Нелинейная динамика трехслойных пластин при периодических и нестационарных воздействиях Юрченко, Алевтина Анатольевна

Введение к работе

Актуальность темы. Задачи нелинейной динамики тонкостенных элементов конструкций, в частности, слоистых пластин и оболочек, представляют большой практический интерес для различных областей техники.

Разнообразие применяемых типов конструкций и условий их эксплуатации привело к существенному различию применяемых математических моделей и методов исследования. Но, несмотря на значительные результаты, уже накопленные в области расчёта нелинейного деформирования конструкций при динамическом нагружении, проблема создания и развития математических моделей, аналитических и численных методов расчета конструкций при действии нестационарных нагрузок продолжает оставаться весьма важной и актуальной, в частности, вследствие появления новых типов конструкций и новых композитных материалов. Так, наряду с расчетом авиационных и аэрокосмических тонкостенных конструкций важными и актуальными в настоящее время являются задачи расчета прочности элементов конструкций специальных автотранспортных средств, например, обитаемых кузовов -контейнеров многоцелевого назначения, изготавливаемых из трехслойных плоских панелей, при действии взрывных нагрузок. По задачам же, посвященным кратковременным нестационарным воздействиям на элементы конструкций специальных автотранспортных средств, имеются пока лишь немногочисленные публикации.

Важным для оценки поведения систем при действии внешних возмущений того или иного характера является изучение собственных и вынужденных нелинейных колебаний при периодических внешних воздействиях.

Анализ состояния исследований в области нелинейных колебаний слоистых пластин показывает, что данных о влиянии геометрических и же-сткостных характеристик слоев и условий закрепления трехслойных пластин по контуру на характер их нелинейных колебаний недостаточно.

Настоящая работа и посвящена разработке методов расчета трехслойных пластин конечного прогиба, моделирующих панели некоторых автотранспортных средств, при периодических и нестационарных кратковременных воздействиях

В ней отражены исследования, проводившиеся в 2004-2011 годах на-кафедре прикладной и вычислительной математики МГТУ «МАМИ» и в НИИ механики МГУ им. М.В.Ломоносова.

Целью диссертационной работы является:

Решение задач о нелинейных колебаниях различным образом закрепленных по контуру прямоугольных трехслойных пластин, моделирующих панели некоторых автотранспортных средств, при гармонических и кратковременных нестационарных воздействиях; разработка соответствующих алгоритмов и программ расчета, исследование влияния геометрических, жест-костных и физических параметров на напряженно - деформированное состояние и амплитудно - частотные характеристики трехслойных пластин конечного прогиба.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Предложен единый подход к решению задач о нелинейных колебаниях под действием периодически изменяющейся по времени поперечной нагрузки трехслойных пластин при различных условиях закрепления по контуру, состоящий в сведении исходных краевых задач к одинаковому по структуре обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению, описывающему колебания систем с вязким трением и с кубической упругой характеристикой.

2. В геометрически нелинейной постановке вариационным методом построен новый вариант двумерной неклассической теории, описывающей динамическое деформирование ортотропных трехслойных пластин несимметричного строения по толщине с учетом поперечных сдвиговых и нормальных деформаций и напряжений в жестком заполнителе системой уравнений в перемещениях 16-го порядка.

3. Разработана методика численного решения новых задач определения напряженно - деформированного состояния трехслойных пластин конечного прогиба, шарнирно опертых и жестко защемленных по контуру при нагру-жении различными нестационарными воздействиями.

Основные положения, выносимые на защиту:

4. Разработанный подход и результаты численного исследования нелинейных свободных и вынужденных колебаний жестко защемленных и шарнирно опертых трехслойных пластин конечного прогиба при периодических воздействиях.

5. Вариант двумерной неклассической теории, описывающей нелинейное динамическое поведение ортотропных трехслойных пластин несимметричного строения по толщине с учетом сдвиговых поперечных и нормальных деформаций и напряжений в заполнителе, и различные частные случаи полученных уравнений в перемещениях.

6. Методика решения задач об исследовании напряженно - деформированного состояния трехслойных пластин конечного прогиба, шарнирно опертых и жестко защемленных по контуру, при нагружении различными нестационарными воздействиями, базирующаяся на многочленной аппроксимации искомых функций и методе ортогонализации Бубнова с последующим численным решением систем нелинейных обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений.

7. Результаты численного исследования влияния геометрических, жесткост-ных параметров, характера нагружения при взрыве, граничных условий на динамическую реакцию трехслойных пластин конечного прогиба, моделирующих панели специальных автотранспортных средств, при нестационарных воздействиях.

Достоверность полученных результатов подтверждается корректным использованием известных методов механики деформируемого твердого тела и вычислительной математики; использованием апробированных уравнений

трехслойных пластин конечного прогиба, соответствием полученных численных результатов имеющимся в литературе для частных случаев.

Практическая ценность работы: Методики решения и программы, реализованные в работе, могут быть использованы для расчета элементов реальных конструкций в проектной практике.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на Международных и региональных научных конференциях и семинарах, в том числе:

на семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством чл.-корр. РАН Э.И.Григолюка (2004, 2005 гг. и позднее в 2006-2010гг. в НИИ Механики МГУ им. М.В.Ломоносова); на «Девятой международной научно - технической конференции по динамике и прочности автомобиля», 15-17 марта 2005 года (М.: МГТУ «МАМИ»); на «Международном научном симпозиуме, посвященном 140-летию МГТУ «МАМИ», 23-24 марта 2005 года (Россия, М.: МГТУ «МАМИ»); на конференции - конкурсе молодых ученых НИИ Механики МГУ им. М.В.Ломоносова в октябре 2006 года; на научных конференциях «Ломоносовские чтения», секция механики. Апрель 2004

2008 годов. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова; на Международном симпозиуме им. А.Г.Горшкова «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Ярополец, Москва, 16-20 февраля 2009 года. Часть результатов работы получена и использовалась в рамках исследований по гранту РФФИ № 10-08-00258а.

