Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Постановка задачи процесса формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита 17
1.1. Физическая постановка задачи 17
1.2. Математическая постановка задачи 29
1.2.1. Тепловая задача 30
1.2.2. Деформационная задача 35
ГЛАВА 2. Разработка метода решения задачи процесса формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита 45
2.1. Численный метод решения температурной задачи 45
2.2. Физическая дискретизация деформационной задачи 53
2.3. Метод решения деформационной задачи 62
ГЛАВА 3. Сопоставление дискретной модели сферической оболочки с точным решением теории упругости 71
ГЛАВА 4. Обработка результатов математического моделирования процесса остывания трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита 85
4.1. Первый этап температурной задачи 87
4.2. Второй этап температурной задачи 93
4.3. Третий этап температурной задачи 99
4.4. Деформационная задача 109
Заключение 116
Литература
- Математическая постановка задачи
- Физическая дискретизация деформационной задачи
- Второй этап температурной задачи
- Деформационная задача
Введение к работе
Способы изготовления новых композиционных материалов и построение математических моделей, позволяющих исследовать напряженно-деформированное состояние в процессе изготовления изделий из композиционных материалов, остаются актуальными задачами механики деформируемого твердого тела.
На современном этапе исследований проведенных в области материаловедения показано что стекло, и стеклокерамика по показателям удельной прочности на сжатие намного превосходят такие конструкционные металлы, как сталь, алюминиевые и титановые сплавы. Теоретическая прочность стекла по данным В.П.Пух [90],а также СИ. Сильвестровича [97] составляет от 10000 МПа до 25000 МПа. Высокая природная прочность практических стекол в отсутствии дефектов структуры подтверждена экспериментально^, 46].
Однако известным и подтвержденным литературой фактом является и то, что эксплуатационная прочность стекла характеризуется величиной от 20 до 100 МПа, что составляет менее 1% от природной прочности стекла [11]. В первую очередь это связанно с элементарными процессами, происходящими в объеме и на поверхности практических стекол: развитием микронеоднородных областей и фазового разделения, проявлением термомеханических последействий процесса формирования, термическим разуплотнением поверхности, ростом локальных напряжений на границах микрообластей и неуравновешенными теплофизическими свойствами, образованием на поверхности активных центров абсорбции, а также возникновение гидролитических и механических повреждений [11, 18, 90, 99].
Совокупность указанных явлений приводит к зарождению и развитию в структуре стекла, особенно на поверхности разного рода ра-зупрочняющих дефектов, среди которых наиболее типичными и опасными считаются микротрещины - очаги хрупкого разрушения [12, 56, 97].
Существенное повышение практической прочности является ключевой проблемой на пути использования стекла и стеклокерамики в конструкциях ответственного назначения. Исследования по этой проблеме проводились многими учеными, в том числе, такими как В.П. Пух, В.А. Бернштейн, Г.С. Пугачев, Л. Г. Байкова, Ф. Ф. Витман, Л. Г. Копчекчи, Л.А. Шитова. Основную роль в упрочнении изделий из стекла играет устранение поверхностных микротрещин. На современном этапе исследований это достигается нанесением различных защитных органических и неорганических покрытий, путем напыления или обработки растворами. Механизм упрочняющего действия защитных покрытий различного химического состава проявляется по-разному. Например, неорганические покрытия придают стеклу повышенную микротвердость и абразивоустойчивость, не слишком высокую гидрофобность и низкую протекторную защиту.
В.В. Пикулем предложен принципиально новый способ решения выше указанной проблемы [76, 81, 82]. Стеклометаллокомпозит состоит из внутреннего стеклянного слоя и наружных металлических обшивок. Сущность способа изготовления стеклометаллокомпозита заключается в том, что в пространство, ограниченное металлическими обшивками, заливают расплавленную стекломассу, которая при остывании надежно соединяется с обшивками и обжимается за счет разницы в коэффициентах температурного расширения слоев. Обжатие стеклянного слоя препятствует образованию поверхностных микроде- фектов, что ведет к резкому повышению статической и динамической прочности стеклянного слоя и всего композита в целом. Регулируя степень обжатия стеклянного слоя в процессе изготовления можно создавать композиционный материал со специфическими механическими свойствами. При высоком уровне обжатия стеклометаллоком-позит приобретает идеальные свойства для работы в условиях сжатия, а при низком уровне обжатия способен успешно работать не только на сжатие, но и в условиях изгиба и растяжения. Формирование композиционного материала производится при условии, что коэффициенты температурного расширения металлических обшивок превышают соответствующий коэффициент стеклянного слоя на величину, которая определяется условиями эксплуатации готового изделия.
