Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Дифракция электромагнитной волны на неоднородном цилиндрическом объекте произвольной формы 12
1.1. Получение интегральных уравнений 13
1.1.1. ТЕ-поляризация 13
1.1.2. ТМ-поляризация 19
1.2. Метод конечных элементов решения интегрального уравнения 23
1.3. Численная реализация метода и результаты анализа 28
1.3.1. Сходимость приближенного решения 28
1.3.2. Сравнение приближенного решения с решением, полученным гибридным методом 30
1.3.3. Дифракция света на цилиндрических микролинзах 31
1.3.4. Дифракция света на микрообъектах с кусочно-однородным показателем преломления 37
1.3.5. Дифракция света на совокупности нескольких микрообъектов 42
1.3.6. Дифракция света на металлических пленках 43
1.4. Выводы по главе 1 47
ГЛАВА 2. Дифракция электромагнитной волны на круговых диэлектрических градиентных цилиндрах 49
2.1. Решение задачи дифракции произвольной волны на круглом многослойном диэлектрическом цилиндре методом разделения переменных 53
2.1.1. ТЕ-поляризация 54
2.1.2. ТМ-поляризация... 59
2.1.3. Рекуррентные соотношения для неизвестных коэффициентов 60
2.2. Аналитическое решение для двухслойного цилиндра 63
2.2.1. ТЕ-поляризация 64
2.2.2. ТМ-поляризация 65
2.3. Анализ численных результатов 67
2.3.1. Дифракция электромагнитной волны на внутренней линзе Лунеберга 67
2.3.2. Дифракция электромагнитной волны на обобщенной линзе Лунеберга 74
2.3.3. Дифракция электромагнитной волны на линзе Итона-Липмана 81
2.4. Выводы по главе 2 82
ГЛАВА 3. Градиентный метод синтеза многослойного круглого диэлектрического цилиндра 84
3.1. Метод оптимизации параметров многослойного цилиндра 85
3.2. Численные результаты 93
3.3. Выводы по главе 3 96
Заключение 97
Список литературы 99
- Метод конечных элементов решения интегрального уравнения
- Дифракция света на микрообъектах с кусочно-однородным показателем преломления
- Дифракция электромагнитной волны на обобщенной линзе Лунеберга
- Метод оптимизации параметров многослойного цилиндра
Введение к работе
Новейшие технологические достижения позволяют миниатюризировать оптические и дифракционные устройства до размеров порядка длины волны света. Такие элементы могут быть использованы в оптоэлектронике, оптических компьютерах и волоконной оптике, а также в голографии, спектроскопии и интерферометрии. Существует много практических приложений для этих устройств, например, дифракционные решетки для формирования волнового фронта и преобразования поляризации падающей волны [35, 50, 64, 67], зонные пластины Френеля [33], аэрозоли [43, 66], нанолитография [6], волноводы [10, 13, 59, 62], сканирующие микроскопы ближнего поля [26, 61], дифракционные микролинзы [35, 36, 37] и т.д. Точное моделирование этих устройств требует решения электромагнитных уравнений, что придает особое значение развитию численных методов по решению уравнений Максвелла. Эти численные методы могут быть полезны для более качественного изготовления данных устройств (например, микрополостных полупроводниковых лазеров [63]) или для оптимизации конструкции новых устройств (например, фотонных кристаллов [42, 56]).
Основная часть численных методов решения задач дифракции могут классифицироваться как лучевые [22], дискретных источников [6], разностные [45, 67, 96], дифференциальные [52], вариационные [33, 92], интегральные [25, 28]. Для дифракционных решеток некоторые из наиболее широко известных дифференциальных и интегральных методов описаны в [50], а метод связанных волн рассмотрен в [9, 46, 58]. Для решения задач дифракции света на телах простых форм применимы аналитические методы [29, 34,78].
