Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І.Постановка задачи 24
1.1. Поверхностные и торцевые ударные воздействия нормального типа на пластину. Трехмерная теория 25
1.2. Поверхностные и торцевые ударные воздействия нормального типа на пластину. Теория типа Тимошенко 30
1.3. Расчленение нестационарного НДС пластин на составляющие с различными показателями изменяемости 34
ГЛАВА 2. Задача о действии сосредоточенных сил на поверхность пластины 40
2.1. Решение в изображениях Лапласа и Фурье трехмерной задачи 41
2.2. Асимптотически главные составляющие трехмерного решения 45
2.3. Решение по теории типа Тимошенко 62
ГЛАВА 3. Задача о действии нагрузки типа NW на торец полубесконечной пластины 70
3.1. Исследование решения трехмерной задачи 71
3.2. Исследование решения по теории типа Тимошенко 84
ГЛАВА 4. Погранслой в окрестности условного фронта поверхностной волны Релея 90
4.1. Вывод уравнений погранслоя для поля Релея символическим методом Лурье. Упругое полупространство 91
4.2. Вывод уравнений погранслоя символическим методом Лурье в случае сосредоточенных сил на поверхность пластины 100
Заключение 105
Литература
- Поверхностные и торцевые ударные воздействия нормального типа на пластину. Теория типа Тимошенко
- Асимптотически главные составляющие трехмерного решения
- Исследование решения по теории типа Тимошенко
- Вывод уравнений погранслоя символическим методом Лурье в случае сосредоточенных сил на поверхность пластины
Введение к работе
Ряд важных узлов и деталей современных технических устройств работает в резко нестационарных режимах вследствие быстрого изменения во времени действующих на них внешних сил. При этом в конструкциях возникают динамические напряжения, которые должны учитываться при оценке прочности и работоспособности, а также при выборе оптимальных условий функционирования тех или иных упругих элементов. Последнее особенно важно для технических устройств, принцип действия которых основан на использовании нестационарных волновых полей и связанных с ними механических эффектов. Научной основой для такого расчета является теория нестационарных колебаний и воли в упругих телах.
Закономерности распространения возмущений в сплошных средах представляют значительный интерес для многих областей науки и техники. Круг явлений в окружающем мире, которые можно достаточно полно описать на основе волновых представлений, чрезвычайно широк.
Одними из наиболее актуальных вопросов механики деформируемого твердого тела в настоящее время являются вопросы, связанные с расчетом пластин и оболочек на динамические воздействия. Особое место в теории пластин и оболочек занимают задачи нестационарной динамики и, в частности, вопросы о существовании областей на фазовой плоскости, где нестационарный процесс переходит в установившиеся колебания, а также вопрос о времени переходного процесса.
Распространение нестационарных волн в слое и цилиндре, являющихся простейшими представителями геометрических структур, было предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований, ведущихся уже более столетия. Поскольку нахождение точного аналитического решения соответствующих трехмерных задач сопряжено с почти непреодолимыми трудностями, наиболее важным является вопрос о построении приближенных методов расчета. Существующие методы сведения трехмерных задач теории упругости к двумерным условно делятся на методы гипотез, разложения по толщине и асимптотические методы.
В случае простых геометрических объектов (напр., плит) алгоритм степенных рядов может быть успешно применен в форме символического метода А.И. Лурье [54,55] или в форме метода начальных функций В.З. Власова [11,12]. Символические формулы трехмерной теории динамики плит представлены в работе [62] для деформации, антисимметричной относительно срединной поверхности, В символической теории применяются бесконечные, во всех других вариантах - усеченные ряды.
Состояние исследований по изучению переходных волновых процессов деформации изгибного типа, вызванные действующей нагрузкой в бесконечных и полубесконечных плитах и балках, охарактеризовано в обзорах [1,8,10,14,30,40,57,61,64,70,79,86,91,100].
На основе элементарной теории изгиба решены многочисленные задачи расчета плит и оболочек. В динамике балок первая поправка к элементарной теории была внесена еще Релеєм, предложившим учесть инерцию вращения. СП. Тимошенко показал в 1921 г., что учет сдвига дает поправку такого же порядка. Он вывел уравнение балки, учитывающее поправки от сдвига и от инерции вращения [104]. Эти поправки приводят к отказу от элементарной теории (прямолинейная нормаль к срединной поверхности не остается нормалью после деформации).
Я.С. Уфляид был первым, применившим [79] теорию типа Тимошенко к анализу переходных волновых процессов, вызванных сосредоточенной импульсной нагрузкой в бесконечной плите и балке. Он использовал преобразование Лапласа. Поскольку полученные интегралы Меллина (в отличие от теории Кирхгоффа) не поддались обращению в замкнутом виде, то Я.С, Уфлянд предложил приводить их к суммам определенных интегралов по берегам срезов плоскости s, обеспечивающих однозначность подынтегральных функций. На основе этих интегралов в [79] были получены некоторые численные данные.
Позже различные аспекты применения теории плит и балок типа Тимошенко рассматривались в многочисленных работах [8,30,58,79,84,85,86,91,99], в том числе задача расчета бесконечной плиты под действием сосредоточенной силы - в работах [30,99].
В работах [8,30,58,79,84,85,86,91,99] были решены конкретные задачи при помощи операционного исчисления. В основном использовалось преобразование Лапласа [8,30,58,79,84,86,99], но нашло применение и преобразование Фурье по координате [86,91], при построении формальных решений в виде контурных интегралов, которые были обращены методом перевала. Методом интегрирования по берегам срезов плоскости s получен ряд диаграмм в работе [84].
В работах [8,9,58] приведены результаты, полученные методом сеток с выделением частных решений, переносящих разрывы первых и вторых производных нормального прогиба и угла поворота.
