Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Быстрый итеративный метод расчета полей дифракции монохроматической электромагнитной волны на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы 12
1.1. Итеративный метод расчета дифракции ТЕ-поляризованной волны 13
1.2. Итеративный метод расчета дифракции ТМ-поляризованной волны 18
1.3. Расчет вектора Умова-Пойнтинга 23
1.4. Дифракция непараксиального гауссова пучка 26
1.5. Релаксация итеративного метода 30
1.6. Сравнение с аналитическим расчетом при дифракции плоской волны 33
1.7. Сравнение с аналитическим расчетом при дифракции непараксиального гауссова пучка . 41
Выводы к 1-й главе. 48
ГЛАВА 2. Расчет силы, с которой действует монохроматическая электромагнитная волна на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы . 50
2.1. Электромагнитная сила для трехмерного случая. 52
2.2. Электромагнитная сила для двумерного случая (ТЕ- и ТМ-поляризаций) 54
2.3. Расчет силы для плоской волны 56
2.4. Расчет силы для непараксиального гауссова пучка. 59
2.4.1. Случай, когда показатель преломления объекта больше показателя преломления среды 59
2.4.2. Случай, когда показатель преломления объекта меньше показателя преломления среды 68
2.4.3. Случай, когда показатель преломления объекта является комплексной величиной. 70
2.4.5. Зависимость силы от параметров падающего пучка 77
Выводы ко 2-й главе. 88
ГЛАВА 3. Расчет силы, с которой действует монохроматическая электромагнитная волна с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с круглым сечением . 90
3.1. Аналитическое выражения для электромагнитной силы (ТЕ-поляризация) 91
3.2. Аналитическое выражение для проекций силы в случае ТМ-поляризации. 93
3.3. Численное сравнение расчета силы с помощью итеративного метода и по аналитическим выражениям . 94
3.4. Зависимость силы от параметров объекта 103
Выводы к 3-й главе. 112
Заключение. 114
Литература 118
- Итеративный метод расчета дифракции ТМ-поляризованной волны
- Сравнение с аналитическим расчетом при дифракции непараксиального гауссова пучка
- Случай, когда показатель преломления объекта больше показателя преломления среды
- Численное сравнение расчета силы с помощью итеративного метода и по аналитическим выражениям
Введение к работе
Актуальность исследования. «Оптический пинцет» и «оптические ловушки» открыли новое направление лазерных исследований, так как они позволяют производить механическую манипуляцию микрочастицами за счет сил со стороны лазерного излучения. Впервые Ашкин в 1970 г экспериментально показал, что сила оптического давления может быть использована для манипуляции маленькими диэлектрическими объектами и их удержания в равновесии против силы тяжести [1]. Он назвал это явление оптической левитацией. С тех пор оптическая манипуляция микрообъектами начала бурно развиваться, поскольку она позволяет решать широкий класс задач в биологии, генной инженерии, микромеханике, науке о коллоидах и т.д. В большинстве приложений «оптический пинцет» используется для контроля всего одной частицы. Для расчета силы, действующей на произвольный микрообъект в фокусе лазерного пучка, необходимо знать поле дифракции лазерного излучения на этом микрообъекте.
Расчет поля дифракции электромагнитной волны на диэлектрических объектах можно проводить с помощью многих известных методов: разностных методов решения системы уравнений Максвелла [2-4], волнового уравнения или уравнения Гельмгольца [5], методов конечных и граничных элементов [6-9], прямых методов решения соответствующих интегральных уравнений Фредгольма второго рода [10,11]. Ду
Все перечисленные методы сводят двумерную задачу дифракции к решению алгебраической системы уравнений, размерность которой равна NxN, где N - число отсчетов рассчитываемого поля дифракции. Если выбрать поле дифракции размером 128x128 отсчетов, то размерность системы уравнений будет равна NxN = 1282xl282. Даже если матрица такой системы уравнений имеет, как правило, 3-х диагональный вид, время решения такой задачи на компьютерах типа Pentium IV составит десятки и сотни минут.
Тем не менее, существуют задачи, требующие быстрого расчета поля дифракции монохроматической волны. Такой задачей является например
5 пошаговый расчет дифракции на микрообъекте, находящегося в различных положениях около фокуса лазерного пучка с целью расчета сил, действующих на микрообъект со стороны лазерного излучения. Тогда расчет поля дифракции должен быть произведен много раз за короткое время. Все перечисленные современные методы не позволяют быстро (за несколько секунд) производить подобный расчет.