Публикации. Список научных трудов по диссертационной работе составляет 8 публикаций.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности под руководством научного руководителя.

Структура и объем диссертации. Результаты изложены на 150 страницах машинописного текста, иллюстрированного 41 рисунком.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели исследования, приведено краткое содержание работы и перечень основных положений, выносимых на защиту.

Первая глава работы посвящена анализу состояния исследований в области нелинейной динамики слоистых пластин и состоит из двух частей, в которых последовательно рассмотрены работы, относящиеся к изучению нелинейных колебаний трехслойных пластин при периодических воздействиях и к изучению динамической реакции слоистых пластин при нестационарном нагружении.

К настоящему времени в связи с важностью для приложений разработано много различных методов решения геометрически нелинейных краевых

задач гибких однослойных оболочек и пластин, начиная с классических ра
бот И.Г.Бубнова, А.Фёппля, Т. Кармана, К.Маргерра, П.Ф.Папковича,
Х.М.Муштари, К.З.Галимова. Обсуждение этих методов и решенных с их
помощью задач содержится в многочисленных монографиях и обзорных
статьях Н.А.Алумяэ, А.Т.Василенко, А.С.Вольмира, И.И.Воровича,
Э.И.Григолюка, Я.М.Григоренко, М.С.Корнишина, В.А.Крысько,
Г.М.Куликова, Е.А. Лопаницына, В.П.Мальцева, В.И.Мамая,

В.И.Мяченкова, Ю.В.Немировского, В.Н.Паймушина, В.И.Шалашилина, Л.А.Шаповалова, А.Р. Boresi, С. Chia, W.T. Koiter'a, R.I.Nikolai, Н.Т. Wo-ernle и др.

Важный резерв прочности и оптимизации конструкций был реализован, начиная с 40-х годов прошлого века, в связи с применением трехслойных и многослойных пластин и оболочек. Основной отличительной особенностью расчета трехслойных конструкций с маложестким промежуточным средним слоем является необходимость учета поперечного сдвига и поперечных нормальных напряжений и деформаций в заполнителе. Значительный вклад в развитие теории трехслойных и многослойных пластин и оболочек внесен А.Я.Александровым, С.А.Амбарцумяном, В.Н.Бакулиным, В.В.Болотиным, В.В.Васильевым, Н.К.Галимовым, Э.И.Григолюком, В.Н.Кобелевым, Г.М.Куликовым, Ю.В.Немировским, В.Н.Паймушиным, С.Н.Сухининым, П.П.Чулковым, E.Reissner'oM и др. Различные аспекты исследований в этой области отражены в обстоятельных обзорах С.А.Амбарцумяна, В.В.Болотина с Э.И.Григолюком и Ю.Н.Новичковым, К.З.Галимова, Э.И.Григолюка с Е.А.Коганом, Г.М.Куликовым, И.Т.Селезовым и В.И.Мамаем, Я.М.Григоренко и А.Т.Василенко, А.А.Дудченко, И.Ф.Образцова и А.С.Лурье, Ю.В. Немировского, В.В.Чепиги, А.Дуды, Л.М.Хэбипа, Ф. Плантема и др.

Работы по нелинейной динамике слоистых пластин и оболочек начали появляться с 60-ых годов прошлого века.

Строгое исследование нелинейных колебаний и соответственно нелинейных дифференциальных уравнений приводит к большим математическим трудностям. Но существует широкий класс уравнений, для которых предложены приближенные, но достаточно эффективные методы. К ним, в частности, относятся колебания систем с малой нелинейностью при относительно малом затухании. Особенность колебаний при этом, как известно, связана с существованием области частот, при которых возможны два устойчивых периодических режима колебаний с большими и малыми амплитудами. Достоинство подхода, связанного с исследованием колебаний в первом приближении, состоит в возможности получить аналитические решения для резонансных частот и амплитуд, позволяющие проводить качественный и количественный анализ явления.

В таком приближении в значительном большинстве работ, как и для однослойных пластин, исследуются колебания многослойных пластин и оболочек при различных кинематических и статических гипотезах и допущениях относительно структуры многослойного пакета по толщине.

При этом большинство работ, особенно опубликованных в последние годы, посвящено многослойным пластинам, выполненным из различных композиционных материалов. Используются или расчетная схема, основанная на применении гипотез Кирхгоффа для всего пакета слоев или уточненные двумерные теории в рамках, так называемого, "феноменологического" подхода, состоящего в учете поперечных сдвигов на основе интегральных гипотез для всего пакета слоев, при применении которого порядок получающихся уравнений не зависит от числа слоев.

Трехслойные пластины в классическом исполнении (с тонкими несущими слоями и маложестким заполнителем), особенно жестко защемленные по контуру, изучены существенно меньше.

