Введение к работе
Актуальность темы. Задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрической решетке актуальны для многих областей физики и техники, и являются стандартными задачами электродинамики, решение которых с использованием различных методов можно найти в большом числе публикаций. Периодические решетки находят широкое применение в различных областях науки и техники: спектроскопии и антенной технике, физике твердого тела, милли- и субмиллиметровой радиотехнике. Анализ физических процессов, протекающих в дифракционных решетках, связан с решением важных прикладных задач: созданием частотных и поляризационных фильтров, новых источников излучения, дисперсионных открытых резонаторов и т.д.
Особую роль играют теоретические исследования, значительно сокращающие или полностью исключающие экспериментальную проработку. С их помощью можно осуществить модельный синтез и оптимизацию различных устройств. Частично эта актуальная проблема решена в рамках математической теории дифракции плоских волн на дифракционной решетке, позволившей эффективно проанализировать ряд практически интересных ситуаций, накопить большой объем данных об аномальных и резонансных режимах рассеяния, решить некоторые малопараметрические обратные задачи. Для решеток со сложной структурой решение задачи дифракции возможно лишь численно: при этом эффективность алгоритмов и сходимость методов являются крайне важными.
Для решения проблемы дифракции на диэлектрических периодических структурах используются различные численные и полуаналитические методы. Оптимальным представляется разработка и использование методов, наиболее удобных для решения целого класса задач. В данной работе такими задачами являются задачи дифракции лазерного монохроматического поля на периодических диэлектрических структурах со сложной формой поперечного сечения образующих ее элементов (решетки и фотонные кристаллы) или распространения волн в таких структурах (микроструктурные волокна).
Одним из наиболее широко применяемых методов расчета является метод, использующий ряды Фурье и разложения по плоским волнам, который в применении к анализу дифракции на периодических структурах рассмотрен, например, в статье1. В этом слу-
1 Lifeng Li. Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structure. // J. Opt. Soc. Am. A. 1996. V. 13, No. 9
чае необходимо разлагать в ряд все периодические функции, в том числе и диэлектрическую проницаемость. Полученная система уравнений решается относительно неизвестных амплитуд пространственных гармоник. Существуют также варианты матричных методов; так, например, был предложен метод матричной рекурсии для моделирования процесса дифракции на диэлектрических решетках2. Решетка с неоднородностями произвольной формы представляется в виде множества слоев, лежащих друг на друге, каждый из которых представляет собой периодическую структуру с неоднородностями прямоугольной формы. При переходе от одного слоя к другому используют матрицу передачи. Эти методы, при всех их достоинствах, имеют и ряд недостатков (проблемы со сходимостью и трудности с реализацией для элементов со сложным профилем поперечного сечения).
В последнее время большое внимание уделяется также новому типу оптических материалов - фотонным кристаллам. Главной особенностью фотонно-кристаллических структур является наличие в них запрещенных частотных зон, запрещающих распространение внутри кристалла электромагнитных волн с частотами лежащими в этой зоне.
Это свойство используется исследователями для проектирования и создания различных оптических устройств, таких как оптические волокна3, одномодовые волноводы4 и лазеры5.
В последнее время наряду со значительным прорывом в области технической реализации процесса создания фотонных кристаллов, был разработан целый ряд различных математических инструментов и методов, позволяющих смоделировать процесс распространения электромагнитной волны в фотонных кристаллах, рассчитать и проанализировать их дисперсионные характеристики. Здесь также имеются трудности в реализации известных методов для структур со сложным профилем поперечного сечения.
Для преодоления этих трудностей возможно использование метода интегральных уравнений. Основными преимуществами этого метода являются хорошая сходимость, возможность исследовать решетки с произвольной формой поперечного сечения брусьев, высокая точность, а также возможность расчета различных сечений дисперси-
2Lifeng Li. Formulation and comparison of two recursive matrix algorithms for modeling layered diffraction
gratings. И J. Opt. Soc. Am. A. 1996. V. 13, No. 5
3Knight J.C., Broeng J., Birks T.A. Photonic band gap guidance in optical fibers. // Science. 1998. V. 282,
4Cregan R.F., Mangan B.J., Knight J.C., Birks T.A. // Science. 1999. V. 285, P. 1537 5Bullock D.L., Shih C, Margulies R.S. // J. Opt. Soc. Am. 1993. B. V. 10, P. 399.
онных поверхностей без каких-либо изменений алгоритма.
Микроструктурные волокна - волокна, имеющие очень сложную структуру в поперечном сечении, образованную регулярным или нерегулярным расположением воздушных отверстий, параллельных оси волокна, обладают множеством замечательных свойств, таких как возможность регулировки дисперсии и нелинейности, возможность получения больших значений этих величин и возможность создания одномодового режима для широкого интервала длин волн.