Задача моделирования манипуляции микрообъектами лазерным излучением рассматривалась многими способами. Впервые теоретическую задачу давления света на сферу с помощью теории Ми рассмотрел Дебай в 1909 г. [12]. В общем случае сила давления света на микрочастицу должна рассматриваться с помощью максвелловского тензора напряжений электромагнитного поля [13]. Впервые сила действия слабосходящегося гауссова пучка на сферическую частицу с помощью теории Ми была оценена в [14], а для «острой» (непараксиальной) фокусировки гауссова пучка в [15,16]. Пользуются популярностью и приближенные методы расчета силы, действующей со стороны света на частицу: метод геометрической оптики с учетом френелевских коэффициентов отражения и преломления [17], который применяется для больших значений параметра q = k0a»l, где к0= волновое число света в вакууме, а - радиус сферы, охватывающей объект, и метод градиентной и рассеивающей сил [18], применимый для рэлеевских частиц (q«l). В [19] рассмотрено еще одно приближение для расчета силы света, действующей на микрочастицу: приближение связанных диполей. В [20] показано, что градиентную и рассеивающую силы можно получить из уравнений Максвелла и тензора напряжений. Полученное в [20] выражение для силы действия света справедливо при условии q\nx -п2\ <1, где и, и и2 - показатели преломления среды и частицы. В [21] с помощью тензора напряжений получено выражение для силы света, действующей на сферическую частицу с керровской нелинейностью. Для расчета сил, действующих со стороны электромагнитного поля на микрообъект используется метод разностного решения уравнения Максвелла [22] или аналитические выражения в случае сферических частиц [23].
Однако в перечисленных выше работах не проведены явные интегральные выражения для расчета сил, действующего со стороны электромагнитного поля с ТЕ- или ТМ-поляризацией на. диэлектрический цилиндр с произвольным сечением. Кроме того, не было проведено моделирование расчета сил, действующих со стороны непараксиального гауссова пучка на диэлектрический цилиндр.
Дифракция электромагнитной волны на однородной сфере может быть проанализирована в рамках теории Ми. Обобщение теории Лоренца-Ми на случай дифракции гауссова пучка и пучка произвольной формы рассмотрено в [24-26] и [27] соответственно. Строгий электромагнитный расчет силы давления на сферическую микрочастицу со стороны гауссова пучка с непараксиальностью 5-го порядка рассмотрен в [26,28,29]. При этом гауссовый пучок имел радиус перетяжки много больше, чем длина волны света. Более «острую» фокусировку гауссова пучка можно осуществить с помощью сферической линзы с высокой числовой апертурой, обладающей аберрациями. Расчету сил давления света на сферическую частицу, расположенную в фокусе линзы с аберрациями, посвящены работы [30,31]. Однако расчет в [30,31] был осуществлен для рэлеевских частиц, то есть с использованием теории рассеяния 2-го порядка. В [32,33] рассмотрен строгий расчет сил, действующих на сферическую частицу произвольного радиуса, расположенную в фокусе сходящегося пучка со сферической аберрацией. Однако, действие силы давления света рассмотрено только вдоль оптической оси. В [34,35] проведено моделирование и строго рассчитаны силы, действующие на сферическую частицу, расположенную в фокусе сходящейся сферической волн. В [36,37] приведено теоретическое и численное сравнение 3-х методов расчета силы действия света: геометро-оптического, в приближении Рэлея и строгого. Аналитические выражения для силы действия света на сферическую частицу с керровской нелинейностью,
7 расположенную в фокусе гауссова пучка, получены в [38]. В [39] рассмотрена передача углового момента от плоской электромагнитной волны с круговой поляризацией сферической частице. В [40,41] приведены аналитические формулы для расчета полей дифракции непараксиального 2D гауссова пучка на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.
Однако в перечисленных выше работах не приведены явные аналитические формулы в виде рядов для проекций вектора силы, действующей со стороны электромагнитной волны (в частности, непараксиального гауссова пучка) с ТЕ- и ТМ- поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.
Целью работы является разработка быстрого итеративного алгоритма решения интегрального уравнения для расчета поля дифракции произвольной ТЕ- (ТМ-) поляризованной монохроматической волны для анализа сил, действующих со стороны светового поля на диэлектрический микроцилиндр с произвольной формой сечения.
В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:
Разработка быстрого итеративного алгоритма для расчета поля дифракции на двумерном цилиндре с произвольной формой сечения на основе решения уравнения Фредгольма второго рода.
