Содержание к диссертации
Введение
1.Прикладные задачи оптимизации.Обзор литературы.
1.1. Практические задачи,связанные с оптимальным проектированием слоистых конструкций,подверженных воздействию волн ... 15
1.2.Обсуждение трудностей.Обзор литературы 24
2. Общая постановка задачи.построение необходимых условий оптимальности .
2.1.Общая постановка задачи оптимизации для совокупности систем обыкновенных дифференциальных уравнений 42
2.2. Вычисление частных производных от функционала (2.6) по управляющим параметрам 44
2.3.Построение необходимых условий оптимальности 52
2.4. Построение вычислительных процедур оптимизации в случае,когда дифференциальные уравнения для всех подсистем и области управления одинаковы 71
3. Вычислительные алгоритмы прикладных задач оптимизации .практические следствия из условии оптимальности .
3.1.Алгоритмы построения оптимальных многослойных теплозащитных конструкций 79
3.2. Свойства теплофизических параметров оптимальных теплозащитных конструкций в случае дискретной области управления 88
3.3.Свойства теплофизических параметров оптимальных теплозащитных конструкций в случае непрерывной области управления 104
3.4.Оптимальное проектирование звукоизолирующих систем. 114
4. Результаты численных расчетов ізо
Заключение 153
Приложение.акт внедрения 168
- Практические задачи,связанные с оптимальным проектированием слоистых конструкций,подверженных воздействию волн
- Вычисление частных производных от функционала (2.6) по управляющим параметрам
- Построение вычислительных процедур оптимизации в случае,когда дифференциальные уравнения для всех подсистем и области управления одинаковы
- Свойства теплофизических параметров оптимальных теплозащитных конструкций в случае дискретной области управления
Введение к работе
Актуальность темы диссертации.Быстрое развитие за последние
годы химии и технологии высокомолекулярных соединений послужило основой для создания наиболее эффективных материалов,сочетающих в себе высокие теплозащитные свойства -с хорошими прочностными и эксплуатационными характеристиками.Подобных .показателей практически нельзя достигнуть у теплоизоляционных материалов из числа неполимеров.Поэтому дальнейшее совершенствование индустриального строительства, связанного с применением особо легких ограждающих конструкций неразрывно связано с увеличением выпуска и расширением номенклатуры полимерных материалов.
Конструкции на их основе отличаются высокой экономичностью и создают широкие возможности для повышения производительности труда в строительстве и снижения стоимости сооружений.Применение ограждающих конструкций,обладающих небольшим весом,высокой транспортабельт ностыо и относительной простотой монтажа,наиболее целесообразно в случаях,когда необходимо достичь следующих целей:
-уменьшить вес конструкций по сравнению с конструкциями из других строительных материалов(например ,при строительстве в районах залегания вечномерзлых грунтов),
-сократить обьем транспортных и строительно-монтажных работ (особенно при строительстве в отдаленных и труднодоступных районах) и сократить сроки строительства,
-облегчить монтаж и демонтаж сборно-разборных конструкций, уменьшить мощность используемого подьемно-транспортного оборудования,
/-повысить надежность конструкций зданий и сооружений при их эксплуатации в районах высокой сейсмичности.
Высокая индустриальность изготовления, небольшой вес, высокая транспортабельность создают широкие перспективы для применения таких конструкций не только в строительстве, но и в других областях народного хозяйства.
Ограждающие конструкции, как правило, находятся под воздействием волновых процессов различной природы, таких как тепловые ,акустические и должны удовлетворять определенным требованиям на тепловые и акустические характеристики. В частности, они должны обладать высокой теплоустойчивостью и низкой звукопроводностью для определенных спектральных областей.
Применение в строительстве полимерных теплоизоляционных материалов, таких как пенополиуретан,пенополистирол,пенопласты на основе поливинилхлорида (ПВ-1,ПВХ-1,ПВХ-2,ПХА),феноло-формальдегидных полимеров (ФФ,ФК-20,ФК-40,ФС-7,ФРП-1,ФРП-2),эпоксидных полимеров, полиолефинов и других,обладающих низкими коэффициентами теплопроводности, позволяет получать требуемую теплозащитную способность ограждения при значительно меньшей общей толщине конструкции. Однако уменьшение, общей толщины конструкции, как правило, приводит к тому, что она уже не будет удовлетворять требованиям на теплоустойчивость. Низкая теплоустойчивость тонкостенных панелей является, существенным препятствием на пути их применения в качестве ограждающих конструкций в строительстве.
