Содержание к диссертации
Введение
Глава I Цели и задачи исследования
1. Обзор литературы 8
2. Цель работы 13
Глава II Методы решения задачи нелинейной осесимметричнои деформации тел вращения
3. Основные зависимости осесимметричной деформации тел вращения 14
4. Постановка задачи в перемещениях 23
5. Решение задачи методом конечных элементов 29
6. Тестовые задачи 42
Глава III Осесимметричная деформация цилиндрических амортизаторов и шарниров
7. Деформация резинометаллического шарнира 47
8. Сжатие с проскальзыванием цилиндрического слоя из материала Бартенева Хазановича 61
9. Осесимметричная деформация тонкого слоя
10. Осесимметричное сжатие цилиндрического лифтового амортизатора 67
Глава IV Осесимметричная деформация куполов вращения
11 Деформация купола как оболочки вращения 71
12. Сжатие незамкнутого в полюсе купола вращения сосредоточенной силой 76
13. Сжатие купола вращения внешним давлением 98
Заключение 103
Литература 105
- Постановка задачи в перемещениях
- Сжатие с проскальзыванием цилиндрического слоя из материала Бартенева Хазановича
- Осесимметричная деформация тонкого слоя
- Сжатие незамкнутого в полюсе купола вращения сосредоточенной силой
Введение к работе
За последние десятилетия в различных отраслях промышленности и в технике стали широко использоваться изделия из эластомеров, которые по своим физическим свойствам качественно отличаются от традиционных конструкционных материалов. Особенность эластомеров заключается в практической несжимаемости (модуль объемного сжатия составляет 102-10 МПа) и способности к большим упругим деформациям (до 1000 %), при которых закон Гука уже не описывает реальное поведение конструкций.
В связи с широким использованием резиновых изделий; в механике получили развитие новые, направления — нелинейная теория упругости, нелинейная теория оболочек, теория тонкого эластомерного слоя и теория слоистых резиноармированных конструкций. Однако число точных решений^нелинейных задач, имеющихся во всех опубликованных, работах по нелинейному поведению материалов и конструкций; крайне невелико, причем они относятся, к телам простейших геометрических форм при простейших граничных условиях.
Многие краевые задачи, поставленные в рамках упрощенных теорий, типа теории оболочек, решаются в настоящее время числешю. Зачастую проанализировать адекватность полученных решений аналитически невозможно. Поэтому в качестве эталона целесообразно взять численное решение, соответствующее более общей теории.
Настоящая работа посвящена решению ряда эталонных осесимметричных квазистатических задач теории упругости с учетом физической и геометрической нелинейности.: В работе:. получено несколько аналитических и численных решений проблем нелинейного деформирования, которые имеют непосредственное прикладное значение, а также могут быть использованы в качестве тестовых для различных численных методов; Построение решений осуществлено в рамках создаваемой совместно с К.Ф. Черныхом нелинейной теории осесиммет-ричной деформации тел вращения [117, 121]. Задачи, на которых апробируется теория, нашли широкое отражение в литературе. Среди них проблема продольного сдвига внутренней поверхности предварительно напряженного полого резинового цилиндра, закрепленного по внешней поверхности; В промышленности такое изделие называется предварительно поджатым резинометаллическим шарниром и служит амортизатором, работающим;на сдвиг. Также, в диссертации исследована задача сжатия цилиндрического тела (полого или сплошного), закрепленного или свободно скользящего по торцам. Как известно, такого рода изделия широко применяются на практике.
В настоящее время широко используются различные варианты нелинейной теории оболочек. Адекватность таких теорий > в рамках линейной: теории ; упругости практически невозможно оценить аналитически; если диаграмма нагружения имеет сильную нелинейность. В
4 этом случае предсказание критической нагрузки строится как задача устойчивости и дает крайне завышенные результаты. Также, из-за сложности задач, не представляется возможным сделать аналитическую оценку нелинейных теорий оболочек в рамках нелинейной теории упругости. Однако, известны некоторые специальные методы исследования закритиче-ского поведения в нелинейной теории оболочек, такие как геометрический А.В. Погорелова и асимптотический, который успешно использует П.Е. Товстик [4,92, 97,109]. Исследования адекватности численных решений нелинейной теории оболочек имеются лишь в единичных работах [174].