Численное исследование сил, действующих на микрообъект в области перетяжки непараксиального гауссова пучка
Вывод аналитических выражений для проекций сил, действующих на диэлектрический цилиндр с круглым сечением в области перетяжки непараксиального гауссова пучка
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Разработан быстрый итеративный метод расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-)
8 поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы. Метод работоспособен при условии, что —к2 ~п\ I < -6» гл-е ^ " Длина волны света, а - радиус окружности, в которую вписано сечение цилиндра, щ и пг - показатели преломления цилиндра и окружающей среды. Разработан метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы. Рассчитана сила, действующая со стороны непараксиального гауссова пучка на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы, расположенный вблизи перетяжки пучка. Численно показано, что при определенных условиях вблизи перетяжки пучка имеется точка, в которой сила равна нулю.
Получено аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- и ТМ-поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением. Проекции вектора силы при этом выражены в виде ряда из произведений коэффициентов разложения по цилиндрическим функциям проекций векторов напряженности электрического или магнитного полей, рассеянных цилиндром. защиту выносятся:
Итеративный метод расчета дифракции ТМ-поляризованной волны
Расчет поля дифракции электромагнитной волны на. диэлектрических объектах можно проводить с помощью многих известных методов: разностных методов решения системы уравнений Максвелла [2-4], волнового уравнения или уравнения Гельмгольца [5], методов конечных и граничных элементов [6-9], прямых методов решения соответствующих интегральных уравнений Фредгольма второго рода [10,11].
В [43,44] разностным методом проведено исследование дифракции на отражающем и пропускающем цилиндрах. В [45] теоретически исследуется дифракция электромагнитного поля на диэлектрическом цилиндре в базисе Фурье-Бесселя. Исследованию непараксиальных гауссовых пучков и их обобщению посвящаются работы [46-52]. В [46] получены формулы для расходимости (вычисляется М2 -фактор) непараксиального пучка Эрмита-Гаусса. В [47] теоретически исследуется распространение непараксиальных пучков Эрмпта-Гаусса и Лагерра-Гаусся.
Исследованию влияния поляризации на «острую» фокусировку пучка посвящена работа [48]. В [49, 50] введены в рассмотрение и исследуются теоретически новые векторные световые пучки Гельмгольца-Гаусса и Лапласа-Гаусса. Расчету дифракции гауссова пучка с ТЕ-поляризацией на дифракционной решетке конкретного размера и на объемной решетке Брегга посвящены работы [51, 52].
Все перечисленные методы сводят двумерную задачу дифракции к решению алгебраической системы уравнений, размерность которой равна NxN, где N - число отсчетов рассчитываемого поля дифракции. Если выбрать поле дифракции размером 128x128 отсчетов, то размерность системы уравнений будет равна JVxN = 1282xl282. Даже если матрица такой системы уравнений имеет, как правило, 3-х диагональный вид, время решения такой задачи на компьютерах типа Pentium IV составит десятки и сотни минут.
В данной работе предлагается решать двумерную задачу анализа поля дифракции с помощью итеративного метода с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье. Это всегда возможно в тех случаях, когда функция амплитуды искомого светового поля выражена с помощью интегрального преобразования, ядром которого является функция Грина данной задачи. По самому определению функции Грина интегральное преобразование имеет вид свертки, для быстрого вычисления которой можно использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье.
В этой главе описан итеративный алгоритм приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, к которому сводятся задачи дифракции электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на двумерном (цилиндрическом) диэлектрическом объекте.
Оптимальный параметр релаксации итеративного алгоритма выбирается подбором из достаточно широкого диапазона значений. Проведено сравнение полученного решения дифракции плоской волны на цилиндре с круглым сечением с известным аналитическим решением. Алгоритм позволяет рассчитывать поле дифракции размером 128x128 отсчетов примерно за 120 итераций с точностью около 1%, которые на компьютере Pentium III Celeron 1000 MHz выполняются за 13 секунд. Алгоритм обладает работоспособностью при условии, что —1«,2 — «2І 0.6, где и, и и2 - показатели преломления цилиндра и окружающей среды, а - радиус окружности в которую вписано сечение цилиндра, Х- длина волны света.