Из теории распространения волн известно,что на затухание волн в многослойных средах существенное влияние оказывают физические параметры Материалов слоев,а также их порядок расположения.
Значительное изменение энергетических характеристик волновых процессов обусловлено явлением многолучевой интерференции преломленных и отраженных волн при прохождении через многослойную среду. В работах Никитиной Л.М.,Тимошенко А.Т.,Попова Г.Г.,Толстякова Д.И. [б2,85,8б] показано,что сочетание двух утеплителей с существенно различающимися свойствами в конструкции,ограниченной параллельными плоскостями,при строго определенном соотношении их толщин и порядка расположения позволяет значительно повысить ее. Эффект повышения теплоустойчивости на основе определенного сочетания двух материалов с существенно различающимися теплофизи-ческими свойствами позволяет использовать при воздействии тепловых волн более тонкие ограждающие конструкции,а,следовательно,значительно уменьшить стоимость и вес конструкций при соблюдении тех же требований на их теплотехнические характеристики.В работах
(62,85,86] рассматривался случай гармонического температурного воздействия на многослойную плоскую стенку, построенную на основе чередования двух материалов с существенно различающимися теплофи-зическими свойствами. Исследования проводились на основе численных расчетов путем перебора допустимых выриантов при небольшом числе слоев и небольшом количестве материалов допустимого набора. Выводы относительно качественных свойств конструкций, обладающих высокой теплоустойчивостью, полученные в работах Гб2,85,8б] ,носят эмпирический характер,поскольку получены на основе анализа ограниченного числа вариантов,а не на основе теоретического исследования моделей теплопереноса через многослойные среды.
В случае акустических волн наблюдается аналогичный эффект резкого увеличения звукоизоляции многослойных ограждающих конструкций при определенном сочетании материалов слоев с различными физическими свойствами и строго определенном соотношении их толщин.Вопросами оптимального проектирования многослойных звукоизолирующих конструкций занимались.В этих работах показано, что наилучший эффект дает сочетание материалов с существенно различающимися физическими свойствами. Задачи проектирования звукоизолирующих конструкций рассматривались для случая, когда каждый материал характеризуется только одним параметром, например, скоростью звука, либо различные физические характеристики материалов слоев независимы друг от друга, что упрощает задачу. Имеющиеся литературные данные показывают, что значительного затухания волн (тепловых, акустических упругих) в многослойных системах можно достичь на, основе строго определенного сочетания материалов с существенно различающимися свойствами.
При эксплуатации в реальных условиях ограждающие конструкции должны удовлетворять разнообразным требованиям. Как правило, они должны быть оптимальными по нескольким критериям, например, иметь высокую теплоустойчивость, низкую стоимость и удовлетворять различным ограничениям, например на вес, теплозащитную способность.
Использование материалов из числа не полимеров не позволяет добиться значительного эффекта вследствие ограниченной возможности варьирования их физических свойств в широких пределах.С овременные химия и технология дают возможность создавать полимерные материалы с широким разнообразием физических и физико-механических свойств. Значительные перспективы в этом направлении открываются в связи с возможностью создания полимерных гибридов, т.е. материалов с новыми свойствами на основе заданного сочетания известных полимеров.