В диссертации проведено исследование решений существенно нелинейных проблем квазистатического сжатия непологих куполов вращения. Результаты, полученные по теориям оболочек типа Кирхгофа-Черныха и Тимошенкс—Рейсснера-Черныха, сравниваются с решениями, которые строятся по нелинейной теории упругости в вариационной постановке. Сочетание принципа возможных перемещений Лагранжа, метода конечных элементов и метода дискретного продолжения решения по сменному параметру позволяет моделировать сложное закритическое поведение оболочек вращения. Полученные таким образом оценки позволяют оценить пределы применимости нелинейных теорий оболочек. Эти результаты актуальны, так как выявляют преимущества и недостатки различных теории оболочек.
5 На защиту выносится:
аналитическое решение задачи о продольном сдвиге предварительно поджатого рези-неметаллического шарнира. Сравнение полученных результатов с авторским экспериментом и численным решением. Построение численного решения с использованием упругого потенциала, дающего наибольшее сходство с экспериментом;
исследование сжатия цилиндрического лифтового амортизатора. Построение численного решения для неогуковского материала и материала Бартенева-Хазановича, сравнение полученных результатов с авторским экспериментом;
аналитическое решение задачи об осевом сжатии цилиндрического слоя из материала Бартенева-Хазановича, а также тонкого слоя для редуцированного стандартного материала;
построение решения и; исследование нелинейного поведения при сжатии моделей сферического и эллипсоидального амортизаторов вращения из неогуковского материала с различными граничными условиями; установление пределов:применимости: нелинейных теорий оболочек для рассмотренных задач;
разработка и реализация алгоритма решения осесимметричнои задачи нелинейной теории упругости на основе вариационного принципа Лагранжа для сжимаемого и несжимаемого материала с помощью метода конечных элементов в сочетании с методом дискретного продолжения решения по сменному параметру.
Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:
Получены деформированные конфигурации и жесткостные характеристики нелинейного сдвига и сжатия моделей цилиндрических амортизаторов, геометрическая форма и граничные условия которых отвечают реальным образцам. Сравнение численного эксперимента для этих- моделей с натурным показывает хорошее совпадение результатов в достаточно большом диапазоне деформирования;
Исследованы осесимметричные задачи нелинейной теории; оболочек для куполов вращения в постановке теории упругости без привлечения оболочечных гипотез. Материал предполагался; несжимаемым, в: качестве функции энергии деформации рассматривался неогуковский потенциал. Сравнение результатов с решениями, полученными * по нелинейной теории оболочек показало допустимость использования этой теории на широком участке диаграммы "нагрузка-осадка". Хорошее совпадение результатов было выявлено даже для достаточно толстых оболочек.
Исследованы задачи осесимметричного сжатия эластомерного слоя для сжимаемого и несжимаемого материалов. Проведено сравнение с численными решениями. Полу-
ченные результаты подтверждают известные экспериментальные данные о нелинейном характере диаграммы "нагрузка - перемещение" даже при малых деформациях.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи и сопоставлением результатов с решениями тех же задач другими (численными или точными) методами. Для задачи о продольном сдвиге резинометаллического шарнира, о сжатии эла-стомерного слоя с проскальзыванием для материала Бартенева-Хазановича и без проскальзывания для редуцированного стандартного материала получены аналитические нелинейные решения. Сравнение численного решения с аналитическим в задаче о сжатии цилиндрического слоя с потенциалом Бартенева-Хазановича показывает совпадение результатов до 17 знаков при деформации до 80-90 %.
Кроме того, при получении каждого из решений достигалась внутренняя сходимость результатов, то есть совпадение 4-5 знаков в решениях, полученных при разбиении на конечные элементы, вдвое различающиеся по размерам, а также при увеличении числа гауссовых: точек интегрирования.
Отдельные результаты подтверждены проведенными экспериментами.
Практическая ценность. Полученные результаты имеют теоретическое и прикладное значение. Результаты расчетов могут быть использованы для предсказания поведения изделий из эластомеров при больших нагрузках и деформациях. Получигаые данные позволяют наметить, область допустимого применения различных приближенных теорий для соответствующих классов задач при варьировании материала, формы, размеров деформируемого тела и условий на его границах; Также, полученные аналитические решения можно использовать для проверки различных численных схем.
