Содержание к диссертации
Введение
1. Методо и результаты исследований равновесных состояний и периодических режимов автоколебательных систем . 13
2. Общая постановка задачи и метод исследования автоколебательных режимов деформируемых систем 33
2.1. Общие уравнения движения вязко-упругих тел 33
2.2. Формулировка задачи об автоколебаниях вязкоуп-ругих тел 35
2.3. Приведение задачи о возмущенном движении к операторному уравнению 37
2.4. Определение критических параметров вязкоупругих систем 38
2.5. Расчет автоколебательных режимов методом Ляпунова-Шмидта 40
2.6. Исследование устойчивости автоколебаний 43
2.7. Аппроксимирование вязкоупругих систем с распределенными параметрами системами с конечным числом степеней свободы 45
3. Фрикционные автоколебания вязкоупругих механических систем с конечным числом степеней свободы 48
3.1. Устойчивость и автоколебания фрикционной вязкоупругой механической системы с одной степенью свободы 48
3.1.I. Постановка задачи 48
3.1.2. Определение равновесных состояний и критических параметров систем 51
3.1.3. Исследование устойчивости равновесных состояний
3.1.4. Исследование периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия 56
3.1.5. Исследование устойчивости автоколебательных режимов 58
3.1.6. Анализ результатов автоколебаний механических систем с одной степенью свободы 62
3.2. Устойчивость и автоколебания фрикционной вязкоупругой механической системы с двумя степенями свободы 63
3.2.1. Уравнения движения 63
3.2.2. Исследование устойчивости равновесных состояний. Нахождение критических значений параметров 67
3.2.3. Исследование периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия 70
3.2.4. Исследование устойчивости периодических режимов 74 Выводы 76
4. Фрикционных вязкоунругих систем с распре деленными параметрами 78
4.1. Постановка задачи 78
4.2. Определение равновесных состояний и критических значений параметров системы 80
4.3. Определение амплитуд и частот автоколебаний 84
4.4. Исследование устойчивости равновесных состояний 90
4.5. Исследование устойчивости автоколебательных режимов
Выводы
5 Исследование автоколебаний механической системы резец-супорт . 97
5.1. Постановка задачи и основные уравнения 97
5.2. Исследование устойчивости равновесных состояний. Определение критических значений параметров системы 105
5.3. Определение амплитуд и частот периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний 107
5.4. Исследование устойчивости периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия 118
5.5. Пример исследования автоколебаний системы резец-супорт 124
Выводы 125
6. Автоколебания механической системы обрабатываемая деталь
6.1. Постановка задачи 127
6.2. Уравнения движения системы 129
6.3. Определение статического состояния системы. Нахождение критических параметров системы . 138
6.4. Определение амплитуд и частот периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний . 140
6.5. Исследование устойчивости периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия 151
6.6. Пример исследования автоколебаний системы резец-супорт-обрабатываемая деталь 154
Выводы 158
Основные выводы по диссертации 161
Литература 165
Приложения . 177
- Расчет автоколебательных режимов методом Ляпунова-Шмидта
- Определение равновесных состояний и критических параметров систем
- Определение равновесных состояний и критических значений параметров системы
- Определение амплитуд и частот периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний
Введение к работе
"Основные направления экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года", принятые XX7I съездом КПСС, предусматривают создание высокоэффективных и надежных машин, приборов, автоматизированных технологических линий. В связи с этим повышаются значение и требования к точности расчетов в машиностроении, в частности, относящиеся к исследованию устойчивости стационарных режимов и вибраций исполнительных и других механизмов. Одним из аспектов этой проблемы является разработка методов анализа автоколебаний во фрикционных устройствах, металлорежущих станках, бурильных установках и других деформируемых системах, подверженных действию неконсервативных нагрузок.
