и в случае предикатного символа і?, легко убеждаемся, что соотношение (3) задает на і\-л<^^ всюду определенную и однозначную функцию F.
Определения (2), (3) превращают фильтрованное произведение
А= П^а/
в алгебраическую систему (А, О), называемую редуцированным или фильтрованным по фильтру D произведением совокупности систем 21а (а Є I) и обозначаемую символически одним из следующих способов
Системы 2ta называются сомножителями фильтрованного произведения. Если все %а совпадают с фиксированной системой 21, то фильтрованное произведение ^ /п называют 1-й степенью
системы 21, фильтрованной по фильтру D, и обозначают через
2tJ/ ' D-
Введение. 2. Основные определения и обозначения.
Если фильтр (I,D) состоит лишь из самого множества I, то фильтрованное произведение 11^«/^ (ск Є I) совпадает с декартовым произведением.
Если И /г) —фильтрованное произведение каких-то алгебраических систем 21а (а Є I) и (J Є D) , то
Пйа/П С, П%/п ,
аЄ/ ' D j
где Dj — фильтр, образованный пересечениями J с множествами фильтра D .
Произведения систем, фильтрованные по ультрафильтру, называются улътрапроизведениями. Если над множеством / задан какой-то фильтр D, то все множества, принадлежащие фильтру, часто называют "большими" (относительно D) или содержащими почти все элементы множества I.
Формулу, не содержащую свободных предметных переменных, будем называть замкнутой.
Основное свойство ультрапроизведений заключается в следующем: замкнутая формула 1-й ступени тогда и только тогда истинна на ультрапроизведении, когда она истинна в почти всех сомножителях [31].
В частности, если замкнутая формула 1-й ступени истинна в каждой алгебраической системе 21а (а Є 1), то она истинна и в любом ультрапроизведении этих систем.
2.4. Аксиоматизируемые классы. Пусть задан какой-нибудь класс Я алгебраических систем сигнатуры Q. Замкнутая формула $ сигнатуры 1 называется истинной на классе Я, если $ истинна на каждой системе класса Я. Формула $ называется выполнимой на классе Я, если в Я существует система, на которой $ истинна.
Введение. 2. Основные определения и обозначения.
Замкнутые формулы #15 #2 сигнатуры Q называются эквиеа-лентными на классе $. алгебраических систем сигнатуры О, если на каждой системе класса Я значение #i совпадает со значением #а.
Пусть (3 — некоторая совокупность замкнутых формул сигнатуры О. Класс всех алгебраических систем сигнатуры О, на каждой из которых истинны все формулы из б, будет обозначаться К&. Ясно, что если 6i С 6г, то К&\ D К<&2.
Класс Я алгебраических систем сигнатуры О, называется аксиоматизируемым, если существует такая совокупность (3 замкнутых формул сигнатуры Q, что Я состоит из тех и только тех алгебраических систем сигнатуры О, на которых истинны все формулы из в.
Класс Я алгебраических систем сигнатуры Q называется универсально аксиоматизируемым, если он аксиоматизируется некоторой совокупностью & замкнутых V-формул сигнатуры О,.
Пусть 2t = {А> Q) — произвольная алгебраическая система. Каждому функциональному символу, содержащемуся в сигнатуре О, можно поставить в соответствие предикатный символ. Заменяя в ее сигнатуре Q функциональные символы соответствующими предикатными символами, получим новую сигнатуру Qm При этом алгебраическая система 21 превращается в модель 21м
Если О,' — какая-нибудь непустая часть сигнатуры О , то алгебраическая система (A, tti) называется О,' -обеднением системы 2t = (A, fi). Если сигнатура Q' конечна, то Q' — конечное обеднение системы 2t.
Алгебраическая система 21 называется локально вложимой в класс систем 9, если каждое конечное обеднение каждой конечной подмодели 21 вложимо в подходящую систему класса ЧЗХ .