Возможность создания полимерных материалов с существенно различающимися характеристиками позволяет, подбирая определенным образом физические свойства материалов слоев, толщины слоев, а также их число управлять энергетическими характеристиками волновых процессов в широких пределах при выполнении различных ограничений на параметры конструкции. В связи с этим весьма актуальной является следующая проблема: из достаточно представительного набора полимерных материалов, характеризующихся широким разнообразием физических свойств спроектировать многослойную конструкцию (т.е. подобрать физические параметры материалов слоев, соотношение толщин слоев и их число),которая обладала бы максимальным затуханием температурных волн, или спроектировать многослойное ограждение, обладающее максимальной звукоизоляцией. Весьма важен вопрос о характере сочленения слоев с различными теплофизическими или акустическими характеристиками в оптимальной конструкции, т.е. какой структурой должны обладать многослойные конструкции с максимальной теплоустойчивостью или звукоизоляцией. Знание структуры оптимальных конструкций позволяет существенно сократить множество допустимых вариантов конструкций,исследуемых на оптимальность. Неисследован вопрос о том,каким образом влияет на энергетические характеристики волнового процесса в многослойной среде увеличение числа ее слоев. При эксплуатации в реальных условиях важно- знать как влияет на структуру много-слойных полимерных конструкций с экстремальными характеристиками изменение спектрального состава волнового воздействиям также граничных условий на внешней и внутренней поверхностях. Перечисленные выше проблемы имеют важное значение не только для плоских, но и для криволинейных конструкций типа многослойной сферы или многослойного цилиндра. Данные о повышении теплоустойчивости многослойных криволинейных конструкций в литературе отсутствуют.
Практические задачи,связанные с оптимальным проектированием слоистых конструкций,подверженных воздействию волн
Данную систему можно считать состоящей из А/ . подсистем,взаимосвязанных друг с другом,каждая из которых определена на своем отрезке (ts-i 2fsX5= ) » а Разных отрезках функционирование динамической системы описывается различными системами дифференциальных уравнений.В точках ,($ =,Ы-і) ,в общем случае нефиксированных, происходит переход от одной системы дифференциальных уравнений к другой.В этих точках переменные,характеризующие состояние динамической системы могут претерпевать разрывы.Системы с подобной структурой в литературе получили название многоступенчатых или многоуровневых,Для построения эффективных вычислительных алгоритмов оптимизации многоступенчатых систем в последнее врегля стали применятся разнообразные декомпозиционные подходы [50,51,67,94,95] .Методы декомпозиции связаны с возможностью расчленения исходной задачи оптимизации на ряд вспомогательных задач меньшей размерности.Для эффективности вычислительных процедур,построенных на основе схем декомпозиции необходимо,чтобы вспомогательные задачи,на которые расчленяется исходная задача,обладали рядом дополнительных свойств, например, имели бы достаточно простую структуру и были хорошо изученными с вычислительной точки зрения.Одной из существенных особенностей системы (В.І) является вхождение управляющих параметров Цг одновременно в уравнения для точек переключения и в дифференциальные уравнения на каждом интервале.Для произвольных вектор-функций S) Z С Г2,.А/) затруднительно подобрать такую схему декомпозиции,-чтобы соответствующие вспомогательные задачи имели достаточно простую структуру,например,расчленялись бы на ряд вспомогательных задач меньшей размерности.Вследствие этого,проблема оптимизации управляемых систем подобного типа достаточно сложна,особенно в случае их высокой размерности.Для задач оптимального проектирования слоистых систем,как задач оптимального управления типа (3,1) (В.2) построение оптимального решения ещё более усложняется требованием конечности числа элементов,составляющих множества Ug .
Основная цель настоящей работы заключается в обосновании нового подхода для решения задач оптимизации сложных динамических систем,имеющих структуру типа (В.1),(В.2) и исследование с помощью данного подхода задач оптимального проектирования слоистых композитов с экстремальными характеристиками.
Научная новизна,личный вклад. Исследован новый подход к построению оптимального решения в сложных многоступенчатых системах, функционирование которых описывается совокупностью систем дифференциальных уравнений специальной структуры.С помощью предлагаемого подхода исследованы задачи оптимизации,для решения которых до сих пор не существовало единой методики.В качестве таковых рассмотрены задачи управления энергетическими характеристиками волновых процессов (тепловых,акустических) путем выбора структуры многослойных полимерных конструкций.Для этих задач рассматриваемый подход позволил построить эффективные вычислительные процедуры и установить ряд качественных свойств оптимальных параметров многослойных систем,в частности,установлен характер чередования слоев на экстремальном решении.