В работах А.А.Алифова [2-4], А,И.Каширина [бз], С,С,Кедрова [54], Ю.И.Костерина [58, 60], И.В.Крагельекого [ээ], А.В.Ку-динова [63-65] , Г.С.Лазарева[бб] , П.С,Ланда[б7], Я.Г.Пановко[82, А,С,Пономарева [91, 92], А,П.Соколовского [9б] , А.Тондла [і02]и других ученых выполнены исследования автоколебаний механических систем с малым числом степеней свободы.
Для систем с большим числом степеней свободы решены лишь ограниченные задачи о нахождении критических значений параметров, при которых равновесные состояния становятся неустойчивыми, причем рассматриваются линеаризованные уравнения движений, возмущенных относительно состояний равновесия. Методы исследования характеристических уравнений соответствующих дифференциальных уравнений, а также критерии устойчивости решений разработаны Раусом, іУрвицем, Найквистом, А,В.Михайловым, И,А,Вышнеградским. Общие теоремы, относящиеся к устойчивости движения различных систем, сформулированы А.М.Ляпуновым [7з], А.А.Андроновым [в], И.Г.Малкиным [?б], Н.Г.Четаевым [юв] , Н. Н. Боголюбовым [l4] , М.Розо [88].
В практических приложениях можно выделить три направления, основанные на применении:
- точных методов решения нелинейных уравнений, из которых наиболее распространенным является метод точечного преобразования поверхностей А.А.Андронова;
- приближенных методов (ассимптотического, малого параметра, гармонической линеаризации, усреднения и других), разработанных Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым [б2] , А.Пуанкаре [87], Ван-дер-Полем [24], Л.И.Мандельштамом [7б], Ю.А.Митропольским [78], Е.П.Поповым [86] ;
- методов статистической линеаризации, предложенных И.Е.Казаковым [50] , Б.Г.Доступовым [35] .
Особое место среди перечисленных методов занимает метод Ляпунова-Шмидта, позволяющий исследовать поведение деформируемых систем при действии неконсервативных нагрузок в "окрестностях" критических значений параметров. Метод развит в работах М.М.Вайн-берга и В.А.Треногина [23] , В.И.Кдовича [109-III], В.Г.Громова [ЗІ, 32].
Актуальность настоящей диссертации обусловлена необходимостью:
- дальнейшего развития методов теории устойчивости применительно к задачам о формулировании условий возбуждения автоколебаний, определении критических параметров, частот и амплитуд периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия вязкоупругих механических систем, исследованию устойчивости этих режимов, обоснованию единственности получаемых решений;
- комплексного рассмотрения важных в теоретическом и практическом отношениях задач об анализе влияния различных нелинейных факторов и вязкоупругости на поведение фрикционных автоколебательных систем и механических систем при резании;
- анализа точности решений, полученных при аппроксимировании деформируемых тел системами с малым числом степеней .свободы;
- создания пакета программ для решения перечисленных задач на ЭВМ.
Цель диссертации; на основе теории устойчивости движения деформируемых тел разработать, реализовать и довести до практических приложений методики:
- определения критических параметров существенно нелинейных вязкоупругих систем;
- расчета амплитуд и частот автоколебаний;
- исследования автоколебательных до- и за критических режимов.
Задачи исследований
1. Модификация методов теории устойчивости применительно к существенно нелинейным неконсервативным деформируемым системам.
2. Составление уточненных дифференциальных уравнений о колебаниях вязкоупругих систем, подверженных действию неконсервативных сил трения или резания.
3. Исследование работы моделей фрикционных механизмов с целью определения влияния различных факторов на:
- области неустойчивости равновесных состояний систем;
- критические значения параметров;
- частоты и амплитуды периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия;
- устойчивость автоколебательных режимов.
4. Анализ плоских автоколебаний механических систем типа су порт-резец металлорежущих станков при обработке деталей большой жесткости с учетом:
-запаздывания контактных усилий относительно перемещений;
- сдвига по фазе продольной составляющей силы резания относительно поперечной составляющей;
- нелинейной зависимости контактных сил относительно глубины и скорости резания;
- сил вязкого трения и податливости супорта;
- влияния изгиба резца на глубину резания.
5. Анализ автоколебаний механических систем при резании с учетом податливости обрабатываемой детали.