Одним из методов, используемых для решения уравнений, описывающих распространение света, является метод граничных элементов (МГЭ) [4, 10]. Чаще всего он применяется для решения задач дифракции на таких периодических структурах, как дифракционные решетки [4] и субволновые дифракционные микролинзы [37, 38]. Это обусловлено тем, что для его реализации необходимо учитывать форму профиля рассеивателя, по которой ведется интегрирование. В [53] МГЭ использован при расчете дифракционных линз, интегрируемых с инфракрасными фотодетекторами. Заметим, что МГЭ не позволяет анализировать неоднородные объекты.
Для решения задач дифракции на непериодических структурах используют метод конечных элементов (МКЭ), основанный на разложения светового поля по базису заданных интерполирующих функций [И, 48]. В [51] при помощи МКЭ, записанного в вариационной постановке Галеркина, решается задача трехмерного (3D) моделирования томографии гемоглобина в ближней инфракрасной части спектра. Проблемой для МКЭ является постановка граничных условий для световых полей, уходящих на бесконечность.
В [44] описана комбинация МКЭ и МГЭ - гибридный метод конечных элементов — граничных элементов (МКГЭ). Этот метод, сформулированный через вариационный метод Ритца, использует МКЭ для решения волнового уравнения во внутренней части объекта, в то время как на искусственной границе, охватывающей элемент, используется МГЭ. В результате произведенной комбинации двух методов результирующая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), к которой сводится задача, имеет блочную трехдиагональную матрицу, что значительно сокращает вычислительные затраты по сравнению с другими интегральными методами [76].
К распространенным методам анализа дифракции относятся также дифференциальные методы. В [52] описано применение классического метода к фотонным кристаллам. Метод позволяет провести искусственную границу, даже если она пересекает физические границы объекта. Однако при этом ухудшается сходимость метода для ТМ-поляризации для идеально проводящих объектов. К дифференциальным методам также можно отнести метод мульти-полей [6], с помощью которого исследуют дифракцию на субволновых решетках и интерференцию затухающего дифрагированного ближнего поля.
Разностные методы основаны на приближенном решении исходного волнового уравнения с помощью разностных схем. Одним из распространенных методов, используемых для решения временных задач, является конечно-разностный метод временной области [12, 15]. В [57] для того чтобы уменьшить вычислительные затраты, связанные с необходимостью расчета поля на границе дифракционного оптического элемента (ДОЭ) рассматривается модификация, использующая неоднородную сетку дискретизации. В [55] описана модификация метода для осесимметричных ДОЭ (в [54] рассматривается косое падение волны), которая позволяет проводить анализ дифракции на структурах, размеры которых порядка 10000 длин падающей волны. Метод нашел применение в решении задачи рассеяния на аэрозолях [66], несферических частицах в поглощающей диэлектрической среде [60]. В [65] решена 3D задача моделирования изображения объекта при помощи сканирующего ближнее поле оптического микроскопа. В [45] 3D метод был применен к субволновым ДОЭ. Недостатком метода является то, что все структуры должны согласовываться с декартовой сеткой (все кривые поверхности должны быть ступенчато аппроксимированы), в связи с чем становится возможным появление ошибок в результатах. Здесь также возникает проблема поиска оптимальных поглощающих граничных условий [16, 21, 23], которые, как правило, генерируют отраженные поля, что, в свою очередь, может являться причиной возможных ошибок в расчетах. В [5] данная проблема решается введением идеально согласованного слоя.
Большой интерес представляют методы интегральных уравнений [40, 79], которые позволяют решать неограниченные полевые задачи, так как условие Зоммерфельда безусловно удовлетворяется в формулировке задачи [14, 32]. В [61] при помощи интегральных уравнений решена специальная задача дифракции ТМ-поляризованной электромагнитной волны на металлопокрытых диэлектрических образцах. Такая задача возникает при компьютерном моделировании двухмерной оптики ближнего поля (сканирующий микроскоп ближнего поля). В [49] решается 3D векторная задача дифракции электромагнитного поля на телах, включенных в слоистую среду. Использование здесь интегрального уравнения позволило ввести дискретизацию только для рассеивателей. Кроме того, за счет введения тензора Грина автоматически удовлетворились граничные условия.
