Динамические задачи оптимального проектирования конструкций из однородных и неоднородных материалов Иванова Светлана Юрьевна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Динамические задачи оптимизации. Анализ чувства и методы численного решения 23

1. Постановка динамических задач оптимизации 23

2. Анализ чувствительности и вывод необходимых условий оптимальности 26

3. Численное определение оптимальных решений 21

4. Построение выпуклых вариационно-разностных схем 30

ГЛАВА II. Оптимальное проектирование балок и оболочек, рассчитываемых на действие нестационарных нагрузок 36

1 Оптимальное проектирование балок .36

2 Оптимальное проектирование оболочек ...47

ГЛАВА III. Оптимизация конструкций при гармонических нагрузках 54

1. Постановка динамических задач оптимизации при гармонических нагрузках и вывод необходимых условий оптимальности 54

2. Минимизация объема балки под действием гармонической нагрузки при ограничении по жесткоети ...61

3. Оптимальное проектирование прямоугольной пластинки, совершающей вынужденные установившиеся гармонические колебания при ограничении по жесткости 65

4. Вариационный метод расчета вынужденных гармонических колебаний упругих конструкций 73

ГЛАВА ІV. Статические и динамические задачи оптимизации конструкций из композитных материалов 83

1. Модель хаотически армированного композита и эффективные механические характеристики 83

2. Минимизация веса крыла при ограничении по критической скорости дивергенции 8?

3. Минимизация веса крыла при ограничении по критической скорости реверса элерона 93

4. Минимизация веса стреловидного крыла при ограничении на величину подъемной силы при упругих деформациях 100

5. Оптимальное проектирование пластинки из композитного материала, совершающей вынужденные гармонические колебания 106

Выводы 111

Литература 112

• Анализ чувствительности и вывод необходимых условий оптимальности
• Минимизация объема балки под действием гармонической нагрузки при ограничении по жесткоети
• Вариационный метод расчета вынужденных гармонических колебаний упругих конструкций
• Минимизация веса крыла при ограничении по критической скорости реверса элерона

Введение к работе

В течение последних 15 - 20 лет в мировой научной литературе было опубликовано большое число работ, посвященных различным проблемам оптимального проектирования конструкций. Только в СССР за эти годы вышел целый ряд монографий советских ученых ( [l0,39 43,48,79,80,85,93,94,98,112,113,121 и др.]) и большое количество статей, в которых широко и серьезно обсуждаются теоретические и прикладные аспекты исследований в данной области, разрабатываются методы решения задач оптимального проектирования, приводится большое число интересных результатов.

В развитии данной проблематики важную роль сыграли труды советских ученых Н.В.Ьаничука, В.В.Васильева, В.Б.Гринева, А.Ю.Идь линского, В.Г.Литвинова, К. А Дурье, В.ІІ.Малкова, Е Д.Николаи, И.Ф.Образцова, А.Ф.Смирнова, В.А.Троицкого, А.Г.Угодчикова, В.М.Фролова и других, а также таких зарубежных исследователей как Ж.-Л.Арман , З.Васютинский, Ф.Ниордсон, РДІлаут, В.йрагер, Н.Ольхофф, Д.Тейлор, Э.Хог.

Постоянно возрастающий интерес к работам в данном направлении обусловлен их широким приложением в строительстве, точном машиностроении и приборостроении, в судостроительной, авиационной и других видах современной промышленности. На ХХУІ съезде Ш1СС было сказано о необходимости "повышать в оптимальных пределах единичные мощности машин и оборудования при одновременном уменьшении их габаритов, металлоемкости, энергопотребления и снижении стоимости на единицу конечного полезного эффекта" [i] . Оптимальное проектирование позволяет успешно решать проблемы снижения материалоемкости, формирования оптимального внешнего облика и внутренней структуры конструкций при соблюдении требований жесткости и прочности, а также выполнении различных технологических условий. Огромные возможности при решении конкретных задач оптимизации конструкций открывает развитие и совершенствование электронно-вычислительной техники.

Однако, как видно из обзорных статей [_ 13,73,83,161,163, 175 , подавляющее большинство работ посвящено статическим задачам. Хотя термин "динамические задачи" довольно часто встречался в литературе по оптимальному проектированию конструкций, он применялся в основном к задачам оптимизации частот собственных колебаний и к задачам динамической устойчивости неконсервативных систем.

Разнообразные задачи проектирования конструкций минимального веса при ограничении на фундаментальную частоту собственных колебаний рассмотрены в работах зарубежных авторов I127,128, 143,152,157,159,160,174,176,181,185,186,187,190,198 и др.J , опубликованных в 1965 - 1974 годах.

Первое исследование в данном направлении принадлежит Ф.Ниордсону [157] . В этой статье он рассмотрел задачу о максимизации фундаментальной собственной частоты поперечных колебаний опертой балки, сечения которой геометрически подобны.

Вопросам максимизации фундаментальных частот колебаний балок при различных видах граничных условий посвящены также ра боты Р.М.Браха 128 J , БД.Карихалу и Ф.И.Ниордсона [l44,I45J .

Методы, используемые при решении задач частотной оптимизации, могут быть применены и к решению ряда других задач оптимального проектирования, например, задачи о максимизации силы потери устойчивости колонны или пластины, задачи о максимизации критической скорости флаттера и др. Это,обстоятельство было отмечено В.Прагером и Дж.Тейлором в 174 J .

Используя технику построения расширенного функционала 1а - 6 гранжа, М.Дж.Тенер [l90j получил решение задачи минимизации веса стержня с дополнительной сосредоточенной массой на одном из концов при ограничении на фундаментальную частоту свободных колебаний. Такая же задача была решена Дж.Тейлором JI85J с использованием энергетического подхода. Энергетический подход применялся Дж. Тейлором и в работе [l86j, посвященной максимизации фундаментальной частоты колебаний стержня заданного веса при ограничении на минимальную площадь поперечного сечения.

Упругие конструкции с конечным числом степеней свободы рассматривались в [l76,I98j . В статье [_198] при помощи методов нелинейного программирования решалась задача максимизации фундаментальной частоты свободных колебаний упругой конструкции, а в ГІ76І минимизировался вес при ограничении на частоту.

Ц.Шью [l8I] минимизировал вес одномерной конструкции с кусочно-постоянной жесткостью.