Весьма актуальными также являются задачи исследования деформирования пластин и оболочек при нестационарных воздействиях. Различные обзоры, содержащие обсуждение проблемы применительно к тонкостенным конструкциям типа оболочек и пластин при различных нестационарных воздействиях, даны в работах Н.А.Абросимова и В.Г.Баженова, В.Л.Агамирова, В.Г.Баженова и Д.Т.Чекмарева, В.Н.Бакулина, И.Ф.Образцова и В.А.Потопахина, А.Е.Богдановича и Э.В.Ярве, А.В.Вестяка, А.Г.Горшкова и Д.В.Тарлаковского, В.А.Крысько и А.Н.Куцемако, П.З.Лугового, Ю.В.Неми-ровского и В.И.Самсонова, Ю.Н.Новичкова, Н.Попова и В.Н.Завьялова и др.

В целом, следует отметить существенное разнообразие применяемых математических моделей и методов исследования нелинейного деформирования слоистых пластин, что можно объяснить, прежде всего, разнообразием применяемых и появлением новых типов конструкций и условий их нагру-жения, в частности, некоторых специальных автотранспортных средств, например, трехслойных кузовов-контейнеров многоцелевого назначения, для которых актуальной сейчас является проблема обеспечения минной стойкости. Расчету этих конструкций при нестационарных кратковременных воздействиях посвящены пока лишь немногочисленные публикации.

Поэтому на основании анализа состояния вопроса были сформулированы цели работы, указанные выше.

Во второй главе работы предложен единый подход к расчету нелинейных свободных колебаний и вынужденных колебаний трехслойных пластин конечного прогиба под действием периодически изменяющейся по времени поперечной нагрузки. Рассмотрены нелинейные колебания трехслойных пластин несимметричной структуры по толщине с жестким трансвер-сально изотропным заполнителем, податливым на поперечный сдвиг, и изотропными несущими слоями. Вынужденные колебания таких пластин описываются уравнениями Григолюка-Чулкова, в которых учтены также начальные неправильности формы координатной поверхности, поперечные инерционные силы и внешнее демпфирование. Эта система уравнений 10-го порядка в смешанной форме относительно разрешающих функций перемещений х ^и усилий F, обобщающая уравнения однородных пластин Феппля-Кармана, имеет вид

V²V²F = Eh

^a²w^v

удхдуу

d²w d²w „ d²w d²w_n d²w d²w_n d²w d²w_n + 2-

Эх² ду² дхду дхду дх² ду² ду² дх²

(1)

&h⁷

Ik²" л

+ 2

D

2,,, л

( &

f Л2

2,.. Л

v²v²^

+

<Э w д w, +

дх дх

v ду² ду² _;

+

Ґ ,2^ _а2... Л₅2^ , р _ау ^2

т +

a?² dt

дхду

q - ph

)0

дхду дхду

+

(2)

В уравнениях w(x,y,t) = w(x,y,t) + w₀(x,y) - полный прогиб, w₀(x,y)- начальный прогиб, характеризующий отклонение пластины от идеальной формы, w(x,y,t) - дополнительный прогиб, выражающийся через разрешающую функцию перемещений х известным в теории трехслойных пластин соотношением:

W =

. р

X

1-у²

h

к'"к

E,h

П-vt

осредненныи модуль упругости трехслойного пакета,

h = ^h_k- полная толщина пластины (h_k- толщина к-го слоя, (к = 1,2,3),

к=\

Eh щ 12(1-v²)

изгибная жесткость трех-

h₃ = 2с -толщина заполнителя), D =

₀ 12G^₃(l-v²)

слоиного пакета, р = — - параметр, характеризующий жесткость

заполнителя на поперечный сдвиг (G]_z - модуль поперечного сдвига заполни-

л л —л²
теля (/ = 1,2)), 3 = —^ - параметр, характеризующий изгибную жест-

Г/3

л_гл

³ ЕЛу,, (^ E,h

^Jk"k

_Z:

\^к=¹^-^Ук J

кость несущих слоев, V = ^

к=\

1-v?

- приведённый коэффициент

Пуассона, (E_k,v_k - модуль упругости и коэффициент Пуассона к-то слоя ),

ph = ^jP_kh_k (р_к- удельная плотность материала к-то слоя), коэффициенты

к=\

л₁,л₂,л₃ зависят от y_k,t_k- безразмерных жесткостных характеристики и без-

E_kh_k у, E_kh_k 1-у² ^

К,

, h

размерных толщин слоев (к = 1,2,3): у_к =

V^=l^~^vk j

Граничные условия для свободно опёртой по контуру пластины

F = V F = / = V / = V V / = 0 удовлетворяются представлением шающей функции перемещений % и начального прогиба w₀ и виде

В случае жесткого защемления по контуру трехслойной пластины граничные условия относительно функций F и х записываются в виде:

i-*lv . р

,,,. _N . ттгх . пк у

X = ДО sin sin ——

dF d³F

a b

дх дх³ dF d³F

ду ду³

При х = О, а При у = 0,Ь

_r . ттгх . птгу

Wo=/₀sui sin——

a b

* = ^=^ = 0.

дх дх³

0.