Программа RASCHET, реализующая алгоритм решения задачи; позволяет решать осе-симметричные нелинейные проблемы, деформирования тел вращения, достаточно произвольной геометрической формы, при различных граничных условиях; Характеристики материала могут быть заданы рядом упругих потенциалов, являющихся функцией главных инвариантов метрического тензора деформации.
Апробация работы. Содержание диссертационной работы было доложено по частямна XXXI—XXXIV научных конференциях "Прикладная математика и процессы.управления" СПбГУ (С.-Петербург, 2000,2001, 2002, 2003); на XII симпозиуме "Проблемы шин и резино-кордных композитов" (Москва, 2001); на конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" (Тула, 2002, 2003); на XX Международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред: Методы граничных и конечных: эле-
7 ментов" (С-Петєрбург, 2003), на межвузовской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов "Нелинейные математические модели механики и физики" (Сыктывкар, 2003).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях и тезисах [2,3, 59,103].
В первой главе представлен обзор публикаций по тематике данной работы, отражены цели и задачи исследований, проведенных в диссертации.
Во второй главе диссертации дана математическая постановка нелинейной осесиммет-ричной задачи теории упругости в комплексной форме, а также постановка на основе вариационного принципа Лагранжа. Описаны численные методы ее решения. Основными методами являются МКЭ и шаговый процесс продолжения решения по параметру нагружения в сочетании с итерационным методом Ньютона-Рафсона. Особое внимание уделяется решению задач в условиях несжимаемости материала. Приводятся результаты тестирования программы, реализующей указанные методы на задачах, имеющих аналитическое решение.
В третьей главе строятся аналитические решения задач об осевом сдвиге предварительно поджатого резинометадлического шарнира, о сжатии цилиндрического слоя без трения и о сжатии тонкого слоя без проскальзывания. С помощью разработанного алгоритма МКЭ исследуются задачи сжатия цилиндрических амортизаторов и шарниров из неогуковсхого материала и материала Бартепева-Хазаповича.. Проводится сравнение с линейной теорией: и экспериментальными данными.
В четвертой главе проводится сравнение полученных численных данных для задач деформирования куполов сферической и эллипсоидальной формы с результатами нелинейных теорий оболочек. Сравнение подтверждает правомерность использования указанных теорий оболочек при больших прогибах даже для достаточно толстых оболочек.
В заключении кратко сформулированы основные результаты работы. Сделаны выводы о сравнениях полученных в работе аналитических решений с численными и с результатами экспериментов.
Объем работы. Диссертационная работа: состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Она содержит i2q страниц машинописного текста, включая J_ таблиц и —2-Х- рисунков. Библиография насчитывает /о /наименований.
Постановка задачи в перемещениях
Геометрические соотношения. Для того чтобы построить численное решение задачи теории упругости на основе вариационного уравнения Лагранжа удобно записать все основные зависимости в терминах перемещений. Рассмотрим цилиндрическую систему координат а,=г, а2=в\ щ=х\. Пусть Щг,в,х }) — радиус-вектор материальной точки тела в деформированной, а R {r ,9 ,x\) — радиус-вектор этой же точки в недеформированной конфигурации, Rf=BR/da — основной координатный базис, R1-— отвечающий ему взаимный. Здесь и дальше ноликом снабжаются величины в недеформированной конфигурации тела. Основной и взаимный базисы связаны условиями: „f . fl если /=# , RRl =S ={ J \0, если іФj. Взаимные координатные векторы можно найти по формулам: Ri = J—-—, i j K Rl (RzxR1) (4.1) где индексы r, JYik изменяются циклически от 1 до 3. Компоненты метрического тензора определяются соотношениями gt=R,-Rt, « = , R! gs%p. (4.2) f Здесь и далее по повторяющимся греческим индексам производится суммирование от 1 до 3. Значения главных инвариантов тензора деформации Коши вычисляются по формулам ic = g" g«,, .nc= g /g , ,mc=g/g: (4.3) где через g и g обозначены определители g = 6etl{g9), g =det{gj}. Объем материального элемента равен dV = jgdalda2das, и для кратности изменения объема при деформировании тела имеем: Определим деформацию тела вектором перемещений. Так как предполагается, что тело деформируется осесимметрично, то перемещение является функцией только двух независимых переменных г и х3 и определяется своими радиальной и осевой компонентами: U = U(r ,x;) = uer.