Несмотря на стремительное развитие численных методов решения задач дифракции, недостаточно внимания уделяется изучению полей дифракции, когда рассеиватель (или даже группа рассеивателей) имеет неоднородную структуру. Поэтому является актуальным исследование прохождения электромагнитной волны через неоднородные объекты. Для подобных объектов, представляющих собой в общем случае многосвязную область с произвольной неоднородной структурой, имеющей комплексный показатель преломления, наиболее подходит метод интегрального уравнения Фредгольма второго рода [28]. Для ТМ-поляризации задача сводится к нагруженному интегральному уравнению из-за появления интеграла по контуру 2D объекта. Поэтому актуальной является разработка методов решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода для задач дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной волны на неоднородных многосвязных цилиндрических диэлектрических объектах, размер которых сравним с длиной волны света.
Большинство численных методов анализа дифракции электромагнитных полей являются энергоемкими в плане затрат на вычисления. Например, интегральные методы имеют заполненные матрицы большого порядка, что ограничивает их практическое применение. С другой стороны, есть класс объектов, обладающих некоторой симметрией, для которых получены аналитические решения задач дифракции в виде бесконечных рядов. К ним относятся однородные [8, 71] и многослойные круговые диэлектрические [24, 41] и киральные [27] цилиндры, слоистые пленки [64], металлические сферы [7], фотонные кристаллы [56], аэрозоли [77]. При изучении дифракции электромагнитной волны на цилиндрических объектах, как правило, интересуются свойствами рассеянного поля в дальней зоне. Поэтому обычно рассматривают дифракцию плоской волны. Для задач микрооптики актуальным является анализ дифракции сходящихся электромагнитных волн (например, непараксиального гауссова пучка) на микронеоднородностях, поэтому является актуальной разработка метода дифракции произвольной электромагнитной волны на двумерных многослойных цилиндрах.
Примером цилиндрического градиентного оптического элемента является линза Лунеберга [39, 73], которая, как правило анализируется методом геометрической оптики. Интересным является строгий анализ дифракции электромагнитной волны на многослойном круглом цилиндре Лунеберга, размер которого сравним с длиной волны.
Вследствие того, что технология позволяет изготовлять такие объекты, как круговые цилиндры (по технологии оптических градиентных волокон), актуальна разработка метода их синтеза. Известны методы оптимизации микрорельеф дифракционных решеток [89], бинарной микрооптики [47, 53]. Но, как правило, эти методы применяются для расчета рельефа однородных объектов. Актуальной является разработка метода оптимизации параметров неоднородных объектов, например, расчет распределения показателя преломления по слоям диэлектрического многослойного кругового цилиндра, формирующего заданное поле дифракции.
Таким образом, целью работы является расчет поля дифракции произвольной электромагнитной волны на двумерных неоднородных объектах микрооптики и синтез неоднородных объектов микрооптики, формирующих заданное распределение поля дифракции.
В соответствие с поставленной целью определены основные задачи диссертации: разработка метода расчета поля дифракции на основе решения интегрального уравнения для 2D задачи дифракции произвольной электромагнитной волны на неоднородном микрообъекте с комплексным показателем преломления; разработка метода расчета 2D поля дифракции произвольной четной электромагнитной волны на неоднородных круглых диэлектрических микрообъектах на основе аналитического представления поля в виде ряда по цилиндрическим функциям; разработка градиентного метода оптимизации для синтеза неоднородных объектов микрооптики на основе разработанного метода решения прямой задачи дифракции произвольной четной электромагнитной волны на неоднородном круглом диэлектрическом цилиндре.