Практическая ценность. Основные результаты работы являются новыми и представляют теоретический и прикладной интерес . Полученные качественные свойства параметров оптимальных многослойных ограждений позволяют выявлять их структуру,а также проводить приближенный синтез оптимальных полимерных конструкций без использования вычислительной техники.Исследована зависимость оптимальных параметров многослойных полимерных конструкций от граничных условий на внутренней и наружной поверхностях,а также от основной частоты волнового воздействия,что является важным при эксплуатации многослойных огршадении в реальных условиях.На основе предлагаемой методики составлены, программы на языке Фортран для оптимизации многослойных полимерных конструкций по критериям теплоустойчивости и звукопроводности,а также многоцелевой оптимизации по критериям теплоустойчивости и приведенной стоимости, с различными ограничениями на параметры ограждения (например-на вес,теплозащитную способность) .Численные эксперименты показали высокую эффективность предлагаемой методики расчета.Многослойные полимерные конструкции, рассчитанные теоретически,отличаются хорошими теплотехническими и акустическими характеристиками.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были доло жены и обсуждены на научных семинарах института математики СО АН СССР в 1981-82 г.г. ,семинарах Отдела прикладной математики и вы числительной техники Якутского филиала СО АН СССР,на [V рес публиканской конференции молодых ученых и специалистов,посвя щенной XIX съезду ВЛКСМ (Якутск, 1982 г.),на_/у и V Все союзных конференциях по механике композитных материалов (Рига, 1980,1983 гг.),на X Всесоюзной школе по методам оптимизации и теории управления (Иркутск,1983 г.). Практическая реализация работы. Разработанная в диссертации методика расчета оптимальных многослойных теплозащитных конструкций при воздействии тепловых волн внедрена в практику проектирования многослойных строительных панелей при проектировании Якутским.лаучно-исследовательским филиалом института Забайкал-промстройниипроект панели с термовкладышами,изготавливаемых Бес-тяхским заводом ЖБИ. Достоверность научных результатов и выводов обусловлена достоверностью исследуемых моделей распространения волн различной природы в многослойных системах,правильностью теоретических выкладок и сравнением результатов с литературными данными. Публикации. Основное содержание диссертации отражено в девяти статьях. Обьем работы.Диссертационная работа состоит из введения,четырех глав -и. заключения,изложена на 167 страницах машинописного текста,включает 13 таблиц и список литературы из 116 наименований . Диссертационная работа выполнена в Отделе прикладной математики и вычислительной техники Якутского филиала СО АН СССР в соответствии с планом научно-исследовательских работ отдела "Построение и идентификация математических моделей систем,функционирующих в условиях Севера",!? гос.регистрации 78069293.
Вычисление частных производных от функционала (2.6) по управляющим параметрам
Возможность применения данного подхода обусловлена спецификой взаимосвязи подсистем друг с другом.Однако достаточно существеннные отличия- в форме связи подсистем друг с другом для данной задачи и задачи (1.2),(1.3) не позволяют использовать рассмотренный подход для нахождения оптимальнго решения в задаче (1.2),(1.3).
Таким образом,задачи оптимального управления процессами,описываемыми системами дифференциальных уравнений со структурой,подобной структуре системы (1.2) встречаются в различных областях. Аналогичную структуру будут иметь модели,описывающие распространение волн другого типа (не тепловых),например,звуковых,электромагнитных, через слоистые конструкции [4J .
На основе сделанного обзора можно сделать вывод,что хотя рас-мотренные управляемые процессы и описываются схожими системами дифференциальных уравнений,однако они имеют также много отличительных особенностей.Эти особенности не позволяют использовать для задач оптимального проектирования теплозащитных конструкций алгоритмы,разработанные для приведенных выше задач оптимизации.