+vei.. Представим радиус-вектор точки в деформированной конфигурации как R = R + Ut (4.5) тогда, основной координатный базис можно определить через компоненты перемещений: Д, =«., J?,=(l+«;.)e.+v;. ., R\=r eff, R2=(r +u)e , я;= ., л,=и ег.+(М)е, где штрих означает частную производную по переменной, указанной в нижнем индексе. Взаимный координатный базис будет иметь вид: R"1 = ; = е.г Д = (1 + V.)V(i+M;.Xi+v; І; Ij,)-« У. R 2 і гл к-- 1Г г ,R2 і в- - V Vі- -v\e.+(l 1 (i+«;.xi+v;.)-»;./. С помощью полученных зависимостей из соотношений (4.3) и (4.2) выразим инварианты тензора Коши через координаты точки и компоненты вектора перемещений в этой точке: 1с=(1+и .)2+ы?+у? + (1+у .)г-»-(1 + н/г)г, iic=[(i+«;.)2+«;.J+v;.1+(i+v;.)2]a+M/r-)2+[(i+«;)(i+v )-«;;v;], (4.6) iirc=[(i+u;.)(i+v;.)-»;.v;.]2(i+M/r)2. Для кратности изменения объема из (4.4) получим /=7ш7=[(1+«;.)(1+у;.)-ы;у.](1+м/г ). (4.7) Аналогично для тензора кратностей удлинений с помощью (3.12) получим: i/t=J(2+«;.+v;.)I+(v;.-»;)2+(i+»/r)) ил =0+»;. +v. +н;у. -и )+(і+„/г-) (2+и; + )4( -н\)2, (4.8) III. = (1 + и/г")(1 + н . +v . +ы У. -и v .). 2. Вариационное уравнение Лаграижа. Рассмотрим вариацию вектора перемещения дії, под которой понимается произвольная гладкая малая функция, удовлетворяющая уело 25 вию: dV\ =0. Обозначив через 5Ф вариацию упругого потенциала, соответствующую BU, запишем вариационное начало Лагранжа в виде интегрального равенства: \{S0 pf-5UytV -\ jn- SUdS- = 0, (4.9) V s-r где: f—вектор массовых сил, т„—вектор напряжений на поверхности; 5 —поверхность, на которой заданы напряжения. Для записи этого уравнения в перемещениях воспользуемся равенством S0=d sl+dsll+M_sm (410) ді дй дШ где для инвариантов тензора деформации имеем r x\ г д5 здесь Г пробегает I, II, ПІ. Используя правило (4.11), выразим вариации главных инвариантов через вариации компонент вектора перемещевия и их производных по координатам г" я J%. С учетом (4.6) получим: « .)(! + иlr)8v\.
В случае наличия в теле массовых сил вектор / раскладывается на сумму двух составляющих по направлениям г и xj и скалярно умножается на вариацию вектора перемещения: f-5U = (fr.er. +./ .)(« . +vei.) = fr.Su + f8v. (4.15) Для вектора напряжений на поверхности ая разложение аналогично: cr-SU = o-.$u + cr.Sv. (4.16) Таким образом, зная зависимость упругого потенциала от главных инвариантов тензора деформации, массовые силы и вектор напряжений, заданный на поверхности S , можно с помощью выписанных соотношений (4.9)-(4.16) сформулировать задачу в терминах переме 27 щений. 3. Условие несжимаемости. Большинство нелинейных задач теории упругости возникает при исследовании деформации тел из резиноподобиых материалов, которые чаще всего считают несжимаемыми: dV = dV. Для таких материалов р %: К, где ,,«__, К = —, (4.17) 2(1 + к) 3(l-2v) Е - модуль Юнга, р. - коэффициент Пуассона. Условие несжимаемости можно записать как / = ШС = ШЛ=1 (4.18) Так как для несжимаемых материалов тензор напряжений не полностью определяется деформацией, в вариационном уравнении Лагранжа необходимо учесть произвольное гидростатическое давление р. Оно, будучи приложено к телу, изменяет в нем напряжения, но не влияет на деформацию. Для учета связи, накладьшаемой несжимаемостью, прологарифмируем условие (4.18) и добавим его вариацию в уравнение Лагранжа (4.9): к 3(Ф+ р\п Щ-р / Ж Г - J ая SUdSl = 0. (4.19) Такой вариант учета несжимаемости рассматривался в работах [93, 120]. Раскрывая пер вую вариацию, получим: US(&+-pWTl5YS)-pf-5u\iV + J—In mSpdJT - J a-„-SUdSl = 0. (4.20) 4. Граничные условия. Для окончательной постановки задачи в вариационной форме необходимо задать граничные условия так, чтобы их вид максимально удобно позволял решать уравнение (4,20), Примем за отсчетную конфигурацию положение тела при отсутствии в нем деформаций: и 0, v =0. (4.21) Граничные