Проблема применимости теории типа Тимошенко рассматривалась на основе трехмерной теории в работе [61]. Было установлено, что теория типа Тимошенко неприменима в области от фронта волны сжатия до условного фронта поверхностных волн Релея, а также в непосредственной близости от последней. В [61] приведен также ряд численных данных о точности теории типа Тимошенко в области, где её можно считать практически применимой.
Волновые процессы деформации изгибного типа изучены на основе трехмерной теории упругости в работах [30,40,61,76,91], был получен ряд численных данных в результате приближенного обращения некоторого числа первых интегралов методом перевала.
10. Микловиц [98,100] исследовал осесимметричный волновой процесс, возбужденный в бесконечной плите действием двух сосредоточенных сил, приложенных к свободным поверхностям плиты и направленных друг к другу. Были применены преобразование Лапласа по времени и преобразование Ханкеля по координате. Первое обращение выполнялось при помощи вычетов, второе - методом перевала (с точностью трех первых контурных интегралов), В данном случае возбуждаются только моды, симметричные относительно срединной поверхности. При использовании метода перевала был использован малочастотный участок диаграммы групповых скоростей первых трех симметричных мод, где максимальное значение групповой скорости соответствует первой моде в точке *у = 0, и равен величине с^ (4,6). В работе [100] линия г = с^1 называется «фронтом» и указывается, что вблизи «фронта» доминируют малочастотные волны первой моды. Фактически фронт перемещается со скоростью сх , и в области с( >r>cj движутся высокочастотные волновые группы более высоких мод.
Следует отметить, что построение волнового процесса в этом диапазоне методом перевала затруднительно и в непосредственной близости от фронта r-ct практически невозможно, так как диаграммы групповых скоростей высоких мод являются быстро осциллирующими.
В работе [61] рассматривался волновой процесс изгиба полубесконечной плиты, возбужденной напряжениями, внезапно приложенными по толщине плиты. Были применены преобразование Лапласа по времени и синус- и косинус- преобразования Фурье по координате. Преобразование Фурье было обращено при помощи вычетов, а преобразование Лапласа - методом перевала с учетом шести первых контурных интегралов, которые в данном случае связаны с антисимметричными модами. Роль отдельных мод зависит от рассматриваемой величины, но, грубо говоря, вклад первых двух мод доминирует при х < с t (с2 - скорость распространения волн сдвига), а при x>c2t быстро растет вклад следующих мод, что ограничивало (при учете шести первых контурных интегралов) область исследования условием x<\.2ct. Численные результаты [61] позволили сделать выводы о применимости двумерных теорий.
В работе [92] рассматривается плоская задача для плоскопараллельного упругого слоя со свободными границами. Источником колебаний является внезапно приложенная поперечная сила (рассматривается несколько вариантов распределения заданных напряжений сдвига). Силы распределены по сечению так, что возбуждаются только изгибные волны, смещения в которых антисимметричны относительно срединной линии слоя. Напряжения и смещение в слое представляются в виде суперпозиции нормальных волн. Для четырех первых нормальных волн рассчитаны кривые зависимости фазовой и групповой скоростей от волнового числа. Для оценки встречающихся интегралов используется метод стационарной фазы. Показано, что при 0<*<0.37с/ ( срскорость продольных волн в материале слоя) результат, полученный из точной теории, близко совпадает с элементарной теорией изгиба и с приближенной теорией Тимошенко, Для Л">0,37с/ отмечается существенное различие в результатах точной теории, элементарной теории и теории Тимошенко. Рассматривается поле напряжений при больших t в районе фронта волны сдвига и фронта поверхностных волн Релея, При воздействии силы вдоль поверхности полосы в промежутке є, напряжения ст на поверхности y=h испытывает скачок в районе фронта волны Релея, В случае, распределение силы вдоль нормальной координаты изменяется по параболическому типу.
Динамике стержней и пластин посвящены работы В.В.Новожилова и Л.И.Слепяна [68,74,75]. В них изучались свойства аналитических решений задач при рассмотрении переходных волновых процессов в стержнях и пластинах, анализировалась работа принципа Сен-Венана. Было показано, что главная часть деформаций, которая соответствует внезапно приложенным самоуравновешенным по сечению нагрузкам, локализируется вблизи фронтов волн и того сечения, где приложена нагрузка. Проведенный анализ областей действия различных теорий позволил использовать для решения задач в начале движения и в окрестностях фронтов волн разные методы.
Многие важные результаты в теории пластин и оболочек получили интенсивное развитие лишь с шестидесятых годов. Это объясняется, в частности, тем, что замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности показывает, что математические уравнения теории упругости для тонких оболочек относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при старших производных. Математическая теория таких уравнений начала развиваться лишь с сороковых годов, хотя такие уравнения и раньше встречались в других областях механики и физики. Оттуда перешли в математическую литературу понятия погранслоя, сращивания и др. В настоящее время в математической литературе достаточно полно изучены уравнения такого вида.
Направление исследований, связанное с асимптотическим интегрированием уравнений трехмерной теории упругости, развивалось в работах А.Л.Гольденвейзера, А.Грина, Б.Новотны и др.
В работах Г.И. Петрашеня и Л.А. Молоткова [72,73] методом асимптотического анализа был исследован вопрос о границах применимостеи уравнений классической теории изгиба плит в динамических задачах. Основная идея, использованная в [70], состоит в сопоставлении формальных решений (контурных интегралов), полученных на основе трехмерной теории и двумерных теории. В ходе этого сопоставления пользуются разложением точного изображения по степеням нормальной координаты z.