Сравнение с аналитическим расчетом при дифракции непараксиального гауссова пучка
Как видно из Таблицы 1.1, при увеличении числа отсчетов невязка постепенно уменьшается, но увеличивается время расчета. Время, необходимое для расчета приведено для компьютера на базе процессора Pentium IV Celeron 2400 МГц. Невязка для ТМ-поляризации больше при прочих условиях, что обусловлено дополнительным членом в алгоритме расчета - интегралом по контуру S. Взятие интеграла в численном виде сопряжено с выделением контура на поле дифракции, состоящем из дискретных отсчетов, и с определением нормалей к контуру S.
Сходимость алгоритма при дифракции волны на диэлектрическом цилиндре с круглым сечением при фиксированной диэлектрической проницаемости объекта зависит от параметра —, где D - диаметр цилиндра. На рис. 1.4в показан график зависимости количества итераций (для достижения ошибки а меньшей 1%, ТЕ-поляризация) от отношения Л диаметра цилиндра к длине волны. Алгоритм сходится успешно, если — 0,9, что справедливо при диэлектрической проницаемости ех 2. При ,=2,5 график, аналогичный показанному на рис. 1.4в, можно получить при условие: Л Л — 1,28, а при -,=3 при условии — 1,8. Все три приведенные группы R D параметров удовлетворяют одному неравенству: — (:,-1) 0.6, R=—. л Z При расчете полей дифракции для других цилиндрических объектов, например, квадрата или линзы, точного аналитического решения нет, и поэтому ошибка а не может быть вычислена по формуле (1.100). Далее процесс сходимости алгоритма (1.17) к решению контролировался с помощью другой ошибки аг, которая вычисляется по формуле: Рис. 1.6. Распределения амплитуды \ЕХ\ (в полутонах) дифракции плоской ТЕ волны на цилиндрических диэлектрических квадрате (а) и полукруге (цилиндрическая микролинза) (б), и соответственные зависимости ошибки а2 от числа итераций (в), (г) На рис. 1.6 показаны результаты расчета поля дифракции х с помощью алгоритма (1.17): расчет амплитуды дифракции плоской ТЕ-поляризованной волны на цилиндрическом квадрате (а) и полукруге (в), и зависимости ошибки J2 от числа итераций для квадрата (б) и полукруга (г). Для квадрата решение стабилизировалось после 174 итераций {G2=0,000196, время расчета на компьютере Celeron 1000 MHz составило 17 секунд), а для полукруга -после 42 итераций (а2 =0,000196, время расчета 4 секунды). Параметры эксперимента те же, что и для рис. 1.5: сторона квадрата (а) и диаметр полукруга (в) были равны длине волны 1 мкм, число отсчетов было равно 128x128. 42 Пойнтинга \SZ\ на ось распространения света Z. Параметры: длина волны X =1 мкм, диаметр круглого сечения цилиндра D=l мкм, диэлектрическая проницаемость цилиндра є1 =2, среды є2 =1, все поле 1.5x1.5 мкм, цилиндр помещен в центр перетяжки с радиусом о0 —0.5 мкм На рис. 1.7 представлен модуль функции напряженности электрического поля \ЕХ\ (ТЕ-поляризация), рассчитанный по формулам (1.52), (1.57), (1.58) [66 ,67 ]. Ошибка между данным решением и расчетом картины дифракции при помощи итеративного алгоритма (1.17) составляет 0.08% при параметрах: длина волны Д=1 мкм, диаметр круглого сечения цилиндра D=\ мкм, диэлектрическая проницаемость цилиндра -,=2, среды є2=\, все поле 1.5x1.5 мкм, 256x256 отсчетов, объект помещен в центр перетяжки с радиусом со0=0.5 мкм, количество коэффициентов ряда С„ равно М=8 (коэффициенты брались с номерами от -М до М). Вектор Умова-Пойнтинга рассчитывается по формуле (1.46) для ТЕ-поляризации, а его проекция на ось распространения света Z по формуле (1.48). На рис. 1.8 приведены те же поля для цилиндра, смещенного на 0.25 мкм (вверх) по оси Y из центра перетяжки. По картине модуля проекции вектора Умова-Пойнтинга на ось распространения света хорошо заметно, что поток энергии в пучке отклоняется в сторону смещения цилиндра.
Случай, когда показатель преломления объекта больше показателя преломления среды
Как видно из рис. 1.13, ширина полосы значимых коэффициентов С„ расширяется (по сравнению с кривой на рис. 1.11а) при смещении перетяжки из центра координат (и от центра цилиндра), и чтоб это компенсировать необходимо брать тем больше коэффициентов С„, чем дальше смещена от центра цилиндра перетяжка гауссова пучка. В данном примере (рис. 1.13) взятие коэффициентов С„ от -9 до 9 дает невязку S между амплитудами \ЕХ\, рассчитанными аналитическим (1.52) и итеративным (1.17) методами, порядка 1%(рис. 1.12).