дХ ₌ д³Х ду ду³

(3)

Для построения координатных функций, удовлетворяющих условиям (3), задавался прогиб пластины в виде, удовлетворяющем граничным условиям относительно функции w и ее нормальной производной w^r

w(x,yJ) = W(t)Z_m(x)Z_tt(y\ (4)

^ , _ч тта im + 2)та = , _ч птгу (п + 2)тгу

Z_m(x) = cos cos , Z_n(y) = cos——-cos±—-^-.

a a b b

i-*lv p

и соотношение w =

X разрешалось относительно функции %. В

(5)

результате для этой функции получено выражение вида (6), содержащее амплитудное значение Wit) и удовлетворяющее граничным условиям (4):

\ + К_г

X(x,y,t) = W(t)

тта птгу

cos cos —

' m ^л

+ п

а Ъ

\Aj

\ + К_г

тта (п + 2)тгу

cos cos- ^!-^-

а Ъ

г \²

' m ^л

+

{п + 2)²

(6)

\ + К_г

в котором

(m + 2)та птгу
cos- —cos——

=г + -

\ + К_г

+ п

⁽т + 2^л

тг²И²

(m + 2)та (п + 2)тгу
cos — cos ^!-^-

⁽т + 2^л

+ {п + 2)²

Для функции усилий F граничные условия жесткого защемления удовлетворяются, если принять F(x,y,t) = f(t)Z_m(x)Z_n(y),

Уравнения (1), (2) для шарнирно опёртых пластин интегрировались методом Бубнова - Папковича по пространственным координатам.

Для защемленных пластин решение краевой задачи (1-3) методом Бубнова - Папковича при выбранных координатных функциях (6) приводит к весьма трудоёмкой процедуре построения частного решения неоднородного

уравнения совместности деформаций (1). Поэтому метод ортогонализации Бубнова применялся непосредственно к системе уравнений (1), (2).

В результате для обоих вариантов граничных условий получено одно и то же по структуре нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее в первом приближении вынужденные колебания трехслойной пластины под действием внешней поперечной нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону q(x,y,t) = Q(x,y)cosQt и равномерно распределенной по поверхности пластины (Q(x,y) = Q₀ = const):

d²X _{| c} dx
df dt

)=9o(t\

+ co

(7)

0,mn V^l

X³ +a₂x² +a₃x

В (7) col_mn - квадрат частоты собственных малых колебаний трехслойной пластины. Для шарнирно опертых пластин параметры, фигурирующие в уравнении, отражающие геометрическую и механическую неоднородность трехслойного пакета по толщине, в предельном случае однослойной пластины при неучёте поперечного сдвига полностью совпадают с известными в литературе.

Для случая жесткого защемления при неучёте начальных прогибов а₂ = О, а₃= 1,

Go h

Я =

^ътп cosQt,

і Ът \n

а_х =а_х

24(l -V²) _T І Л2

3m Зи

J4 Jin + 0» + 2)²(« + 2)²J_4mJ_4n - J_5mjA {N_nJ_lmJ_ln - N_l2J_lmJ_2n

-N_2lJ_2mJ_ln+N₂₂J_2mJ_2ny . а интегралы метода Бубнова равны

Am=j^cos—^z*(*>&> J\n=\^^^Ay)^dy^ ^2_W=j^{C0S )7VC}Z_k(x)dx,

0 ^a о ^ 0 ^a

^J3m=j^cos Z_m{x)Z_k{x)dx,

0 ^a

J4m = \ ^{C0S +} Z_m (x)Z_k (X)dx,

Jin = J ^cosA—-ґ^-їіІУШ

0 "

^J^n = ]cos^T^-Z_n(y)Z_l(y)dy, 0 b

b I . "i\ a b

^J лп = j ^cos -—T^— Z_k (y)Zi (y)dy, I_qmn =\\ q(x, y, t)Z_k (x)Z_l (y)dxdy,

о ^ 00

2 . 2 wi7a _ , __N . mux . (m + lhx , __n2

/77 Sin 2/77(/77 + 2) Sin Sin- 1-(/77 + 2) X

J5m -]

. ₂(^m + 2W
xsm —

Z_k(x)dx.

2 . ₂П7ГУ . . __л . ПЛу . (п + 2)лу , ~_л2 2 («+ 2W

Jsn=\

Zi(y)dy.

«sin —- -2п{п + 2) sin —- sm ^л '— + (п + 2) sm ^л ^-

₀|_ 1У 1У и и

Коэффициенты Nj- (і, j = 1,2) зависят от относительных геометрических и

жесткостных характеристик слоев и параметров волнообразования.

Принимая далее прогиб пластины в виде 2^r = ^4cosQ? и интегрируя уравнение (7) по полному периоду колебаний Т = 2л/Q, получим уравнение, связывающее амплитуду колебаний А с относительной частотой нелинейных колебаний v = Q. I со_{0 и}.

Решение уравнения вынужденных нелинейных колебаний трехслойных гибких пластин с кубической упругой восстанавливающей силой и вязким трением при гармоническом возбуждении (при неучете начальных прогибов) было получено также методом гармонического баланса, что дает удобный способ построения амплитудно-частотной характеристики.

Резонансные амплитуды А _ез и частоты колебаний со _ез трехслойной

пластины определяются как координаты точки пересечения амплитудно -частотной и скелетной кривых.

Расчеты выполнены для трехслойных пластин, геометрические и жест-костные параметры которых для основного варианта (несущие слои толщиной h_x=h₂= 0,15 см, заполнитель толщиной h₃ = 5,7 см; модули упругости несущих слоев Е^(У> = Е⁽²⁾ = 7-Ю⁴ МПа, в заполнителе модуль упругости Е⁽³⁾ = 40 МПа) соответствуют секции реального объекта. Рассматривались пластины с относительной толщиной h/b = 0,\ и пластины, имеющие достаточно большие размеры в плане (hlb «0,033). Варьировались также относительное удлинение пластин Я = al Ъ, модуль упругости заполнителя от Е⁽³⁾ = 40 МПа до Е⁽³⁾ =1500 МПа, собственная изгибная жесткость несущих слоев (изменением их толщины), параметр є, характеризующий демпфирование при колебаниях, начальные неправильности формы координатной поверхности и числа полуволн тип.

Ниже приведены некоторые характерные графики, отражающие зависимость амплитудно - частотных характеристик от изгибной жесткости несущих слоев и от относительной толщины h/Ьддя шарнирно опертых и для защемленных по контуру трехслойных пластин. Как видно, изменение изгибной жесткости несущих слоев существенно сказывается на кривых А(у\

а именно увеличение параметра 3 (от значения 3 ~ 3,28-10^, что соответствует толщинам несущих слоев \ = 0,2 см и h₂ = 0,15 см при общей толщине пакета слоев h = 6 см (кривые 3 1 на рисунках 1,2) до значения 3 «1,78 -10 ³ (кривые 33) приводит к заметному снижению максимального значения амплитуды колебаний, но резонансная частота при этом практически не меняется. При этом графики 1а, 2а соответствуют значению h/b = 0,\, а графики 16, 26 - значению hlb = 0,033 .

3 V 4

Рис. 1

_~Ш—

3 4 V

1)1

1)2

1)3

Рис. 2

Качественный характер влияния геометрических и жесткостных параметров на вид амплитудно - частотных характеристик защемлённых по контуру трехслойных пластин остается таким же, как и при шарнирном опираний, но резонансные частоты при вынужденных колебаниях защемлённых пластин достигаются при больших значениях амплитуд колебаний.

Расчеты показывают, что трехслойные пластины имеют жесткую характеристику. В широком диапазоне параметров при колебаниях гибких трехслойных пластин могут реализовываться два устойчивых режима с большими и малыми амплитудами, и, следовательно, учет влияния нелинейности может быть существенным.

В третьей главе работы приведена методика расчета и выполнено численное исследование напряженно - деформированного состояния трехслойных свободно опёртых прямоугольных пластин при кратковременном нестационарном нагружении. Вынужденные колебания трехслойных пластин конечного прогиба несимметричной структуры по толщине с жестким транс-версально изотропным заполнителем, податливым на поперечный сдвиг, и изотропными несущими слоями, описываются, как и в главе 1, уравнениями Григолюка-Чулкова (1), (2).

Рассматривались два случая нестационарного воздействия на пластину: кратковременная нагрузка, изменяющаяся по времени по кусочно-линейному закону (таким законом изменения нагрузки может моделироваться, например, воздействие наземного взрыва заряда взрывчатого вещества под днищем автомобиля) и ступенчатый (прямоугольный) импульс малой интенсивности, но относительно большой длительности по времени (таким нагружением может моделироваться воздействие сильного взрыва на большом удалении от объекта, в частности, на панели крыши кузовов - контейнеров, которые имеют достаточно большие размеры в плане).

По имеющимся экспериментальным данным для характерных расстояний от центра заряда взрывчатого вещества (ВВ) до преграды 1 - 3 м и для зарядов ВВ массой 0,2 - 1,5 кг время действия ударной волны составляет порядка 0,002 сек. Оно значительно больше времени распространения волны возмущения по толщине трехслойной пластины. Поэтому волновыми процессами распространения деформаций в пластине пренебрегается.

Решение нелинейной начально-краевой задачи строилась методом Бубнова в высших приближениях. При этом искомые функции представлялись двойными функциональными рядами по тригонометрическим функциям

F = ^.(0 sin ^sin

j

* = EE*'7(')sin Sin

' J

jny

v^v^ . inx . in у

'Oij

2^ 2_,^w^ - sin sin -

где i,j- числа полуволн соответственно вдоль сторон а и Ъ пластины.

Тогда после интегрирования уравнений методом Бубнова приходим к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений по времени и алгебраических уравнений в безразмерной форме:

'/V^s

^d Xij . . ^dXi.

2. - Г о ~\2

+ A,

+ J"

2- + 4

/Ci,

^^-4ZZZZ{[H² + A²)x

I j

і j к l

г J

.-2/2

J x

ij 3,mik 4,njl

t J

+ J"

-a

///7.+

I,mi 2,nj ij

_zzuzhj

4л^- Я і j к і

і I PkiZnZki +

+

(i²l² + /к²У_0кіХу]-иШ_5тйіІ_6пл(р_кіХ^_кі + ^2wo,kiZij)} = - (^m>ⁿ = 1,2,-)

где I_lmi,..., I_6njl - интегралы метода Бубнова.

Полученная система нелинейных дифференциальных уравнений редуцировалась к нормальной и интегрировалась совместно с начальными условиями методом Кутта-Мерсона. При этом на каждом шаге по времени методом Гаусса решалась система алгебраических уравнений, что позволяло фор-

мировать правые части уравнении нормальной системы и находить значения W_r в следующие моменты времени.

Выполнена оценка сходимости решения по сходимости частичных сумм рядов. При воздействии кусочно - линейного импульса на пластины с hlb = 0,1 решение получено до значений т_тах =п_тах =16 . Достоверность расчетов проверялась варьированием шага интегрирования дифференциальных уравнений. Некоторые характерные кривые изменения максимального прогиба в центре пластины в зависимости от безразмерного времени т = С JI a

(С - скорость звука в пластине) при действии кусочно-линейного импульса

для разных значений изгибной жесткости несущих слоев и жесткости заполнителя на сдвиг показаны на графиках 3, 4, для пластин с разными размерами в плане на рис. 5, 6.

-и] и2 —иЗ и4

Рис.3

-*М0МПа —<^!>=150МПа '» = 1500МПа

Рис.4

а=Ь=60 Рис. 5

а=Ь=200 Рис.6

Максимальное значение т, которым ограничивались в расчетах т_тах =100, соответствует t« 0,04 сек. Поэтому, как видно из графиков, максимальное значение прогиба достигается еще в период действия кусочно -линейного импульса, а затем пластина совершает свободные затухающие колебания.

Анализ размерных напряжений показывает, что в несущих слоях напряжения не превосходят значения допускаемых напряжений. В заполнителе нормальные усилия и соответствующие мембранные напряжения существенно меньше, чем в несущих слоях. Но именно напряжения поперечного сдвига

(7- на граничном контуре и максимальные мембранные и изгибные напря-

жения в среднем слое <у^_хю,<у^₍м₎ оказываются определяющими с точки зрения прочности всей конструкции, так как для материалов заполнителя, например, для используемого при изготовлении обитаемых кузовов - контейнеров многоцелевого назначения вспениваемого пенополиуретана, допускаемые напряжения очень невелики.

При действии ступенчатого импульса малой интенсивности, но большой длительности по времени максимальные прогибы определены при значениях т =п =10. При этом относительная погрешность в определении

max max -Г г г ^г^

w_max составила около 4%. Максимальный прогиб при этом достигается еще до исчезновения силы, а затем пластина совершает колебания относительно деформированного состояния.

Сравнение с решением линейной задачи показывает, что при нагрузке, изменяющейся по времени по кус очно-линейному закону, влияние нелинейности на деформированное состояние пластин с h I а = 0,1 незначительно, но для относительно тонких пластин больших размеров в плане учёт нелинейности приводит к заметному снижению максимальных прогибов.

Сложность решения задачи для защемленных по контуру прямоугольных трехслойных пластин с учетом поперечного сдвига в заполнителе (даже в линейной постановке) связана с выбором полной системы ортогональных функций, удовлетворяющих всем граничным условиям.

Поэтому в четвертой главе работы для решения задачи о динамической реакции защемленных по контуру трехслойных пластин при воздействии нестационарной кратковременной нагрузки получены в геометрически нелинейной постановке с использованием вариационного принципа Гамильтона - Остроградского уравнения в перемещениях трехслойных пластин конечного прогиба,

Рассматривались трехслойные прямоугольные пластины несимметричного строения по толщине с ортотропными несущими слоями, для которых принимались справедливыми гипотезы Кирхгоффа о прямой недеформируе-мой нормали, и ортотропным податливым на сдвиг заполнителем, сжимаемым в поперечном направлении.

Предполагалось, что в заполнителе распределение нормальных перемещений по толщине аппроксимируется линейной функцией от поперечной

, w¹ +w² z w¹ -w² Z , .

координаты w = 1 = w + — v, {-c

2 с 2 с

Здесь индекс вверху означает номер слоя, функцией v учитывается обжатие заполнителя, для несжимаемого заполнителя v = 0. При этом тангенциальные перемещения в заполнителе распределяются по квадратичному закону.

Применение принципа Гамильтона Остроградского приводит к вариационному уравнению вида

5/ = 5 \(K-n-A)dt = J (JJ{SZ[^,A + ( -йК] + ((Ц[м_м +

fj fj \D г'=1/=1 г'=1/=1

+ (/ w,_; ),_f +(/ v,_;),_f ] + 2( -s_x(w + sw) - s₂(v + ev) + ^ + q₂))8w + + ((S S [Ay,y + (^v,_; )_f +(/^ ),_f ] — Ql - s₂ (w + sw) - s₃ (v + sv) +

/=1 7=1 С

+

4\ -q₂))8v)dx_xdx₂)dt + N\[N₂₂8u₂ + N_X28u_x + H₂₂8a₂ + H₁₂Sa₁ + (M₂₂₂

h \a

+

ц I о

]dt₊\\\[

N_xx8u_x + N_X28u₂ +

+ 2M_X2X + N₂₂w,₂+N_X2w,_x+N₂₂v,₂+N_X2v,_x+Q₂₃)Sw-M₂₂Sw,₂+(L₂₂₂ + 2L_X2X + + N₂₂v,₂ +N_X2v,_x +N₂₂w,₂ +N_X2w,_x )8v- L₂₂8v,₂ f dx_x

u Lo

+ ^ii&i +H_X28a₂ +(M_XXX +2M_X22 +N_{X x}w,_x+N_X2w,₂ +N_xxv,_x+N_X2 v,₂+Q₁₃)dw --M_xxSw,_x^L_xxx+2L_X22+N_x\v,_x+N_X2v,₂+N_xxw,_x+N_X2w,^

a b t 1

- \\\s_xw + s₂v]8w^ +(s₂w + s₃v)Sv^ \h_xdx₂ - 2M_X28w\^a^ - 2L_X28v\^a_Q^b₀ = 0. (8)

В (8) L - действие по Гамильтону, 77 - потенциальная энергия деформации пластины, К -кинетическая энергия системы, А - работа внешней поверхностной нагрузки, N_w,N_t.,M Н L Q_i3 - полные и обобщенные удельные усилия и моменты, выражающиеся через напряжения в слоях.

Приравнивая нулю выражения при независимых вариациях перемещений, получаем систему шести уравнений в усилиях - моментах, описывающую динамическое поведение трехслойных пластин конечного прогиба, а из контурных интегралов вариационного уравнения следуют естественные граничные условия.