При создании способа изготовления нового материала использо валась способность стекла надежно соединяться с металлами при оп ределенном уровне температур стекла и металла. Спаивание зависит от температуры металлических обшивок и расплава, времени выдерж ки, давления, состава стекла и металла. Зависимость прилипания стек ла и металла от температуры материалов и геометрии поверхности ме талла исследована в работах [2, 107]. Данные об изменении неко торых свойств стекла в зависимости от скорости нагрева, методики расчета плотности стекол в зависимости от температуры приведены в работах [51, 72].
При анализе, проведенном в работах [33, 76, 87, 116], было установлено, что по показателям прочности и жесткости стеклометалло-композит в 1,5-2 раза превосходит высокопрочные титановые сплавы. Из него можно изготавливать крупногабаритные конструкции различного назначения: глубоководные аппараты, резервуары для захоронения радиоактивных отходов, корпуса летательных аппаратов и ракет, конструкции космической техники, трубы, нефте и газопроводы. Показана так же и экономическая эффективность применения стекломе-таллокомпозита в глубоководной технике. . В процессе изготовления стеклометаллокомпозита деформации и остаточные напряжения, вызванные остыванием композита, могут привести к разрушению изделия. Поэтому возникает необходимость в исследовании напряженно-деформируемого состояния оболочки из стеклометаллокомпозита в процессе его изготовления, и соответственно в построении математической модели, в рамках которой возможно это исследование.
В качестве объекта исследования выбрана полусферическая оболочка, вследствие повышенной прочности и жесткости полусферические оболочки находят широкое применение в технике, например, в виде оконечностей прочных корпусов глубоководных аппаратов, днищ резервуаров и т.п.
Появление и широкое внедрение в различные отрасли техники композитных материалов слоистой и волокнистой структуры вызвало необходимость в разработке новых методов расчета и проектирования оболочечных тел и конструкций, изготовляемых из этих материалов. Классическая теория, которая использовалась в прикладных методах расчета тонкостенных конструкций, не способна удовлетворительно описать напряженно-деформированное состояние композитных оболочек. За последние 50 лет предложено огромное количество различных вариантов теории трехслойных и многослойных оболочек. В работе [57] выполнен обширный обзор работ по расчету трехслойных пластин и оболочек.
В принципе любую задачу механики оболочек можно решать в трехмерной постановке, которая является более точной в сравнении с двумерной постановкой теории оболочек. Однако реализовать на практике эту возможность в требуемом объеме не удается вследствие чрезмерной сложности решения трехмерных задач. Согласно проведенным в работе [70] оценкам трудоемкости решения краевых задач, повышение размерности задачи на единицу увеличивает трудоемкость решения в 1000 раз. Многие задачи в точной постановке остаются практически неразрешимыми.
Специфические закономерности деформирования оболочечных тел являются физической предпосылкой к построению теории оболочек. Известно, что для обычных однослойных пластин и оболочек трехмерная задача теории упругости сводится к двумерной в результате введения допущений о характере распределений деформаций по толщине. Такими допущениями являются положение о сохранении прямыми нормалей к срединной поверхности и пренебрежение нормальными напряжениями, направленными перпендикулярно этой поверхности (гипотеза Кирхгофа-Лява). К каждому из наружных слоев трехслойной оболочки можно применить эти положения.
Иначе обстоит дело с внутренним слоем. Гипотеза о прямых нормалях к внутреннему слою из маложесткого материала, вообще говоря, неприменима. При исследовании общей деформации должно учитываться влияние на прогибы деформаций сдвига заполнителя.
В трехслойной конструкции имеют место также деформации растяжения (сжатия) заполнителя в поперечном направлении, которыми не всегда можно пренебрегать. Эти деформации обуславливают специфические для трехслойной конструкции местные деформации внешних слоев. Кроме того, нельзя забывать о необходимости учета самоуравновешенных сил. Об этой особенности деформирования неоднородных оболочек обычно упоминается вскользь, однако она за- служивает большего внимания. В этом можно убедиться, обратившись к статье [42], в которой показано, что зона затухания самоуравновешивающих составляющих краевых сил в слоистых оболочках в несколько раз превышает зону затухания в однородных оболочках, а при некоторых соотношениях упругих свойств и размеров оболочки влияние этого силового фактора распространяется на всю оболочку в целом. По мере увеличения числа слоев и сближения их упругих свойств влияние самоуравновешенных сил уменьшается. Это обстоятельство позволяет использовать для расчета определенного класса композитных оболочек сдвиговую теорию оболочек [13, 22„ 73, 75].