Научная новизна работы состоит в следующем:
На основе решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработан метод расчета поля дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных микрообъектах произвольной формы с комплексным показателем преломления и на группах таких объектов.
Разработан рекуррентный метод расчета поля дифракции произвольной четной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных круглых диэлектрических цилиндрах, показатель преломления которых зависит от радиальной координаты. Метод применен для анализа дифракции на градиентных микролинзах Лунеберга и линзе Итона-Липмана. На численных примерах показано, что линзы сохраняют свои свойства фокусировки (для линз Лунеберга) и отражения (для линзы
Итона-Липмана) даже при размере радиуса линз сравнимом с длиной волны света, когда лучевое приближение теряет силу.
На основе полученного рекуррентного метода разработан градиентный метод оптимизации зависимости показателя преломления от радиальной координаты для синтеза неоднородных круглых диэлектрических цилиндров.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту
Метод расчета поля дифракции на основе решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода с использованием метода конечных элементов для 2D задачи дифракции ТЕ-ЛГМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных микрообъектах с комплексным показателем преломления произвольной формы и группах таких объектов.
Рекуррентный метод расчета поля дифракции ТЕ-/ТМ-поляризованной волны для 2D задачи дифракции электромагнитной волны на многослойных диэлектрических круглых цилиндрах, показатель преломления которых зависит от радиальной координаты.
Градиентный метод оптимизации зависимости показателя преломления от радиальной координаты для синтеза неоднородных диэлектрических круглых цилиндров, размер которых сравним с длиной волны света.
Апробация работы
Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях: международная конференция "Математическое моделирование ММ-2001", г. Самара (2001г.); международная школа молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике, г. Саратов (2001г.); международная школа молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике, г. Саратов (2002г.);
2-ая международная научно-техническая конференция "Физика и технические приложения волновых процессов", г. Самара (2003г.).
Публикации
По результатам диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ, в том числе 6 статей и 3 публикации в сборниках трудов международных конференций.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (96 наименований), изложенных на 108 страницах, содержит 30 рисунков.
Метод конечных элементов решения интегрального уравнения
Среди множества задач рассеяния света на микрообъектах большое внимание уделяется решению осесимметричньк задач дифракции электромагнитных волн на телах вращения [2, 18, 19, 54, 75]. Так, в [17] для решения задачи рассеяния на 3D осесимметричных частицах предложен метод разделения электромагнитных полей на две части: осесимметричную, не зависящую от азимутального угла, и несимметричную, чье среднее по этому углу равно нулю. Задача рассеяния рассматривается отдельно для каждой из этих частей. При этом производится специальный подбор скалярных потенциалов, связанных с азимутальными компонентами электромагнитных полей и используемых для осесимметричной части этих полей. Для несимметричной части применяется суперпозиция потенциалов Дебая и вертикальной компоненты вектора Герца. Формулировка задачи сводится к решению интегрального уравнения, что требует больших вычислительных затрат.
В работе [1] рассматривается аналитическое решение задачи дифракции ближнего поля на однородных металлических и диэлектрических круговых цилиндрах, расположенных вблизи от диэлектрической поверхности. В работе [74] решается задача более общего вида, где однородный круговой цилиндр погружен в слоистую среду.
В [95] для двухмерной задачи дифракции плоской ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на двухслойном круговом диэлектрическом цилиндре или металлическом цилиндре с диэлектрическим покрытием предложили модификацию метода дискретных источников. В [68] исследовано электромагнитное рассеяние на многослойном гиротропном бианизотропном круговом цилиндре для ТЕ-/ТМ-поляризованных падающих плоских волн с использованием метода разложения по собственным функциям. Численные результаты приведены для трехслойного цилиндра.