Работы Н.Ольхоффа I59,I6oJ посвящены частотной оптимизации поперечных колебаний круглых и прямоугольных пластин. Рассмотрены различные варианты граничных условий.

Вопросы частотной.оптимизации.подробно обсуждаются в монографиях [10,48,88,ИЗ J . Работы Н.В.Баничука и А.А.Миронова Г 5, 6 1 посвящены вопросам оптимизации.собственных частот пластинок, колеблющихся в идеальной жидкости. А.П.Сейранян 1100J исследовал характер экстремума в задаче о свободно опертой круглой пластинке минимального объема при заданной частоте.осесимметричных пот перечных собственных колебаний первого тона. А.С.Братусь и В.М. Картвелишвили [32 ] при помощи метода возмущений получили приближенные аналитические решения в задачах оптимизации устойчивости и частот колебаний для двумерных тонкостенных упругих конструк - 7 пий. В статье А.Братуся _33 J с использованием асимптотических методов получены приближенные решения задач минимизации веса осесимметричных и неосесимметричных оболочек переменной толщины при ограничении на частоты собственных колебаний. Приведены и проанализированы качественные картины распределений толщин для оптимальных оболочек.

Работы В.Б.Гринева и А.П.Филиппова [42,48,II5j посвящены вопросам частотной оптимизации стержней, а в статье \lI6 J изучаются проблемы оптимального проектирования вращающихся дисков. В [23 J С.И.Богомоловым,0.Я .Гаревым и В.Б.Гриневым в задаче управления спектром собственных частот для вращающихся дисков получены необходимые условия оптимальности. Оптимизации параметров стержней, закрепленных на контуре вращающегося недеформируе-мого диска, посвящена статья В.Б.Гринева и Я.А.Гараля [44 J , а оптимизации круглых пластинок по спектру собственных частот -статьи В.Б.Гринева и 0.Л .Гарева [47,49].

В.Г.Литвинов [77] исследовал задачу о выборе оптимальной формы пластины заданного веса, для которой ее фундаментальная частота будет максимальной. Автор доказал существование оптимального управления и сходимость решений некоторых конечномерных задач к решению исходной бесконечномерной задачи оптимального управления. Оптимальным задачам на собственные значения посвящена также статья В.Г.Литвинова [78 J .

Р.И.Пятигорский и А.Н.Сейранян [95 J получили необходимое условие оптимальности сплошных балок и пластин для задачи максимизации частоты собственных колебаний при заданном объеме и показали эквивалентность этой задачи обратной ( или двойственной ) - 8 минимизации веса при заданной частоте.

В книге Гпз1 Л.В.Детухова и В.А.Троицкого изучаются задачи оптимизации статического и динамического нагружений элементов, имеющих заданный вес, задачи оптимизации собственных частот упругих тел при заданном весе. В статье [90J этих авторов рассмотрены некоторые оптимальные задачи теории продольных колебаний стержней, а в статье _9I] - оптимальные задачи колебаний механических систем с фиксированным конечным значением в одной точке. Динамическим процессам в упругих анизотропных телах, вопросам распространения разрывов скоростей и ускорений посвящена работа 1 .В .Петухова 921 .

Рядом советских и зарубежных авторов рассматривались также вопросы динамической устойчивости, возникающие в задачах оптимального проектирования систем с распределенными параметрами. Основным методом исследования устойчивости неконсервативных систем является динамический метод, основанный на рассмотрении малых колебаний системы вблизи положения равновесия j_29 J . Задачи оптимизации динамической устойчивости стержней, нагруженных следящими сосредоточенными и распределенными силами, рассмотрены в работах [7,I3I-I33,I35,I58,I7I,I73,I84,I89] . Задача о сверх Г звуковом панельном флаттере нашла отражение в работах 126,147, 148,164 - 166,177,191,195,І96І . В статьях [l02 - 107,162,179, 180J развивается единый подход к оптимизации распределенных и дискретных систем, подверженных явлениям динамической неустойчивости. Он основан на анализе чувствительности, позволяющем получить явные выражения для градиентов критических параметров устойчивости и использовать эти выражения в численных методах оптимизации .

Задачи, речь о которых шла выше, бесспорно, очень важны как в теоретическом, так и в практическом плане. Однако в оптимальном проектировании существует еще очень широкий круг вопросов, которые , несмотря на свою актуальность, по разным причинам долгое время не попадали в поле зрения исследований. Речь идет о динамических задачах оптимизации, которые являются таковыми по существу. Статические постановки можно рассматривать как некоторую ступень на пути моделирования реальных процессов, и многие из последних действительно можно довольно точно описать подобным образом. Но существуют и такие процессы, которые не укладываются в рамки статических представлений. В механике это -различные неустановившиеся движения, порожденные ударными или какими-нибудь иными нестационарными воздействиями. Какой должна быть оптимальная конструкция, если известно, что она должна работать в течение определенного отрезка времени под действием нагрузки, меняющейся по заданному закону, и удовлетворять в каждый момент времени некоторым ограничениям - так надо теперь формулировать оптимизационную задачу. Решение задач в такой динамической постановке является следующей важной ступенью оптимального проектирования коне трущий.

Одна из пионерских работ в этой, области относится к 1967 году и принадлежит И.М.Рабиновичу [97 J . Автором рассмотрен ряд задач минимизации объема балок и ферм под действием динамических нагрузок и собственного веса при ограничениях на допустимые напряжения и прогибы. Для упрощения решения используются дискретные модели, фермы заменяются системами с одной степенью свободы. В 1968 году Р.М.Брах в своей статье 1129 I рассмотрел задачу минимизации максимального динамического прогиба шарнирно опертой балки переменного сечения заданной массы. Балка нагружается на - 10 чальным импульсом ( точечным, приложенным в центре пролета или постоянным по пролету ) или постоянной по времени сосредоточенной силой, приложенной в центре пролета в начальный момент, или постоянной по времени и по пролету силой, также приложенной в начальный момент. Поперечное сечение балки представляется в виде однопараметрического семейства форм ( исходная форма - постоянное сечение ). Параметр варьируется с целью отыскания минимума максимального прогиба. Получен существенный выигрыш в весе за счет оптимизации по сравнению с балкой постоянного сечения. В приложении к статье приведено в общем виде решение уравнения движения балки переменной толщины при нулевых начальных условиях. 

