Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Основные уравнения теоиш термоупругостй тонких оболочек и к вопросу их решения в одном частном случае
1. Уравнения теории термоупругости тонких оболочек
2. Уравнения теории теплопроводности тонких оболочек
3, К вопросу о расчете тонких пластин и оболочек под действием сосредоточенных нагрузок 52
ГЛАВА 2. Исследование напряженно-дешоилированного состояния тонких пластин, нагреваемых движущимися источниками тепла
4. Динамическая задача термоупругости о бесконечной пластине, нагреваемой движущимся источником тепла 36
5. Полоса-пластина, нагреваемая движущимся линейным источником тепла 55
6. Изгиб прямоугольной пластины под действием движущегося источника тепла 6
ГЛАВА 3. Исследование напряженно-деформированного состояния замкнутых круговых цилиндрических оболочек, находится в поле действия движущихся тепловых источников .8?-5
7. О решении уравнений термоупругости цилиндрической оболочки, нагреваемой источниками тепла 8?
8. Цилиндрическая оболочка, нагреваемая движущимися с постоянной скоростью источниками тепла 9?
9. Действие движущегося с переменной скоростью источника тепла на цилиндрическую оболочку
Заключение
Литература
- Уравнения теории теплопроводности тонких оболочек
- Полоса-пластина, нагреваемая движущимся линейным источником тепла
- Изгиб прямоугольной пластины под действием движущегося источника тепла
- Цилиндрическая оболочка, нагреваемая движущимися с постоянной скоростью источниками тепла
Уравнения теории теплопроводности тонких оболочек
В частности, здесь рассматриваются тонкие пластины, нагреваемые движущимися источниками тепла постоянной и переменной скорости движения и мощности, несимметричного распределения источников относительно срединной плоскости, кусочно-постоянной толщины»
Нестационарные температурные поля и усилия в двухступенчатой пластине, нагреваемой движущимся источником тепла, изучены в статье L J
В.Н. Максимович _65 J рассмотрел задачу о напряженно-деформированном состоянии бесконечной пластины с движущимся полубесконечным разрезом, обусловленным размещением в вершине разреза источника тепла.
С помощью метода конечных элементов температурные поля и напряжения в пластинах, свариваемых встык, исследованы в [ИЗ г
Значительно меньше работ посвящено исследованию термонапряженного состояния тонких оболочек, находящихся в поле действия движущихся источников тепла.
Квазистационарные температурные поля и напряжения в пологих оболочках, обусловленные движущейся областью нагрева, изучены в работах _ 75-77] . Кшеминский \lI9\ рассмотрел цилиндрическую оболочку, нагреваемую источником тепла, движущимся по образующей.
Квазистатические температурные напряжения в цилиндрической оболочке от движущегося по направляющей оболочки линейного источника тепла исследованы К.Мизогучи [l23J .
Вопросу определения температурного поля в свариваемой по образующей бесконечной цилиндрической оболочке с учетом предва рительного и сопутствующего нагрева и охлаждения посвящена работа [ 14 J .В монографии [ 86 J рассмотрено распределение установившегося температурного поля в бесконечной цилиндрической оболочке от движущегося по винтовой линии точечного источника тепла,
В заключение отметим, что при решении большинства задач термоупрутости тонкостенных конструкций, нагреваемых движущимися и неподвижными источниками тепла, применяется аппарат обобщенных функций [7 J , интегральные преобразования Фурье, Лапласа и Ханкеля, а также конечные интегральные преобразования. Как было уже отмечено, основная трудность решения таких задач заключается в нахождении оригиналов искомых фушщий. Во многих случаях это сделать не удается.
Анализ существующих работ позволяет: сформулировать следующие выводы: - к настоящему времени достаточно полно исследовано квазистатическое напряженно-деформированное состояние тонких пластин, нагреваемых движущимися источниками тепла; - мало изучены квазистатические температурные напряжения, возникающие в тонких оболочках от движущихся источников тепла; - отсутствуют работы, посвященные расчету динамического поведения тонкостенных элементов конструкций, нагреваемых подвижными теплоисточниками.