условия на поверхности рассматриваемого тела задаются в отсчетной конфигурации и могут быть сформулированы в следующих четырех формах: /. Граничные условия в напряжениях на поверхности 5 задаются вектором тп (4.16). Эти условия непосредственно учитываются в уравнении Лагранжа при вычислении поверхностного интеграла \ r„8UdS: (4.22) У. Граничные условия, заданные как сила Fn = Frer. + Fx,ex., действующая на поверхность SF и приложенная в некоторой ее точке. В этом случае в уравнении Лагран-жа (4.20) поверхностный интеграл (4.22) заменяется выражением F-SU = FrSu + F.ffv, где вектор U вычисляется в той же точке. Граничные условия, заданные в перемещениях уравнениями вида "Is- = " (Л з) v\s:=v\r,xl), (4-23) где и и v — функции, определенные на поверхностях S и SI. Из данных условий прямо вычисляются значения компонент вектора перемещений на соответствующих участках границы деформируемого тела. Граничные условия, заданные как функции координат и перемещений точек поверхности (г,х ) є iS: ф г. =0. (4.24)
Сжатие с проскальзыванием цилиндрического слоя из материала Бартенева Хазановича
В работе [103] описан эксперимент по сжатию цилиндрического лифтового амортизатора, проведенный совместно с А.И, Разовым. При этом А.И. Разов оказал существенную помощь, по настройке оборудования. Для эксперимента были использованы четыре цилиндрических лифтовых амортизатора, изготовленных из резины ИРП-1347 (ТУ 38005204-84), модуль сдвига приблизительно 2 кг/см2. Три изделия имеют внутренний диаметр 3.4 см, четвертое 4.4 см. Высота и наружный диаметр амортизаторов составляют 10 и 12.5 см соответственно. В нижней части имеется канавка треугольного сечения, внутренний диаметр которой составляет 10 см (рис. 13). К нижнему основанию амортизатора привулканизирована металлическая шайба. Условия сжатия амортизаторов на прессе такие же, как и при сдвиге резинометалли-ческого шарнира. Во время деформации на верхнем основании шарнира находился металлический диск того же диаметра, что и основание.
Скольжение резины относительно металла на верхнем основании во время деформации было минимальным, так что можно считать, что было реализовано сжатие без проскальзывания. Во время сжатия образец с внутренним диаметром 4.4 см разрушился, поэтому на диаграмме "нагрузка - перемещение" (рис. 14) представлены амортизаторы с внутренним диаметром 3.4 см. Как было установлено в ходе эксперимента, внутренний диаметр амортизатора увеличивается и внутренняя поверхность образует полость, которая затем схлопывается (рис. 15). Образование полости было получено и в ходе численного эксперимента при работе программы МКЭ одного из авторов, где исследовалось поведение модели амортизатора без треугольной канавки. Кроме того, можно отметить, что численное решение выявляет деплана-цию сечений полого цилиндра во всех его зонах. Таким образом, применение гипотезы плоских сечений для решения задач осевого сжатия достаточно высоких полых цилиндрических амортизаторов может привести к большой погрешности в результатах. Численный эксперимент дал хорошее совпадение результатов с экспериментом, проведенным на прессе. Это показало, что наличие канавки сильно не влияет на сопротивление сжатию. Ее присутствие связано с необходимостью снятия касательных напряжений с нижнего торца амортизатора, чтобы не вызывать отрыва металлической шайбы при его работе. На рис. 16 представлены экспериментальные и численные кривые. На рисунке использованы следующие обозначения: 1 -эксперимент, 2 - неогуковский потенциал, 3 - потенциал Бартенева-Хазановича. Построить решение численно удалось только до 40% относительного перемещения верхнего основания, т.к. затем сходимость ухудшается из-за выворачивания элементов на внешней границе. При построении кривых с использованием МКЭ применялась модель 20 на 50 конечных элементов. Расхождение результатов с экспериментом не превысило 10%. Одной из целей, заявленных в работе, является сравнительный анализ решений, получаемых по двум уточненным моделям нелинейной теории оболочек и по теории упругости. Для этого потребовалось построить программу для решения задач по теории оболочек, максимально совместимую по выдаваемым результатам с программой RASCHET.