Целый ряд работ зарубежных и советских авторов посвящен оптимизации конструкций, совершающих вынужденные установившиеся гармонические колебания под действием гармонических нагрузок _109, ПО,122,134,139,141,142,155,170,172,183,188] . В 1969 году в статье [l34J Л.Дж.Айсерман рассмотрел оптимальное проектирование различных конструкций ( стержней с непрерывно изменяющимся и ступенчато-постоянным поперечным сечением, балки с непрерывно изменяющейся изгибной жесткостью, а также фермы, у которой все массы сосредоточены в шарнирах) минимального веса при заданном . ограничении на "динамический отклик" или "динамическую реакцию". На конструкции действует сосредоточенная гармоническая нагрузка с заданной частотой, причем существенно, что эта частота меньше фундаментальной частоты собственных колебаний. Под динамическим откликом понимается величина виртуальной работы, которую сове;р-шает амплитуда нагрузки на амплитуде перемещения в точке приложения нагрузки. С использованием соотношения Рэлея сформулирован и доказан для рассматриваемого диапазона частот вынужденных гармонических колебаний вариационный принцип, сводящийся при частоте вынужденных колебаний, равной нулю, к хорошо известному в статике принципу минимальной потенциальной энергии. С помощью этого принципа получены необходимые и достаточные условия оптимальности для перечисленных выше конструкций. Приведены численные результаты в виде графиков.

З. Мруз в 1970 году ІІ55І формулирует и доказывает в общем виде вариационный принцип минимума дополнительной энергии для случая установившихся вынужденных колебаний упругой конструкции. Отмечается, что принцип дополнительной энергии был уже использован ранее ( в 1966 г.) в работе К.ВашиЦУ [193 для оценки частот колебаний балки. С помощью вышеуказанного принципа З.Мруз получает необходимые и достаточные условия оптимальности для сплошных и трехслойных балок и пластин заданного объема и минимальной динамической податливости. Рассмотрены примеры решения задач оптимального проектирования балок и пластин при помощи метода возмущений.

В 1970 году РД.ІІлаут [170 J распространяет сформулированный в [134J вариационный принцип на случай трехслойной балки, совершающей вынужденные гармонические колебания. При заданном прогибе минимизируется вес балки. Выводятся условия оптиммаль-ности. В более поздней статье этого автора [l72J рассматривается ряд задач максимизации фундаментальной частоты , минимизации прогиба и максимизации устойчивости одномерных трехслойных упругих конструкций ( балок и колонн ) при различных граничных условиях и видах нагружения. Вес конструкции считается заданным, решение отыскивается методом Ритца.

Отметим еще раз, что во всех вышеуказанных работах ([134, 155,170,172) ) существенным оказывался тот факт, что частота прикладываемой гармонической нагрузки меньше первой собственной частоты. Такое ограничение, однако, для вывода необходимых условий оптимальности отнюдь не обязательно. Это обстоятельство отмечалось в ряде работ. В 1969 году Ю.Д.Софронов II09J рассмотрел задачу минимизации веса бруса, совершающего вынужденные установившиеся продольные колебания при ограничениях по прочности. Ограничений на частоту возбуждающей силы не накладывалось. Условия оптимальности были получены с использованием методики переменных множителей Лагранжа. В работе приведены качественные распределения толщин бруса для различных частот колебаний. Показано, что в зарезонансной области оптимальный брус обязательно должен иметь участок постоянного сечения. В работе Ю.Д.Софро-нова [іІОІ минимизируется вес балки, совершающей вынужденные гармонические колебания, при ограничении по прочности. С введением расширенного функционала Лагранжа получены необходимые условия оптимальности. Рассматриваются дорезонансный и зарезонансный случаи. Показано, что в зарезонансном случае оптимальная балка должна иметь участки постоянного сечения.

В 1975 году К.Терманом [l88J рассмотрены задачи оптимального проектирования упругих конструкций, совершающих вынужденные установившиеся гармонические колебания. С применением методов оптимального управления системами с распределенными параметрами получены необходимые условия оптимальности для любого диапазона изменения частоты колебаний.

Принцип стационарности взаимной потенциальной энергии, сформулированный Р.Т.Шилдом и В.Нрагером _I82J , обобщается в работе.. Х.Ц.Хуанга [139J на случай, когда линейно-упругая конструкция подвержена гармоническому нагружению. С использованием этого обобщенного принципа выводятся условия оптимальности для случая, когда конструкция нагружена сосредоточенной единичной силой при ограничении на податливость в точке приложения гармонической нагрузки, то есть , в данном случае, на перемещение.

В 1976 году Е.Х.Джонсон [l4IJ рассмотрел задачу оптимального проектирования тонкостенного стержня ( один конец заделан, другой свободен ), совершающего вынужденные гармонические крутильные колебания с произвольной частотой. На допустимые значения накладывалось ограничение в форме неравенства. Минимизировался вес стержня. Задача решалась с использованием методов математического программирования. Стержень разбивался на конечное число равных частей, и использовалась аппроксимация метода конечных элементов. В работе показано, что пространство переменных проектирования разбивается на непересекающиеся области, где существуют локальные оптимумы. Каждый такой оптимум соответствует тому, лежит ли частота возбуждающей нагрузки выше или ниже фундаментальной частоты собственных колебаний стержня. Приведены оптимальные кусочно-постоянные распределения толщин для различных диапазонов частот. Для случая, когда частота колебаний выше фундаментальной, распределение толщин имеет характерные осо-, бенности: у заделанного конца стержень тонок, а свободный конец имеет значительное утолщение, за счет чего возникающие силы инерции противодействуют нагрузке, так как действуют в противо-фазе. Это позволяет удовлетворить ограничению на допустимые напряжения.

В работе [l42J Е.Х.Джонсона, П.РиззиД.Эшли и С.А.Сеген-рейха минимизируется вес балки переменного сечения при ограничениях на управляющую функцию ( площадь сечения ) и максималь - 14 ное допустимое напряжение. Балка совершает вынужденные установившиеся гармонические колебания, причем ограничений на частоту возмущающей силы не накладывается. С помощью методов математического программирования получены решения для случаев, когда частота прикладываемой нагрузки ниже фундаментальной собственной частоты , и для случая, когда она попадает в интервал между первой и второй собственными частотами. Отмечено, что во втором случае необходимо наложить на управляющую функцию ограничение снизу. В работе отмечена и проанализирована взаимосвязь между формами свободных колебаний и формами вынужденных колебаний в зависимости от частоты приложенной нагрузки, а также для двух вышеуказанных случаев проведено исследование зависимости собственных частот оптимальной конструкции от частоты приложенной нагрузки. Приведены численные результаты.