6. Составление пакета программ для решения задач на ЭВМ; разработка практических рекомендаций с целью исключения их ограничения автоколебаний фрикционных систем и систем типа суппорт резец обрабатываемая деталь.
Впервые автоколебания фрикционных и фрикционно-запаздывающих систем рассмотрены с позиций теории устойчивости. Возникновение автоколебаний трактуется как факт потери устойчивости равновесного состояния, а сами автоколебания - как до- или за критическое движение.
Предложен метод расчета критических параметров деформируемых вязкоупругих систем на основе совместного решения уравнений основного состояния и спектральной задачи для возмущенного движения.
Для определения амплитуд и частот до- или закритических режимов разработана модификация метода Ляпунова-Шмидта, предусматривающая исследование устойчивости этих режимов. Разработанная методика применена к качественно новым задачам об автоколебаниях фрикционных и фрикционно-запаздывающих систем . Выявлены количественные и качественные особенности автоколебательных режимов в зависимости от моделей вязкоупругих тел, "запаздывания" контактных усилий, степени демпфирования, податливости обрабатываемой детали, распределенности паршлетров.
Разработаны и реализованы на ЭВМ алгоритмы:
- нахождения областей неустойчивости равновесных состояний вязкоупругих нелинейных механических систем;
- определения частот и амплитуд периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний;
- исследования устойчивости автоколебательных режимов.
На основе расчетов по составленным программам могут быть установлены режимы работы и значения параметров систем, исключающие или ограничивающие амплитуды автоколебаний.
По результатам работы сделаны доклады на следующих конференциях:
Ш и ІУ-й научно-практических конференциях молодых ученых и специалистов HIM (1976, 1977 гг.);
ШТ-Ш. и ХХХШ-й научно-практических конференциях НИИ (I977-I98I, 1984 гг.);
Ут-й Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике (Ленинград, 1977 г.);
УІ-й тематической конференции "Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций" (Ленинград, 1983 год).
Содержание диссертации опубликовано в «девяти статьях [29], [41-48] . Результаты работы по автоколебаниям фрикционных механических систем внедрены в практику работы КБ Азовского оптико-механического завода.
Автор защищает;
1. Метод исследования автоколебаний фрикционных и фрикцион-но-запаздывающих систем, основанный на концепциях устойчивости, что позволяет предсказывать ситуации возбуждения автоколебаний, рассчитывать их характеристики и исследовать устойчивость.
2. Результаты исследования фрикционных и фрикционно-запаздывг ющих систем, касающиеся:
а) определения критических параметров;
б) расчета частот и амплитуд автоколебаний;
в) устойчивости автоколебательных режимов.
3. Рекомендации по выбору режимов работы и значений параметров систем, исключающих или ограничивающих автоколебания.
Краткое содержание диссертации по главам
Содержание работы отражено в шести главах.
В первой главе диссертации приведен анализ публикаций отечественных и зарубежных ученых, посвященных общим теоремам об устойчивости движения и методам исследования автоколебаний механических систем. Рассмотрены математические модели фрикционных систем, учитывающие зависимость сил трения от относительных скоростей контактирующих поверхностей. Описаны нелинейные зависимости сил резания при взаимодействии резца и обрабатываемой детали.
Изложены основные результаты, относящиеся к исследованиям автоколебаний систем с малым числом степеней свободы. Обоснованы актуальность работы и выбор метода исследований.
Во второй главе диссертации дана общая постановка задачи о движении нелинейного вязкоупругого тела при действии неконсервативных стационарных нагрузок. Равновесные (основные) состояния тела определяются в результате решения нелинейной краевой задачи. Уравнение движения тела относительно основного состояния представлено в операторной форме. Изложен метод нахождения критических значений параметров, определяемых при совместном решении краевой задачи основного состояния и спектральной задачи для линеаризованного оператора. Разработан алгоритм исследования автоколебаний тела при значениях параметров, близких к критическим. Алгоритм, основанный на модифицированном методе Ляпунова-Шмидта, включает в себя задачи о нахождении частот, амплитуд и исследовании устойчивости колебаний. На основе принципа возможных перемещений выполнено приведение задачи к конечномерной. Описан алгоритм исследования равновесных состояний и автоколебаний систем с конечным числом степеней свободы.