Далее получены уравнения вынужденных колебаний трехслойных ор-тотропных пластин конечного прогиба в перемещениях, уравнения трехслойных пластин несимметричной структуры с изотропными несущими слоями и жестким несжимаемым трансверсально изотропным заполнителем

Уравнения существенно упрощаются для случая трехслойных пластин конечного прогиба симметричной структуры по толщине с изотропными несущими слоями и жестким несжимаемым трансверсально - изотропным заполнителем. После приведения к безразмерной форме они принимают вид

д щ ₂\-v д щ \ + у д й₂ h
—~—\-л, ^—\-л, ь

2 ду

2 дх₀ду₀ а

dw д w ^\-v dw д w

2 дх₀ ду

+ X ^ +

і oXq иХп

+ Х

2 Л

2 1 + v dw д w

2 ду₀ дх₀ду₀ j

0,

1 + v dw д w

2 дх₀ дх₀ду,

+

1 + v д и

+ Я

д u~, 1-у д и-

2 8xq 2 дх₀ду₀

= 0,

о ^оч^оу

+ я

„2 dw д w 1-у dw д w
Я =- + =- +

ду₀ ду₀ 2 ду₀ дх_{

д а_х

+ Х

+ Я-

\-v д а, Л + у да,

2 dyl

2 дх₀ду₀

_-^-(^)-А

дх,

а_х +

h dw

о У

адх,

= 0,

д²а₂ 1-у д²а₂ 1 + у д²а_х
Я -—I -—\- Я

2 дх²

д ^f

О _{Я Я} -МТ-СДО^)-^;

2 дх₀ду₀ ду₀

а₂ + Я

h dw

аду₀

О,

да_х да₂

v Я

-й?₃А₀

_я2^ _{+ я}1+^^^ ₊

+я

оУо дщ

2 дх_оду₀

ди^

d'w

- + у

+

V fyo dxojdyo

да_х да₂

+ Я

(

д w dw

A₀w +

удх₀

2^\

-^гт + d_Q — + d₂A₀A₀w - А₂
дт от

ґ*2

д щ . 1 + v д и₇ -21-v д и,

¹ + Я — + Я ^[

² оу² j

удх₀

2 дх₀ду₀

2^- Л

ди~

1-у д и

+ -

+ Я²

+ Яу

+

' ди_х

оУо)

дх.

2 Эх,

удх₀

о J

чіл dw, ди₀ \ d²w + A(l-v) Я-^ + у- ²

V $Уо dx₀Jdx₀dy₀

= 4

Решение нелинейной начально-краевой задачи строилось методом Бубнова с использованием многочленной аппроксимации искомых функций.

Граничные условия жесткого защемления удовлетворялись представлением компонент вектора перемещений в виде разложения в ряды по фундаментальным балочным функциям:

2 J ' J

2 J ' J

2 J

Здесь

Z (x_n) = sin Я x_n -shAx_n -a (cosAx_n -сИЯхЛ

г V 0/ г 0 г 0 г V z 0 z 0 /

Z (Jo) = sin Я_}у₀ - sh^y, - а_} (cosЯ_}у₀ - скЯ_}у,).

Как и в главе 3, после интегрирования методом Бубнова полученная система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений редуцировалась к нормальной системе и интегрировалась с учетом нулевых начальных условий методом Кутта-Мерсона. Интегралы процедуры Бубнова вычислялись численно методом Симпсона.

Проведено численное исследование полученного решения в зависимости от числа удерживаемых членов рядов. При воздействии кусочно - линейного импульса на пластины с h/b = 0,\ решение получено до значений т_тах =п_тах = 10. Достоверность расчетов проверялась варьированием шага

интегрирования дифференциальных уравнений. Расчеты выполнялись для трехслойных пластин с теми же геометрическими и жесткостными параметрами, что и в главе 3.

Некоторые характерные результаты численных расчетов приведены ниже на графиках 7, 8, на которых показана зависимость w_max от изгибной

жесткости несущих слоев (рис. 7) и жесткости заполнителя на сдвиг (рис. 8) при действии прямоугольного импульса.

0,7 т 1 1 1 1 1 1 1 1 0,7

— « =400МПа — И =150МПа Е^т =1500МПа

Рис. 7 Рис. 8

Влияние геометрических параметров - относительного удлинения пластин Л = а/Ь и тонкостенности пластин hlb качественно такое же, как и для шарнирно опёртых пластин: с ростом Я, как и для однослойных пластин при статическом изгибе, прогибы существенно возрастают. Отметим, что с увеличением линейных размеров при кратковременных нестационарных воздействиях как для шарнирно опертых, так и для жестко защемленных пластин, прогибы увеличиваются, но медленнее, чем при статическом нагру-жении, а именно примерно пропорционально квадрату линейного размера, что согласуется с известными данными для однослойных пластин.

Как и для свободно опертых пластин, напряжения поперечного сдвига в заполнителе для пластин с параметрами, соответствующими основному варианту, могут превосходить допускаемые.

Сопоставление результатов решения нелинейной задачи при воздействии прямоугольного импульса на пластины, имеющие достаточно большие размеры в плане, с решением в линейном приближении показывает, что учёт нелинейности для относительно тонких защемленных по контуру пластин приводит к существенному снижению максимального прогиба.

В заключении работы даны общие выводы по полученным результатам.

Основные выводы и результаты работы

1. Предложен единый подход к решению задач о нелинейных колебаниях под действием периодически изменяющейся по времени поперечной на-

грузки трехслойных пластин при различных условиях закрепления по контуру, состоящий в сведении исходных краевых задач к одинаковому по структуре обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению, описывающему колебания систем с вязким трением и с кубической упругой характеристикой. Проведено обширное параметрическое исследование влияния различных геометрических, физических и механических параметров в широком диапазоне их изменения на вид амплитудно -частотных характеристик трехслойных пластин, позволившее определить границы областей устойчивых периодических режимов колебаний.