Такая программа была написана на основе алгоритма, предложенного С. А. Кабрицем, за что автор выражает ему глубокую признательность. В основу алгоритма положены уравнения нелинейной теории оболочек моделей Кирхгофа—Черныха и Тимошенко — Рейсснера —Черныха. 1. Уравнения нелинейной теории оболочек. Запишем осесимметричный вариант уравнений нелинейной теории оболочек с учетом поперечного сдвига по модели Тимошенко -Рейсснера—Черныха. Данный вариант подробно представлен в работах [63,92]. Рассмотрим материальную точку оболочки в системе координат, нормально связанной с недеформировзнной средишюй поверхностью где сг1 и а2— криволинейные координаты, г — радиус-вектор точки поверхности. Тогда радиус-вектор произвольной точки оболочки можно представить в виде Здесь п — единичный вектор нормали к срединной поверхности до деформации, -расстояние от точки до срединной поверхности по нормали. Лицевые поверхности оболочки задаются уравнениями Принимая модифицированную К. Ф. Черныхом гипотезу Кирхгофа, запишем уравнение раудиуса-вектора точки деформированной оболочки
Осесимметричная деформация тонкого слоя
За последние десятилетия в различных отраслях промышленности и в технике стали широко использоваться изделия из эластомеров, которые по своим физическим свойствам качественно отличаются от традиционных конструкционных материалов. Особенность эластомеров заключается в практической несжимаемости (модуль объемного сжатия составляет 102-10 МПа) и способности к большим упругим деформациям (до 1000 %), при которых закон Гука уже не описывает реальное поведение конструкций. В связи с широким использованием резиновых изделий; в механике получили развитие новые, направления — нелинейная теория упругости, нелинейная теория оболочек, теория тонкого эластомерного слоя и теория слоистых резиноармированных конструкций. Однако число точных решений нелинейных задач, имеющихся во всех опубликованных, работах по нелинейному поведению материалов и конструкций; крайне невелико, причем они относятся, к телам простейших геометрических форм при простейших граничных условиях. Многие краевые задачи, поставленные в рамках упрощенных теорий, типа теории оболочек, решаются в настоящее время числешю. Зачастую проанализировать адекватность полученных решений аналитически невозможно. Поэтому в качестве эталона целесообразно взять численное решение, соответствующее более общей теории. Настоящая работа посвящена решению ряда эталонных осесимметричных квазистатических задач теории упругости с учетом физической и геометрической нелинейности.: В работе:. получено несколько аналитических и численных решений проблем нелинейного деформирования, которые имеют непосредственное прикладное значение, а также могут быть использованы в качестве тестовых для различных численных методов; Построение решений осуществлено в рамках создаваемой совместно с К.Ф. Черныхом нелинейной теории осесиммет-ричной деформации тел вращения [117, 121]. Задачи, на которых апробируется теория, нашли широкое отражение в литературе. Среди них проблема продольного сдвига внутренней поверхности предварительно напряженного полого резинового цилиндра, закрепленного по внешней поверхности;
В промышленности такое изделие называется предварительно поджатым резинометаллическим шарниром и служит амортизатором, работающим;на сдвиг. Также, в диссертации исследована задача сжатия цилиндрического тела (полого или сплошного), закрепленного или свободно скользящего по торцам. Как известно, такого рода изделия широко применяются на практике. В настоящее время широко используются различные варианты нелинейной теории оболочек. Адекватность таких теорий в рамках линейной: теории ; упругости практически невозможно оценить аналитически; если диаграмма нагружения имеет сильную нелинейность. В этом случае предсказание критической нагрузки строится как задача устойчивости и дает крайне завышенные результаты. Также, из-за сложности задач, не представляется возможным сделать аналитическую оценку нелинейных теорий оболочек в рамках нелинейной теории упругости. Однако, известны некоторые специальные методы исследования закритиче-ского поведения в нелинейной теории оболочек, такие как геометрический А.В. Погорелова и асимптотический, который успешно использует П.