В статье В.Стадлера [і8з] ищутся такие начальная кривизна арки и осевая нагрузка, чтобы оптимизировать по Парето массу и упругую энергию конструкции при заданном изопериметричес-ком условии. Вопрос об устойчивости исследовался аналитически, когда оптимальное решение было уже получено, или рассматривался в процессе оптимизации на каждом шаге предложенного в работе алгоритма.

С.Адали [l22J применил методы математического программирования для решения задачи минимизации максимального прогиба балки на упругом основании Винклера-ГІастернака в случае установившихся вынужденных гармонических колебаний и задачи максимизации фундаментальной собственной частоты. Предполагалось, что площадь поперечного сечения либо кусочнопостоянна, либо представлена линейными сплайнами. В работе приведен анализ численных результатов.

В статье Ш.Маркуша,В.Оравского,О.Шимковой 1150 рассматривается трехслойная балка с демпфирующим ядром под действием гармонического нагружения. Максимизируются демпфирующие свойства ядра (коэффициент потери ) за счет выбора оптимальной конфигурации поперечного сечения балки при заданном весе или жесткости. Задача решается с применением номограмм и метода возмущений .

В работах[21,22,45,46,50,55,119,124,130,131,149,169,192,197] изучались некоторые задачи оптимального проектирования упругих конструкций, совершающих неустановившееся движение под действием динамических нагрузок.

Р.Х.Плаут [l69] в 1970 году рассмотрел задачу о балке под действием динамической нагрузки. В работе получена некоторая верхняя оценка для максимального прогиба балки. Отыскивалось такое кусочно-постоянное распределение толщин, которое минимизирует верхнюю оценку для прогиба при заданном весе конструкции. Отмечается, что вопрос о том, минимизируется ли при этом реальный прогиб балки, остается в ряде случаев открытым, поскольку не известно точное решение для балки переменной толщины под действием динамической нагрузки. В работе рассмотрен ряд примеров.

Вопросы динамической оптимизации,упругих систем с распределенными параметрами рассматривались Э.Хогом и Я.Аророй ГіІ9, 124 . В этих работах для решения задач оптимального проектирования применяются методы анализа чувствительности, для расчетов напряженно-деформированного состояния конструкций используются конечно-элементные представления. Приводятся полученные оптимальные решения для балок и пластинок.

- 16 Работы советских авторов В.Б.Гринева и В.Ф.Васильченко [45,46] посвящены оптимальному проектированию одномерных конструкций при нестационарном нагружении. В статье [46 ] минимизируется вес стержня при ограничениях на допустимые напряжения и деформации. Дискретизация по пространственной переменной приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрирование которой по времени осуществляется методом Рунге-Кутта.

В статье Л.Д.Азатяна, В.Ц.Гнуни, С.ІІ.Сейраняна [2 J при помощи методов нелинейного программирования минимизируется максимальный прогиб бесконечной упругой сплошной пластины, взаимодействующей с плоской акустической ударной волной. 

В статье Е.Цегельского и М.Жичковского 1130 рассматриваются вопросы параметрической оптимизации вязко-пластических стержней при ударных осевых нагрузках. В качестве переменной проектирования выбирается параметр, характеризующий форму конического стержня, и при заданном весе ищется минимальное остаточное перемещение.

П.П.Доманский [55І определяет такое распределение нормальной ударной осесимметричной нагрузки по длине цилиндрической оболочки и распределение интенсивности изгибающих моментов (равномерно распределенных по краям), при которых динамические эффекты в оболочке оптимально низки (минимизируется кинетическая энергия оболочки при некотором изопериметрическом условии ). Решение краевой задачи ищется в рядах, при этом нагрузка и перемещение представляются соответствующими разложениями по формам собственных колебаний оболочки. Приводятся численные результаты.

Вопросы динамической оптимизации нелинейных моделей стержней рассматривались в работах Чан Дык Чунга и В.Б.Гринева [б2 - 54,120J . В них предложено два подхода к решению задач ашлитудно-частотно-весовой оптимизации с учетом различных нелинейных факторов (конструктивной нелинейности опор, физической нелинейности материала, геометрической нелинейности стержня ) для различных видов колебаний (поперечных, продольных, крутильных) . Это - разложение движения деформированного стержня по временным базисным гармоникам или по базисным функциям пространственных координат.

Ряд работ [ 61, 62,65 - 75,80,87,99,108,I5l] посвящен вопросам оптимального проектирования жестко-пластических конструкций при динамическом нагружении. Характерной постановкой таких задач является минимизация остаточного прогиба при заданном весе. Для решения авторы ( Ю.Р.Лепик,ЯДеллеп,Ю.Т.Кирс и др.),как правило, используют метод модальных движений, предложенный в 1966 году Дж.Б.Мартином и П.С.Саймондсом [151 I . Следует отме-. тить, что данный метод применим к довольно узкому классу задач, но в границах применимости дает полезные результаты.

В работе В.Б.Гринева и В.Ф.Васильченко [51J рассматривается вращающийся вал, совершающий переход через первую критическую скорость. Необходимые условия оптимальности получаются в форме принципа максимума. В статье предлагается алгоритм решения задачи о вале минимального веса с ограничениями.на перемещения и напряжения. Приводятся численные результаты.

Оптимизации элементов машин в резонансных режимах посвящены работы [24 - 28 . В статье С.И.Богомолова, Э.А.Симеона и В.И.Шляхова [241 исследуется задача оптимального управления узлами и пучностями формы колебаний стержневой системы. Задача оптимального проектирования стержней, обладающих максимальным рассеянием энергии рассмотренав[25 .

Вопросам оптимального проектирования авиационных конструкций с учетом статических и динамических воздействий посвящены работы [21,221 . В статье В.И.Бирюка I 21 рассмотрена задача оптимизации распределения силового материала по крылу в системе свободного самолета. Минимизируется вес при ограничениях по прочности и аэроупругости. Методы оптимизации , применяющиеся при оптимальном проектировании и расчетах на прочность элементов авиационных конструкций, приведены в книге Г22І .

Работа японского исследователя Х.Ямакавы [_I97J посвящена динамическим задачам оптимизации для дискретных систем. Движение таких систем описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, решение которых получается численно. Для последовательного улучшения функционала качества используется метод параметрической оптимизации.