Основополагающие понятия показателя изменяемости напряженно-деформированного состояния (НДС) по пространственным координатам и операции растяжения масштаба в уравнениях теории упругости связаны, в первую очередь, с работами А.Л. Гольденвейзера [14-24]. При рассмотрении статических задач, посвященных построению двумерной теории оболочек, вводился малый безразмерный параметр, равный отношению толщины оболочки к характерному радиусу. Введение данных величин сделало возможным построение для статических задач основного итерационного процесса, который приводит в первых приближениях к двумерным теориям оболочек. Было показано, что дополнительный итерационный процесс приводит к принципиально новым теориям: теории плоского и антиплоского погранслоев. Одним из важных результатов, связанных с построением итерационного процесса, явилась возможность асимптотической оценки погрешности двумерных теорий, теорий пластин и оболочек, связанных со значениями показателей изменяемости НДС,
Особую сложность в динамических задачах имеет проблема обоснования перехода от трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным краевым задачам математической физики. Переходные процессы деформации имеют место в течение промежутка времени, соизмеримого с временем пробега волнами деформаций пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки. В ней можно при этом выделить возмущенные области, границы которых определяются фронтами волн. На фронте волны некоторые компоненты напряжений и деформаций или их производные разрывны, и если нагрузки являются достаточно гладкими по времени функциями, то роль этих разрывов в напряженно-деформируемом состоянии несущественна. Теоретический и прикладной интерес представляет изучение НДС в окрестности фронтов волн для так называемых ударных нагрузок, моделируемых импульсными функциями.
Динамике тонких упругих оболочек посвящены работы А.Л.Гольденвейзера [17,21]. В работе [17] для интегралов двумерных динамических уравнений теории оболочек была введена классификация, аналогичная статическому случаю. Было показано, что при построении классификации в динамике необходимо учитывать изменяемость напряженного состояния по времени. В работе [22] рассмотрены динамические трехмерные уравнения теории упругости и свойства их интегралов в случае, когда тело тонкое и его лицевые поверхности не закреплены. Получена связь данных интегралов и интегралов двумерных уравнений теории оболочек и теории погранслоя. В работе [24] сформулирован модифицированный принцип Сен-Венана, обуславливающий затухание асимптотически главной части НДС, вызванной системой сил, приложенных к торцу тонкого упругого тела. Получены условия выполнения модифицированного принципа Сен-Венана и изучена возможность их использования при построении итерационных процессов интегрирования общих уравнений теории упругости.
Асимптотический метод был применен также для изучения свободных колебаний оболочек на основе двумерной классической теории оболочек. Им посвящены работы А.Л.Гольденвейзера, Ю.Д.Каплунова, Л.Ю. Коссовича, В.Б.Лидского, Е.П.Товстика и др.
Колебаниям оболочек посвящены работы А.Л.Гольденвейзера и Ю.Д.Каплунова. В [21] в рамках трехмерной теории упругости рассматривалась задача об установившихся колебаниях тонкой упругой осесимметричной оболочки вращения произвольного очертания под действием краевой нагрузки, меняющейся по гармоническому закону. Исследовался вопрос об использовании равноизменяющихся решений уравнений теории упругости для приближенного использования вынужденных колебаний оболочек при частотах, исключающих применение теории Кирхгофа-Лява. В [20] было установлено, что (при достаточно больших значениях частоты вынужденных колебаний) двумерная теория оболочек становится неприемлемой, т.е. существуют критические значения частот, при превышении которых изменяемость в меридиональном направлении оказывается существенно большей, чем в направлении параллелей.
Однако до недавнего времени асимптотические методы недостаточно полно использовались при решении задач нестационарной динамики оболочек. Это объясняется следующими фактами. На задачи нестационарной динамики оболочек нельзя формально перенести понятие показателя изменяемости искомого решения. Изменяемость решения оказывается неоднородной в различных частях области определения: если вдали от точки приложения нагрузки и фронта волны она невелика, то вблизи этих областей она, монотонно возрастая, становится большой. Таким образом, сами понятия показателей изменяемости НДС по времени и в пространстве требуют глубокого исследования. Кроме того, изменяемость НДС вблизи точки приложения нагрузки и вблизи фронта волны заведомо выходит за рамки применимости двумерной теории оболочек. Следовательно, в задачах нестационарной динамики не проходит асимптотический метод расчленения НДС в классической форме. При решении нестационарных задач проводится расчленение напряженного состояния на элементарные составляющие, имеющие в своих областях применимости однородные изменяемости по координатам и времени. Это позволяет построить для элементарных составляющих в рамках некоторой заданной погрешности асимптотически оптимальные уравнения, которые имеют более простой вид, по сравнению с исходными.
Одними из первых работ, связанных с изучением динамического НДС оболочек и использованием метода расчленения, были работы Н.А.Алумяэ, Л. Поверуса, У.К.Нигула [3-6,59,61,66,67,103]. В [3] исследовался осесимметричный переходный процесс в полубесконечной круговой цилиндрической оболочке, вызванный действием краевой нагрузки, меняющейся во времени по синусоидальному закону. В [4] краевая нагрузка на оболочку задавалась во времени функцией Хевисайда, а по дуговой координате менялась по закону косинуса. В [3] асимптотическое обращение контурных интегралов от изображений решений по Лапласу позволило разложить НДС на безмоментное решение и краевые эффекты, В [4] расчленение напряженных состояний проводилось с учетом показателя изменяемости по времени.
Работа У.К.Нигула [66] посвящена изучению начального этапа переходных процессов деформации упругих круговых цилиндрических оболочек, вызванных торцевой нагрузкой, которая действует или возрастает до максимального значения за время, которое соизмеримо со временем пробега волнами деформаций пути, равного характерному размеру срединной поверхности оболочки или меньше этого времени. На основании анализа переходных процессов деформации плит была получена следующая качественная картина деформации: в момент приложения ударной нагрузки к торцу в оболочке возникает сложная система первичных волн, как продольных, так и поперечных, которые начинают распространяться вглубь оболочки. При этом первичные волны, распространяющиеся в продольном направлении, взаимодействуя с лицевыми поверхностями, отражаются от них и, в свою очередь, порождают вторичные волны, причем каждая из волн порождает и продольную, и поперечную отраженную волну. Таким образом, в оболочке возникает сложная система волн. Поскольку с течением времени количество волн катастрофически растет, отдельное построение и анализ числа элементарных волн практически неосуществимы. Поэтому при расчете тонкостенных конструкций следует изучать вклад не отдельно взятой волны, а суммировать вклад всех волн пакета. В данной работе выявлены области и условия применимости приближенных теорий для аппроксимации суммарного вклада отдельных волн, проведено численное сопоставление решений по теории упругости и по приближенным теориям. В [66,67,103] приведены результаты исследований по изучению областей применимости теории Кирхгофа-Лява и теории типа Тимошенко при осесимметричной деформации оболочек вращения, вызванной локальной нагрузкой, проанализированы результаты использования методов перевала, стационарной фазы, конечных разностей и прифронтовой асимптотики. Один из главных выводов, сформулированных в данных работах, заключается в том, что характер НДС существенно зависит от изменяемости воздействия во времени.