Особое внимание со стороны исследователей уделяется активным микроструктурным волокнам с сердцевиной, допированной ионами неодима, эрбия6 или иттербия.
С развитием волоконных лазеров и волоконных усилителей, появилась необходимость в точных алгоритмах расчета характеристик активных микроструктурных волокон, процессы в которых могут быть описаны с использованием приближения комплексного показателя преломления7.
Таким образом, задача исследования периодических структур, таких как дифракционные решетки и фотонные кристаллы со сложной формой элементов их образующих, а также микроструктурные волокна, является актуальной на данный момент, наряду с задачей разработки эффективных численных методов, использующихся для моделирования процесса распространения электромагнитных волн в подобного рода структурах.
Целью настоящей работы являются
исследование процесса дифракции электромагнитной волны на дифракционной решетке, состоящей из диэлектрических брусьев и разработка алгоритма расчета коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде для решетки на основе метода интегральных уравнений;
исследование процесса дифракции электромагнитной волны на дифракционной решетке, состоящей из диэлектрических брусьев, расположенных на подожке, и разработка алгоритма расчета коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде для решетки, находящейся на подложке, на основе метода интегральных уравнений;
6Cucinotta A., Poli Е, Selleri S. Design of Erbiumdoped triangular photonic-crystal-fiber-based amplifiers.
II IEEE Photon. Tech. Lett. 2004. V. 16, P. 2027-2029.
7Sader J.E. Method for analysis of complex refractive-index-profile fibers. // Opt. Lett. 1990. V. 15, P.
105-107.
исследование процесса распространения электромагнитной волны в двумерном фотонном кристалле и расчет различных сечений дисперсионных поверхностей кристалла при помощи алгоритма, разработанного на основе метода интегральных уравнений;
исследование процесса распространения электромагнитной волны в активных микроструктурных волокнах различных конфигураций и расчет их дисперсионных характеристик, а также изучение влияния структуры волокна на его дисперсионные характеристики;
исследование возможности выборочного усиления основной моды и мод высших порядков, изучение влияния структуры волокна на коэффициент усиления мод с различными порядковыми номерами.
Новые научные результаты. В диссертации предложены новые выражения для функции Грина, использующиеся в разработанных алгоритмах решения задач на поиск коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде для решеток, состоящих из диэлектрических брусьев, находящихся в свободном пространстве или расположенных на подложке.
Необходимость получения новых выражений функции Грина обусловлена наличием в них логарифмических особенностей в неявном виде, что приводит к снижению точности расчетов и ухудшению сходимости алгоритмов.
В результате анализа результатов расчетов, выполненных по предложенным алгоритмам, основанных на новых выражениях функции Грина, было показано, что форма поперечного сечения брусьев решетки оказывает существенное влияние на спектральные и угловые зависимости модуля коэффициента пропускания по амплитуде. Также было показано, что на эти зависимости оказывает влияние, в том числе, наличие подложки и величина ее диэлектрической проницаемости.
Представленный алгоритм позволяет рассчитать коэффициенты пропускания и отражения по амплитуде для решеток, состоящих из брусьев с любой формой поперечного сечения.
Новое выражение функции Грина получено также для задачи на поиск собственных волн фотонного кристалла и нахождения его дисперсионных характеристик. Отличительными особенностями алгоритма, основанного на новом выражении для функции
Грина, также являются универсальность, то есть возможность его использования для различных форм поперечного сечения брусьев и хорошая сходимость.
Особенностью, предложенного алгоритма, является также возможность его использования для получения результатов необходимых для построения различных видов дисперсионных характеристик фотонного кристалла: зависимости частоты волны от направления ее распространения и зависимости х- и ^-составляющих при заданном значении частоты распространяющейся волны.
В диссертации также представлен детальный анализ процесса распространения электромагнитной волны в активных микроструктурных волокнах различных конфигураций, основанный на результатах, полученных методом плоских волн.
Анализ показал, что структура активного волокна, оказывает существенное влияние на его дисперсионные характеристики и на зависимость коэффициента усиления от длины волны.
Появление в микроструктурном волокне поглощения или усиления приводит к изменению значения эффективного показателя преломления, при этом коэффициент усиления моды зависит от структуры волокна и порядкового номера моды. На основании расчетов найдены оптимальные значения размеров активной сердцевины для волокон с заданными конфигурациями, позволяющие наиболее эффективно усиливать основную моду по сравнению с модами высших порядков. Предложены конфигурации активных волокон, позволяющие выборочно усиливать моды высших порядков.