В заключение хотелось бы еще раз отметить тот факт, что число работ, посвященных динамической оптимизации представляется недостаточным, и в них рассматриваются далеко не все аспекты проектирования конструкций. Кроме того лишь в некоторой части из них рассматриваются конструкции под действием непериодических, нестационарных нагрузок. Но интерес к этим проблемам велик, и дальнейшее совершенствование методов оптимального проектирования в сочетании с использованием все более совершенной электронно-вычислительной техники приведет к существенному развитию данного направления.

В настоящей диссертационной работе рассматриваются динамические задачи минимизации веса (массы, объема) тонкостенных упругих конструкций из однородных и неоднородных материалов.

Целью диссертации является разработка и апробация эффек - 19 тивных численных алгоритмов для решения задач оптимального проектирования конструкций при динамических воздействиях, использование разработанных алгоритмов для решения задач оптимизации упругих балок, пластинок и оболочек.

Научная новизна работы состоит:

- в постановке и исследовании при помощи метода анализа чувствительности задач оптимального проектироваия конструкций, рассчитываемых на динамические воздействия;

- в развитии метода последовательной оптимизации и разработке эффективных вычислительных алгоритмов решения задач оптимизации динамически нагруженных конструкций ;

- в выявлении и исследовании качественных особенностей решений задач оптимизации формы балок и оболочек при нестационарном нагру-жении, прямоугольных пластинок, совершающих вынужденные гармонические колебания;

- в выявлении и исследовании качественных особенностей оптимального распределения жестких армирующих включений в задачах оптимизации крыльев из композитных материалов при ограничениях по статической аэроупругости и в задачах оптимального проектирования прямоугольной пластинки из композитного материала,совершающей вынужденные гармонические колебания.

На защиту выносятся следующие результаты:

- анализ чувствительности и его применение к динамическим задачам оптимального проектирования конструкций;

- численный метод последовательной оптимизации, основанный на выпуклых конечно-разностных аппроксимациях и методе проектирования градиентов;

- применение метода последовательной оптимизации к залаче опти - 20 мального проектирования балок при динамических нагрузках;

- результаты применения разработанных алгоритмов в задачах оптимального проектирования цилиндрических осесимметричных оболочек при нестационарном на гружений и оптимального проектирования прямоугольных пластинок, совершающих вынужденные гармонические колебания;

- вариационный принцип и его применение для расчета вынужденных гармонических колебаний упругих пластинок;

- результаты применения разработанных алгоритмов к решению задач оптимизации конструкций из неоднородных материалов.

Работа состоит из введения и четырех глав.

Глава I посвящена постановке динамических задач оптимизации конструкций, вопросам анализа чувствительности и выводу необходимых условий оптимальности. В третьем параграфе главы описывается алгоритм численного решения задач оптимального проектирования конструкций при динамических нагрузках. В основе алгоритма лежит метод последовательной оптимизации. Алгоритм является итерационным, строится с использованием выпуклых конечно-разностных схем аппроксимации и метода проектирования градиентов. Вопросам построения выпуклых схем аппроксимации посвящен четвертый параграф.

В главе II приведены примеры оптимизации формы балок и оболочек, находящихся под действием существенно нестационарных нагрузок. Проведен анализ чувствительности, получены необходимые условия оптимальности. Рассмотрены различные варианты динамического нагруженияпросто опертых и предварительно сжатых балок и шарнирно опертых цилиндрических оболочек. Приведены и проанализированы численные результаты. Оценены выигрыши, полученные за счет оптимизации по сравнению с эталонными конструкциями, уде - 21 влетворяющими тому же условию жесткости.

Глава III посвящена вопросам минимизации веса (объема) упругих тонкостенных конструкций, совершающих вынужденные установившиеся гармонические колебания. Приведено приближенное аналитическое решение задачи об оптимальном проектировании балки под действием сосредоточенной гармонической нагрузки. Решена задача оптимального проектирования прямоугольной пластинки, совершающей вынужденные гармонические колебания. Получены необходимые условия оптимальности, приведены и проанализированы результаты расчетов для различных вариантов закрепления краев. Оценены выигрыши от оптимизации. Сформулирован и доказан вариационный принцип об эквивалентности краевой задачи определения амплитудных функций колебаний и вариационной задачи минимизации квадратичного функционала при ограничениях типа равенств и дополнительных предположениях относительно вида внешних воздействий. Приведен пример применения данного принципа для расчета вынужденных колебаний прямоугольной пластинки.

В главе ЗУ решаются статические и динамические задачи оптимизации внутренней структуры конструкций из хаотически армированных композиционных материалов. Рассмотрены задачи минимизации веса прямых и стреловидных крыльев при ограничениях по статической аэроупругости (критической скорости крутильной дивергенции, критической скорости реверса элерона, несущей способности). Выведены необходимые условия оптимальности. Приведены и проанализированы результаты расчетов, оценены выигрыши за счет оптимизации. Также решена задача минимизации веса прямоугольной пластинки из композитного материала, совершающей вынужденные гармонические колебания. Приведены и проанализированы численные результаты, оценен выигрыш за счет оптимизации.

В работе использовалась тройная нумерация формул (номер главы, номер параграфа, номер формулы в параграфе).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14, 16,17 - 20,56 - 59J . По содержанию первой и второй глав опубликованы работы [16,18,20J . Основные результаты докладывались на Всесоюзной конференции "Численная реализация физико-механических задач прочности" (г.Горький, 1983г.), Всесоюзной конференции "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций" (г.Горький, 1984г.). По содержанию третьей главы опубликованы работы [18,19, 57,58 J . Основные результаты докладывались на Всесоюзной конференции "Численная реализация физико-механических задач прочности" (г.Горький, 1983г.), на конференции молодых ученых МФТИ (г.Долгопрудный, 1983г.), на ХІУ Всесоюзных Гагаринских чтениях (г.Москва, 1983г.), на II Всесоюзной конференции по теории упругости (г.Тбилиси, 1984г.). По содержанию четвертой главы опубликованы работы _14,17,56,59J . Основные результаты докладывались на конференции молодых ученых МФТИ (г.Долгопрудный, 1981г.), на XIII Всесоюзных Гагаринских чтениях (г.Москва, 1983г.), на ХІУ научно-технической конференции молодых ученых и специалистов ЦНИИСК им. В.А.Кучеренко по вопросам расчета и экспериментального исследования строительных конструкций (г.Москва, 1983г.), на У Всесоюзной конференции по механике полимерных и композитных материалов (г.Рига, 1983г.), на Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Проблемы оптимизации в машиностроении" (г.Алушта,1983г.). 