В работе Berkowitz Н.М. [82] решалась задача об определении осесимметричных напряжений, возникающих в результате удара полубесконечной упругой цилиндрической оболочки, двигающейся с осевой скоростью, по направлению к жесткой преграде. С помощью безмоментной теории были получены не только главный член асимптотического разложения для больших значений времени, но и дополнительные члены. Это позволило оценить точность решения для точек, находящихся далеко позади фронта волны. Кроме того, было получено решение, имеющее силу вблизи фронта волны.
В работе [56] А.П.Малышева и В.И.Паничкина рассматривались одномерные волновые процессы в оболочках вращения, возникающие при действии б ыстроиз меняющихся нагрузок. В работе показано, что величина разрыва на фронте продольной волны остается постоянной. Полученные результаты демонстрируют разделение НДС оболочки на безмоментное состояние и краевой эффект.
При решении задач нестационарной динамики большинство используемых методов основывается на применении интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Для получения решения в начальные промежутки времени Н.Д.Векслер в работах [8,9] использовал метод прифронтовой асимптотики, основанный на разложении изображений по Лапласу в ряды по отрицательным степеням параметра преобразования. С удалением от фронтов использовались методы перевала и стационарной фазы. Разнообразные методы обращения решения двумерных задач для стержней и пластин и безмоментных задач для цилиндрических оболочек, основанные на аналитических свойствах интегральных преобразований, освящены в [74,75],
Значительный вклад в развитие асимптотических методов решения нестационарных задач теории оболочек внесли работы Л.Ю.Коссовича [41-46]. Исследования нестационарного волнового НДС оболочек вращения проводились в [42] с использованием понятия показателя изменяемости, введенного Л.Л.Гольденвейзером. Рассматривался один из важных классов нестационарных задач - класс задач о распространении волн деформаций в оболочках вращения под действием ударных нагрузок, приложенных к торцу оболочки. В работе [42] исследовались осесимметричные волновые процессы в оболочках вращения. Были выделены тангенциальная составляющая, описывающая распространение волны растяжения-сжатия. И нетангенциальная, описывающая распространение изгибной и сдвиговой волн. В случае неосесимметричных воздействий в [43] проведено исследование областей согласования интегралов теории Кирхгофа-Лява, описывающих НДС в областях оболочки, примыкающих к торцу и быстроизменяющихся составляющих, описывающи напряженное состояние в прифронтовых областях. Установление областей согласования динамического краевого эффекта, описываемого теорией Киргофа-Лява, и антисимметричной составляющей быстроизменяющегося прифронтового поля было проведено также в [44]. Здесь же определены зоны действия приближенных теорий и расположения областей согласования этих теорий.
В монографии [45] были разработаны асимптотические подходы к нестационарным задачам для оболочки вращения с меридианом произвольной формы, основанные на расчленении НДС на безмоментную, моментную составляющие, и (здесь понимались быстроизменяющиеся составляющие) погранслой с различными показателями изменяемости. Были установлены области действия в фазовой плоскости всех составляющих и доказано сращивание безмоментной составляющей и плоского обратносимметричного погранслоя. Была показана связь различного типа асимптотик двумерных решений со свойствами областей их применимости. На основании такого анализа был разработан подход к получению таких асимптотик без использования интегральных преобразований.
В дальнейшем концепция расчленения нестационарного НДС, разработанная Л.Ю. Коссовичем в [45], получила свое дальнейшее развитие. Так, с показателями изменяемости и динамичности равными 2, были выявлены в работах [37,38,95,96] погранслой в малых окрестностях фронтов волн расширения и сдвига, построены их асимптотически оптимальные уравнения и доказано сращивание указанных погранслоёв с решениями для квазиплоской задачи. В работах [39,46] исследовано нестационарное НДС при ударно приложенных гармонических торцевых воздействиях на оболочки вращения и выявлено расположение зон перехода нестационарной части решения в гармонические колебания. В работах [7,81] рассмотрено нестационарное НДС в оболочках из вязкоупругих материалов. Введение нового параметра - показателя интенсивности времени релаксации - позволило описать новую классификацию нестационарного НДС конструкций в случае вязкоупругих материалов с дифференциальной формой уравнений состояния. Выведены асимптотически оптимальные уравнения всех составляющих.
Несмотря на значительное количество работ, посвященных применению асимптотических методов к задачам динамики оболочек в двумерной постановке, асимптотический вывод двумерных уравнений из трехмерных уравнений теории упругости ранее не был осуществлен. В работе Ю.Д.Каплунова, И.В.Кирилловой, Л.Ю.Коссовича [35] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек. Были получены предельные двумерные системы.
Исследования Ю.Д.Каплунова [31-34,88] внесли существенный вклад в изучение нестационарных волновых процессов.
В [31] к построению двумерных уравнений теории оболочек, описывающих высокочастотные НДС малой изменяемости, применялся метод асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории упругости. Были установлены области применимости и погрешность полученных уравнений. Исследования высокочастотных колебаний оболочки вращения проводились в [32].
В [33] Ю.Д.Каплуновым и Е.В.Нольде проводился асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая изгиба пластин. В отличие от большинства работ, посвященных асимптотическому построению двумерной динамической теории пластин, два безразмерных асимптотических параметра (показатель изменяемости и показатель динамичности) полагались независимыми.