Введение. 2. Основные определения и обозначения.
В качестве класса 9 будем рассматривать класс всех полугрупп. Тогда согласно теореме Тарского-Лося класс полугрупп Л тогда и только тогда универсально аксиоматизируем, когда из локальной вло-жимости в класс Л произвольной полугруппы 21 следует, что 21 Є Л (то есть класс Л локально замкнут).
2.5. Ультразамкнутость и наследственность. Говорят, что класс Л алгебраических систем сигнатуры 1 замкнут относительно улътрапроизведений (кратко улътразамкнут), если для каждого множества 7, каждого ультрафильтра D на множестве I и каждых алгебраических систем 21^ (і Є J), выбранных из класса Л, ультрапроизведение ^ /п (* Є I) принадлежит классу Л.
Класс Л алгебраических систем сигнатуры О, называется абстрактным, если с каждой системой 21 класс Л содержит и все изоморфные ей системы сигнатуры Q,. Мы будем рассматривать (если это не будет оговорено особо) лишь абстрактные системы и классы систем.
Подкласс алгебраических систем сигнатуры О, некоторого класса Л называется наследственным в Л, если каждая Л-подсистема произвольной -системы является ^-системой. Класс называется (абсолютно) наследственным, если он наследственен в классе всех алгебраических систем заданной сигнатуры, то есть если каждая подсистема произвольной -системы есть -система.
Чтобы класс ЇЯ алгебраических систем был универсально аксиоматизируем, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия:
класс 9Я ультразамкнут;
класс 9 (абсолютно) наследственен.
Введение. 3. Краткое содержание работы.
3. Краткое содержание работы.
Дистрибутивность фильтрованного произведения относительно декартова произведения
Для полугрупп А и 5 и некоторого фильтра D над произвольным множеством I справедлива следующая теорема (по-видимому, известный факт). Теорема. I -я степень декартова произведения двух полугрупп, фильтрованная по некоторому фильтру D над произвольным множеством I, изоморфна декартову произведению I -х степеней этих полугрупп, фильтрованных по этому же фильтру D над этим же множеством I. Доказательство. Через S1 / D будем обозначать 7-ю степень полугруппы S , фильтрованную по фильтру D над множеством I. Пусть Глава I 2. Атомы решетки V-классов полугрупп. Определим hD (Ах В)1 /D , где h Є (А х ВУ(Н:1 - А X Б) следующим образом: Построим соответствие у? из A1 /D х В1 /D в (А х В)1 /D по правилу: 1) Легко проверить, что для любого элемента из (А х В)1 JD существует прообраз в A1/D х 5J/D .Следовательно, сюръективное соответствие. 2) Покажем, что (р также будет и инъективным отображением. Воспользуемся определением фильтра (см. [31]). Пусть Тогда (fD,gD) = (fiD,giD) 4= hD = h\D , где h\ определено для /І и #! также, как и h для /ид, Нетрудно убедиться, что p является гомоморфизмом, а следовательно и изоморфизмом. Целью данного параграфа является описание атомов (их два) решетки универсально аксиоматизируемых классов полугрупп. решетки V -классов полугрупп. 2.1. Описание атомов решетки уП. В дальнейшем будем говорить о классах полугрупп и формулах сигнатуры, состоящей из одной бинарной операции, если это особо не оговорено. Обозначим через у! Н — совокупность всех универсально аксиоматизируемых классов, содержащихся в V-классе полугрупп 9. Легко понять, что уП гДе П— класс всех полугрупп, относительно включения образует полную решетку с наибольшим элементом KThylL и наименьшим элементом — пустым классом. Для решетки уП , как и для решетки всех многообразий полугрупп, например, или для решетки всех D -многообразий полугрупп, вполне естественна постановка многих подобных вопросов. Одним из первых вопросов является вопрос об атомах решетки уП , и вообще вопрос о покрывающих элементах тех или иных важных V-классов полугрупп. Напомним определение покрывающего элемента. Определение. Пусть —некоторая решетка. Элемент Ъ Є называется покрывающим для элемента а Є , если а Ъ и для Vc Є , такого, что а с b =Ф- с = а V с = Ъ. В частности, атомами будем называть покрывающие наименьшего элемента решетки. Отметим также, что атомы решетки многообразий полугрупп и атомы решетки D -многообразий полугрупп хорошо известны. В первом случаи они описаны Я. Калицким и Д. Скоттом [53] , во втором — С. Ю.Кулабуховым [20] .