Самоуравновешенные силы оказывают существенное влияние на слоистые пластины и оболочки с небольшим числом слоев, упругие свойства которых имеют значительные различия. Применительно к трехслойным конструкциям с легким заполнителем принцип Сен-Венана не выполняется вследствие чего необходимо учитывать самоуравновешивающие составляющие краевых сил.
В связи с необходимостью учета деформаций сдвига и поперечных деформаций заполнителя решение уравнений для среднего слоя усложняется. Здесь приходится в зависимости от параметров конструкции и нагрузок прибегать к различным допущениям. Вопросам расчета трехслойных конструкций посвящено несколько тысяч публикаций. Основные подходы к построению трехслойных пластин и оболочек определились к 60-м годам 20-го века, и нашли свое отражение в обзоре [57].
В случае, когда слой заполнителя имеет весьма незначительную жесткость в направлении параллельном внешним слоям, эффективен метод, сущность которого заключается в том, что в заполнителе пренебрегают нормальными и касательными напряжениями, направлен- ными параллельно внешним слоям. Такая расчетная схема, основанная на пренебрежении продольно направленными напряжениями в заполнителе, была предложена для трехслойных стержней А.Л. Рабиновичем [91] , а для трехслойных пластин Рейсснером [115] . Она естественным образом распространяется на трехслойные оболочки. Получающаяся при этом система уравнений не распадается на две независимые системы, как это имело место для трехслойных пластин. При потере устойчивости трехслойной оболочки имеют место две формы, одна из которых обусловлена в основном искривлением срединной поверхности оболочки, а другая - деформациями внешних слоев.
При указанных выше допущениях с учетом поперечной деформации заполнителя и изгибной жесткости внешних слоев уравнения для конечных смещений трехслойной цилиндрической оболочки с легким заполнителем получены в работе [58]. В этой же работе при дополнительном допущении о недеформируемости заполнителя в поперечном направлении, с помощью введения в систему нелинейных уравнений двух вспомогательных функций, получены уравнения для трехслойной цилиндрической оболочки. Недостаток описанного метода состоит в том, что он не позволяет учесть в заполнителе напряжения, направленные параллельно внешним слоям.
Для расчета трехслойных пластин при пренебрежении поперечными деформациями заполнителя часто пользуются приближенным методом, позволяющим учесть работу среднего слоя на продольные силы и моменты. В этом методе трехслойная пластина рассматривается как обычная однородная пластина. Специфика трехслойной конструкции учитывается тем, что в соотношениях между кривизнами и кручением, с одной стороны, и моментами и перерезывающими силами с другой (моменты и перерезывающие силы относятся ко всему се- чению пластины) учитывается влияние деформаций поперечного сдвига заполнителя на прогибы.
Такая система уравнений для трехслойных пластин с ортотроп-ным заполнителем была получена в работе Лайбева и Батдорфа [112]. Однако в полученной ими системе не учтена изгибная жесткость внешних слоев. Здесь по существу к внешним слоям не применяется гипотеза Кирхгофа-Лява. При использовании уравнений из работы [112] возникает необходимость определения жесткостей изгиба, кручения и сдвига, а также коэффициентов Пуассона, относящихся ко всему сечению пластины. Для этого рекомендуется использовать экспериментальный путь установления зависимостей между моментами и кривизнами, перерезывающими силами и сдвигами. Вопрос о теоретическом определении этих параметров здесь оставляется открытым. Очевидно, что для расчетного определения этих жесткостей необходимо сделать некоторые предположения о характере распределения напряжений или смещений по толщине трехслойной пластины.
В случае легких заполнителей можно считать, что в среднем слое имеют место только равномерно распределенные по его высоте напряжения сдвига, а продольные силы и моменты воспринимаются лишь внешними слоями, в которых напряжения также равномерно распределены по толщине. Имеются ряд работ, где полученные таким образом уравнения используются при решении задач устойчивости трехслойных пластин с легким заполнителем [116, 117].