Рассмотрим теперь возможность применения для решения задачи (1.2),(1.3) стандартных методов оптимального управления, таких как принцип максимума и нелинейное программирование,Один из возможных путей связан со сведением-задачи оптимизации (1.2), (1.3) к дискретной задаче оптимального управления аналогично тому,как это было сделано в [5J .Для этого система (1.2) сводится к алгебраической системе посредством выражения решения системы дифференциальных уравнений на каждом интервале ( s ±, &&) (s=-l/j) в аналитическом виде 5 ] .Полученная дискретная задача оптимизации может быть решена с помощью дискретного принципа максимума. Другой путь связан с нахождением производных от критерия (1.3) по управляющим параметрам и решении задачи (1.2),(1.3) с помощью градиентных методов.Такой подход рассмотрен в [89] .Однако такие особенности рассматриваемой задачи оптимизации,как дискретность управляющих параметров ввиду конечности числа материалов допустимого набора,существенная нелинейность системы по теплофизичес-ким параметрам материалов елоев,приводят к неэффективности обоих подход о в.Размерность рассматриваемой задачи находите;, в прямой зависимости от числа слоев конструкции.Поэтому при достаточно большом числе слоев,соответствующая задача оптимизации будет иметь высокую размерность,что также служит существенным ограничением для рассматриваемых подходов.При применении метода динамического программирования к задачам типа (1.2),(1.3) необходимо произво-дить дискретизацию величин Xs(s-i),Xs(&s-i) (s=2 ) .При достаточно большом числе слоев и достаточно большом наборе допустимых материалов метод динамического программирования является неэффективным вследствие того,что число возможных вариантов будет велико. Кроме того,для задач оптимального проектирования слоистых конструкций важно не только получение оптимального решения численными методами,но также имеет большое значение разработка достаточно простых рекомендаций для построения конструкций,близких к оптимальным.Из теории оптимального управления известно,что для линейных систем оптимальное управление является релейным.Этот факт непосредственно доказывается с помощью принципа максимума.Знание структуры оптимального управления,во-первых,позволяет построить достаточно эффективные вычислительные процедуры для его нахождения, во-вторых,о.блегчает решение задачи синтеза оптимального управления.
Для задач оптимального проектирования слоистых конструкций, учитывая их практическую направленность,особенно важно получение необходимых условий оптимальности в форме,позволяющей сделать ряд качественных выводов о свойствах оптимальной конструкции,что в свою очередь будет способствовать выработке рекомендаций для приближенного построения оптимальных конструкций без проведения расчетов на ЭВМ.Очевидно,что указанные выше возможные подходы к решению задачи (1.2),(1.3) не позволяют определить структуру оптимальной конструкции без использования вычислительной техники.Таким образом, для решения задач (1.2),(1.3) в изложенной выше постановке не су-, ществует в настоящее время эффективных методов нахождения оптимального решения.Поэтому для решения задач оптимального проектирования многослойных конструкций,описываемых моделью (1.2) использовался, в основном,метод полного перебора допустимых вариантов.Но,так как число вариантов резко возрастает с увеличением числа слоев конструкции и количества материалов допустимого набора,такой подход позволяет находить параметры оптимальной конструкции только в сравнительно простых ситуациях.В связи с этим имеется необходимость разработать достаточно эффективные необходимые условия оптимальности для задач оптимизации,имеющих структуру,подобную структуре задачи (1.2),(1.3) и построить на их основе эффективные вычислительные алгоритмы расчета оптимальных слоистых ограждений при любом числе составляющих их слоев.Кроме того,желательно,чтобы эти необходимые условия оптимальности позволяли сделать качественные выводы о свойствах оптимальной конструкции.Последнее условие важно для выработки рекомендаций к построению конструкций,близких к оптимальным,без использования вычислительной техники.
Построение вычислительных процедур оптимизации в случае,когда дифференциальные уравнения для всех подсистем и области управления одинаковы
Условие экстремальности функции Ъ( (р) можно использовать для предварительного выявления материалов заведомо не входящих в оптимальную теплоустойчивую конструкцию,что позволяет существенно сократить множество допустимых вариантов.Отметим,что инвариантными относительно предварительного отбора будут всегда материалы с минимальным значением коэффициента теплопроводности ( ft О ) и максимальным значением удельной объемной теплоемкости ( /3 . 1 ). В случае,когда множество оказывается состоящим только из двух элементов,то теплоустойчивая конструкция,оптимальная по теплофизическим свойствам материалов слоев и их порядку расположения в конструкции,может быть построена путем чередования этих материа-лов.Кроме того,для достаточно большого набора теплофизических свойств допустимых материалов экстремальное значение функции 2&;в) достигается на материале с минимальным значением коэффициента температуропроводности.Учитывая, что условие y8 i обычно соответствует случаю теплоизолированной.внутренней поверхности,исключим его из рассмотрения положив: d&0 .Количество элементов множества 2 прямо связано со степенью сложности зависимости коэффициента температуропроводности от коэффициента теплопроводности .Для достаточно простых видов зависимости Х(Х) множество будет состоять из двух элементев.Один из элементов будет соответствовать материалу , обладающему минимальным значением коэффициента температуропроводности или максимальной удельной объемной теплоемкостью.Второй элемент соответствует допустимому материалу с наименьшим значением коэффициента теплопроводности.