Атомы решетки yll устанавливаются довольно легко. Обозначим через ( — V -класс, порожденный единичной полугруппой Е, 9Т — V-класс, порожденный бесконечной циклической полугруппой N. Теорема. ( и У1, и только они, являются атомами в уП . Лю бой V -класс из уП содержит хотя бы один атом, то есть решетка уП — атомарная решетка. Доказательство. Очевидно, что ( атом в уП. Покажем, что и 91 также является атомом этой решетке. Предположим, что это не так и между 91 и пустым классом существует V-класс U , понятно, что он не содержит элементов конечного порядка. Тогда он содержит элементы бесконечного порядка, а значит и N, следовательно наше предположение не верно и 91 является атомом в уП . Рассмотрим теперь произвольный V -класс U и покажем, что он содержит хотя бы один из атомов. Выберем в U произвольную полугруппу S , а в ней произвольный элемент а . Предположим, что а — элемент конечного типа. Тогда, в силу наследственности V-классов, С KThyS. Предположим теперь, что а — элемент бесконечного типа. Тогда он порождает бесконечную циклическую полугруппу и поэтому 91 С KThyS . Из приведенных рассуждений, легко понять, что других атомов в уП не существует. отыскания покрывающих атомов решетки уП. Для этого выделим в уП две важные подрешетки: Очевидно, что покрывающие атомов решетки уП это объединение атомов решеток и . Поставленная задача, таким образом, разбивается на две: 1) описание атомов решетки у ; 2) описание атомов решетки . Лемма. Объединение любых двух V -классов полугрупп есть V -класс. Доказательство. Пусть Я\ и Я2 два произвольных V-класса полугрупп. ТН\/Я\ и Thy Яг —совокупности всех V-формул, выполняющихся в классах Яг , и Яг соответственно. Не умаляя общности рассуждений, можно считать, что множества букв, обозначающих предметные переменные в Thy&i и Th\/&2 не пересекаются. Рассмотрим совокупность формул: Так как множества букв, обозначающих предметные переменные в Тк\/Я\ и Th\/&2 не пересекаются, то все формулы из F можно легко привести к предваренной нормальной форме. При этом кванторы 3 не появятся. Следовательно формулы из F эквивалентны замкнутым V -формулам. Пусть полугруппа S Є {Я\ U Я2) , то есть S Є Я\ или S Є Я2 Тогда в ней выполняются либо все формулы из ТН\/Я\ , либо все формулы из ТЬ,\/Я2 . Очевидно, в S будут выполняться все формулы из F . Если полугруппа В Я\ U Я2 , тогда В . Я\ и В $ Я2 . Тогда в этой полугруппе не выполняется некоторая формула Аг из ТЪл/Я\ и некоторая формула А2 из ТНуЯ2 . Следовательно, в полугруппе В не выполняется формула А\ V А2 , которая принадлежит F . Итак, совокупности формул F удовлетворяют те и только те полугруппы,
Атомы подрешетки