Приведены дифференциальные уравнения движения фрикционных систем с одной и двумя степенями свободы, нагруженных нелинейными силами трения. Получены выражения, определяющие равновесные состояния систем, критические значения параметров, частоты и амплитуды периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия.
В отличие от работ других авторов, учтены вязкоупругие свойства деформируемых связей и выполнено исследование устойчивости периодических режимов.
Выявлены количественные и качественные особенности поведения систем, соответствующих моделям Фойхта и стандартного вязко-упругого тела.
Четвертая глава посвящена исследованию фрикционных автоколебаний вязко-упругой системы с распределенными параметрами. Составлены дифференциальное уравнение и граничные условия задачи с учетом внутреннего и внешнего трения. Выведены уравнения и формулы, определяющие статическое состояние системы, критические параметры, амплитуды и поправки к частотам автоколебаний. Исследована устойчивость равновесных состояний и автоколебаний.
В _пя,той и шестой главах диссертации рассмотрены фрикционно-запаздываодие системы типа супорт-резец-обрабатываемая деталь, в частности, с учетом податливости обрабатываемой детали.
Получены дифференциальные уравнения движения деформируемых систем данного типа, учитывающие: запаздывание сил резания по отношению к перемещениям и друг к другу; нелинейные зависимости усилий от относительной скорости резания, толщины стружки и подачи. Найдены равновесные состояния и критические параметры систем. На основе метода Ляпунова-Шмидта определены амплитуды и поправки к частотам автоколебаний. Проведено исследование устойчивости периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия. Даны рекомендации по использованию результатов исследования при выборе параметров систем и режимов резания.
Приложения содержат блок-схемы и распечатки отлаженных программ исследования устойчивости и расчета амплитуд и частот автоколебательных режимов.
Расчет автоколебательных режимов методом Ляпунова-Шмидта
Все большее значение для повышения точности расчетов в машиностроении приобретает учет колебаний конструкций. Многочисленные аварии, связанные с увеличением фактических нагрузок вследствие возбуждения колебаний, неточности показаний приборов, неконтролируемые отклонения размеров деталей, обрабатываемых на металлорежущих станках, приводят к необходимости тщательного исследования возможных вибраций узлов машин. Одному из аспектов указанной проблемы-автоколебаниям деформируемых систем,- посвящена данная работа.
Автоколебательные системы представляют собой широкий класс колебательных систем с различными свойствами: автомобиль при включении сцепления в момент трогания; тормозные колодки при торможении; супорт при перемещении вдоль направляющих; система станок-инструмент-деталь при обработке резанием;.соприкасающиеся детали в измерительных и следящих устройствах; валы прокатных станов; валы,.вращающиеся в подшипниках скольжения; колонны бурильных станков; стержни, нагруженные следящими силами; прицепы автомобилей и самолеты с носовым колесом; крылья и панели обшивки самолетов и ракет, обтекаемые потоком воздуха; висячие мосты; лопатки высокоскоростных турбин; оболочки в потоке газов; механические часы; тепловые машины поршневого типа и многие другие механизмы и устройства. В подобных системах при определенных условиях могут возникать незатухающие колебания за счет источников энергии, колебательными свойствами не обладающими. Автоколебательные системы принято делить на следующие группы. а. Фрикционные системы [б, [57 6о], [і04], [ш], [і2б], [l29] , которые являются наиболее распространенными. Примерами могут служить фрикционные тормоза и муфты, коллекторные щетки электро двигателей и генераторов,фрикционные маятники, скрипичные музы кальные инструменты. К фрикционным в первом приближении могут быть отнесены [бз], [бі], [во], [9б], [l24 [l28J и автоколебательные си стемы резец-супорт-обрабатываемая