В работах [23,88] обсуждаются линейные ТР теории (по имени СП. Тимошенко и Е. Рейснера) пластин и оболочек, т.е. теории, учитывающие деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения. Ставится вопрос об их построении асимптотическим методом и о вытекающих из этого оценках погрешностей для задач статики и динамики. Предлагается метод расширения применимости ТР теорий для динамических задач.
Принципиально новым является результат, приведенный в [94], Было показано, что для определения НДС оболочки вращения в окрестности квазифроита вместо общих уравнений коротковолновой высокочастотной составляющей можно использовать уравнения теории Кирхгофа-Лява с учетом оператора приведенной инерции. Уточнение этих уравнений позволяет расширить область применимости классической двумерной теории.
Значительное время сфера применения асимптотических методов в нестационарной динамике тонких упругих тел ограничивалась случаями нестационарных волн в пластине, круговой цилиндрической оболочке и оболочках вращения. Результаты исследований в области асимптотической теории тонких упругих тел обобщены Ю.Д.Каплуновым, Л.Ю.Коссовичем, Е,В.Нольде в монографии [93]. На основе трехмерных уравнений теории упругости получены асимптотически оптимальные уравнения низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющие в совокупности описать как стационарные, так и нестационарные динамические процессы. Разработаны двумерные теории высшего порядка пластин и оболочек, рассмотрены задачи колебания оболочек вращения, тонких тел в среде, излучения тонкими телами. Выведены асимптотически оптимальные уравнения динамических погранслоев в окрестностях фронтов волн расширения и сдвига, в окрестности квазифронта.
Окончательная форма расчленения нестационарного НДС оболочек вращения описана в [47] при торцевых ударных воздействиях видов LT и LM.
Использование предложенных методов для новых классов задач было проведено в следующих направлениях: изучения установления стационарных процессов (Березин В. Л,, Парфенова Я.А., Никонов А.В.), анализ волн в случаях новых классов ударных воздействий (Каплунов Ю.Д., Мухомодияров P.P., Шевцова Ю.В.), исследования отраженных и прошедших волн в подкрепленных оболочек вращения (Копнина А.Ю.), исследование влияния трансверсалыю изотропного упругого материала на нестационарные волны (Шевцова Ю.В., Мухомодияров P.P.,), исследования влияния вязкоупругости материалов на нестационарные волны (Бажанова Н.С., Анофрикова Н.С., Сухоловская М.С.), что подтверждает универсальность разработанных методов.
Данная диссертационная работа посвящена исследованию нестационарного волнового НДС при ударных воздействиях нормального типа на лицевые поверхности и на торец пластин. В работе развивается асимптотический подход к решению задач о переходных волновых процессах в пластинах.
В момент приложения ударной нагрузки начинает распространяться головная волна. Взаимодействуя с лицевыми поверхностями, эта волна порождает отраженные волны, которые также распространяются вглубь пластины и, в свою очередь, порождают отраженные от лицевых поверхностей волны. При построении волнового НДС используется принцип, основанный на суммировании вклада в решение всех воли пакета, а не на изучении вклада отдельно взятой волны.
Исследования выполнены на базе линейной теории упругости, В первом пункте первой главы приведена постановка трехмерных задач теории упругости для бесконечной и полубесконечной пластины. Далее в главе приведена постановка задачи по двумерной теории, а именно, по теории типа Тимошенко. Поставлены граничные условия на торце и на лицевых поверхностях пластин, моделирующие ударную нагрузку нормального типа. Уравнения записаны в декартовой системе координат.
При анализе волнового НДС используется метод расчленения его на составляющие с разными показателями изменяемости. Изменение показателей изменяемости и динамичности, в зависимости от продольной координаты и времени, определяет возможность описания НДС в различных участках фазовой плоскости различными приближенными теориями . Схема расчленения нестационарного НДС, возникающего при действии ударной нагрузки нормального типа в пластине, и схема применимости асимптотических теорий описаны в третьем пункте главы.
Во второй главе на базе трехмерной теории упругости и теории типа Тимошенко изучается нестационарный волновой процесс в упругой бесконечной пластине при ударном сосредоточенном нормальном воздействии на лицевые поверхности. Решение находится с помощью двукратных интегральных преобразований: Лапласа - по времени и Фурье -по продольной координате. Во втором параграфе анализируется решение на примере перерезывающего усилия. При обращении преобразования Лапласа используется теория вычетов, а при обращении преобразования Фурье -метод стационарный фазы. На основе классификации вклада точек стационарной фазы в решение выявлены асимптотические свойства и определены границы областей применимости асимптотически главных составляющих решения: изгибной составляющей, составляющей для поля Релея (в окрестности условного фронта поверхностных волн Релея) и погранслоя в окрестности фронта волны сдвига. В третьем параграфе приводится решение данной задачи на основе теории типа Тимошенко, Для нахождения оригиналов, в зависимости от диапазонов значений А, г, используются различные асимптотические методы: метод перевала, метод прифронтовой асимптотики и другие методы,
В третьей главе исследуется задача распространения волн в полубесконечной пластине, к торцу которой приложена ударная нагрузка типа NW, постоянно распределенная по толщине и не изменяющаяся со временем. В первом параграфе поставленная задача изучается на основе трехмерной теории упругости. Формальное решение уравнения находится с помощью двукратных интегральных преобразований: Лапласа - по времени и синус- и косинус- преобразования Фурье - по продольной координате. Обращение двукратного интегрального преобразования произведено в следующем порядке: сначала обращение преобразования Фурье по теории вычетов, а затем преобразование Лапласа. Анализируется решение на примере перерезывающего усилия Nif напряжения ои и перемещения и3. Во втором параграфе данная задача изучается по теории типа Тимошенко. Решение уравнения проводится с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени. Обращение преобразования Лапласа осуществляется с помощью метода перевала. При малых значениях времени обращение преобразования проводится с помощью разложения по отрицательным степеням корня из параметра преобразования, а при больших значениях времени - метода прифронтовой асимптотики.