В [20, 22, 39, 86] в рамках геометрической оптики получены аналитические выражения для зависимостей показателя преломления от радиальной координаты для градиентных оптических элементов со сферической и поперечной цилиндрической симметрией (когда бесконечно длинная боковая поверхность цилиндра перпендикулярна направлению падения электромагнитной волны). Заметим, что линза Лунеберга [39] используется также как линзовая антенна для радиоволн СВЧ диапазона [73]. Линза Лунеберга фокусирует пучок параллельных лучей в точку на поверхности. Внутренняя линза Лунеберга [22] фокусирует пучок параллельных лучей в некоторую заданную внутреннюю точку, лежащую на диаметре параллельном падающим лучам между центром и дальней поверхностью линзы. Обобщенная линза Лунеберга [20] фокусирует падающий пучок параллельных лучей в точку за линзой, лежащей на продолжении диаметра, параллельного падающим лучам. В этом случае зависимость показателя преломления от радиальной переменной уже не имеет явной аналитической зависимости, а выражается в виде интегрального соотношения. Линза Итона-Липмана [86] — это диэлектрический градиентный оптический элемент со сферической или поперечно цилиндрической симметрией, который отражает назад все падающие на него лучи. Явная аналитическая зависимость показателя преломления от координаты у линзы Итона-Липмана имеет особенность в начале координат (в центре линзы), которая обеспечивает отражение назад лучей, падающих в центр линзы.
Ход лучей во всех перечисленных линзах изучен достаточно хорошо. В данной главе рассматривается прохождение электромагнитной волны через эти градиентные оптические элементы, в случае, когда радиус линз совпадает (или близок) с длиной волны. В таком резонансном случае лучевое описание дифракции света теряет силу и возникает вопрос о степени изменения фокусирующих и отражающих свойств данных градиентных элементов.
Для анализа дифракции электромагнитной волны на градиентных цилиндрических оптических элементах, показатель преломления которых обладает поперечной цилиндрической симметрией, можно использовать метод интегральных уравнений, описанный в главе 1. Для численного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода обычно применяют методы сведения к решению систем линейных алгебраических уравнений (один из этих методов - метод конечных элементов — был также рассмотрен в главе 1). Однако для получения достаточной точности приходится рассматривать систему уравнений высокого порядка с полностью заполненными матрицами, что требует значительных затрат времени расчета и большого объема компьютерной памяти. В связи с этим возникла необходимость в разработке метода, который позволил бы решать задачу дифракции электромагнитной волны на прозрачном теле в более коротких временных рамках и без значительных вычислительных затрат.
В данной главе на основе метода разделения переменных развит рекуррентный аналитический метод расчета полей дифракции с ТЕ- и ТМ-поляризациями в случае падения электромагнитной волны на неоднородный диэлектрический бесконечный круглый цилиндр, образующая которого вытянута вдоль оси z, а плоскость (х,у) совпадает с плоскостью падения. Неоднородность цилиндра аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, а круговое сечение цилиндра при этом будет иметь N концентрических колец с постоянными значениями показателя преломления внутри каждого кольца (рис.2.1). Метод основан на разложении проекции на ось z векторов напряженностей электрического (для ТЕ-поляризации) или магнитного (для ТМ-поляризации) полей внутри каждого однородного кольца в ряд по цилиндрическим функциям с неопределенными коэффициентами. Сами коэффициенты находятся из граничных условий, накладываемых на поля и их радиальные производные на линиях скачков показателя преломления.
Заметим, что для решения задачи дифракции электромагнитной волны на градиентных цилиндрических оптических элементах, показатель преломления которых не обладает поперечной цилиндрической симметрией, можно использовать метод интегральных уравнений, описанный в главе 1.