Таким образом,в ряде случаев конструкция,оптимальная по теп-лофизическим свойствам составляющих ее материалов,может быть построена путем чередования материала с минимальным значением коэффициента теплопроводности и материала с максимальным значением удельной объемной теплоемкости или с минимальным значением коэффициента температуропроводности (в зависимости от того,на каком из них достигается экстремальное значение функции Z(X,p) ).Эти выводы согласуются с результатами численного расчета оптимальных теплоустойчивых конструкций.
В случае,когда максимальное значение функции 2(ъ,р) достигается не более чем на одном элементе при J3f0,i] (не считая материала с минимальным значением коэффициента теплопроводности), то свойство 5 может быть использовано для упорядочения допустимого набора материалов в следующем смысле.Найдем материал коэффициент теплопроводности которого доставляет максимальное значение функции 2(Ь,р) для р\0,1) среди коэффициентов теплопроводности допустимых материалов.Присвоим этому материалу порядковый номер I.Тогда из данного материала и материала,обладающего минимальным значением коэффициента теплопроводности можно построить оптимальную теплоустойчивую конструкцию,теплоустойчивость которой будет выше,чем у любой другой,построенной из материалов допустимого набора.Исключим материал М из числа допустимых.Затем найдем материал,теплофизические свойства которого доставляют экстремальное значение функции 2ftj3) при fitfe/i) на оставшемся множестве допустимых материалов.Присвоим этому материалу порядковый номер 2.В сочетании материала с минимальным значением коэффициента теплопроводности с данным можно построить оптимальную теплоустойчивую конструкцию,теплоустойчивость которой выше чем у любой конструкции,построенной из материалов оставшегося набора,но меньше чем у оптимальной конструкции,построенной из материала с минимальным значением коэффициента теплопроводности и материала № I.Исключим материал номер 2 из допустимого набора и повторим описанный процесс.В результате весь допустимый набор материалов можно упорядочить указанным образом.
Подобное упорядочение может проводиться,например,в случае, когда из некоторого достаточно широкого множества допустимых материалов необходимо выделить.некоторое подмножество материалов, пригодных для построения многослойных теплозащитных ограждений, обладающих высокой теплоустойчивостью.
Рассмотрим теперь случай,когда зависимость коэффициента температуропроводности от коэффициента теплопроводности не является однозначной, на допустимом наборе материалов.Пусть имеется несколько материалов,обладающих одинаковыми коэффициентами теплопровод-ности.Из вида функций ft,K следует,что среди материалов,обладающих одинаковыми коэффициентами теплопроводности,максимальное значение функций Як при любых значениях коэффициентов к,рк достигается на материале,обладающем наименьшим значением коэффициента температуропроводности.Поэтому справедливо следующее свойство.
Среди материалов,обладающих одинаковыми коэффициентами теплопроводности в оптимальной теплоустойчивой конструкции может присутствовать только материал с наименьшим значением коэффициента т емпературопро водно сти.
Это свойство позволяет рассматривать однозначные зависимости коэффициента температуропроводности от коэффициента теплопроводности. Среди материалов,обладающих одинаковыми коэффициентами теплопроводности в допустимом наборе можно оставлять только материал с наименьшим значением коэффициента температуропроводности.
Свойства теплофизических параметров оптимальных теплозащитных конструкций в случае дискретной области управления
Примеры расчетов приведем для задач оптимального проектирования теплозащитных и звукоизолирующих конструкций,Ограничимся рассмотрением гармонического воздействия на наружную поверхность слоистого ограждения,представляющего собой многослойную стенку.Рассмотрим первоначально задачи теплоизоляции.