Е. Товстик [4,92, 97,109]. Исследования адекватности численных решений нелинейной теории оболочек имеются лишь в единичных работах [174]. В диссертации проведено исследование решений существенно нелинейных проблем квазистатического сжатия непологих куполов вращения. Результаты, полученные по теориям оболочек типа Кирхгофа-Черныха и Тимошенкс—Рейсснера-Черныха, сравниваются с решениями, которые строятся по нелинейной теории упругости в вариационной постановке. Сочетание принципа возможных перемещений Лагранжа, метода конечных элементов и метода дискретного продолжения решения по сменному параметру позволяет моделировать сложное закритическое поведение оболочек вращения. Полученные таким образом оценки позволяют оценить пределы применимости нелинейных теорий оболочек. Эти результаты актуальны, так как выявляют преимущества и недостатки различных теории оболочек. На защиту выносится: 1) аналитическое решение задачи о продольном сдвиге предварительно поджатого рези-неметаллического шарнира. Сравнение полученных результатов с авторским экспериментом и численным решением. Построение численного решения с использованием упругого потенциала, дающего наибольшее сходство с экспериментом; 2) исследование сжатия цилиндрического лифтового амортизатора. Построение численного решения для неогуковского материала и материала Бартенева-Хазановича, сравнение полученных результатов с авторским экспериментом; 3) аналитическое решение задачи об осевом сжатии цилиндрического слоя из материала Бартенева-Хазановича, а также тонкого слоя для редуцированного стандартного материала; 4) построение решения и; исследование нелинейного поведения при сжатии моделей сферического и эллипсоидального амортизаторов вращения из неогуковского материала с различными граничными условиями; установление пределов:применимости: нелинейных теорий оболочек для рассмотренных задач; 5) разработка и реализация алгоритма решения осесимметричнои задачи нелинейной теории упругости на основе вариационного принципа Лагранжа для сжимаемого и несжимаемого материала с помощью метода конечных элементов в сочетании с методом дискретного продолжения решения по сменному параметру. Научная новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем: 1. Получены деформированные конфигурации и жесткостные характеристики нелинейного сдвига и сжатия моделей цилиндрических амортизаторов, геометрическая форма и граничные условия которых отвечают реальным образцам. Сравнение численного эксперимента для этих- моделей с натурным показывает хорошее совпадение результатов в достаточно большом диапазоне деформирования; 2. Исследованы осесимметричные задачи нелинейной теории; оболочек для куполов вращения в постановке теории упругости без привлечения оболочечных гипотез. Материал предполагался; несжимаемым, в: качестве функции энергии деформации рассматривался неогуковский потенциал. Сравнение результатов с решениями, полученными по нелинейной теории оболочек показало допустимость использования этой теории на широком участке диаграммы "нагрузка-осадка". Хорошее совпадение результатов было выявлено даже для достаточно толстых оболочек. 3. Исследованы задачи осесимметричного сжатия эластомерного слоя для сжимаемого и несжимаемого материалов. Проведено сравнение с численными решениями. Полу
Сжатие незамкнутого в полюсе купола вращения сосредоточенной силой
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи и сопоставлением результатов с решениями тех же задач другими (численными или точными) методами. Для задачи о продольном сдвиге резинометаллического шарнира, о сжатии эла-стомерного слоя с проскальзыванием для материала Бартенева-Хазановича и без проскальзывания для редуцированного стандартного материала получены аналитические нелинейные решения. Сравнение численного решения с аналитическим в задаче о сжатии цилиндрического слоя с потенциалом Бартенева-Хазановича показывает совпадение результатов до 17 знаков при деформации до 80-90 %. Кроме того, при получении каждого из решений достигалась внутренняя сходимость результатов, то есть совпадение 4-5 знаков в решениях, полученных при разбиении на конечные элементы, вдвое различающиеся по размерам, а также при увеличении числа гауссовых: точек интегрирования. Отдельные результаты подтверждены проведенными экспериментами. Практическая ценность. Полученные результаты имеют теоретическое и прикладное значение. Результаты расчетов могут быть использованы для предсказания поведения изделий из эластомеров при больших нагрузках и деформациях. Получигаые данные позволяют наметить, область допустимого применения различных приближенных теорий для соответствующих классов задач при варьировании материала, формы, размеров деформируемого тела и условий на его границах; Также, полученные аналитические решения можно использовать для проверки различных численных схем. Программа RASCHET, реализующая алгоритм решения задачи; позволяет решать осе-симметричные нелинейные проблемы, деформирования тел вращения, достаточно произвольной геометрической формы, при различных граничных условиях; Характеристики материала могут быть заданы рядом упругих потенциалов, являющихся функцией главных инвариантов метрического тензора деформации. Апробация работы. Содержание диссертационной работы было доложено по частямна XXXI—XXXIV научных конференциях "Прикладная математика и процессы.