Целью диссертационной работы является развитие методики исследования напряженно-деформированного состояния тонких пластин и замкнутых круговых цилиндрических оболочек конечной длины, нагреваемых движущимися источниками тепла.
Научная новизна результатов диссертации заключается в исследовании динамики напряженно-деформированного состояния тон
костенных элементов конструкций, находящихся в поле действия движущихся источников тепла, а также в решении новых задач термоупругости тонких пластин и оболочек.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения, включает 149 страниц машинописного текста, 21 рисунзок , II таблиц и список использованной литературы.
В главе I на основе вариационного принципа Остроградского-Гамильтона выводятся уравнения движения тонких оболочек с учетом нестационарного температурного поля. Приводятся основные уравнения теплопроводности тонких оболочек. Дается постановка краевых задач термоупругости и теплопроводности.
Предлагается методика улучшения точности приближенного решения линейного дифференциального уравнения, правой частью которого является дельта-функция Дирака, когда решение найдено в тригонометрических рядах. Эта методика применима для уравнений часто встречающихся при расчете тонких пластин и оболочек, подверженных действию неподвижных и движущихся сосредоточенных силовых и температурных нагрузок.
Полоса-пластина, нагреваемая движущимся линейным источником тепла
Необходимо значение определить так, чтобы при замене ряда (3,3) его частичной суммой (3,4) получить наилучшее приближение при наличии ограничения на количество удерживаемых членов.
Предлагается следующий метод определения И Возьмем конкретную точку с координатами Потребуем, чтобы имело место равенство Учитывая периодичность слагаемых, получим і ( .)= і(М,L kn fa ир+Г. &п т « ). (3.10) В следствие того, что К7 Ф К2 первая сумма правой части равенства (3.10) равна нулю [8?] . Следовательно, равенство (3,7) выполняется, если положить г/ = У. Тогда для определения г/ -За получаем формулу М = г м, (м, и.з...). (3-i1) Таким образом, при вычислении приближенного значения функ ции F при а0 = -І , у0= & , Х0Фу0, для достижения лучшей точности в сумме (3.4) надо брать количество членов, кратных 6К
Условие (3.II) не содержит параметров К1 и Кг Это значит, что равенство (3.7) при выполнении условия (3.II) имеет место для любых значений К1 ф Kz = /, /с , то есть имеет место в точках с координатами х = 1Г . (5.12) Причем, чем больше К , тем больше количество точек, в которых выполняется равенство (3.7).
Покажем эффективность данного метода на следующем примере. Рассмотрим шарнирно-опертую балку длиной , на которую действует сосредоточенная сила г , расположенная на расстоянии d от края. Тогда прогиб vf балки определяется из следующей краевой задачи / I ] :
В таблице 3.1 даются проценты расхождения значений напряжения 6 , рассматриваемого как частичная сумма ряда (3.16), от точных значений ( (3.17) для различных пределов суммирования М и для различных точек балки при (І = 0,51 . Из таблицы следует, что наилучшие приближения получаются в тех случаях, когда выполняется условие (3.II) (подчеркнутые значения).
Эта методика была использована при решении задач, рассмотренных в параграфах 5 , б , 8 и 9. Наилучшие приближения получались, когда в рядах удерживалось количество членов, кратных к .В противном случае даже при удержании большего количества членов точность ухудшалась.
В заключение отметим, что выше изложенный метод можно использоваться и в том случае, когда оператор содержит производные любого порядка от неизвестной функции. Тогда решение г уравнения (3.II) разлагается в ряд по синусам и косинусам.