Дифракция света на микрообъектах с кусочно-однородным показателем преломления
Здесь и0=2, R=\ мкм. Общий размер картины дифракции 5x5 мкм. Количество отсчетов сетки дискретизации 300x300. Число слоев цилиндра равно 30, а максимальный порядок аппроксимирующих цилиндрических функций - 20. Из рис.2.12 видно, что линза обладает отражающим эффектом, то есть почти весь свет, падающий на линзу, отражается назад. Заметим, что из формулы (2.29) для показателя преломления линзы Итона-Липмана следует, что при г = 0 показатель преломления стремится к бесконечности. В примере на рис.2.12 параметры задачи выбраны таким образом, что в центре линзы при г = 0 показатель преломления равен 14.
Разработан метод анализа дифракции произвольной электромагнитной волны с ТЕ- и ТМ-поляризациями на неоднородном N-слойном бесконечном диэлектрическом цилиндре, нормальное сечение которого обладает круговой симметрией. Направление падения волны на цилиндр перпендикулярно его образующей. Метод основан на представлении амплитуды светового поля в виде ряда по цилиндрическим функциям с неизвестными коэффициентами. Для поиска коэффициентов получены рекуррентные соотношения.
С помощью данного метода рассчитаны поля дифракции на градиентных диэлектрических линзах с поперечной цилиндрической симметрией, зависимости показателя преломления от радиальной переменной которых выражаются известными формулами: внутренней линзе Лунеберга, обобщенной линзе Лунеберга и линзе-зеркале Итона-Липмана.
На численных примерах показано, что, не смотря на то, что данные градиентные линзы были рассчитаны методом геометрической оптики, они сохраняют свои свойства фокусировки (для линз Лунеберга) и отражения (для линзы Итона-Липмана) даже при размере радиуса линз сравнимом с длиной волны света, когда лучевое приближение теряет силу. При этом отличие положения рассчитанного максимума интенсивности в области фокуса от заданного геометрического фокуса градиентных линз составило 3-13 %.
Показано также, что обобщенная линза Лунеберга, радиус которой в 5 раз больше длины падающей плоской волны сохраняет фокусирующее свойство при уменьшении числа слоев с разным показателем преломления вплоть до двух слоев.
В главе 2 рассмотрена прямая задача дифракции, а именно, метод расчета поля дифракции произвольных ТЕ- и ТМ-поляризованных электромагнитных волн на многослойном диэлектрическом цилиндре с круглым сечением. Метод основан на разложении амплитуды поля в каждом однородном слое цилиндра и вне его в ряды по цилиндрическим функциям. Неизвестные коэффициенты в этих рядах находятся с помощью рекуррентных формул из уравнений, полученных при удовлетворении граничным условиям на границах однородных слоев цилиндра. Метод был применен для расчета поля дифракции плоской волны на градиентных цилиндрических линзах Лунеберга и Итона-Липмана [30,39], размер которых сравним с длиной волны света.
В данной главе рассматривается двумерная обратная задача дифракции в рамках электромагнитной теории: расчет многослойного диэлектрического цилиндра с круглым сечением, фокусирующего падающую плоскую волну в точки с заданным распределением интенсивности. Разработан градиентный алгоритм для поиска оптимального распределения значений показателя преломления по слоям цилиндра или поиска оптимальных радиусов однородных слоев цилиндра. При этом решение обратной задачи основано на решении прямой задачи с помощью метода из главы 2. Ранее аналогичная задача решалась для оптимизации рельефа однородных микролинз с помощью метода конечных элементов [31, 84]. Здесь градиентный метод синтеза будет применен для расчета цилиндрической линзы с 10-тью однородными слоями, фокусирующей плоскую волну в два поперечных фокуса.
Заметим, что ранее задача синтеза градиентных объектов микрооптики с цилиндрической или сферической симметрией показателя преломления рассматривалась только в приближении геометрической (лучевой) оптики [20, 85]. На рис.2.1 показано сечение многослойного диэлектрического цилиндра с круглым сечением. В каждом слое показатель преломления постоянный, а световое поле описывается функцией у/, равной Ег для ТЕ-поляризации и Hz для ТМ-поляризации.