Четвертая глава посвящена построению уравнения погранслоя в окрестности фронта поверхностной волны Релея символическим методом А.И. Лурье. В первом пункте приводится вывод уравнения погранслоя для упругого полупространства при нормальном воздействии [36]. Во втором параграфе выводится приближенные уравнений погранслоя в окрестности фронта поверхностных волн Релея для пластины, при сосредоточенном ударном нормальном воздействии на лицевые поверхности. Применение интегральных преобразований Лапласа и Фурье к этой задаче дает решение, полностью совпадающее с решением, полученным во второй главе по трехмерной теории упругости.
В заключении диссертации сформулированы основные выводы.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [48,49,50,52,53].
Автором выносятся на защиту основные положения: разработка математической модели нестационарного процесса в теории пластин при нормальных воздействиях, основанной на использовании асимптотических методов исследования задач, разработка методов аналитического решения задач для всех составляющих НДС, определяющих волновой процесс во всех областях фазовой плоскости и устанавливающих их границы применимости, разработка методов определения решения для квазифронта
Релеевского типа методом стационарной фазы, построение асимптотически оптимальных уравнений символическим методом Лурье для поля Релея.
Научная новизна диссертации: впервые разработан асимптотический подход к решению нестационарных задач для пластин при нормальных воздействиях, основанный на расчленении НДС, выделены границы применимости различных составляющих решения. Кроме того, впервые асимптотическими методами проанализировано и приближенно аналитически определено решение в окрестности условного фронта поверхностных волн Релея. Также построены уравнения погранслоя для поля Релея в пластине символическим методом А. И. Лурье на основе анализа трехмерных уравнений теории упругости.
Достоверность результатов обеспечивается применением при решении поставленных задач апробированных асимптотических методов и приближенных теорий, строгостью используемых математических методов, подтверждается непротиворечивостью полученных результатов и их сравнением с известными работами других авторов, физическими соображениями, переходом полученных асимптотических решений к известным решениям.
Практическое значение работы состоит в расширении области действия асимптотических методов исследования нестационарных волновых процессов в пластинах. Представленные методы необходимы для расчета тонкостенных конструкций на прочность в авиастроении, судостроении и других отраслях промышленности при проектировании конструкций, подверженных быстроизменяюшимся во времени воздействиям. Разработанные асимптотические методы исследования представленных в работе задач позволят решить актуальный для практики расчета конструкций на прочность вопрос создания надежных численно-аналитических методов исследования динамического НДС пластин.
Апробация работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, доложены: на III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (г. Ростов-на-Дону, 2003 г.), научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.
Поверхностные и торцевые ударные воздействия нормального типа на пластину. Теория типа Тимошенко
К изучению переходных волновых процессов применим простейший вариант линейной динамической теории типа Тимошенко. Будем принимать во внимание не только влияние сил инерции, соответствующих повороту сечения, но также и влияние касательных напряжений на прогиб пластины. Угол поворота нормали к срединной поверхности надо считать состоящим из угла у/, дающего поворот элемента пластины как целого, и угла tp, характеризующего деформацию сдвига. Будем рассматривать плоскую деформацию типа изгиба, зависящую от координат х, z.
На рис. 1.4. изображена деформация элемента пластины в плоскости xz. Через и обозначен прогиб срединной плоскости - основная величина при поперечных колебаниях.
Пластины совершают при колебаниях не только поступательное движение, но и вращаются. Угол поворота, равный углу наклона касательной к кривой изгиба, выражается через —, который состоит из угла ij/, дающего ох поворот элемента поперечных сечений пластины вследствие изгибающих моментов, и угла (р, который характеризует поворот нормали после деформации в том же поперечном сечении за счет касательных напряжений.
Мы принимаем во внимание не только влияние сил инерции, но также и влияние касательных напряжений на прогиб пластины. Таким образом, полный угол наклона касательной к кривой изгиба равен:
Гипотеза прямых нормалей будет неприменима. В случае р=0 теория Тимошенко переходит в теорию Кирхгофа (моментная составляющая). Соотношения упругости, устанавливающие связь между изгибающим моментом G , перерезывающим усилием N и компонентами перемещений срединной поверхности, имеют вид [64]:
Уравнения движения в. пластине с учетом инерции вращения, находящейся под действием поперечной нагрузки интенсивностью Р, запишутся так [79]:
Запишем двумерный эквивалент граничных условий (1,1.6) - (1.1.7). В случае действия нормальной силы на лицевые поверхности бесконечной пластины, граничные условия реализуется при
Динамические уравнения теории упругости (Ы.1) - (1.1.2) являются строго гиперболическими и определяют два семейства характеристик, вдоль которых распространяются разрывы усилий и деформаций. В соответствии с этим, уравнения плоской задачи описывают два типа волн: волну расширения, распространяющуюся со скоростью с\, и волну сдвига, распространяющуюся со скоростью С2. Теория типа Тимошенко относительно точной трехмерной теории изменяет реальную волновую картину. Если подобрать (при v=0,3) для коэффициента сдвига к2 по предложению Р.Д. Миндлина [101] численное значение 0.86, то появляется новый фронт. При этом разрывы соответствующих функций появляются не на истинном фронте волн (с точки зрения точной трехмерной теории), а на условном фронте поверхностных волн Релея, который, в свою очередь, является фронтом волны сдвига по приближенной двумерной теории Тимошенко.
Будем рассматривать только тонкие пластины, т.е. пластины, для которых величина rj = hiL «I (L - характерное значение длины).
Динамические процессы в тонкостенных телах характеризуются, прежде всего, двумя физическими параметрами [93]: / - равной отношению длины волны к характерному значению длины L и Т - отношением временного масштаба к 1с . Выразим величины / и Т через малый параметр тонкостенности пластины TJ: В [17] а и q названы показателем динамичности и показателем изменяемости НДС соответственно.