деталь. Автоколебания в фрикционных системах обусловлены нелинейной зависимостью сил трения от скорости относительного движения контактирующих поверхностей [2-4], [82], [84J, [І02] . б. Механические квазилинейные системы с запаздыванием, ди намические процессы в которых описываются дифференциальными, ин тегральными и интегродифференциальными уравнениями с отклоняю щимся аргументом [40 [8б, [89], [lI9]. Так, возникновение автоколе баний при резании авторы [54], [72], [II2-II5J, [пэ] объясняют фактом запаздывания сил резания относительно друг друга и перемещений в деформируемой системе обрабатываемая деталь-резец. Другие авторы [зэ], [бЗ-6б], [утЦЇОЇ [і2б] объясняют автоколебательные процессы при резании нелинейной зависимостью сил резания от толщины сре заемой стружки. Наличие сдвига по фазе между силой резания и перемещением резца вызвано неоднозначностью изменения толщины срезаемого слоя при относительном движении инструмента и обрабатываемой детали. С учетом указанных факторов механические системы типа супорт станка-резец-обрабатываемая деталь могут быть отнесены к фрикци-онно-запаздывающим системам при нелинейной зависимости контакт 15 ных усилий от перемещений и относительной скорости, в. Механические системы, подверженные действию "следящих" нагрузок, направление которых изменяется в зависимости от кон фигурации системы [і% [іб], [3 [іОб), [lI6J, [11 [І23] , г. Аэроупругие системы. Важные задачи, связанные с обтека нием тел потоками газа, рассмотрены в работах [її], [і7-20], [94J, I05J . Достаточно хорошо к настоящему времени изучены явления флаттера крыла самолета, панельного флаттера, колебаний и поте ри устойчивости оболочек и висячих конструкций [вз], [92], [93,І04] в потоке газов, д. Автоколебательные колесные системы [б9-7і]. Общей чертой всех этих систем являются нелинейность и не-консервативяость, вследствие чего исследования устойчивости их равновесных состояний и, тем более, движений не могут быть выполнены методами Эйлера-Лагранжа или начальных несовершенств. Устойчивость автоколебательных систем должна быть исследована на основе "динамического" подхода - изучении их "возмущенных" движений и применений общих критериев А.М.Ляпунова [73), [74]. Способы решения задач об автоколебаниях и устойчивости неконсервативных деформируемых систем квалифицируем по следующим признакам: - методам аппроксимирования реальных тел различными моделями с конечным или бесконечным числом степеней свободы; - применению "точных" методов решения получаемых уравнений; - использованию приближенных (качественных, асимптотических) методов решения нелинейных дифференциальных уравнений. Остановимся более подробно на методах решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение неконсерватив 16 ных систем с конечным числом степеней свободы. Одним из наиболее распространенных точных методов является способ"точечного преобразования поверхностей" А.А.Андронова [7j. К точным методам тесно примыкают различные алгоритмы численного решения нелинейных уравнений. При нахождении равновесных состояний неконсервативных систем могут быть использованы методы [28, [зб] приведения нелинейных алгебраических уравнений к линейным дифференциальным уравнениям. Однако более широко в задачах об устойчивости и автоколебаниях применяют различные приближенные методы. . . Метод малого параметра разработан А.Дуанкаре и А.М.Ляпуновым, использован Л.И.Мандельштамом [7б] и развит А.А.Андроновым.
Определение равновесных состояний и критических параметров систем
Вопросу изучения изгибных колебаний резца посвящена работа Кривоухова В,А. и Воронова А,Л. [бі]. Резец аппроксимирован системой с одной степенью свободы (рис 1.7), масса резца сосредоточена в "вершине". Исследование выполнено на основе энергетического метода, с учетом сил вязкого трения /7?" , упругости Kt, и переменных сил резания /=р%+у% и трения =С7У-е и у где р , о , с , и - постоянные. Определены частота и амплитуда колебаний, а также условия устойчивости автоколебаний.
В книге [54J Кедрова C.G. рассмотрены задачи, связанные с исследованием устойчивости процесса резания в системах: резец, представленный системой с одной степенью свободы (рис. 1.8) и резец-деталь.(система с двумя степенями свободы, рис. 1.9). Предположено, что силы резания запаздывают по отношению к перемещениям и имеют вид (I.I9). На основе критерия Рауса-іУрвица найдены области устойчивости равновесных состояний в обеих системах. Амплитуды автоколебаний не определены.
Аналогичная задача для системы с одной степенью свободы представлена в lI9]. В работах Эльясберга М.Е. [II2-II5J изучена устойчивость процесса резания металлов. Для построения теории автоколебаний использованы закономерности, учитывающие пластические деформации обрабатываемого материала. Проведено обоснование и найдены оценки запаздывания сил резания по отношению к перемещениям резца и детали. Изучены плоские колебания резца, вызываемые силами резания / , и / (рис. 1.10), определяемые зависимостями (1.20). Для системы с двумя степенями свободы методом Л - разбиения найдены границы областей неустойчивости.
В диссертационной работе Акинфиевой Л.Ю. [і] рассмотрены автоколебания резца, моделируемого системой с тремя степенями свободы. Для сил резания принята достаточно общая зависимость, не учитывающая, однако, податливости детали и супорта, диссипа-тивные силы, а также запаздывание сил резания относительно перемещений. Выполнено исследование устойчивости установившегося режима резания (по методу Рауса-Гурвица) в зависимости от глубины резания. Влияние других параметров системы на устойчивость процесса резания не установлено. По методу Боголюбова-Митрополь-ского найдены амплитуды и частоты колебаний в первом приближении. Условия устойчивости автоколебаний не исследованы.
Анализ выполненных исследований фрикционных автоколебаний, автоколебаний при резании и методов решения соответствующих задач [9, 12, 13, 22, 68, 75, 88, 98, 103, 108, 120-122, 130-132] позволяет установить следующее. Автоколебательные системы при резании металлов и системы с сухим трением исследованы на моделях с одной, двумя и тремя степенями свободы. В опубликованных работах, как правило, не рассмотрены вопросы устойчивости автоколебательных режимов.. Не выполнена оценка точности результатов, полученных на основе аппроксимирования реальных деформируемых конструкций системами с малым числом степеней свободы. При исследовании автоколебательных систем при резании в отдельных работах учтены: запаздывание сил резания по отношению к перемещениям и друг к другу; нелинейные зависимости усилий от относительной скорости резания, толщины стружки и подачи. Однако совместное влияние всех факторов на процесс резания и качество обработки не исследовано. Остается открытым вопрос о влиянии вязкоупругих свойств деформируемых сред на границы областей устойчивости, на частоты и амплитуды автоколебаний и их устойчивость. Для решения задач, связанных с автоколебаниями при резании и сухом трении применены методы, которые не учитывают возможность ветвления решений нелинейных уравнений в окрестности критических параметров систем.единственность полученных решений, как правило, не доказывается. Метод Ляпунова-Шмидта, в отличие от других методов,предусматривает и позволяет: - определение равновесных состояний существенно нелинейных систем; - нахождение критических значений параметров на основе совместного решения краевой задачи статического состояния и спектральной.задачи линеаризованных уравнений возмущенного движения систем; - исследование периодических режимов, ответвляющихся от предельных состояний равновесия в окрестностях критических значений параметров (как до-, так и закритические колебания); - исследование устойчивости автоколебаний. Для постановки и решения задачи исследования автоколебаний в деформируемых системах используем уравнения механики вяз-коупругого твердого тела- [32] . Пусть тело занимает область V трехмерного евклидова пространства, ограниченную поверхностью S . Положение (конфигурацию) деформируемого тела в пространстве задаем радиусами-векторами его точек в любой момент времени. Рассматриваем три конфигурации тела: отсчетную V , в качестве которой выбираем конфигурацию недеформированного тела; основную V , соответствующую установившемуся процессу деформаций; возмущенную V , Радиусы-векторы точек в каждой из них обозначаем соответственно 7 , Z(0 7(0, причем Отображения (2.1) конфигурации V в V или V называем деформациями. Якобианы этих отображений в каждый момент времени считаем не вырожденными:
Определение равновесных состояний и критических значений параметров системы
Получены разрешающие уравнения, составлен и реализован на ЭВМ алгоритм нахождения критических значений параметров, частот и амплитуд автоколебаний фршщионных систем стержневого типа с распределенными параметрами.
Анализ выполненных расчетов автоколебаний вязкоупрутого стержня и аппроксимирующих его систем с одной и двумя степенями свободы показывает: а) частота автоколебаний в первом приближении Q0 практи чески не зависит от значений коэффициентов диссипации о ; б) при возрастании параметра "jj области неустойчивости равновесных состояний расширяются; в) области устойчивости равновесных состояний вязко упругого стержня и системы с двумя степенями свободы, идентич ных по частотам свободных колебаний основного тона, коэффици ентам диссипации и запасу устойчивости по Эйлеру; различаются несущественно (сравним области на рис. ЗЛ4 и 4.2). Различие в амплитудах в этом случае не превышает 15%; г) аппроксимирование автоколебательных деформируемых систем системами с одной степенью свободы приводит к неверным результатам при оценке устойчивости периодических режимов, от ветвляющихся от состояний равновесия (основных состояний), и поэтому недопустимо. 3. Для устранения автоколебаний скорость движения полосы должна превышать критическое значение ( \) / ) 4. В случае режимов работы фрикционной системы, соответствующим л)«= JKP , для ограничения амплитуды автоколебаний следует подбирать параметры системы (/ ,А/ ,1 , , J и/77) Рассматриваем задачи об автоколебаниях механических систем, особенностью ; которых является "запаздывание" контактных усилий по отношению к перемещениям. Подобные задачи актуальны для механических систем резец-супорт металлорежущих станков и исполнительных механизмов бурильных установок. Причины возникновения автоколебаний в указанных системах рассмотрены в работах [54, II2-II5, 128J. В настоящей главе диссертации решены задачи об автоколебаниях при обработке деталей большой жесткости с учетом: - нелинейных зависимостей между контактными силами и перемещениями, толщиной и относительной скоростью резания; - влияния изгибных деформаций резца и податливости супорта на толщину стружки; - распределения масс по длине резца. 5.1. Постановка задачи и основные уравнения Расчетная схема механической системы резец-супорт при резании представлена на рис. 5.1. Силы P(t) и Q(t) резания определяем соотношениями Здесь обозначено: Tp,ta - длительности запаздывания, определяемые форму лами р р где fp и PQ - постоянные "пути" запаздывания; кр и KQ - безразмерные коэффициенты, учитывающие влияние колебаний системы на относительные скорости резания и схода стружки. При /С= ка= О запаздывания Го и Т постоянны; при к =KQ 1 нелинейно зависят от скоростей относительного движения резца и детали; - коэффициент усадки стружки [і 12] ; К - удельное давление (кг/мм2) на резец при снятии стружки шириной = I мм и толщиной А = I мм; /W) - условный коэффициент трения, зависящий от относительной скорости точения: (5.3) где 0 ,0 - коэффициенты, определяемые на основе экспершлентов. Резец массой т аппроксимируем стержнем постоянного сечения с изгибной жесткостью J и погонной массой р ; супорт массой /fy считаем упруго подкрепленным пружиной с постоянной жесткостью Cj и испытывающим при движении влияние сил вязкого трения с коэффициентом диссипации h . Дифференциальные уравнения движения механической системы записываем в виде при следующих граничных условиях: \ії(0, )=0,Ф, 0, W"(L,t) 0, EJW lL,tyQW (L,ty-P. В уравнениях (5.4), (5.5) не учтены: деформации растяжения-сжатия; диссипация энергии, обусловленная изгибными колебаниями резца; влияние инерции поворотов Мчу,) и перемещений U(у71) поперечных сечений на изгибные деформации резца. С учетом перемещений системы толщину стружки A(t) определяем выражениями
Определение амплитуд и частот периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний
Приведем результаты исследований автоколебаний системы со следующими параметрами: т = 20 кг; —г- 7,0 кг/м; К = = 1,67 Ю3МПа; S = 0,75; Е = 2-Ю5 МПа; / = 6,75 НП8 м4; есть скорость резания, при которой достигается минимум условного коэффициента трения f . Значения/ , С. ,о ,36 в процессе вычислений варьируем. 5.5.1. На рис. 5.2-5.4 показаны верхние и низшие границы областей устойчивости равновесных состоянии в зависголости от ши рины резания при различных коэффициентах диссипации h (рис. 5.2) длине L резца (рис. 5.3) и жесткости Ct супорта (рис. 5.4). Волнистыми стрелками указаны "окрестности" значений L,tf , ко торым отвечают устойчивые, прямыми стрелками - неустойчивые (до и закритические) автоколебания. При возрастании значений L , , Cf области равновесных состояний сужаются, с увеличением параметра h расширяются. Частота автоколебании LO0 , найденная в первом приближении (рис. 5.5), близка к частоте свободных колебаний резца. 5.5.2. На рис. 5.6-5.8 представлены зависимости квадрата безразмерной амплитуды от параметров fi L,C} и h . Пунк тирные линии соответствуют автоколебаниям "в окрестностях" ниж них границ областей устойчивости, сплошные линии - верхних гра ниц. Из графиков рис. 5.6-5.8 следует, что амплитуды устойчивых автоколебании: - уменьшаются при возрастании параметров С. , L ; - могут достигать экстремумов при некоторых значениях ширины резания,- Увеличение коэффициента демпфирования h в не которых случаях оказывает дестабилизирующее влияние на ампли туды колебаний. На рис. 5.9-5.II представлены аналогичные графики поправок к частотам автоколебаний. Все вычисления выполнены на машине серии EC-I022 по программам, реализующим описанные в работе алгоритмы. Выводы 1. Составлены уравнения колебаний, равновесных состояний и движения:, возмущенного относительно равновесного положения, механических систем типа резец-супорт металлорежущих станков. Уравнения учитывают: - нелинейные зависимости сил резания от перемещений системы и относительных скоростей резания; - запаздывание сил резания по отношению к перемещениям и друг к другу; - распределение масс по длине резца; - диссипативные силы вязкого трения. 2. На основе метода Ляпунова-Шмидта получены разрешающие уравнения задач о нахождении критических значений параметров, амплитуд и частот автоколебаний, а также условия устойчивости (неустойчивости) равновесных состояний и периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия. 3. Составлен пакет программ, реализующих алгоритмы нахождения критических значений параметров, амплитуд и частот автоколебаний и исследования устойчивости системы на ЭВМ. 126 4. Выполнен анализ влияния различных параметров систем на области устойчивости равновесных состояний и устойчивости автоколебаний. Установлено, что в механических системах типа супорт-ре-зец: а) могут возникать как устойчивые, так и неустойчивые ав токолебательные режимы, причем равновесные (стационарные) режи мы резания становятся неустойчивыми; б) во всех случаях существует значение скорости резания , ниже которой равновесные состояния неустойчивы. Значение \), существенно зависит от параметров системы, но всегда превы шает Щ , при которой имеет местго минимум функции /=/(#), см. рис. 1.3; в) все докритические (0= --0 ,у=/,2) автоколебания явля ются устойчивыми; закритические колебания при =\ ,+0 могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Из сказанного следует, что ре жимы при = ,+ о2 недопустимы, а режимы при 0= -0 , \)= +02 нежелательны, так как в этих последних случаях состояния равно весия неустойчивы; г) при увеличении демпфирования области равновесных состо яний системы расширяются, а докритические(0=\)2 о2)колебания не возникают; д) при увеличении ширины резания области устойчивых равно весных состояний сужаются и при больших значениях ширины исчеза ют; е) частота автоколебаний практически не зависит от коэффи циента диссипации, близка к частоте собственных колебаний рез ца и уменьшается с увеличением его длины.