Для поиска оптимальных параметров цилиндра введем функцию ошибки б(р), характеризующую отличие рассчитанных значений интенсивности в заданных точках от требуемых значений [89]:
Дифракция электромагнитной волны на обобщенной линзе Лунеберга
Для оценки работоспособности метода была исследована задача синтеза кругового цилиндра, фокусирующего в две точки на расстоянии 2 мкм от центра цилиндра. Были выбраны следующие параметры: Х = 0.2 мкм — длина падающей плоской электромагнитной ТЕ-поляризованной волны; ТУ = 10 — число слоев цилиндра (все слои равной толщины); R = 1 мкм — внешний радиус цилиндра.
В качестве начального распределения показателя преломления в слоях цилиндра выбирались значения, следующие из аналитического решения, полученного в рамках геометрической оптики в [20]. Картина дифракции на исходном цилиндре и зависимость показателя преломления от радиуса цилиндра показаны на рис.3.1: (400х400отсчетов); б) сечение по оси Y на расстоянии 2мкм от центра цилиндра(в фокальной плоскости); в) зависимость показателя преломления от радиуса цилиндра. В этой главе разработан градиентный метод расчета многослойного диэлектрического цилиндра с круглым сечением, фокусирующего произвольную электромагнитную волну в точки с заданным распределением интенсивности. Метод применен для расчета 10-слойного цилиндра, формирующего две фокальные точки, и радиус цилиндра сравним с длиной волны света. Незначительное увеличение интенсивности фокальных точек (на 10% по сравнению с начальным) связано с малым числом степеней свободы (всего 10 слоев) и хорошим начальным приближением, которое следует из геометрооптического решения аналогичной задачи. В работе получены следующие основные научные результаты, 1. На основе численного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработан метод расчета 2D поля дифракции произвольной ТЕ /ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородном микрообъекте с комплексным показателем преломления произвольной формы и на группе таких объектов. Численно показано, что метод: 1.1. позволяет производить расчет на кусочно-неоднородных объектах (слоистые пленки); 1.2. позволяет производить расчет на совокупности объектов без построения искусственного замыкания, охватывающего все объекты (система металлических пленок). 1.3. Показано, что результаты, полученные при помощи разработанного метода, согласуются с результатами, полученными другими методами (Котляр В.В, Нестеренко Д.В., Личманов М.А.). 2. Разработан рекуррентный метод расчета 2D поля дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородном круглом диэлектрическом цилиндре, показатель преломления которого зависит от радиальной координаты. 2.1. Метод применен для анализа дифракции на градиентных микролинзах Лунеберга и линзе Итона-Липмана. 2.2. На численных примерах показано, что: линзы сохраняют свои свойства фокусировки (для линз Лунеберга) и отражения (для линзы Итона-Липмана) даже при размере радиуса линз сравнимом с длиной волны света, когда лучевое приближение теряет силу; 2.3. разработанный метод позволяет производить расчет дифракции для произвольной падающей четной электромагнитной волны (дифракция гауссова пучка на линзе Итона-Липмана). 3. На основе полученного рекуррентного метода разработан градиентный метод оптимизации для синтеза неоднородных круглых диэлектрических цилиндров с зависимостью показателя преломления от радиальной координаты.
Метод оптимизации параметров многослойного цилиндра
Несмотря на стремительное развитие численных методов решения задач дифракции, недостаточно внимания уделяется изучению полей дифракции, когда рассеиватель (или даже группа рассеивателей) имеет неоднородную структуру. Поэтому является актуальным исследование прохождения электромагнитной волны через неоднородные объекты. Для подобных объектов, представляющих собой в общем случае многосвязную область с произвольной неоднородной структурой, имеющей комплексный показатель преломления, наиболее подходит метод интегрального уравнения Фредгольма второго рода [28]. Для ТМ-поляризации задача сводится к нагруженному интегральному уравнению из-за появления интеграла по контуру 2D объекта. Поэтому актуальной является разработка методов решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода для задач дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной волны на неоднородных многосвязных цилиндрических диэлектрических объектах, размер которых сравним с длиной волны света.