Обобщение уравнений работы [112] на трехслойные цилиндрические оболочки провели Штейн и Майерс в работе [118]. Трехслойная оболочка рассматривается здесь как цельная, но с учетом деформаций сдвига заполнителя. Получены статическим путем уравнения изгиба и устойчивости такой оболочки с ортотропным заполнителем. В уравне- ния входят жесткостные характеристики сечения оболочки, об определении которых можно повторить все выше сказанное относительно уравнений трехслойной пластины. В работе [118] записаны, в частности, уравнения для случая, когда легкий изотропный заполнитель работает только на сдвиг, а внешние слои - на продольные силы и моменты, причем напряжения в них распределены равномерно.
При исследовании общих деформаций трехслойной конструкции на основе представления о трехслойной пластине или оболочке как цельной, но с учетом деформаций сдвига заполнителя [112, 118], не учитывается изгибная жесткость внешних слоев. Учет изгибной жесткости внешних слоев может иметь существенное значение, если заполнитель очень слабо сопротивляется сдвигу. В этой схеме по существу не выполняется для внешних слоев положение о прямых нормалях. При определении жесткости здесь либо полагают изгибную жесткость равной нулю, либо задают смещения линейным образом по всей толщине трехслойной конструкции.
Еще один из способов определения напряженного состояния в трехслойных оболочках, предлагает записать уравнения трехслойной пластины, задавая линейный закон смещений только по толщине заполнителя, а к внешним слоям применить гипотезу Кирхгофа-Лява. При этом прямые линии в заполнителе, перпендикулярные к его срединной поверхности, остаются прямыми и в процессе деформации, но вследствие сдвига перпендикулярность нарушается. Нормаль, проведенная через все три слоя, в процессе деформации становится ломанной. Это положение можно назвать гипотезой прямых линий для заполнителя [57]. Такая схема позволяет учесть как деформации сдвига заполнителя, так и его работу на продольные силы, и моменты, а также изгибную жесткость внешних слоев. Из приближенных схем эта схема является, по-видимому, наиболее общей, можно приближенно v учесть и поперечные деформации заполнителя. В качестве частных случаев из уравнений, полученных этим путем, можно получить уравнения для легких заполнителей и уравнения для жестких заполнителей. Гипотеза прямых линий для заполнителя использовалась Ван дер Нейтом [113], которым решены задачи устойчивости свободно опертой пластины при одностороннем и двустороннем сжатии, а также в работах [39, 59]. Большинство известных результатов по расчету и испытаниям трехслойных пластин и оболочек на прочность и устой-^ї чивость включено в сборник [І]. В работе [1] доказана возможность использования гипотезы ломаной линии для широкого класса задач трехслойных и многослойных оболочечных тел. Однако при этом не удается учесть самоуравновешенность внутренних сил по толщине пакета слоев слоистой оболочки.
В результате дискуссии по классической теории пластин [3, 23, 29,34, 35, 36, 37, 43, 45] были затронуты вопросы о физической состоятельности соотношений упругости и гипотез классической теории оболочек и пластин. Было показано, что введение обобщенной попе-ф: речной силы Кирхгофа приводит краевые условия в соответствие с би-гармоническим уравнением теории пластин, но это достигается за счет введения допущений в уравнения равновесия на краевых поверхностях пластин. Погрешность использования классической теории для расчета пластин и оболочек из реального материала определяется мерой близости реального и абстрактного материалов и погрешностью преобразования краевых условий, связанной с введением обобщенной поперечной силы Кирхгофа. Первая оценка погрешности классической теории произведена В. В. Новожиловым и P.M. Финкельштейн /Ас [74], она основана на геометрических особенностях оболочки. Х.М.
Муштари и КЗ. Галимов [71] получили оценку, исходя из физических соображений. Оценка А.А. Гольденвейзера [38] получена методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости и в отличие от оценки [74] учитывает изменяемость напряженного состояния в оболочке.