2. В геометрически нелинейной постановке вариационным методом построен новый вариант двумерной неклассической теории, описывающей динамическое деформирование ортотропных трехслойных пластин несимметричного строения по толщине с учетом поперечных сдвиговых и нормальных деформаций и напряжений в жестком заполнителе системой уравнений в перемещениях 16-го порядка.

3. Разработана методика численного решения новых задач определения напряженно - деформированного состояния трехслойных пластин конечного прогиба, шарнирно опертых и жестко защемленных по контуру при нагружении различными нестационарными воздействиями. Построенные алгоритмы базируются на многочленной аппроксимации искомых функций перемещений и усилий, методе ортогонализации Бубнова и численном решении систем обыкновенных нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Показано определяющее влияние на прочность панелей напряжений поперечного сдвига в заполнителе.

4. На основе разработанных методик и программ исследовано влияние геометрических, жесткостных параметров, характера нагружения при взрыве, граничных условий на динамическую реакцию трехслойных пластин конечного прогиба, моделирующих панели специальных автотранспортных средств, при их нелинейных колебаниях и при нестационарных воздействиях.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

Статьи в журналах из перечня ВАК:

1. Коган Е.А., Юрченко А.А. Нелинейные колебания защемленных по контуру трехслойных пластин // Проблемы машиностроения и надежности машин. М.: 2010, № 5. С. 25-34.

2. Юрченко А.А. Численное моделирование деформирования трехслойных панелей при кратковременных нестационарных воздействиях // Проблемы машиностроения и надежности машин. М.: 2011, № 4. С. 85-92.

Прочие публикации:

1. Григолюк Э.И., Коган Е.А., Юрченко А.А. О численном решении задач нелинейной динамики неоднородных пластин при нестационарном нагружении // Ломоносовские чтения. Секция механики. Научная конференция. Апрель 2004 года. Тезисы докладов. М.: Изд-во Моск. ун-та. С. 64 - 65.

2. Коган Е.А., Юрченко А.А. Деформирование трехслойных пластин при импульсном нагружении // Материалы IX Международной научно - технической конференции по динамике и прочности автомобиля. 15-17 марта 2005 года. Под редакцией чл. - корр. РАН Э.И.Григолюка. М.: МГТУ «МАМИ», 2005. С. 172 - 176.

3. Коган Е.А., Юрченко А.А. О колебаниях трехслойных пластин конечного прогиба при кратковременном импульсном нагружении // Международный научный симпозиум, посвященный 140 - летию МГТУ «МАМИ» 23-24 марта 2005 года. Материалы 49-ой Международной научно - технической конференции ААИ «Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров». Секция 4. «Математические методы моделирования и оптимизации автотранспортных средств». Часть 2. М.: МАМИ, 2005. С. 23-26.

4. Юрченко А.А. Нелинейное деформирование трехслойных пластин при кратковременном динамическом нагружении // Труды конференции -конкурса молодых ученых 11-16 октября 2006 г. / Под ред. акад. РАН Г.Г.Черного, проф. В.А.Самсонова. М.: изд-во Моек ун-та, 2007, С. 304-310.

5. Коган Е.А., Юрченко А.А. Нелинейное деформирование защемленных по контуру трехслойных пластин при импульсном нагружении // «Избранные проблемы прочности современного машиностроения». Сборник научных трудов, посвященный 85-летию чл.-корр. РАН Э.И.Григолюка. М.: Физматлит. 2008. С. 110-123.

6. Коган Е.А., Юрченко А.А. Построение амплитудно - частотных характеристик трехслойных пластин конечного прогиба // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. Международный симпозиум им. А.Г.Горшкова. Ярополец, Москва, 16-20 февраля 2009 года. Тезисы докладов М.: МАИ. 2009. С. 89-90.

Подписано к печати Заказ №

Объем печ. л. Тираж 100 экз.

Типография ФГБОУ ВПО МГТУ «МАМИ» 107023, Москва, Б. Семеновская ул., 38

Похожие диссертации на Нелинейная динамика трехслойных пластин при периодических и нестационарных воздействиях

Нестационарные волны в пластинах при нормальных ударных воздействиях Кушеккалиев Алман Нысанбаевич

Разработка и реализация численной методики определения спектральных плотностей параметров динамического состояния пластин и оболочек при случайном стационарном воздействии Мельник-Мельников П.Г.

Оптимизация композитных пластин и оболочек при статических и динамических воздействиях по скалярным и векторным показателям качества Косиченко Александр Александрович

Динамика пластин и оболочек под действием движущихся источников тепла Хайруллин Фарид Сагитович

Нестационарная задача динамики пластин переменного сечения в уточненной постановкеДьяченко Юрий Петрович

Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах статики и динамики тонких пластин при произвольных граничных условияхРомакина, Оксана Михайловна

Динамика ортотропных упругих и вязкоупругих пластин с присоединенными элементами Шулипа Сергей Владимирович

Динамика вращающегося твердого тела на инерционной упругой пластинеИванова Елена Александровна

Влияние внешних воздействий на динамику дислокаций в кремнии вблизи концентраторов напряженийЯвтушенко Игорь Олегович

Сильные возмущения солнечного ветра и динамика магнитосферы под их воздействиемБородкова Наталия Львовна