Рассмотрим теперь произвольный V -класс U и покажем, что он содержит хотя бы один из атомов. Выберем в U произвольную полугруппу S , а в ней произвольный элемент а . Предположим, что а — элемент конечного типа. Тогда, в силу наследственности V-классов, С KThyS. Предположим теперь, что а — элемент бесконечного типа. Тогда он порождает бесконечную циклическую полугруппу и поэтому 91 С KThyS . Из приведенных рассуждений, легко понять, что других атомов в уП не существует. отыскания покрывающих атомов решетки уП. Для этого выделим в уП две важные подрешетки: Очевидно, что покрывающие атомов решетки уП это объединение атомов решеток и . Поставленная задача, таким образом, разбивается на две: описание атомов решетки у ; описание атомов решетки . Лемма. Объединение любых двух V -классов полугрупп есть V -класс. Доказательство. Пусть Я\ и Я2 два произвольных V-класса полугрупп. ТН\/Я\ и Thy Яг —совокупности всех V-формул, выполняющихся в классах Яг , и Яг соответственно. Не умаляя общности рассуждений, можно считать, что множества букв, обозначающих предметные переменные в Thy&i и Th\/&2 не пересекаются. Рассмотрим совокупность формул: Так как множества букв, обозначающих предметные переменные в Тк\/Я\ и Th\/&2 не пересекаются, то все формулы из F можно легко привести к предваренной нормальной форме. При этом кванторы 3 не появятся. Следовательно формулы из F эквивалентны замкнутым V -формулам. Пусть полугруппа S Є {Я\ U Я2) , то есть S Є Я\ или S Є Я2 Тогда в ней выполняются либо все формулы из ТН\/Я\ , либо все формулы из ТЬ,\/Я2 . Очевидно, в S будут выполняться все формулы из F . Если полугруппа В Я\ U Я2 , тогда В . Я\ и В $ Я2 . Тогда в этой полугруппе не выполняется некоторая формула Аг из ТЪл/Я\ и некоторая формула А2 из ТНуЯ2 . Следовательно, в полугруппе В не выполняется формула А\ V А2 , которая принадлежит F . Итак, совокупности формул F удовлетворяют те и только те полугруппы, Согласно доказанной лемме . U 91 является V-классом. А. Любой V -класс, содержащий элеме замкнутым V -формулам. Пусть полугруппа S Є {Я\ U Я2) , то есть S Є Я\ или S Є Я2 Тогда в ней выполняются либо все формулы из ТН\/Я\ , либо все формулы из ТЬ,\/Я2 . Очевидно, в S будут выполняться все формулы из F . Если полугруппа В Я\ U Я2 , тогда В . Я\ и В $ Я2 . Тогда в этой полугруппе не выполняется некоторая формула Аг из ТЪл/Я\ и некоторая формула А2 из ТНуЯ2 . Следовательно, в полугруппе В не выполняется формула А\ V А2 , которая принадлежит F . Итак, совокупности формул F удовлетворяют те и только те полугруппы, Согласно доказанной лемме . U 91 является V-классом. А. Любой V -класс, содержащий элементы конечного порядка, содержит по крайней мере один V -класс из А. Доказательство. 1. Так как ( и УІ являются минимальными элементами в у , то легко понять, что U 9? является атомом в решетке у . Остальные V-классы из множества А совпадают с атомами решетки D -многообразий полугрупп, описанные С. Ю. Кулабуховым [20] . Докажем это утверждение. Пусть это не так. Тогда существует V-класс U , такой, что ( С U и U содержится в каком-либо из атомов решетки D -многообразий полугрупп. Но каждый из атомов решетки D - многообразий является объединением единичной полугруппы и какой-либо двухэлементной [20] , то есть они не могут содержать собственных V-подклассов, отличных от них самих и от . Получили противоречие.