Для построения оптимальной теплозащитной конструкции воспользуемся вычислительным алгоритмом оптимизации,приведенным в разделе 3, позволяющим находить многослойную конструкцию,оптимальную как по теплофизическим свойствам материалов слоев и их толщинам,так и по числу слоев.Вычислительная схема алгоритма описана для случая, когда внутренняя поверхность ограждения является теплоизолированной ( (Хв =0).Однако для практических приложений более типична ситу-ация,когда db O .Поэтому численные расчеты оптимальных конструкций проведем при различных значениях коэффициента теплообмена на внутренней поверхности.Схема алгоритма для сСв О остается неизменной.Однако функции ){A x)(Ss.f-x iSf =iji) будут являться решением следующей краевой задачи:
Сделаем несколько замечаний относительно практической реализации вычислительной схемы раздела З.Для применимости данной схемы необходимо,чтобы исходная конструкция была разбита на достаточно большое число /V элементарных слоев.Однако возможен несколько другой подход,когда конструкция разбивается на большое число слоев не сразу,а постепенно.Первоначально происходит разбиение на два слоя одинаковой толщины,и с помощью процедуры,описанной в разделе 3,находятся значения теплофизических параметров слоев,удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности (3.3). Затем производится разбиение на четыре слоя одинаковой толщины. В качестве начального приближения для четырехслойной конструкции выбирается решение задачи для двухслойной конструкции.Для четы-рехслойного ограждения находятся теплофизические параметры,удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности (3.3).Далее конструкция делится на восемь слоев и повторяется описанная выше процедура, затем-на 16 и так далее.Согласно изложенному выше (см.раздел 3),начиная с некоторого количества слоев /V ,оптимальное решение по теплофизическим свойствам материалов слоев изменяться не будет.При дальнейшем увеличении числа слоев будут уточняться только координаты границ раздела слоев.Объединяя соседние слои с одинаковыми свойствами получим искомую конструкцию,оптимальную как по теплофизическим параметрам материалов слоев и их толщинам,так и по числу слоев.Следует отметить,что при небольшом числе элементарных слоев,толщину каждого из них уже нельзя считать малой.В этом случае не будет обеспечена монотонность итерационного процесса следовательно,и его сходимость.Однако,как показывают численные расчеты,проведенные на достаточно большом числе примеров, итерационный процесс,хотя и не является монотонным при малом числе слоев,но все же сходится в среднем к решению,удовлетворяющему условиям (3.3).
Численные расчеты также показали,что второй подход,связанный с последовательным разбиением конструкции на все большее число слоев,намного эффективнее первого подхода,когда конструкция сразу разбивается на достаточно большое число елоев.Преимущество второго подхода состоит также и в том,что на его основе,в качестве промежуточных результатов,можно получить приближенно-оптимальные конструкции при фиксированном числе слоев,равном двум,четырем, восьми и т.д.Приближенность оптимального решения при небольшом количестве элементарных слоев обусловлена тем,что толщина каждого из слоев уже не является достаточно малой.В силу этих причин все численные расчеты проводились на основе второго подхода.Деление конструкции на все большее число элементарных слоев заканчивалось тогда,когда итерационный процесс становился монотонным,поскольку монотонность итерационного процесса является одним из основных признаков того,что толщину каждого слоя можно считать малым параметром.Ниже приводятся примеры расчетов оптимальных многое- . лойных теплозащитных конструкций,Расчеты проводились для конструкций с общей толщиной 140 и 160 мм .Для конструкций с такой толщиной и допустимых наборов материалов,перечисленных ниже в таблицах, монотонность итерационного процесса обеспечивается при числе элементарных слоев N =32.Следовательно,достаточно малой можно считать толщину слоя порядка 4-5 мм.Во всех приведенных примерах рассматривается случай гармонического температурного воздействия на наружную поверхность слоистого ограждения с периодом 24 часа. Результаты численных расчетов для каждого примера оформлены в виде таблиц.В первой графе каждой такой таблицы указано число элементарных слоев,на которое разбивается исходная конструкция.Во второй графе указан порядковый номер слоя в конструкции.В третьей и четвертой графах приведены параметры конструкции,полученные в конце итерационного процесса при данном фиксированном числе слоев. А именно,в третьей графе приведены координаты границ раздела слоев (для -го слоя -величины s(Ssl,H))ib четвертой графе приведены порядковые номера материалов в слоях.В последней графе приведена величина затухания амплитуды на выходе из конструкции.