управления" СПбГУ (С.-Петербург, 2000,2001, 2002, 2003); на XII симпозиуме "Проблемы шин и резино-кордных композитов" (Москва, 2001); на конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" (Тула, 2002, 2003); на XX Международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред: Методы граничных и конечных: эле ментов" (С-Петєрбург, 2003), на межвузовской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов "Нелинейные математические модели механики и физики" (Сыктывкар, 2003).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях и тезисах [2,3, 59,103]. В первой главе представлен обзор публикаций по тематике данной работы, отражены цели и задачи исследований, проведенных в диссертации. Во второй главе диссертации дана математическая постановка нелинейной осесиммет-ричной задачи теории упругости в комплексной форме, а также постановка на основе вариационного принципа Лагранжа. Описаны численные методы ее решения. Основными методами являются МКЭ и шаговый процесс продолжения решения по параметру нагружения в сочетании с итерационным методом Ньютона-Рафсона. Особое внимание уделяется решению задач в условиях несжимаемости материала. Приводятся результаты тестирования программы, реализующей указанные методы на задачах, имеющих аналитическое решение. В третьей главе строятся аналитические решения задач об осевом сдвиге предварительно поджатого резинометадлического шарнира, о сжатии цилиндрического слоя без трения и о сжатии тонкого слоя без проскальзывания. С помощью разработанного алгоритма МКЭ исследуются задачи сжатия цилиндрических амортизаторов и шарниров из неогуковсхого материала и материала Бартепева-Хазаповича.. Проводится сравнение с линейной теорией: и экспериментальными данными. В четвертой главе проводится сравнение полученных численных данных для задач деформирования куполов сферической и эллипсоидальной формы с результатами нелинейных теорий оболочек. Сравнение подтверждает правомерность использования указанных теорий оболочек при больших прогибах даже для достаточно толстых оболочек. В заключении кратко сформулированы основные результаты работы. Сделаны выводы о сравнениях полученных в работе аналитических решений с численными и с результатами экспериментов. Объем работы. Диссертационная работа: состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Она содержит I2Q страниц машинописного текста, включая J_ таблиц и —2-Х- рисунков. Библиография насчитывает /о /наименований. Для получения аналитических решений нелинейных краевых задач требуется четкая и обозримая теория. Такая теория развивалась постепенно и, со временем, в рамках различных научных школ появились собственные варианты. По-видимому, первой обобщающей работой по нелинейной теории упругости в нашей стране явилась монография В.В. Новожилова[91]. За рубежом такой работой стала книга А. Грина и Зерны [148].
Дальнейшее развитие нелинейная теория упругости получила в работах [46,73,77, 78, 83,95,96], 147]. Одним из первых, кто использовал комплексные координаты для получения решений нелинейных задач, был Л.А. Толоконииков [ 114]. Обобщить же такую теорию и придать ей строгий и. удобный для использования вид удалось К.Ф. Черныху [117, 120, 121]. С использованием данной теории было получено достаточно большое количество точных решений нелинейных задач [117, 118, 120, 107], В своих работах комплексными координатами также широко пользуется ВД. Бопдарь [24]. Задачи продольного сдвига полого цилиндра, или резинометаллического шарнира заинтересовали исследователей еще в первой половине двадцатого века [172]. Тогда подход к проблеме был линейным. Вместе с тем изучался и радиальный сдвиг [20]. В работе [120] в рамках предположений обобщенной антиплоской деформации было найдено напряженно-деформированное состояние резинометаллического шарнира.