Взятие большего количества коэффициентов С„ сопряжено с увеличением вычислительной сложности и, следовательно, с увеличением временных затрат на расчет поля дифракции. Так, например, расчет поля дифракции размером 5x5 мкм (256x256 отсчетов) при параметрах: длина волны А=1 мкм, диэлектрическая проницаемость среды є2=\, диэлектрическая проницаемость цилиндра єх=2, диаметр цилиндра D=l мкм (перетяжка й 0=0.5 мкм расположена в центре координат) аналитическим методом при взятии коэффициентов С„ от -7 до 7 требует 40 секунд для компьютера с процессором Celeron 1000, невязка 5 между амплитудами \ЕХ\ рассчитанными аналитическим (1.52) и итеративным (1.17) методами составляет 0.038%. Расчет поля дифракции в том же случае, но при расположении перетяжки в координатах (Z=-1.56 мкм, Y=0 мкм) и взятии коэффициентов С„ от -13 до 13 требует 19 минут 53 секунды, невязка 8 между амплитудами \ЕХ\, рассчитанными аналитическим (1.52) и итеративным (1.17) методами составляет 0.077%. То есть увеличение коэффициентов не более чем в 2 раза (с 15 до 27) приводит к увеличению времени расчета в 30 раз (с 40 секунд до 1193 секунды). Ошибка при этом увеличивается в два раза, но остается меньшей десятой доли процента. 1. С помощью разработанного быстрого итеративного метода приближенного решения двумерной задачи дифракции электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы удается за 50-100 итераций в течении десятков секунд на поле 128x128 отсчетов рассчитывать поля дифракции с точностью 1%-4% в случае, если выполняется неравенство — (є2-є1) 0.6і где а — радиус окружности, в которую вписано сечение цилиндра. Сравнение амплитуд полей дифракции плоской волны и непараксиального гауссова пучка на диэлектрическом цилиндре круглого сечения, рассчитанных с помощью итеративного метода и с помощью аналитического решения задачи в виде рядов цилиндрических функций, показало, что среднеквадратичное отклонение этих двух амплитуд растет при смещении цилиндра из центра перетяжки гауссова пучка, что обусловлено увеличением числа значащих членов ряда, которые требуется учитывать. Однако увеличение числа членов ряда в 2 раза приводит к увеличению времени расчета в 30 раз.
Обычно задачу манипуляции микрочастицами рассматривают для 3D случая, например для частиц сферической формы. Впервые теоретическую задачу давления света на сферу с помощью теории Ми рассмотрел Дебай в 1909 г. [12]. В общем случае сила давления света на микрочастицу должна рассматриваться с помощью максвелловского тензора напряжений электромагнитного поля [13]. Впервые сила действия слабосходящегося гауссова пучка на сферическую частицу с помощью теории Ми была оценена в [14], а для «острой» (непараксиальной) фокусировки гауссова пучка в [15,16]. Пользуются популярностью и приближенные методы расчета силы, действующей со стороны света на частицу: метод геометрической оптики с учетом френелевских коэффициентов отражения и преломления [17], который применяется для больших значений параметра q = k0a»l, где к0 = волновое число света в вакууме, а - радиус сферы, охватывающей объект, и метод градиентной и рассеивающей сил [18], применимый для рэлеевских частиц (q«l). В [19] рассмотрено еще одно приближение для расчета силы света, действующей на микрочастицу: приближение связанных диполей. В [20] показано, что градиентную и рассеивающую силы можно получить из уравнений Максвелла и тензора напряжений. Полученное в [20] выражение для силы действия света справедливо при условии q\nx -п2\ 1, где и, и и2 показатели преломления среды и частицы. В [21] с помощью тензора напряжений получено выражение для силы света, действующей на сферическую частицу с керровской нелинейностью. Для вывода оптимальных условий для оптического захвата микрообъектов требуется проведение численного моделирования расчета сил, действующих со стороны электромагнитного поля на микрообъекты.