Понятно, что при построении теории упругих оболочек приходится довольствоваться приближенными решениями, поскольку точное приведение трехмерных уравнений теории упругости к конечной системе двумерных уравнений невозможно в принципе. Определяющей характеристикой оболочки является относительная малость толщины в сравнении с ее тангенциальными размерами. Вследствие этого сопротивление материала оболочки в поперечных направлениях существенно слабее, чем в тангенциальных. Обобщенный закон Гука этого не учитывает [29, 35]. Более того, при построении теории оболочек в уравнения, связывающие поперечные компоненты тензора деформаций с компонентами тензора напряжений, следует вносить изменения, способные учесть повышенную податливость в поперечных направлениях. В результате приходим к выводу, что поперечные деформации слабо влияют на напряженное состояние оболочек; математическая модель упругого материала, учитывающая особенности деформирования в составе оболочки, может быть построена путем введения соответствующих изменений в те уравнения закона Гука, которые связывают поперечные компоненты тензора деформаций с компонентами тензора напряжений. [77],
Актуальность разработки метода решения трехмерных уравнений механики деформированного твердого тела, который позволит одновременно понизить размерность задачи и учесть самоуравновешенность внутренних сил и остаточные напряжения по толщине оболочки, в про- цессе изготовления стеклометаллокомпозита, и определила цели настоящего исследования. В.В.Пикулем предложен метод физической дискретизации трехмерных уравнений механики деформированного твердого тела с применением гипотез теории оболочек, который позволяет определить самоуравновешенность внутренних сил по толщине оболочки. В основу метода физической дискретизации трехмерных уравнений механики деформированного твердого тела положены известные факты: асимптотическая природа классической теории оболочек, построенной на базе гипотез Кирхгофа-Лява; достаточная для практики точность определения тангенциальных напряжений и перемещений срединной поверхности оболочки при использовании классической теории и теории типа Тимошенко; - возможность точного удовлетворения силовых и геометрических краевых условий в каждой точке лицевой поверхности оболочки.
В настоящей работе на базе метода указанного выше предлагается принципиально новая математическая модель, в рамках которой ч%- возможно описать процесс формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита.
Целью настоящей работы является исследование напряженно деформированного состояния и температурного режима в процессе формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита, а также разработка метода определения деформационных и температурных полей в процессе формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита.
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Первая глава работы посвящена математическому моделированию процесса формирования трехслойной оболочки из стеклометаллоком-позита. В первом параграфе представлена физическая постановка задачи, с учетом проведенного обзора литературы и некоторых специфических свойств стекла. Во втором параграфе первой главы непосредственно записываются соотношения представляющие математическую модель процесса формирования композиционного материала состоящую фактически из двух задач тепловой и деформационной.
Вторая глава настоящей работы содержит методы решения теп ловой и деформационной задач сформулированных в первой главе. В первом параграфе приведено описание метода решения многомерной нелинейной температурной задачи. Предложен устойчивый и эконо мичный алгоритм решения задачи по определению температурно- временного режима остывания трехслойной полусферической оболоч ки из стеклометаллокомпозита. Во втором параграфе для реше ния деформационной задачи используется метод физической дискре тизации. Вывод уравнений оболочек- слоев производится из трехмер ных уравнений механики деформируемого твердого тела на базе гипо тез Кирхгофа-Лява, применительно к металлическим обшивкам, и ги потез Тимошенко, применительно к стеклянному слою. Данный метод позволяет внести коррективы в модель материала и тем самым учесть особенности его деформирования в составе оболочки.
В третьем параграфе второй главы изложен метод решения де-ормационной задачи, который предполагает использование численого метода ортогональной прогонки С.К. Годунова обеспечивающего тойчивый вычислительный процесс, а также эффективность и высо- ю точность.
В третьей главе рассмотрена дискретная модель расчета напряженного состояния трехслойной сферической оболочки в зоне упругих деформаций. Представлен численный расчет, исследующий влияние относительной толщины оболочки на разницу результатов, полученных при реализации предложенного метода и аналитического решения теории упругости для шарового слоя.
В главе четвертой настоящей работы приведены результаты вычислительных расчетов проведенных на базе алгоритмов разработанных во второй главе. В качестве материала, рассматриваемого объекта исследований, принят стеклометаллокомпозит, с обшивками из высокопрочной свариваемой стали НУ-230, стеклозаполнителем композита принято техническое стекло типа ВВ.
Математическая постановка задачи
Установлено, что при фиксированной структуре процесс релаксации характеризуется сравнительно небольшими временами релаксации и энергией активации и этот процесс главным образом отвечает за релаксацию напряжений в стекле в интервале стеклования. При вязкости стекломассы, превышающей 1017- 1018 пуаз, время релаксации становится настолько большим, что при решении практических задач структуру стекла можно считать стабильной, не изменяющейся во времени [13, 98]. В качестве примера можно привести рис. 5 из работы [13] на котором изображена кривая релаксации напряжений в листовом стекле при температурах близких к температуре стеклования. Релаксация напряжения листового стекла выше Tg контролируется вязким течением, протекающим в условиях непрерывного изменения равновесной структуры с температурой. Время этой структурной релаксации резко увеличивается при относительно низких температурах и находится за пределами наблюдения [13].
Важным обстоятельством, которое мы используем в нашей работе, является тот факт, что релаксационный процесс, ответственный за вязкое течение имеет малый вклад, а вклад релаксационного процесса при фиксированной температуре и структуре составляет около 70% от начального напряжения, т.е. основной спад напряжений в области температур близких к Т относится именно к этому процессу. Времена релаксации при изотермической выдержке для большинства стекол лежат в интервале 10-г103 с [13, 98, 107].
Итак, основная цель 2-го этапа температурной задачи заключается в осуществлении изотермической выдержки композиционного материала, в результате которой произойдет полная релаксация напряжений в стеклослое. Поскольку в целом стеклометаллокомпозит находится в равновесном состоянии, то при полной релаксации напряжений в стеклянном слое исчезают напряжения и в обшивках.
3 этап: решаем температурную и деформационную задачи от температуры близкой к температуре стеклования до температуры окружающей среды, т.е. в интервале [Tg,Tc]. Основными задачами этого этапа являются: - определение времени и характера остывания оболочки в зависимости от скорости потока воздуха подводимого к внешним поверхностям обшивок оболочки; - определение начальных напряжений в трехслойной полусферической оболочке при ее остывании.
Поскольку в этом температурном интервале стекло рассматривается как твердое вещество, температурный процесс остывания основывается на уравнении теплопроводности.
Наряду с математической моделью температурного процесса формирования композитной оболочки рассматривается деформационная модель. В связи с тем, что тепловой поток процесса остывания стекломассы на много превосходит температуру, выделяемую при деформации слоев оболочки, используется несвязная модель деформирования оболочки. При такой постановке задачи температура на третьем этапе температурного процесса определяется без учета деформации оболочки. Учет температурного режима остывания скажется на деформационной модели через механические характеристики материала композитной оболочки и через температурные коэффициенты расширения материала.
При решении температурной задачи на 2-ом этапе, технологический режим предусматривает изотермическую выдержку, при которой в стеклослое происходит полная релаксация напряжений, поэтому деформационная задача решается исходя из начальных нулевых напряжений. Все физико-механические параметры материала зависят от температурного режима, определяемого на 3-ем этапе решения температурной задачи.
Физическая дискретизация деформационной задачи
Поскольку используется равномерная сетка, с постоянным шагом, то при оценке точности полученного решения возможна апостериорная оценка точности по правилу Рунге. Предложенный алгоритм реализован в качестве программы на языке Visual Basic с использованием пакета Microsoft Excel. Физическая дискретизация деформационной задачи
Система (1.10)-(1.12) совместно с начальными условиями (1.14), условиями сопряжения слоев (1.15)-(1.17), краевыми условиями (1.18)-(1.20) определяют трехмерную (в нашем случае, учитывая, осевую симметрию, двумерную) краевую задачу термоупругости.
Для решения деформационной задачи используется физико-математический метод дискретизации. Физическая дискретизация задачи заключается в расчленении композитной оболочки на три естественных слоя, что позволяет понизить размерность краевой задачи на единицу.
Расчленяем трехслойную оболочку на отдельные слои. Каждый слой рассматривается в своей местной системе координат, как самостоятельная однородная оболочка. Силовые и геометрические условия сопряжения слоев сводят уравнения отдельных оболочек-слоев в общую систему уравнений, которая решается при однородных краевых условиях на торцевых поверхностях полусферической оболочки. Вывод уравнений оболочек- слоев производится из трехмерных уравнений теории упругости на базе гипотез Кирхгофа-Лява, применительно к внешним обшивкам, и гипотез Тимошенко, применительно к внутреннему слою. При понижении размерности уравнений теории упругости неизбежно их нарушение. Поэтому основной задачей механики оболочек является построение физически состоятельных двухмерных уравнений. Эта задача решена в работах [22, 23, 77, 79, 85, 88]. Установлено, что при построении двумерных уравнений механики оболочек недопустимо нарушение трехмерных уравнений равновесия и геометрии сплошной среды. Понижение размерности трехмерных уравнений возможно лишь за счет уравнений закона Гука, связывающих поперечные деформации с соответствующими компонентами тензора напряжений. Такой подход отражает физические закономерности деформирования оболочечных тел. Он фактически использовался при создании классической теории, построенной на базе гипотез Кирхгофа. Его применяем и для понижения размерности трехмерных уравне ний теории упругости, рассматривая каждый слой как тонкую оболочку.
Суть физически состоятельного метода построения двумерных уравнений механики оболочек определяется следующей стратегией: - введение допущений через поперечные деформации; - полное удовлетворение уравнений равновесия и геометрии сплошной среды; - внесение погрешности, которая появляется при построении, в уравнения закона Гука, связывающие поперечные компоненты тензора деформаций с компонентами тензора напряжений, и за счет ее минимизации осуществление корректировки модели материала оболочки; - ограничением степеней свободы перемещений материала оболочки, путем приравнивания к нулю суммы работ внутренних и внешних сил на возможных для торцевых поверхностей оболочки перемещениях.
Приведенный метод позволяет внести коррективы в модель материала и тем самым учесть особенности его деформирования в составе оболочки.
Подставив гипотезы (1.22) и (1.23) в геометрические соотношения механики сплошных сред (1.10), интегрируем последние по поперечной координате z в промежутке [0, z]. Это позволяет выразить компоненты вектора перемещений всех слоев через перемещения срединных поверхностей;
Таким образом, все компоненты вектора перемещений каждого слоя полностью определяются через перемещения их срединных поверхностей wk,uk0f которые зависят лишь от одной координаты 9. Через эти же функции, которые назовем искомыми, могут быть выражены все параметры состояния оболочечного тела.
Второй этап температурной задачи
В качестве основного объекта исследования выбрана полусферическая оболочка, входящая в состав прочного корпуса глубоководного аппарата со следующими геометрическими параметрами: ht =0.002 м - толщина внутренней обшивки; h2 =0.178 м - толщина стеклозаполнителя; къ =0.02 м - толщина внешней обшивки; r0 = 1.6 м - внутренний радиус; гг =1.8 м - внешний радиус.
В качестве материала рассматриваемого объекта исследований принят стеклометаллокомпозит, с обшивками из высокопрочной свариваемой стали НУ-230. При расчетах приняты следующие физико-механические и теплофизические характеристики стали НУ-230: - предел текучести - сг02 = 1616 МПа; - коэффициент теплопроводности - Я=(29-0.03Г)Вт/м -"С, где Т температура материала; - плотность - р=7.&5 кг/м ; - удельная теплоемкость - с = 6908 Дж/кг-С; - коэффициент Пуассона - v = 0.3; - коэффициент температурного расширения - а—1355-10 С"1; - модуль упругости металла в области упругих деформаций =1.864 Id1 Па. Стеклозаполнителем композита принято техническое стекло типа ВВ со следующими теплофизическими и физико-механическими характеристиками: - предел прочности т02 = 1050 МПа; - коэффициент теплопроводности - Я = (0.85 + 0.0142Г)Вт/м - С; - плотность -р = (2520-2.62Г+0.65-1 (Г Гг)кг/м3; - удельная теплоемкость - с = (820+0.64Г)Дж/кг вС, где Т- темпера тура материала; - коэффициент Пуассона - v=0.22; - коэффициент температурного расширения - ог = 8.5-10 6 вС 1; - модуль упругости стекла в области упругих деформаций ==0.441-1011 Па. Численное решение позволяет моделировать различные условия теплоотдачи на внутренней и внешней обшивке и учитывать теплопо-тери на торцах стекломассы. Путем введения эффективного коэффициента теплоотдачи можно учесть влияние излучения на теплообмен и неоднородность теплообмена по толщине стеклослоя. Может быть определена температура поверхности контакта металлических обшивок со стекломассой в любой момент времени и время остывания стекломассы до температуры спаивания с металлическими обшивками, до температуры стеклования и до температуры окружающей среды. Тем самым, могут быть определены основные параметры технологического процесса формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита на всех трех этапах решения температурной задачи.
На первом этапе температурной задачи рассмотрено остывание композиционного материала на базе стела и металла от момента заливки стекломассы (Тт =1200С) до температуры размягчения стекла (7\=700С). Остывание происходит естественным путем за счет разницы температур между металлическими обшивками и окружающей средой с различными скоростями. Учтена повышенная теплоотдача на торцах изготовляемого изделия. Контакт между расплавом стекломассы и металлическими обшивками считается идеальным. Алгоритм, с помощью которого производились расчеты, представлен в п. 2.1 настоящей работы.
Графиками 1«II,III на рис. 15, 19, 23 представлены результаты решения задачи (1.5)-(1.9), т.е. распределение температуры в зависимости от изменения толщины z полусферической оболочки, через 8,5 часа после начала остывания композиционного материала, при различных скоростях обдувания внешних обшивок и торца: - I при 0=0 (в полюсе); - 1,Н,Ш при 0=70; - III при 0=90 (на торце).
Графиками а,b,с на рис. 16, 20, 24 представлено распределение температуры через 8,5 часа после начала остывания в зависимости от угла в (на оси абсцисс, отложены номера шагов по углу при численной реализации): а - распределение температуры на границе сопряжения внутренней обшивки стеклометаллокомпозита со стеклозаполнителем; Ъ - распределение температуры в стеклозаполнителе; с - распределение температуры на границе сопряжения внешней обшивки стеклометаллокомпозита со стеклозаполнителем.
Деформационная задача
Деформационная часть задачи (1,10)-(1.23) формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллокомпозита решается, начиная от момента стеклования стекломассы (Tg = 680С) до температуры ее полного остывания (Тс =20С). Технологический режим формирования стеклометаллокомпозита включает в себя время полной релаксации напряжений в стекле при температуре близкой к температуре стеклования. В результате начальными условиями при решении деформационной задачи являются условия полного отсутствия напряжений. Отсчет деформаций и перемещений начинается также со времени полной релаксации напряжений. Поэтому к начальным условиям деформационной части задачи формирования оболочки добавятся условия полного отсутствия перемещений, деформаций и скоростей их изменения.
Основной целью деформационной части задачи является определение напряжений в трехслойной полусферической оболочке после ее полного остывания, т.е. определение начальных напряжений в изготовленной оболочке из стеклометаллокомпозита.
Графиками 1,11,III на рис. 50-53, 55 представлены результаты решения деформационной задачи в зависимости от изменения толщины z полусферической оболочки:
Графиками д,6,с на рис. 48, 49, 54, 56-58 представлены результаты решения деформационной задачи в зависимости от угла в (на оси абцисс, отложены номера шагов по углу при численной реализации): 109 a - на границе сопряжения внутренней обшивки стеклометалло композита со стеклозаполнителем; Ъ - встеклозаполнителе; с - на границе сопряжения внешней обшивки стеклометаллоком позита со стеклозаполнителем.
В результате математического моделирования процесса формирования трехслойной полусферической оболочки из стеклометаллоком-позита определены начальные напряжения в расчетной оболочке выбранной в качестве основного объекта исследований. Из полученных графиков (рис. 53-58) следует, что в процессе формирования стекло-металлокомпозита металлические обшивки растягиваются до напряжений, которые составляют 15,5% от т02 для стали. Стеклянный слой испытывает в основном напряжения сжатия, однако на границе сопряжения с внутренней обшивкой в стеклянном слое появляются растягивающие напряжения сг33, величина которых не превышает 0,38% от предела прочности стекла на растяжение.
Распределение по углу 9 (от полюса к торцу) перемещений щ =ив, здесь графиками а,Ь,с представлены: а - перемещения и1 на границе сопряжения внутренней обшивки стеклометаллокомпозита со стеклозаполнителем; Ъ - перемещения их в стеклозаполнителе; с - перемещения щ на границе сопряжения внешней обшивки стеклометаллокомпозита со стеклозаполнителем
Распределение линейных деформаций є22 = ,і = 1,2,3(номер слоя) по толщине полусферической оболочки, здесь графиками 1,11,111 представлены деформации є22: I при 0=0 (в полюсе); II при #=70; III при 0=90 (на торце)
Распределение по углу 9 (от полюса к торцу) меридиональных напряжений т и = з 6вЛ = 1,2,3, здесь графиками а,Ь,с представлены: а - напряжения сгп на границе сопряжения внутренней обшивки стеклометаллокомпозита со стеклозаполнителем; Ъ - напряжения тп в стеклозаполнителе; с - напряжения тп на границе сопряжения внешней обшивки стеклометаллокомпозита со стеклозаполнителем
Распределение окружных напряжений сг22 = о Л = 1,2,3 (номер слоя) по толщине полусферической оболочки, здесь графиками 1,11, III представлены напряжения а22: I при 0=0 (в полюсе); II при 0=70; III при 0=9О(на торце)