В данном параграфе проводится исследование напряженного состояния тонкой бесконечной пластины, нагреваемой движущимся с постоянной скоростью линейным источником тепла постоянной интенсивности. Предполагается, что через боковые поверхности z = ± h, осуществляется конвективный теплообмен со средой нулевой температуры. До начального момента времени пластина находится в ненапряженном состоянии и имеет нулевую температуру. Аналогичная задача для неподвижного источника тепла, но с учетом конечной скорости распространения тепла, исследована в работе [44] . В статье [115] в квазистационарной постановке решена подобная задача без учета теплообмена с поверхностей пластины с помощью функции Грина.
Изгиб прямоугольной пластины под действием движущегося источника тепла
Формулы для Ся- и о и при u)im = получены путем предельного перехода в выражениях, соответствующих о). С, » при u)ini - 0т .
Как видно из формул (5.43), при с0[т - 0m появляются вековые члены, то есть возникает резонансный эффект. Но здесь не происходит бесконечного возрастания перемещений, т.к. время действия источника тепла ограниченное. Из равенств 6 = іді находим критические скорости Ц - Cf при I - J , (5Щ Vf= J C, (fa = /,ooj при L=Z.
Здесь Iff - критическая скорость, соответствующая существенному продольному перемещению пластины, У2 - спектр критических скоростей, соответствующих преимущественному поперечному перемещению пластины. Причем, критическая скорость Ц не зависит от ЇЇІ . Это означает, что при If = if, в каждой гармонике U1rn появляется вековой член. Если V= Vz , то вековой член появится только в одной гармонике ІА/шь Минимальная критическая скорость получается при ґП-і и определяется равенством
Сравнение скоростей lfz и 1 показывает, что для тон r irvin- г ких пластин uz « V1 , то есть резонансный эффект в поперечном направлении возникает при меньших скоростях, чем в продольном направлении. Задача 2. Требуется найти решение уравнений 92иг / д2иг„ д% ЭОС Cf дтг дос -66 (Ш удовлетворяющее начальным и граничным условиям и при X - О, (4?) dt J Qv - } --Т" Ш=Т 0, 1, (5.48) где /2с определяется по формуле (5.20) Решение будем искать в виде: U 2 I PL— -«і v"Ztrt {5.49) Is m-i
Здесь Щт Wzm, " неизвестные функции, причем для любых ІІ2ГП » VV2nv первые члены правых частей втих равенств удовлетворяют однородным граничным: условиям (5.48). Функции. Uzo и и?20 выберем так, чтобы они удовлетворяли неоднородным граничным условиям (5.48). Таким образом, задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений (5.51) при начальных условиях (5.54). Уравнения (5.51) интегрируем с помощью преобразования Лапласа [20] . При этом учтем условия (5.53) и (5.54). Тогда решение задачи в изображениях находим в виде:Выделим из ряда (5.55) слагаемое, которое содержит вековой член и исследуем его в зависимости от критической скорости У кр
При этом предположим, что Т -Т = —-— і Со-5 ( " крЧ- j Укр -im Ц- m. Для стальной тонкой пластины последнее условие равносильно неравенству niwvvm, # При этих предположениях рассматриваемое слагаемое с точностью до постоянного множителя имеет вид: г. і і\п+мі niv 2 niv то есть функция j (n, m) принимает максимальное значение при П = т + 1. Также легко показать, что функция -f (т) f(m+J,mj принимает максимальное значение при УЇЬ-П . Таким образом, получается, что пъа х_ і (п, т) - f(Z ,1) г — то есть функция у(п,т)имеет абсолютный максимум при т 1,п=Я.
Из этих результатов можно сделать вывод: во-первых, для конкретного ЇЇЬ слагаемое, содержащее вековой член, принимает; наибольшее значение при критических скоростях 1 = С"" -- С1 Г= т = Jf- С, (5.58) Если сравнить критические скорости Цт и соответ-ственно с критическими скоростями У1 и Ух из (5.44) первой задачи, то видно, что для любого ЇЇІ из t/7nm и l (ПФУП-%О = скорости и1 и !/А наиболее близки по значению к скоростям йот ц =- г/ , &» - - _ /. Во-вторых, слагаемое, содержащее вековой член, имеет абсолютное максимальное значение при 171 1 , /г = Z , то есть при; скорое? тях
Цилиндрическая оболочка, нагреваемая движущимися с постоянной скоростью источниками тепла
Из таблицы следует, что необходимо учитывать конечность скорости распространения тепла, если время действия источника тепла Т0 сравнимо с временем релаксации теплового потока . Причем, чем меньше время действия источника тепла, тем больше влияние скорости распространения тепла. Если же время действия источника тепла намного оольше, чем , то можно не учитывать конечность скорости распространения тепла.