Следовательно атомы решетки D -многообразий полугрупп совпадают с атомами решетки . Из совпадения атомов решетки V-классов — у с атомами решетки D -многообразий и атомарности решетки D -многообразий полугрупп, не следует атомарность решетки у . Докажем. Рассмотрим произвольный V -класс Я, содержащий элементы конечного порядка. S — нты конечного порядка, содержит по крайней мере один V -класс из А. Доказательство. 1. Так как ( и УІ являются минимальными элементами в у , то легко понять, что U 9? является атомом в решетке у . Остальные V-классы из множества А совпадают с атомами решетки D -многообразий полугрупп, описанные С. Ю. Кулабуховым [20] . Докажем это утверждение. Пусть это не так. Тогда существует V-класс U , такой, что ( С U и U содержится в каком-либо из атомов решетки D -многообразий полугрупп. Но каждый из атомов решетки D - многообразий является объединением единичной полугруппы и какой-либо двухэлементной [20] , то есть они не могут содержать собственных V-подклассов, отличных от них самих и от . Получили противоречие. Следовательно атомы решетки D -многообразий полугрупп совпадают с атомами решетки . Из совпадения атомов решетки V-классов — у с атомами решетки D -многообразий и атомарности решетки D -многообразий полугрупп, не следует атомарность решетки у . Докажем. Рассмотрим произвольный V -класс Я, содержащий элементы конечного порядка. S — некоторая неодноэлементная полугруппа из Я. Пусть 5 содержит элемент а , порождающий единичную подполугруппу, а все остальные элементы — бесконечного порядка. Легко понять, что в этом случае U 9Т С Я. Пусть теперь S содержит различные элементы. Согласно [53] существует неодноэлементная полугруппа S Є KThyS С Я, принадлежащая или Vi, или Юг , или Юо , или Ю8, или Юр . Если S Є Юі , то KThyS = Юі vi поэтому z С Я. Аналогично, если S Є ЮІ , то KThyS = ЮІ и поэтому Э; С Я (і Є {г, 0,s,p}, где _р — простое число). Оказалось, что Я обязательно содержит один из атомов из А. Если же Я отличен от всех этих атомов, то он сам уже не является атомом у . Указанными атомами исчерпываются все атомы решетки у .
Атомы Us,i и Us>2
Рассмотрим полугруппу и V-класс — Us,i і порожденный Ss,i . Легко понять, что он отличен от 01, так как формула не выполняется в USti и выполняется в 91. Очевидно, что формула отделяет US;i от U 9Т, так как в [/s i нет идемпотентов. Из ко-представления полугрупп задающих V-классы U0 и І75)2 , лего понять, что формула не выполняется ни в [/„ , ни в C7S)2 . В f/S)i она выполняется, так как она выполняется в порождающей его полугруппе S3,i Покажем это: если в качестве х и у взять элементы из одной из циклических подполугрупп 5S)i , то, очевидно, что посылка формулы будет все время ложной, а вся формула истинной, если же взять элементы из различных циклических подполугрупп и предположить, что посылка не выполняется в С7р . В /7S)i она выполняется, так как она выполняется в порождающей его полугруппе SS)i . Покажем это: если в качестве ж и у взять элементы из одной из циклических подполугрупп SSti , то, очевидно, что посылка формулы будет все время ложной, а вся формула истинной, если же взять элементы из различных циклических подполугрупп и предположить, что посылка верна, то, согласно копредставлению полугруппы 5s,i выполняется равенство х = у. Справедлива следующая лемма. Лемма. Пусть S произвольная подполугруппа 55д . Тогда истинно одно и только одно из следующих утверждений: 1) S вкладывается в N; ) Ss,i вкладывается в S . Доказательство. Подполугруппа S является совокупностью некоторых элементов из SSii , при этом возможны два случая: a) S — подполугруппа циклической подполугруппы Ss,i] b) S — не является подполугруппой циклической подполугруппы Ss,l а) Очевидно, что S изоморфна подполугруппе iV . Первое утверждение Ъ) Согласно предположению, в S найдутся хотя бы два элемента из различных циклических подполугрупп SSii . Пусть это ап и 6m . Тогда найдем НОК(п,га) = к. Понятно, что элементы ак,Ьк Є S. Построим отображение р: 55д — S , определяемое так: Несложно проверяется, что ср изоморфизм. Покажем, что других со-отноіпений, кроме аЪ — Ьа = а в построенной полугруппе нет.