Большинство численных методов анализа дифракции электромагнитных полей являются энергоемкими в плане затрат на вычисления. Например, интегральные методы имеют заполненные матрицы большого порядка, что ограничивает их практическое применение. С другой стороны, есть класс объектов, обладающих некоторой симметрией, для которых получены аналитические решения задач дифракции в виде бесконечных рядов. К ним относятся однородные [8, 71] и многослойные круговые диэлектрические [24, 41] и киральные [27] цилиндры, слоистые пленки [64], металлические сферы [7], фотонные кристаллы [56], аэрозоли [77]. При изучении дифракции электромагнитной волны на цилиндрических объектах, как правило, интересуются свойствами рассеянного поля в дальней зоне. Поэтому обычно рассматривают дифракцию плоской волны. Для задач микрооптики актуальным является анализ дифракции сходящихся электромагнитных волн (например, непараксиального гауссова пучка) на микронеоднородностях, поэтому является актуальной разработка метода дифракции произвольной электромагнитной волны на двумерных многослойных цилиндрах.
Примером цилиндрического градиентного оптического элемента является линза Лунеберга [39, 73], которая, как правило анализируется методом геометрической оптики. Интересным является строгий анализ дифракции электромагнитной волны на многослойном круглом цилиндре Лунеберга, размер которого сравним с длиной волны.
Вследствие того, что технология позволяет изготовлять такие объекты, как круговые цилиндры (по технологии оптических градиентных волокон), актуальна разработка метода их синтеза. Известны методы оптимизации микрорельеф дифракционных решеток [89], бинарной микрооптики [47, 53]. Но, как правило, эти методы применяются для расчета рельефа однородных объектов. Актуальной является разработка метода оптимизации параметров неоднородных объектов, например, расчет распределения показателя преломления по слоям диэлектрического многослойного кругового цилиндра, формирующего заданное поле дифракции.
Таким образом, целью работы является расчет поля дифракции произвольной электромагнитной волны на двумерных неоднородных объектах микрооптики и синтез неоднородных объектов микрооптики, формирующих заданное распределение поля дифракции. В соответствие с поставленной целью определены основные задачи диссертации: разработка метода расчета поля дифракции на основе решения интегрального уравнения для 2D задачи дифракции произвольной электромагнитной волны на неоднородном микрообъекте с комплексным показателем преломления; разработка метода расчета 2D поля дифракции произвольной четной электромагнитной волны на неоднородных круглых диэлектрических микрообъектах на основе аналитического представления поля в виде ряда по цилиндрическим функциям; разработка градиентного метода оптимизации для синтеза неоднородных объектов микрооптики на основе разработанного метода решения прямой задачи дифракции произвольной четной электромагнитной волны на неоднородном круглом диэлектрическом цилиндре. Научная новизна работы состоит в следующем: На основе решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода разработан метод расчета поля дифракции произвольной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных микрообъектах произвольной формы с комплексным показателем преломления и на группах таких объектов. Разработан рекуррентный метод расчета поля дифракции произвольной четной ТЕ-/ТМ-поляризованной электромагнитной волны на неоднородных круглых диэлектрических цилиндрах, показатель преломления которых зависит от радиальной координаты. Метод применен для анализа дифракции на градиентных микролинзах Лунеберга и линзе Итона-Липмана. На численных примерах показано, что линзы сохраняют свои свойства фокусировки (для линз Лунеберга) и отражения (для линзы Итона-Липмана) даже при размере радиуса линз сравнимом с длиной волны света, когда лучевое приближение теряет силу. На основе полученного рекуррентного метода разработан градиентный метод оптимизации зависимости показателя преломления от радиальной координаты для синтеза неоднородных круглых диэлектрических цилиндров.