Анализ чувствительности и вывод необходимых условий оптимальности

На защиту выносятся следующие результаты: - анализ чувствительности и его применение к динамическим задачам оптимального проектирования конструкций; - численный метод последовательной оптимизации, основанный на выпуклых конечно-разностных аппроксимациях и методе проектирования градиентов; - применение метода последовательной оптимизации к залаче оптимального проектирования балок при динамических нагрузках; - результаты применения разработанных алгоритмов в задачах оптимального проектирования цилиндрических осесимметричных оболочек при нестационарном на гружений и оптимального проектирования прямоугольных пластинок, совершающих вынужденные гармонические колебания; - вариационный принцип и его применение для расчета вынужденных гармонических колебаний упругих пластинок; - результаты применения разработанных алгоритмов к решению задач оптимизации конструкций из неоднородных материалов. Работа состоит из введения и четырех глав. Глава I посвящена постановке динамических задач оптимизации конструкций, вопросам анализа чувствительности и выводу необходимых условий оптимальности. В третьем параграфе главы описывается алгоритм численного решения задач оптимального проектирования конструкций при динамических нагрузках. В основе алгоритма лежит метод последовательной оптимизации. Алгоритм является итерационным, строится с использованием выпуклых конечно-разностных схем аппроксимации и метода проектирования градиентов. Вопросам построения выпуклых схем аппроксимации посвящен четвертый параграф.

В главе II приведены примеры оптимизации формы балок и оболочек, находящихся под действием существенно нестационарных нагрузок. Проведен анализ чувствительности, получены необходимые условия оптимальности. Рассмотрены различные варианты динамического нагруженияпросто опертых и предварительно сжатых балок и шарнирно опертых цилиндрических оболочек. Приведены и проанализированы численные результаты. Оценены выигрыши, полученные за счет оптимизации по сравнению с эталонными конструкциями, уде- влетворяющими тому же условию жесткости.

Глава III посвящена вопросам минимизации веса (объема) упругих тонкостенных конструкций, совершающих вынужденные установившиеся гармонические колебания. Приведено приближенное аналитическое решение задачи об оптимальном проектировании балки под действием сосредоточенной гармонической нагрузки. Решена задача оптимального проектирования прямоугольной пластинки, совершающей вынужденные гармонические колебания. Получены необходимые условия оптимальности, приведены и проанализированы результаты расчетов для различных вариантов закрепления краев. Оценены выигрыши от оптимизации. Сформулирован и доказан вариационный принцип об эквивалентности краевой задачи определения амплитудных функций колебаний и вариационной задачи минимизации квадратичного функционала при ограничениях типа равенств и дополнительных предположениях относительно вида внешних воздействий. Приведен пример применения данного принципа для расчета вынужденных колебаний прямоугольной пластинки.

В главе ЗУ решаются статические и динамические задачи оптимизации внутренней структуры конструкций из хаотически армированных композиционных материалов. Рассмотрены задачи минимизации веса прямых и стреловидных крыльев при ограничениях по статической аэроупругости (критической скорости крутильной дивергенции, критической скорости реверса элерона, несущей способности). Выведены необходимые условия оптимальности. Приведены и проанализированы результаты расчетов, оценены выигрыши за счет оптимизации. Также решена задача минимизации веса прямоугольной пластинки из композитного материала, совершающей вынужденные гармонические колебания. Приведены и проанализированы численные результаты, оценен выигрыш за счет оптимизации. В работе использовалась тройная нумерация формул (номер главы, номер параграфа, номер формулы в параграфе).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14, 16,17 - 20,56 - 59J . По содержанию первой и второй глав опубликованы работы [16,18,20J . Основные результаты докладывались на Всесоюзной конференции "Численная реализация физико-механических задач прочности" (г.Горький, 1983г.), Всесоюзной конференции "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций" (г.Горький, 1984г.). По содержанию третьей главы опубликованы работы [18,19, 57,58 J . Основные результаты докладывались на Всесоюзной конференции "Численная реализация физико-механических задач прочности" (г.Горький, 1983г.), на конференции молодых ученых МФТИ (г.Долгопрудный, 1983г.), на ХІУ Всесоюзных Гагаринских чтениях (г.Москва, 1983г.), на II Всесоюзной конференции по теории упругости (г.Тбилиси, 1984г.). По содержанию четвертой главы опубликованы работы _14,17,56,59J . Основные результаты докладывались на конференции молодых ученых МФТИ (г.Долгопрудный, 1981г.), на XIII Всесоюзных Гагаринских чтениях (г.Москва, 1983г.), на ХІУ научно-технической конференции молодых ученых и специалистов ЦНИИСК им. В.А.Кучеренко по вопросам расчета и экспериментального исследования строительных конструкций (г.Москва, 1983г.), на У Всесоюзной конференции по механике полимерных и композитных материалов (г.Рига, 1983г.), на Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Проблемы оптимизации в машиностроении" (г.Алушта,1983г.).

Минимизация объема балки под действием гармонической нагрузки при ограничении по жесткоети

С применением приведенных соотношений проводились расчеты оптимальных форм балок для различных нагрузок.(Виды нагрузок представлены на рис. 2 (а,б,в)). Полученное в результате расчетов распределение П.(х) для гармонической нагрузки (рис.2(а показано на рис.3 кривой І. ІІри проведении расчетов полагалось о =0,3, Е= 7-Ю5 Г/см2, р= 1,2 г/см3, = 40 см,7= I сек, о= 10 Г/см, т1г = 0,5 см2Дтах= 3 см2, Сл = 0,23 см, N=20, М= 20, Т= 0,25 . Характерной особенностью оптимального решения является концентрация силового материала в центре пролета балки. При этом относительный выигрыш в массе, полученный за счет оптимизации по сравнению с балкой постоянной толщины,имеющей ту же жесткость, составляет 18$.