Заметим, что каждый из рядов (6.23) можно рассматривать как сумму некоторых рядов, наиболее медленно сходящимися из которых являются ряды Ниже даются некоторые числовые результаты для стальной плас тины с размерами -с = о - v tt- , /і U,Uixo , СІ = Ц5м . Расчеты показывают, что для рассмотренных случаев учет скорости распространения тепла не приводит к существенным изменениям функции прогиба. Поэтому здесь дается сравнение только динамических и квазистатических прогибов для различных скоростей движения источника тепла.
На рис.6.1 приведены графики функции прогиба для двух ско ростей (V OJOIM/CZX; VZ = 0,02 jM/cej ) в зависимости от координаты X (ср 0,5м;Т = 0,5 %) И Времени "" (ОС - 0,5м ; и - 0}5м) . Для этих скоростей коэффициент динамично сти Kg - і , Из графиков следует, что максимум прогиба находится не под источником, а сзади него, причем с увеличением скорости движения источника это отставание увеличивается и величина макси мального прогиба уменьшается. На рис.6.2 показаны графики изменения во времени динамиче ского /сплошная линия/ и квазистатического /штриховая линия/ про гибов в центре пластины для скорости движения г= іООм/оя . Из этих графиков следует, что для данной скорости квазистатиче ский прогиб достигает своего максимального значения в момент схо да источника с пластины, а динамический прогиб после схода источ ника с пластины,и VJa может быть значительно больше, чем ъи . При этом, максимальное значение прогиба после схода источника тепла с пластины может существенно превосходить максимального значения прогиба, которое пластина имела до схода источника. Максимальный коэффициент динамичности для скорости г равен К л = і7И
Рассмотрим замкнутую круговую цилиндрическую оболочку конечной длины, нагреваемую источниками тепла плотности Xi(b:,s, г,т). Предположим, что на краях и поверхностях оболочки осуществляется конвективный теплообмен со средой нулевой температуры. В качестве граничных условий возьмем условия свободного опирання. Считаем, что до начального момента времени оболочка находится в недефор-мированном и ненапряженном состоянии, температура оболочки нулевая.
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что, если функции і19Щтіі2 9 t z являются решениями краевых задач (7.32) - (7.34) и (7.35) - (7.37), то функции У , vf , определяемые по формулам (7.31), являются решением краевой задачи (7.27) - (7.29).
Таким образом, задачу (7.24) - (7.26), в которой темпера -93 турные характеристики и I определяются из взаимосвязанной системы уравнений теплопроводности, мы свели к двум задачам (7.32) - (7.34) и (7.35) - (7.37), в которых температурные поля определяются из несвязанных уравнений теплопроводности.
Можно заметить, что при oi1-U система уравнений (7.35) -(7.37) становится однородной, следовательно, 1Z Z U9 а система уравнений (7.32) - (7.34) совпадает с системой (7.24) -(7.26), так как имеют место равенства / - I1 , / - /2 . Следовательно, при о 7= (У функции i1 , WJ являются решением уравнений термоупругоети, в которых температурные поля получены без учета взаимосвязанности уравнений теплопроводности.
Сравнивая задачи (7.32) - (7.34) и (7.35) - (7.37) легко заметить, что вторая задача получается из первой, если поменять местами функции 1-і и z и изменить постоянные коэффициенты при них. Поэтому при решении одной из этих задач решение другой задачи можно записать по аналогии.