Достоверность результатов, полученных в настоящей работе, подтверждается сравнением с результатами, полученными другими методами, и совпадением результатов, полученных применением разработанных методов в частных случаях, с результатами, полученными методами, оптимизированными для более простых структур.
Научно-практическое значение работы. Предложенные в работе новые алгоритмы расчета коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде могут быть использованы для исследования решеток, состоящих из диэлектрических брусьев с произвольной формой поперечного сечения, находящихся в пространстве или расположенных на подложке.
Результаты этих исследований могут быть использованы для оценки формы поперечного сечения брусьев решетки, определения наличия подложки и определения зна-
чения ее диэлектрической проницаемости по амплитуде отраженной или прошедшей сквозь решетку волны. Подобная методика может быть применима, в частности, для расчетов концентрации веществ в среде, окружающей дифракционную решетку.
Алгоритм расчета дисперсионных характеристик фотонных кристаллов, основанный на методе интегральных уравнений, может быть использован для нахождения запрещенных зон и построения изочастот. Результаты подобных расчетов важны при проектировании различных оптических устройств и приборов, таких как фильтры, резонаторы, волноводы и т.п.
Результаты исследования активных микроструктурных волокон, представленного в диссертации, расширяют общее представление о влиянии структуры активного волокна на процесс распространения электромагнитной волны по нему. Предложенные в работе конфигурации волокон могут быть использованы для выборочного усиления основной моды и мод высших порядков. Выборочное усиление мод может найти свое применение при проектировании частотных преобразователей, волоконных лазеров и волоконных усилителей.
Исследования, проведенные в работе, вносят вклад в развитие метода интегральных уравнений и представление о возможностях его использования для решения задач лазерной физики и оптики. Предложенный алгоритм может быть использован, в том числе, и для решения ряда других аналогичных задач после внесения некоторых незначительных изменений.
Апробация работы. Результаты, полученные в ходе исследований, представленных в данной работе, были доложены на следующих конференциях:
Saratov Fall Meeting 2004, Россия, Саратов, 21-24 сентября, 2004.
Saratov Fall Meeting 2005, Россия, Саратов, 27-30 сентября, 2005.
Saratov Fall Meeting 2006, Россия, Саратов, 26-29 сентября, 2006.
Третья Международная конференция "Стеклопрогресс - XXI", Россия, Саратов, 22-25 мая, 2006.
Ill Russian-Finnish Meeting Photonics and Laser Symposium, Russia, Moscow, June 14-17,2007.
X Международные Чтения по квантовой оптике, Россия, Самара, 18-22 сентября, 2007.
Saratov Fall Meeting 2007, Россия, Саратов, 25-28 сентября, 2007.
Российский семинар по волоконным лазерам, Россия, Саратов, 1-4 апреля, 2008.
Всероссийская конференция по волоконной оптике, Россия, Пермь, 10-12 октября, 2007.
International Conference "Laser Optics 2008", Russia, St.Petersburg, June 23-28, 2008.
Ill Научная конференция для молодых ученых, Россия, Саратов, 25-27 июня, 2008.
Личный вклад автора состоит: в участии в постановках задач, в проведении аналитических выкладок, разработке алгоритмов решения задач и их реализации, в получении численных результатов и их анализе, в поиске и анализе литературных источников.
Защищаемые положения и результаты.
Новое выражение для ядра интегрального уравнения, отличающееся явно выделенной логарифмической особенностью, для задач на нахождение коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде дифракционных решеток, состоящих из диэлектрических брусьев, находящихся в свободном пространстве или расположенных на подложке. Использование этого выражения и соответствующей реализации алгоритма решения интегрального уравнения позволяет рассчитывать коэффициенты пропускания и отражения решетки при любой форме поперечного сечения брусьев с хорошей сходимостью и точностью вычислений. Угловые и спектральные коэффициенты пропускания существенно зависят от формы поперечного сечения брусьев и значения диэлектрической проницаемости подложки.
Новое выражение для ядра интегрального уравнения, отличающееся явно выделенной логарифмической особенностью, для расчета дисперсионных характеристик
двумерного фотонного кристалла. Алгоритм, основанный на использовании нового выражения для ядра, обладает хорошей сходимостью и позволяет рассчитывать различные сечения дисперсионных поверхностей без каких-либо изменений алгоритма.
3. Для активных микроструктурных волокон с заданной структурой существует оптимальный размер активной сердцевины, позволяющий получить максимальную разницу между эффективными усилениями основной моды и мод высших порядков. Существует возможность создания активного микроструктурного волокна, выборочно усиливающего моды высших порядков.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 118 страниц текста, включая иллюстрации. Список литературы на 10 страницах включает 94 наименования.