Поэтому актуальным является развитие эффективных методов моделирования процесса оптического захвата. Для формирования требуемого распределения интенсивности в фокусе линзы используют как ДОЭ, так и динамический транспарант (модулятор света) [68]. Проводятся эксперименты с импульсным лазерным излучением [69], которое взаимодействует с биологическим объектом [70,71]. Причем в [71] сообщается о манипулировании ядром внутри самой клетки.
Численное сравнение расчета силы с помощью итеративного метода и по аналитическим выражениям
Дифракция электромагнитной волны на однородной сфере может быть проанализирована в рамках теории Ми. Обобщение теории Лоренца-Ми на случай дифракции гауссова пучка и пучка произвольной формы рассмотрено в [24-26] и [27] соответственно. Строгий электромагнитный расчет силы давления на сферическую микрочастицу со стороны гауссова пучка с непараксиальностью 5-го порядка рассмотрен в [26,28,29]. При этом гауссовый пучок имел радиус перетяжки много больше, чем длина волны света. Более «острую» фокусировку гауссова пучка можно осуществить с помощью сферической линзы с высокой числовой апертурой, обладающей аберрациями. Расчету сил давления света на сферическую частицу, расположенную в фокусе линзы с аберрациями, посвящены работы [30,31]. Однако расчет в [30,31] был осуществлен для рэлеевских частиц, то есть с использованием теории рассеяния 2-го порядка. В [32,33] рассмотрен строгий расчет сил, действующих на сферическую частицу произвольного радиуса, расположенную в фокусе сходящегося пучка со сферической аберрацией. Однако, действие силы давления света рассмотрено только вдоль оптической оси. В [34,35] проведено моделирование и строго рассчитаны силы, действующие на сферическую частицу, расположенную в фокусе сходящейся сферической волн. В [36,37] приведено теоретическое и численное сравнение 3-х методов расчета силы действия света: геометро-оптического, в приближении Рэлея и строгого. Аналитические выражения для силы действия света на сферическую частицу с керровской нелинейностью, расположенную в фокусе гауссова пучка, получены в [38]. В [39] рассмотрена передача углового момента от плоской электромагнитной волны с круговой поляризацией сферической частице. В [40,41] приведены аналитические формулы для расчета полей дифракции непараксиального 2D гауссова пучка на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.
В этой главе получены аналитические выражения и проведено численное моделирование для расчета сил действия света на диэлектрический цилиндр с круглым сечением, расположенный вблизи фокуса двумерного непараксиального гауссова пучка.Электрические и магнитные поля в полярных координатах будут иметь вид: А теперь подставим в формулы для проекций сил в полярных координатах (3.13) электрическую и магнитную составляющие поля (3.14) и устремим радиус интегрирования R к бесконечности.
Для расчета производных в уравнении (3.14) следует использовать известное рекуррентные соотношения для цилиндрических функций (3.6), (3.7). Учитывая, что при большом аргументе выполняются выражения (3.8), уравнения (3.13) можно переписать в виде (R»l):Тогда окончательно подставляя (3.14) в (3.15), получим формулу для проекций силы в случае ТМ-поляризованной волны, аналогичную (3.10). Таким образом, проекции силы, действующей со стороны гауссова пучка (1.52) или (1.63) на цилиндрический диэлектрический объект с круглым сечением, могут быть записаны в виде (3.10), где коэффициенты описываются выражением (1.61) для ТЕ-поляризации и (1.72) для ТМ-поляризации. Подробный вывод формул (ЗЛО) приведен в Приложении А.
Рассмотрим расчет силы при помощи итеративного алгоритма (1.17) по формулам (2.10), и по полученным аналитическим формулам (ЗЛО), (1.61) в случае ТЕ-поляризации. На рис. 3.1 представлены графики зависимостей проекции силы Fz, действующей на цилиндр со стороны светового поля, от смещения цилиндра L вдоль оси Z в случае В=2Х=4й 0, єх=2, є2=\Л1 (л2=1.33 - вода). Функцию, отражающую степень сходства между расчетом силы аналитическими формулами (ЗЛО) - FA, и расчетом силы F„ по формулам (2.10) с помощью итеративного алгоритма, зададим в виде: где FA и F„ - силы, рассчитанные двумя различными методами при помещении цилиндра в одну и ту же точку пространства. Максимум из двух значений в знаменателе выражения (3.16) взят потому, что графики расчета силы идут параллельно друг другу (рис. 3.1), и при пересечении оси абсцисс (точка L=0.5 мкм или L=0.7 мкм на графике рис. 3.1) будет неопределенность деления на ноль при взятии только одного конкретного значения в знаменателе FA или Fu.