Пусть это не так. Тогда Понятно, что аі ф 0, 2 ф 0,/Зі ф 0,/ ф 0 . Пользуясь основным соотношением в полугруппе S , получаем, что (afc)ai = (afc)tt2 = а і — а2 . Тогда в полугруппе (ак,Ьк} нет других соотношений, кроме аЪ = Ьа = а и она изоморфна SS)i . Ш Доказательство. Предположим, что это не так и пусть для какого-то V-класса ЇЇЯ выполняется 91 С ТІ С USii . Выберем в 9Л произвольную полугруппу S , отличную от полугрупп из ОТ, Понятно, что S является подполугруппой подходящей ультрастепени полугруппы 55д (см. [1.1.3]), то есть S подполугруппа полугруппы (SS)iY/D для некоторого множества I и некоторого ультрафильтра D над I. 1) Предположим, что / конечно. Тогда S является подполугруппой полугруппы 55д (изоморфна некоторой подполугруппе). Согласно предыдущей лемме, S вкладывается в N или 5Sji вкладывается в S. Тогда в первом случае 9Л = 9Т, во втором 93Т = USjl , что противоречит предположению. нопорожденная полугруппа. Возможны следующие случаи: Покажем, что в этих случаях 5 локально вкладывается в N1 /D . Рассмотрим в 5 некоторую конечную подмодель М. Для любых двух элементов из М справедливо условие 1). Так как в М конечное число элементов, то, согласно определению фильтра [31], это условие справедливо для всех элементов из М . Очевидно, что тогда М вкладывается в N1 /D . В силу произвольности выбора подмодели, S локально вкладывается в N1 /D . Но это опять таки означало бы, что ШТ = 91, что невозможно. Очевидно, что это два симметричных случая. Построим отображение /?: Ss,i — S по правилу: и полугруппу, являющуюся декартовым произведением бесконечной циклической полугруппы N на двухэлементную полурешетку Ss — N х Ss . Очевидно, что N х Ss порождается элементами (1,0), (1,1) . Легко понять, ЧТО SSj2 — Ss . Рассмотрим V-класс 9? и V-класс USi2 Это два различных V -класса, так как не трудно убедиться, что формула выполняется в 51ине выполняется в Us,2 . Как было показано в предыдущих параграфах, USi2 отличается формулами от UN,I UO,US)I . Очевидно, что формула выполняется в USi2 , но не выполняется в Up . Невыполнимость указанной формулы в Up очевидна. Покажем ее выполнимость в Us,i : если в качестве жиг/ взять элементы из одной из циклических подполугрупп SSj2 , то, очевидно, что посылка формулы будет все время ложной, а вся формула истинной, если же взять элементы из различных циклических подполугрупп и предположить, что посылка верна, то, согласно копредставлению полугруппы SSi2 , выполняется равенство х = у . Покажем теперь, что Us,2 является покрытием для 91. Лемма. Пусть S не однопорожденная подполугруппа SSt2 Тогда истинно одно и только одно из следующих утверждений:
Универсальная эквивалентность Sp и (N х Gp)
Рассмотрим полугруппу NxGp , являющуюся декартовым произведением бесконечной циклической полугруппы JV на Gp — группу порядка р, и полугруппу Sp — (а, Ъ \ аЪ = Ьа ар = bv). Справедлива следующая лемма: Лемма. Sp и (NxGp), р — простое, универсально эквивалентны. Доказательство. Легко понять, что полугруппа N х Gp имеет следующее копредставление: Отобразим Sp в N x Gp , no правилу: p(a) = go , cp(b) = g\ , (р(апот) = ((p(a))n(ip(b))m. Очевидно, что это гомоморфизм. Проверим корректность и инъективность. А так как n + m = & + /, то и п = к (modp) , то есть апЪт = акЬ1. Покажем, что N х Gp С Sp . Рассмотрим в Sp подполугруппу: Построим отображение р порождающего