Кривой 2 на рис.3 показано оптимальное распределение для нагрузки (см.рис.2(6)) и значений mln =1 см2 , С =0.21см.Be личины остальных параметров брались теми же, что и для предыдущего примера. Выигрыш от оптимизации составил в этом случае 19,2$. На рис.4 представлены данные, характеризующие скорость сходимости процесса последовательной оптимизации. Кривыми на этом рисунке показано изменение величины функционала в зависимости от номера итерации ГЛ в методе последовательной оптимизации. Индексы 1,2 на рис.4 соответстуют указанным выше случаям нагружения балки. Численный метод характеризуется высокой скоростью сходимости, и уже на седьмом шаге ( tn-1 ) получается решение, приближенно удовлетворяющее условиям оптимальности (невязка в выполнении условия оптимальности порядка 10 ). Кривая на рис.5(a) соответствует оптимальному распределению ft(x) шарнирно опертой балки при динамической нагрузке (рис.2(B)) и значении максимального прогиба Ц =0.19 см. Выигрыш в массе, полученный за счет оптимизации, составил в данном случае 18,5$. Сходимость метода последовательной оптимизации для нагрузки (2.1.35) характеризуется изменением величины (2.1.34) в зависимости от номера итерации Щ. (рис.5(б)). Кривыми на рис.б(а,б) показаны соответственно оптимальное распределение П. (х) и зависимость j/O от ЇЇІ , характеризующая сходимость метода для предварительно сжатой балки при тех же граничных и начальных условиях, динамической нагрузке (2.1.33) и значении Uj =0.32 см. Уравнение движения предварительно растянутой (или сжатой) балки отличается от уравнения (2,1.1) тем, что в правой части добавляется слагаемое n6 Uxx [37J (со знаком "ц-" в случае растяжения и со знаком " - " в случае сжатия). Через 6" обозначено напряжение в сечении балки. Усилие N - п является постоянной величиной, В правой части уравнения (2,1,14) для сопряженной переменной добавляется с соответствующим знаком член 1. . При расчетах полагалось N = 5Г. Выигрыш от оптимизации составил 19,5 . Следует отметить, что во всех рассмотренных случаях динамического нагружения оптимальные распределения п.(х) для шарнир-но опертой балки качественно очень похожи, и это позволяет дать некоторые общие рекомендации относительно оптимального распределения материала по пролету балки заданной жесткости для целого набора динамических нагрузок. Для приведенных оптимальных распределений Гі(х) оценим максимальные напряжения nax(x) , возникающие при изгибе в сечении балки. Для этого воспользуемся известной из статики фор гдеrj.,.- изгибающий момент, Wx - момент сопротивления. Мак-симальное напряжение &гпсис&) для балок с круглым поперечным сечением характеризуется величиной U. На рис. 7(а,б) представлена зависимость U-xxrl от X , где значения U, Хх подсчитываются для момента времени - = -: , когда прогиб U(x;4)принимает максимальное значение, т.е. Ux = - -осзс (рентах) кРивая на рис.7(а) показывает распределение напряжений для половины шарнирно опертой балки постоянного сечения (п. =2 см2) в случае динамического нагружения (2.1.32). Из приведенного рисунка видно, что наибольшего значения &тах достигает в центральной части пролета балки. Напря жения в оптимальной балке при той же нагрузке распределены более равномерно (см.рис.7(6)). На рис 8,9 показаны распределения Uxxn для рассчитанных оптимальных балок при динамических нагрузках (2.1.35) и (2.1.33), соответственно. 2. Оптимальное проектирование оболочек. Рассмотрим упругую тонкую круговую цилиндрическую оееснм метричную оболочку радиуса R и длины С под действием динамической нагрузки С СХ/Ь ) , нормальной к поверхности оболочки (рис. 10). Обозначим через f\(x) , Ur(X/t) , V(Xt{.) , , п , V соответственно толщину, прогибы в направлении оси ОЦ ( нормальной к поверхности оболочки), перемещения в направлении оси ОХ , совпадающей с образующей оболочки, модуль Юнга, плотность и коэффициент Пуассона материала, из которого изготовлена конструкция . Здесь X - переменная, отсчитываемая вдоль оси ОХ , "t L ОД"] - время.

Вариационный метод расчета вынужденных гармонических колебаний упругих конструкций

Расчеты проводились для шарнирно опертых и жестко защемленных пластинок при различных параметрах U) , причем в силу симметрии задачи рассматривалась лишь /Ц часть пластинки. На рис.17 и рис,18 показаны найденные в результате расчетов распределение толщин "-/х}и\ шарнирно опертой пластинки соответственно для случаев 0=0 (статическое нагружение) и Сд=ІО . Показанные на рис.17,18 распределения отвечают значениям параметро . Из рис.17,18 видно, что эффективным является расположение материала в углах и центре шарнирно опертых пластинок. С увеличением частоты U) возрастает количество материала, необходимого для обеспечения требуемой жесткости (объемы показанных пластинок отличаются в 1,26 раза).

На рис.19,20 приведены полученные в результате расчетов распределения толщин жестко защемленных пластинок соответственно для случаев 0=0 (статический случай) и U). Для показанных распределений П. fey) максимальная допустимая величина прогиба равна (Л= 0,0046. Значения остальных параметров брались теми же, что и для шарнирно опертых пластинок. Для уменьшения объема жестко защемленных пластинок при обеспечении условий жесткости эффективным оказывается расположение материала в центре пластинки и у середин ее краев. Объем колеблющейся пластинки превышает объем статически нагруженной пластинки в 1,19 раза.

Метод последовательной оптимизации позволяет добиться снижения объема материала шарнирно опертой пластинки при tdsiO на 20,3$ по сравнению с пластинкой постоянной толщины, удовлетворяющей тому же ограничению по жесткости. В случае жестко защемленной пластинки для k 15" относительный выигрыш за счет оптимизации составляет соответственно.

На рис.21 кривыми 1,2 показаны зависимости функционала объема J от номера шага по управлению в случае шар-нирно опертой пластинки для С0=0 и СО=НО , соответственно. На рис.22 кривыми 1,2 представлены аналогичные зависимости при СО=0 и СО=15 для жестко защемленной пластинки.