В стационарной динамике параметры а и q постоянны для каждой волны. В нестационарной динамике они зависят от времени и координат, т.е. показатели а и q являются локальными.
В теории упругости [45,93] было показано, что решения нестационарных задач для тонких оболочек и пластин имеют высокую изменяемость в окрестностях фронтов воли и меньшую изменяемость вне этих областей.
Изучая два типа нормального воздействия, приведем для каждого из рассматриваемых случаев схему расчленения нестационарного НДС для перерезывающего усилия N в некоторый момент времени, больший времени пробега передним фронтом волны толщины пластины и схему применимости приближенных теорий. В настоящей работе предполагается использовать следующие приближенные теории:
Асимптотически главные составляющие трехмерного решения
Дальнейшая задача состоит в вычислении оригинала по изображению N!{ h . Обратим сначала по теореме о вычетах преобразование Лапласа, а затем преобразование Фурье. Такая очередность обращений была принята в работах [45,48,91,98], а противоположная - в [61,90,93]. Рассматриваем решение при
Анализ свойств функций N F в комплексной плоскости параметра преобразования Лапласа при фиксированном значении действительного параметра % показывает, что изображение N F является функцией мероморфной, то есть не имеющей в конечной части плоскости s особых точек, отличных от полюсов. При фиксированном значении % оно имеет полюсы, совпадающие с корнями уравнения которое является дисперсионным уравнением Релея-Лемба для антисимметричных мод плиты [2,45,93]. Для рассматриваемого случая действительных х корни s уравнения (2.2.1) - чисто мнимы: s =±ій) .
Имеется также полюс s=0, которому соответствует напряженное состояние типа эффекта Сен - Венана и которое мы не будем рассматривать. Исследования показали, что точки - корни уравнения сс=0 и (ї=0 полюсами всей функции Nl F не являются. Обращая преобразования Лапласа, получим решения в виде суммы вычетов в полюсах (2.2.1) Из четырех слагаемых в (2.2.5) только N и Л имеют стационарные точки фазы.
Каждое подынтегральное выражение (2.2.4) представляет собой моду, соответствующую одной из ветвей дисперсионного уравнения и характеризующую антисимметричные свободные колебания плиты. На рис. 2.1. изображены действительные корни уравнения Релея-Лэмба в антисимметричном случае [63].
Распространение неустановившихся возмущений описывается суммой интегралов по всем модам; это означает, что неустановившийся процесс складывается всеми модами при всех значениях постоянной распростране ния %. Однако метод стационарной фазы позволяет выделить для каждой точки деформированной области те групповые скорости колебаний, при которых моды вносят наибольший вклад в напряженное состояние , и оценить этот вклад интегрально. Графики групповой скорости для первых четырех ветвей изображены на рис. 2.2.
Будем рассматривать промежуток времени, когда фронты волн проходят расстояния, большие толщины плиты. Обозначим характерное значение такого расстояние через /, (L»И) и введем малый параметр г\ и соответствующие безразмерные переменные по формулам:
Так как первая мода вносит наибольший вклад в НДС вне малых окрестностей фронтов волн (вклады всех остальных мод вне этих окрестностей имеют порядок CM/r j), рассмотрим только её точки стационарной фазы. При т2»\ \i»h/c2j интегралы (2.2.7) содержат большой параметр в показателе степени экспоненты, что дает возможность использования при вычислении данного интеграла метода стационарной фазы. Уравнение стационарных точек фазы имеет вид:
На рис. 2.3 приведена диаграмма групповой скорости для первой моды при v=0.3, где кривая: 1 - трехмерная теория, 2 - теория типа Тимошенко, 3 -теория Кирхгофа, 4 - асимптотика волны Релея. Выделим пять областей. Вклад стационарной точки из первой области Si, как показывают исследования [2,45,61,93], описывается двумерной теорией Кирхгофа изгиба пластин. Во второй S2 и четвертой SA областях используется метод стационарной фазы второго порядка приближения, причем в области SA возможно приближенное аналитическое определение стационарной точки фазы и, следовательно, аналитическое определение её вклада. В третьей области Sjt в малой окрестности вырожденной стационарной точки, использование формулы метода стационарной фазы второго порядка приближения становится неэффективным. Для такого случая слияния двух стационарных точек решение может быть получено по методике, изложенной в [45]. Пятая область Ss, вместе с областью $2, задают малую окрестность фронта волны Релея. Здесь главная часть решения определяется, как и в работе [70], асимптотикой интеграла при больших значениях параметра %.
Исследование решения по теории типа Тимошенко
Для исследования решения обращение двукратного интегрального преобразования N F произведем в следующем порядке: сначала обращение преобразование Фурье, а затем преобразование Лапласа по времени. При обращении преобразования Фурье используется следующее соотношение:
Вычисление этого интеграла производится с помощью разложения по вычетам подынтегральной функции. Функция N!JP является мероморфной и при фиксированном значении s имеет полюсы, совпадающие с корнями уравнения
Для рассматриваемого случая действительных s корни %п уравнения (2.3.8) -чисто мнимы; Лп іХп- Из четырех корней выбираем два с отрицательной частью, так как решения для перемещения должны затухать при удалении от торца.
Сопоставление первых корней трехмерной теории с корнями двумерных теорий проводилось в работах [2,61,63,101] и многих других. Сплошной линией на рис.2.8. изображены действительные корни для первых двух мод уравнения (2.2.1) и пунктирной линией - мод уравнения (2.3.8).
Первый корень теории типа Тимошенко (при v=0.3 и кгг =0.86) практически совпадает с первым корнем трехмерной теории. Аппроксимации второго корня применимы только при сравнительно небольших значениях s.