множества N х Gp на порождающее множество S p , по правилу: ц (до) = ар, , ( p-i) — abp 1. Проверим биективность такого отображения, то есть: Универсальная эквивалентность полугрупп Sp и N xGp очевидна. Рассмотрим теперь V-классы, порожденные декартовыми произведениями N на циклические группы простого порядка р. Согласно формулам, приведенным в предыдущих параграфах, V-классы Up отличаются от остальных покрытий: С/дед, Z70, U8}i U8)2 Up различны и между собой. Так как для различных р и q формула выполняется в [/р ине выполняется в остальных Uq . Таким образом все V-классы между собой различны. Лемма. Пусть S неоднопорожденная подполугруппа NxGp . Тогда истинно одно и только одно из следующих утверждений: 1) S вкладывается в N; 2) N х Gp вкладывается в S . единица группы Gp . Пусть S некоторая неоднопорожденная подполугруппа N х Gp . Тогда S также состоит из пар вида (п, к) , где п Є N,k Є Gp . Рассмотрим возможные случаи: 1) Все вторые компоненты в этих парах совпадают с единичным элементом Gp — е . Очевидно, что в этом случае S вкладывается в N . Первое утверждение леммы выполнено. 2) Хотя бы в одной паре вторая компонента отлична от единицы группы Gp .
Понятно, что в этом случае S будет содержать пары, вторая компонента которых пробегает все множество Gp . Возможны варианты: a) Пусть среди этих пар найдутся две такие: (п, е), (п, к) , где е — единица группы Gp . Легко понять, что из этих двух пар, соответствующими перемножениями исходных пар, мы можем получить пары с одинаковой первой компонентой — то и второй пробегающей всю группу Gp . Отобразим на эти пары (m,fc),fc Є Gp , соответствующим образом, элементы из порождающего множества N х Gp . Нетрудно показать, что это отображение является изоморфным вложением N х Gp в S . Второе условие леммы выполнено. b) Пусть среди элементов S нет пар с одинаковой первой компонентой. Выберем из S совокупность пар, вторые компоненты которых составляют группу Gp : (ni,e), (пг, 1),..., (пр,др 1) . Находим НОК(пі,П2, ...,Пр) = / и рассмотрим элементы п ,П2, ...,n , являющиеся соответствующими сомножителями до / к пі,П2, ...,пр . Построим из пар (пі, е), (п2,д1),..., (rip,др г) пары с одинаковой первой компонентой, равной I. Возможны случаи: — пусть все п[ = 0(modp) . Тогда все, построенные пары будут иметь вид (1,е) , где е — единица группы Gp , Следовательно в S невозможно получить пары, как в случае а). Тогда S можно вло — пусть хотя бы одно п\ g(modp) , где 0 д р. Тогда, среди построенных пар, найдется хотя бы две пары, как в случае а) . N х Gp изоморфно вкладывается в S . Теорема. Up являются покрытиями для ОТ в решетке . Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда существует V-класс Ш такой, что ОТ С Ш С KThy(N х Gp). Выберем в 97Т произвольную полугруппу S , отличную от полугрупп из ОТ. Тогда, согласно теореме [1.1.3], S подполугруппа (N х Gp)1 /D для некоторого множества I по ультрафильтру D над /. 1) Предположим, что I конечно, тогда S является подполугруп пой полугруппы (N х Gp) (изоморфно некоторой подполугруппе). Легко понять, что если S однопорожденная полугруппа, то S = N и KTh\/S = ОТ. Если же S неоднопорожденная полугруппа, тогда, согласно предыдущей лемме, S вкладывается в N или NxGp вкла дывается в S . В первом случае ШТ = ОТ, во втором Ш = KTh\/(NxGp). 2) Пусть теперь / бесконечное множество. Согласно теореме [1.1.4],