Напряженное состояние пластинки может быть охарактеризовано в каждой точке величиной второго инварианта девиатора тензора напряжений L10 J Максимальное значение Г принимает в точках, где максимальна величина На рис .23,24 показаны распределения о&У/ для опертой пластинки вдоль оси ОХ и в диагональном направлении ОТ при Сд- 10 и постоянной толщине \1 - 0,747. На рис.25,26 относительно тех же направлений представлены распределения г рс ш , соответствующие оптимальной пластинке, при тех же граничных условиях и тех же значениях параметров. В работах [ 134,155,170 J был сформулирован и доказан вариационный принцип, согласно которому решение краевых задач для определения амплитудных функций состояния конструкций, совершаю -щих вынужденные установившиеся гармонические колебания, эквивалентно минимизации квадратичного функционала (например, (3.3.19)) при соответствующих граничных условиях. Однако при этом существенным было условие, что частота вынужденных колебаний не превосходит первую собственную частоту. Сделав дополнительные предположения относительно вида внешних воздействий, удалось сформулировать и доказать вариационный принцип в случае произвольной нерезонансной частоты вынужденных колебаний. Представим функцию перемещений Li(X}i упругой конструкции, совершающей вынужденные гармонические колебания, и функцию внеш них воздействий yjp,t) в виде (3.I.I), где - ампли тудные вектор-функции перемещений и нагрузок. Исследование пове дения такой конструкции сводится к определению U(x) из решения следующей краевой задачи Здесь t - время, Х= ( Х1 ,..., Х ) - пространственная переменная, принимающая значения из области Q , Г - граница области О , L и - матричные дифференциальные операторы, характеризующие соответственно жесткостные и инерционные свойства конструкции, о- - линейные дифференциальные операторы граничных условий, О) - частота вынужденных колебаний. Будем считать, что операторы А и С симметричны и положительно определены на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям (3.4.2). При этих предположениях, как известно (см. [81] ), однородная краевая задача на собственные значения для уравнения ) с граничными условиями (3.4.2) имеет дискретный положительный спектр О Л Л н. Х о , а система собственных функций №]. полна в энергетических пространствах, порожденных операторами С и А . Пусть система собственных функций wLf. ортонормирована следующим образом где 0l\ - символ Кронеккера, а круглыми скобками здесь и далее обозначается операция скалярного произведения вектор-функций. Предположим также, что частота вынужденных гармонических колебаний U) удовлетворяет неравенствам

Минимизация веса крыла при ограничении по критической скорости реверса элерона

В связи с широким применением в технике и строительстве композитных материалов в теории оптимального проектирования наряду с оптимизацией формы начали изучаться вопросы оптимизации внутренней структуры конструкций. Ряд проблем оптимального проектирования конструкций из неоднородных материалов рассмотрен в [ 3,10,II,12,15,30,31,64,88,III,118,136 - 138,153 и др.] . В данной главе рассматриваются задачи минимизации веса (объема) конструкций из хаотически армированного композитного материала при статических и динамических воздействиях. Искомой управляющей функцией является функция распределения армирующих включений по конструкции.

Рассмотрим подробнее используемую модель хаотически армированного композита. Применяется подход, при котором механические характеристики композитного материала связываются с механическими характеристиками армирующего материала и матрицы коэффициентами армирования, размерами армирующих включений и другими макроструктурными параметрами. Достоинство этого подхода заключается в том, что появляется возможность связать вопросы деформирования и прочности упругих тел, предсказать механические свойства композитов по механическим характеристикам их компонент, решать вопросы оптимального проектирования материалов и т.д. Основные методы получения уравнений армированных сред при использовании указанного подхода были предложены в [_ 3,30,31, 118,136 - 138 и др.] . В [ЗІ J выявлены также некоторые экстремальные свойства армированных материалов. В данной работе рассматривается композитная среда [ з] , состоящая из связующего материала (матрицы) и арматуры, представляющей собой отрезки круговых цилиндрических волокон равной длины. Через п. (CKflM) обозначим коэффициент объемного содержания армирующих включений (концентрацию) в материале. Предположим, что радиус поперечного сечения волокна существенно меньше его длины. Отрезки волокон хаотически распределены в пространстве. Так как обычно деформация, при которой начинается разрушение армированного пластика, является упругой для связующей среды, то принимается, что матрица деформируется упруго. Постоянные Ляме матрицы обозначим через Am. и / /7L Предполагается , что число отрезков волокон в единичном объеме достаточно велико и для каждого волокна реализуется одноосное напряженное состояние. Предполагается также, что арматура работает упруго. Тогда имеет место закон Гука, то есть линейная связь между тензорами напряжений и деформаций, причем для коэффициентов Ляме армированной среды справедливы следующие формулы [_3J где Ь _ модуль Юнга арматуры. Формулы (4.І.I) выражают линейную зависимость коэффициентов J[ и U от концентрации \l . Для эффективного модуля упругости Е зависимость от и к нелинейна

В настоящей работе (2 - 4 данной главы) рассматриваются задачи минимизации веса крыльев из композитного материала при ограничениях по статической аэроупругости. При оптимальном проектировании летательных аппаратов ставится целью снизить вес конструкции и удовлетворить некоторым ограничениям , обеспечивающим необходимые аэродинамические и прочностные характеристики. Ряд существенных ограничений обусловлен требованиями аэроупругости. Одновременный учет большого числа факторов сильно усложняет задачу оптимизации и не позволяет исследовать влияние каждого из них в отдельности на оптимальное решение. Поэтому для выявления существенных ограничений и изучения зависимости оптимального решения от параметров удобно решать модельные задачи для небольшого числа ограничений. Такой подход использовался в работах Х.Эшли и С.Макинтоша _I25,I26J , а также в последующих работах Ж.-Л.Армана, В.Витте, Т.Вейсхаара, Б.Пирсона JJ23, 164,165,194 J и советских исследователей В.Г.Бунькова, В.М.Фролова, Г.В.Украинцева, В.И.Бирюка, И.С.Голубева, Н.В.Ба-ничука, А.А.Миронова, А.П.Сейраняна Г 8 - 10,21,34,35,38,114 и др.].

В данной работе.рассматривается крыло (прямое или стреловидное) в потоке газа. Предполагается, что оно имеет большое удлинение, и,следовательно, для описания его статических деформаций используются уравнения изгиба и кручения упругой консольной балки. Граничные условия на левом конце крыла соответствуют всюду жесткому закреплению, а граничные условия на правом конце -отсутствию сосредоточенного момента и перерезывающей силы. Аэродинамические нагрузки, действующие на крыло, вычисляются согласно теории несущей полосы. Из ограничений по статической аэроупругости здесь рассматриваются ограничения по критической скорости крутильной дивергенции крыла, критической скорости реверса элерона, а также ограничение на величину подъемной силы крыла при упругих деформациях.