Из распространенных вариантов двумерной теории наилучшую аппроксимацию групповых скоростей обеспечивает теория типа Тимошенко. На рис. 2.9 приведены диаграммы групповых скоростей теории Тимошенко при v=0.3 и ki = 0.86 и трехмерной теории упругости.
Из рис. 2.9 видно, что диаграмма первой групповой скорости хорошо аппроксимируется при всех значениях s. Наибольшее отклонение имеет место в районе фазы Эйри - максимальных значений групповой скорости. Однако групповая скорость второй моды хорошо аппроксимируется лишь в узком диапазоне частот.
В работе [46] искомые асимптотические решения для нормального усилия описывают волновой процесс условно в трех областях фазовой плоскости продольной координаты и времени: приторцевои, основной и прифронтовой. Мы также разделим условно на три области, при нахождении перерезывающего усилия. Проиллюстрируем классификацию методов приближенного обращения изображений в различных областях фазовой плоскости. На рис.2.10 приведена схема решения для перерезывающей силы в некоторый фиксированный момент времени. Здесь область Yj - область применения двумерной теории Кирхгофа (Область Si из рис.2.3). Многочисленными исследованиями показано, что, понижая порядок системы на 2, приходим к уравнениям Кирхгофа и теряем квазифронты, т.е. весьма значительно зауживаем область, где можно получить более или менее надежные результаты [64]. Область Y2 - область быстроизменяющегося малоамплитудного решения (Области Зг, S3, S4), область Уз - малая окрестность фронта волны сдвига, прифронтовая область.
Область Y Рассмотрим сначала решения в прифронтовой области с помощью метода прифронтовой асимптотики. Основная идея метода состоит в разложении изображения при д-»оо в ряд по отрицательным степеням параметра преобразования
Сопоставляя с результатами, полученными в п.2,2. на основе теории упругости, видим, что первая мода теории типа Тимошенко, аппроксимирующая вклад первой моды, определяет у второго фронта напряженное состояние, которое в некоторой степени похоже на решение по теории упругости, хотя фронт сам движется с неправильной скоростью и колебания за ним более плавные.
Область Уг. В областях Уг, решения носят малоамплитудный осциллирующий характер, они не представляют здесь практического интереса. Решения определяются методом перевала второго и третьего порядка приближения. Расчетные формулы приведены во втором пункте данной главы (случай Si и S3).
Область Особое место занимают точки перевала при .у «1, т.е. где применима теория Кирхгофа. Сохраняя лишь наипизшие степени уы и s в (2.3.8), получим уравнение:
Вывод уравнений погранслоя символическим методом Лурье в случае сосредоточенных сил на поверхность пластины
Мы пришли к выражению, которое совпадаете формулой (3.1.19). Сопоставляя с результатами, полученными в п.3.1 на основе трехмерной теории, видим, что в области с„ «г0 решение полностью определяется двумерной теорией. Область применимости теории типа Тимошенко гораздо шире, чем теории Кирхгоффа. У фронта волны сдвига имеется пик-напряжений ст[3 и N, , что соответствует скачку нормального усилия на торце при ударном воздействии в начальный момент времени, который с ростом т становится все более узким. Теория Кирхгоффа указанного пика не описывает. Теория типа Тимошенко определяет его с погрешностью как в смысле месторасположения, так и смысле формы. При этом разрывы соответствующих функций появляются на условном фронте поверхностных dv. волн Релея. В его окрестности трехмерное решение для an и имеет существенный всплеск, но является непрерывным. При сопоставлении трехмерной теории и теории типа Тимошенко предполагаем, что имеет место линейное распределение сги по толщине пластины.
В работе [62] дано символическое решение уравнений динамической теории упругости для деформации плиты, антисимметричной относительно срединной поверхности. Для напряженных состояний, изменяющихся медленно как по времени, так и по координатам срединной поверхности, получены из символических выражений в качестве первого приближения формулы теории Кирхгофа, а в качестве уточненных приближений -формулы метода усеченных степенных рядов и теории типа Тимошенко.
В работе Каплунова Ю.Д. и Коссовича Л.Ю. [36] дано символическое решение уравнений для вычисления дальнего поля Релея в случае упругой полуплоскости.
В данной главе на основе символического метода А.И. Лурье выводятся приближенные уравнения погранслоя в малой окрестности фронта поверхностных волн Релея на основе анализа точных трехмерных уравнений теории упругости для пластины. Получены символические формулы и уравнения для поля Релея. Полученное решение можно рассматривать как решение преобразованных по Лапласу и Фурье уравнений движения.
При возбуждении волн нормальной к поверхности полупространства нагрузкой Р в нем возникают как продольные и сдвиговые волны, так и поверхностные волны Релея. Особенности волновых полей в задаче Лэмба, при нормальном воздействии на поверхность полупространства, описаны в работах [26,36,69,70,74]. Рассмотрим применение символического метода Лурье при выводе уравнений погранслоя для поля Релея в простейших случаях и, в частности, к задаче Лэмба для полупространства.
В рассматриваемом случае волн в полупространстве символическое решение системы (4.1.6) может быть записано в форме: Ф и являются функциями от 4 и г , которые определяются из граничных условии на лицевых поверхностях (4.1.4). Знак «-» в показателе экспонент в символических формулах (4.1.10) и (4.1.11) определяет затухание решения при удалении от границ полуплоскости. Символические формулы можно рассматривать как сжатую запись решения в бесконечных степенных рядах.
Построим приближенные уравнения для описания поля в окрестности фронта волны Релея Рассматривая большие моменты времени, когда фронт волны проходит расстояние, большее характерного пространственного масштаба, введем новые безразмерные переменные:
Перепишем исходные соотношения (4.1.6) - (4.1.8) в терминах переменных (4.1.14), предварительно вводя операторные обозначения: Рассмотрим данную задачу с применением метода двукратного интегрального преобразования Лапласа по времени и Фурье - по продольной координате. Проведем преобразования Лапласа по формуле (2.1.5) и Фурье -(2.1.6) над уравнениями движения в перемещениях:
