Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Плоская задача электроупругости для полосы со смешанными условиями на поверхностях 23
I. Постановка задач линейной теории электроупругости.. 23
2. Плоская задача электроулругости для полосы с периодической системой электродов на поверхностях (задача I) 32
3. Плоская задача электроупрутости для полосы с периодической системой электродов на поверхностях (задача 2) 52
Глава 2. Моделирование и расчет электроупругих полей тонких оболочек и пластин из поляризованной по толщине керамики 63
I. Основные допущения модели оболочки. Тангенциальные смещения и потенциал электрического поля тонкой оболочки 63
2. Приближенные уравнения электростатики, уравнения движения и определякщие соотношения для оболочек ... 69
3. Граничные условия и постановка задач электроупругости тонких оболочек 81
4. Упрощенные варианты соотношений электроупругости для пьезооболочек 88
5. Многослойные оболочки регулярной структуры 99
6. Приближенные решения периодической задачи электро упругости для полосы НО
7. Сравнительный анализ собственных частот поперечных колебаний полосы 117
8. Анализ электроупругих полей в круглых двух- и трехслойных пластинах. Сравнение теоретических и экспериментальных данных ' 126
9. Возбуждение поперечных колебаний в полуполосе периодической системой электродов на торце 132
Глава 3. Моделирование и расчет электр0упеу1ж полей тонких оболочек и пластин из пъезокерамикй, поляризованных вдоль одной из координат срещинной .поверхности 139
I. Основные допущения модели оболочки. Тангенциальные смещения и потенциал электрического поля оболочки 139
2. Приближенные уравнения электростатики, уравнения движения и определяющие соотношения для оболочек 143
3. Граничные условия, условия сопряжения и постановка задач электроупругости тонких оболочек 149
4. Упрощенный вариант соотношений электроупругости для пьезооболочек 154
Приложения 160
Приложение I 160
Приложение 2 165
Заключение 168
Литература 171
- Плоская задача электроулругости для полосы с периодической системой электродов на поверхностях (задача I)
- Приближенные уравнения электростатики, уравнения движения и определякщие соотношения для оболочек
- Анализ электроупругих полей в круглых двух- и трехслойных пластинах. Сравнение теоретических и экспериментальных данных
- Приближенные уравнения электростатики, уравнения движения и определяющие соотношения для оболочек
Плоская задача электроулругости для полосы с периодической системой электродов на поверхностях (задача I)
Научно-технический прогресс в настоящее время связан с развитием таких отраслей как автоматика, вычислительная техника, радиоэлектроника и др., в которых находят применение функциональные элементы, основанные на использовании пьезоэлектриков. Эти функциональные элементы представляют собой активные среды из полупроводниковых, пьезоэлектрических или ферромагнитных материалов. Обладая высокой помехозащищенностью, технологичностью и повышенной радиационной стойкостью, функциональные пьезоэлект-ронные элементы широко используются для разработки на их основе целых комплексов робототехнических технологических линий и гибких автоматизированных производств, составляющих основу научно-технического прогресса.
Использование автоматических устройств на базе применения пьезоэлектронных элементов является перспективным направлением в решении одной из наиболее актуальных проблем соверменной техники - проблемы микроминиатюризации устройств и систем. Решение этой проблемы приобретает особую важность при создании автоматических комплексов, вычислительной техники и измерительных устройств повышенной надежности при ограниченной массе и минимальных габаритных размерах.
В зависимости от своего функционального назначения элементы пьезоэлектронной техники можно разделить на устройства преобразования энергии и устройства обработки информации, предназначенные для её регистрации, хранения и использования. При разработке таких элементов обычно применяются высокоэффективные пьезоак-тивные материалы и, в частности, поляризованная керамика, которая приобретает пьезоэлектрические свойства в результате ее поляризации. Возможность создания пьезоэлектрических элементов на базе пьезокерамики основана на использовании главных эффектов пьезо- и пироэлектричества, состоящих в изменении электрической индукции D при изменении электрического поля Е , в зависимости деформации L. от механических напряжений 6 . и в изменении энтропии U от температуры Т . Кроме указанных главных эффектов в пьезокерамике, обладающей симметрией кристалла біт m , наблюдается ряд сопряженных эффектов. Прямой и обрат-ный пьезоэффекты состоят соответственно в изменении индукции D в зависимости от напряжений 6Т.. и деформации іі\ в зависи-мости от напряженности электрического поля Е . Необходимо отметить еще пироэлектрический (зависимость ) отТ ), электро-калорический (зависимость S от Е ) и пьезокалорический (зависимость Є- от Т ) эффекты. В активных материалах типа поляризованной керамики наблюдаются также вторичные эффекты, определяющие связь двух величин через третьи.
Характерной особенностью пьезокерамики является ее доменная структура, что обуславливает существование нелинейных свойств, связанных со смещением доменных границ под действием значительных механических напряжений и сильных электрических полей. Нелинейные свойства пьезокерамики, проявляющиеся в первичных и вторичных эффектах, приводят к дополнительным эффектам (пьезо-оптический, пьезорезистивный и др.), использование которых открывает широкие возможности при создании разнообразных элементов автоматики и вычислительной техники.
Таким образом, многообразные свойства, присущие пьезоэлектрической среде типа поляризованной керамики, позволяют практически реализовать в одном конструктивном блоке функциональные элементы различного назначения. Дальнейшее расширение функциональных возможностей этих элементов может быть достигнуто посредством комбинации свойств пьезокерамики со свойствами других сред, например, полупроводников и ферромагнетиков.
Среди функциональных пьезоэлектронных элементов наибольший интерес представляют силовые элементы - пьезоэлектрический трансформатор, пьезодвигатель и пьезогенератор. Для этих элементов характерна высокая технологичность изготовления, простота конструкции, низкая себестоимость и высокий к.п.д.
Приближенные уравнения электростатики, уравнения движения и определякщие соотношения для оболочек
В ряде устройств автоматики и вычислительной техники в качестве основного, базового элемента применяются пьезотрансформа-торы с управляемым или неуправляемым коэффициентом трансформации. Чрезвычайно широкие возможности пьезотрансформаторов позволяют использовать их при создании разнообразных аналоговых и дискретных устройств преобразования сигналов. Обычно трансформатор представляет собой однослойный или многослойный пьезоэлемент в форме пластинки, диска или цилиндра с разделенными электродами, которые образуют две активные секции возбудителя и генератора. Направление поляризации может быть различным;и в зависимости от этого различают пьезотрансформаторы с поперечным способом преобразования продольных волн (вектор поляризации перпендикулярен направлению распространения колебаний) и продольным (вектор поляризации параллелен направлению распространения волн). На рис. 0.1 показаны основные элементарные схемы конструкции пьезотрансформаторов продольно-продольного (0.1.а), поперечно-поперечного (0.1.6) и комбинированного (0.1.в) типов.
Анализ работы пьезотрансформатора проводится, как правило, на основе эквивалентных схем, параметры которых выражаются через геометрические размеры пьезтрансформатора и константы пьезокера-мики. При этом для построения эквивалентной схемы используется метод электромеханических аналогий и ряд упрощающих предположений относительно характера механических колебаний пластины пьезотрансформатора .
Следует отметить, что на основе пьезотрансформаторов возможно создание разнообразных управляющих устройств, способных выполнять различные функции преобразования сигналов. Для этого в элемент пьезотрансформатора вводится дополнительная секция электродов и связь между секциями осуществляется только механическим путем.
Функционирование пьезотрансформаторов и других систем на их основе происходит в условиях внешних возмущающих и управляющих воздействий и, следовательно, структуру пьезотрансформатора необходимо рассматривать как объект динамического управления, на вход которого подается напряжение возбуждения с заданной амплитудой, частотой и фазой. При этом внутри активной среды пьезотрансформатора наблюдается сложная картина взаимодействия различных физических эффектов (прямого и обратного пьезоэффектов, вторичных эффектов и эффектов более высокого порядка). Аналитическое описание реальных процессов в пьезотрансформаторах с уче - 9 -том разнообразных связей между этими эффектами и с учетом их нелинейности является весьма сложной задачей. Поэтому, как отмечалось выше, математический анализ одномерных процессов в структурах типа пьезотрансформаторов проводится на основе использования эквивалентных схем. Расчет характеристик пьезотрансформаторов по эквивалентным схемам (схемам замещения) связан с рядом упрощающих предположений и поэтому такое моделирование его работы часто дает лишь качественную оценку основных параметров устройства. Причина этого состоит в том, что элемент пьезотрансформатора является объектом управления с распределенными параметрами, работа которого описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных (уравнений электроупругости) и, следовательно, представление пьезотрансформатора на основе эквивалентной схемы, имеющей конечное число сосредоточенных параметров, неизбежно связано с большими погрешностями в расчете [і,2].
другой класс устройств функциональной пьезоэлектроники образуют пьезоэлектрические двигатели и пьезогенераторы. Основным принципом работы всех конструкций пьезодвигателей является преобразование высокочастотных электрических колебаний в поступательное или вращательное движение (непрерывное или дискретное, шаговое). В настоящее время известно много разнообразных конструкций пьезодвигателей непрерывного или шагового действия, преобразующих электрическую энергию в механическую. Так как передача полезного момента рабочему органу пьезодвигателя осуществляется механически, то основные недостатки конструкций пьезодвигателей связаны именно с наличием контактирующих поверхностей, что исключает возможность их применения в диапазоне больших мощностей. Однако преимущества пьезодвигателей, по сравнению с обычными электродвигателями,становятся очевидными в, диапазоне малых (менее I Вт) мощностей, характерном для микродвигателей. В конструкциях пьезодвигателей ротор и статор состоят из одного или нескольких пьезорезонаторов, прижатых силой F один к другому посредством упругого элемента. Число пьезорезонаторов в пье-зодвигателях может быть различным и геометрически они выполняются в форме пластинок, стержней, дисков, цилиндров и т.д. На рис. 0.2 представлены конструктивные схемы основных вариантов пьезодвигателей [з].
Анализ электроупругих полей в круглых двух- и трехслойных пластинах. Сравнение теоретических и экспериментальных данных
Ротор и статор в конструкциях пьезодвигателей могут изменять свои функции и, таким образом, пьезодвигатель является обратимой системой, т.е. вращение ротора от внешнего двигателя превращает пьезодвигатель в пьезогенератор. Такие пьезогенераторы используются совместно с малоскоростными приводами и генерируют на выходе напряжение высокой частоты. Высоковольтные пьезогенераторы применяются в различных устройствах для создания искровых разрядов при воздействии импульсной механической нагрузки. В конструкциях низковольтных пьезогенераторов применяются также биморф-ные элементы, что позволяет получать достаточно высокие значения выходного напряжения при незначительной внешней механической нагрузке.
Возрастающее применение пьезоэлектрических элементов в указанных областях техники, а также в ряде смежных областей, таких как дефектоскопия, сейсморазведка, метрология и др. выдвигает важную проблему создания надежных и вместе с тем достаточно простых методов расчета электроупругих полей, сопровождающих работу пьезоэлементов. Теоретической базой для изучения сопряженных полей в тонкостенных пьезокерамических оболочках и пластинах, как и вообще в пьезоактивных материалах, являются линейные уравнения пьезоэлектричества. Однако, анализ электроупругих полей в пьезо-среде, основанный на точном решении трехмерных уравнений пьезоэлектричества, связан с серьезными математическими трудностями. Эти трудности обусловлены, главным образом, анизотропией пьезоактивных материалов (например, в случае пьезосреды класса 6ftlftl её свойства характеризуются пятью упругими постоянными, тремя пьезокоэффициентами и двумя диэлектрическими постоянными) и связью электрических и механических полей, которая является существенной. Сложностями математического характера объясняется тот факт, что в настоящее время известно лишь достаточно небольшое число задач, решенных в рамках точных уравнений электроупругости. Так, анализу электроупругих полей в пьезоэлектрической полуплоскости, поляризованной перпендикулярно к свободной границе, посвящена работа [4J, где исследовались особенности статических электроупругих полей, возникающие у краев пары бесконечно тонких электродов конечной длины, расположенных на свободной поверхности. Статическое электроупрутое состояние сплошного цилиндра, поляризованного вдоль оси, с частично электродированои поверхностью в условиях антиплоской деформации изучалось в [б]. Некоторые вопросы, связанные с изучением особенностей электроупругих полей вблизи трещин при статическом нагружении пьезосреды, обсуждались в работах [б-9] и некоторых других. Вместе с тем, в настоящее время в литературе отсутствуют данные об исследовании электроупругих полей в пьезокерамических телах типа полосы (плоская задача) и слоя (осесимметричная задача). Необходимость в точном решении таких задач связана, прежде всего, с тем, что они могут быть эталонными для различных приближенных теорий пластин. В связи с этим в первой главе диссертации представлено решение двух плоских задач электроупругости для полосы.
Использование решений статических задач электроупругости в практических целях ограничено, т.к. в подавляющем большинстве случаев эксплуатация пьезоэлементов происходит при их динамическом нагружении. В связи с этим очевидна практическая ценность решения динамических задач электроупругости. Авторы работы [ю] рассмотрели задачу об установившихся радиальных колебаниях толстостенной пьезокерамической сферы, в работе [її] исследовались установившиеся колебания толстостенной пьезокерамической сферы, погруженной в сжимаемую жидкость. Расчету полых и заполненных сферических пьезопреобразователей посвящены также работы [12-13]. Установившиеся колебания бесконечно длинного пьезокерамического полого цилиндра с радиальной поляризацией и электродированными поверхностями изучались в [l4j, колебания радиально поляризован - 14 ных колец исследовались в [іб], решения ряда задач электроупругости для стержней, дисков и колец представлены в [l6-2I].
Приближенные уравнения электростатики, уравнения движения и определяющие соотношения для оболочек
Использование в технических устройствах пьезоэлектрических элементов различного назначения в виде тонкостенных оболочек и пластин открывает возможность и обуславливает необходимость создания приближенных методов расчета электроупругих полей, которые бы учитывали их тонкостенность. Используя эту возможность, рядом авторов были предложены различные приближенные методы расчета электроупругих полей в пьезооболочках и пластинах. Одним из наиболее широко используемых подходов, лежащим в основе построения различных вариантов теории оболочек, является подход, основой которого является принятие ряда обоснованных упрощающих предположений, позволяющих свести трехмерные уравнения пьезоэлектричества к двумерной задаче теории оболочек. Такими предположениями в теории непьезоактивных оболочек являются известные гипотезы Кирхгофа-Лява [23]. Для достаточно широкого класса материалов и нагрузок результаты расчетов по теории оболочек, основанной на указанных гипотезах, хорошо согласуются с экспериментальными данными. Поэтому естественным является привлечение этих гипотез и для построения теории пьезокерамических оболочек. Однако в случае пьезоактивных оболочек задача усложняется наличием существенной связи между механическими и электрическими полями. В частности, эта связь проявляется в том, что при определенных условиях электрические поля создают дополнительные механические деформации сдвига, пренебрежение которыми может приводить к существенным погрешностям и поэтому возникает необходимость в построении таких вариантов теории оболочек, которые учитывали бы эту специфическую особенность оболочки из пьезокерамики. Простейшая возможность учета дополнительных сдвигов, состоящая во введении дополнительного слагаемого в кинематические соотношения типа Кирхгофа, предложена в работах [24,25]. Кинематические соотношения типа С.П.Тимошенко использовались для учета сдвигов при осесимметричной деформации пьезокерамических оболочек вращения в работах [26,27]. Уравнения обобщенной теории пьезоэлектрических оболочек с анизотропией общего вида предложены н работе [28] на основе разложения искомых характеристик сопряженного электроупругого поля в ряды по полиномам Лежандра, а в [29J на основе обобщения вариационно-асимптотического метода В.Л.Берди-чевского [зо], получены определяющие соотношения для неэлектро-дированных пьезооболочек, которые в частном случае поляризованной по толщине оболочки совпали с соотношениями, полученными в работе [Зі]. Пьезокерамические оболочки с различным направлением поляризации и расположением электродов рассматривались в [32-34] с позиций асимптотического анализа трехмерных уравнений электроупругости. Полученные в этих работах результаты также подтверждают принятые в [24,25,Зі] дополнительные гипотезы для электрических полей. В частности, отметим следующий результат, полученный в [34]для оболочки, поляризованной вдоль одной из координат срединной поверхности. Оказывается, что с точностью, соответствующей классической теории оболочек, разрешающая систе -16 ма уравнений для оболочек с электродированными поверхностями Ъ-± п/ 2 имеет восьмой порядок и по виду аналогична обычной теории оболочек 123J. Для случая, когда электроды на указанных поверхностях отсутствуют и оболочка граничит с вакуумом, разре-шавдая система, содержащая механические и электрические величины, имеет десятый порядок. Разрешающие системы уравнений восьмого порядка присуши также и вариантам теории оболочек, предложенных в работах [25,33J для оболочек с электродированныгли поверхностями. Различный порядок разрешающих систем уравнений для электродированных и неэлектродированных оболочек не позволяет использовать результаты указанных работ для оболочек с частично электродированными поверхностями, поскольку неясна формулировка условий сопряжения для электроупругих полей при переходе из электродированного участка оболочки в неэлектродированный. В связи с этим практически важный вопрос расчета электроупругих полей некоторых электромеханических преобразователей (например, пьезотрансформаторов поперечно-продольного типа, рис. 0.1.в) остается открытым.
Большое практическое применение в различных технических устройствах находят многослойные пьезоэлементы. Например, упомянутый выше вибратор Ланжевена, представляет собой круглый трехслойный диск, внешние слои которого изготовляются из непьезоак-тивного материала (например, стали), а центральный слой - из пьезоактивного (обычно поляризованная по толщине керамика).
