Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор работ по связанности полей напряжений и температур и разносопротивляемости материалов 13
1.1. Термоупругость классических материалов 13
1.2. Разносопротивляемость конструкционных материалов 25
1.3. Термоупругость разносопротивляющихся материалов 30
1.4. Выводы по главе 44
2. Определяющие соотношения для существенно нелинейных изотропных разносопротивляющихся материалов, находящихся в поле действия температуры 46
2.1 Термодинамический потенциал Гиббса существенно нелинейных разносопротивляющихся материалов 46
2.2 Уравнение притока тепла для разносопротивляющихся материалов 50
2.3 Механические константы термодинамического потенциала Гиббса 52
2.4. Температурные константы термодинамического потенциала Гиббса 65
2.5. Законы изменения объёма и формы, фазовая характеристика, плотность энтропии 66
2.6. Выводы по главе 72
3. Применение метода конечных элементов к связанным задачам термоупругости существенно нелинейных разносопротивляющихся материалов
3.1. Система разрешающих уравнений 74
3.2. Элементы разрешающей системы уравнений 75
3.2.1. Матрица жёсткости объёмного КЭ в виде тетраэдра при механическом загружении 75
3.2.2. Термоупругая составляющая матрицы жесткости 85
3.2.3. Элемент матрицы теплопроводности 87
3.2.4. Элементы матриц термоупругого и температурного затухания 89
3.3. Матрица жёсткости объёмного конечного элемента для решения задач связанной термоупругости 89
3.4 Выводы по главе 92
4. Расчёт напряжённо-деформрованного состояния оболочек, выполненных из существенно нелинейных начально изотропных разносопротивляющихся материалов 93
4.1. Нелинейность рассматриваемых задач 93
4.2. Рассматриваемые математические модели
4.3 Граничные и начальные условия 96
4.4 Алгоритм расчёта 100
4.6 Жёстко опёртая оболочка положительной гауссовой кривизны, квадратная в плане 102
4.6.1 Постановка задачи 102
4.6.2 Основные результаты и их анализ 106
4.7 Свободно опёртая сферическая оболочка 111
4.7.1 Постановка задачи 111
4.7.2 Основные результаты и их анализ 114
4.8 Жёстко опёртая сферическая оболочка 119
4.8.1 Постановка задачи 119
4.8.2 Основные результаты и их анализ 121
4.9 Выводы по главе 126
Заключение 128
Список литературы
- Термоупругость разносопротивляющихся материалов
- Механические константы термодинамического потенциала Гиббса
- Термоупругая составляющая матрицы жесткости
- Жёстко опёртая оболочка положительной гауссовой кривизны, квадратная в плане
Термоупругость разносопротивляющихся материалов
Влияние температуры на механические напряжения в конструкциях впервые заинтересовало ученых в XIX веке. Первые работы о вычислении молекулярных воздействий, возникающих в твердых телах вследствие изменений температуры были опубликованы Дюамелем в 1838 году [206, 207]. Эти работы Дюамеля представляют собой его главный вклад в теорию упругости. Во введении он указывает, что Фурье в своей знаменитой «Аналитической теории тепла» [214] разработал вопрос о распределении температур в твердых телах, но оставил вне поля своего внимания деформации, вызываемые изменениями температур. Мельчайшие частицы, на которые допустимо делить твердое тело, лишены возможности расширяться свободно под воздействием температурных изменений, вследствие чего в теле будут возникать напряжения. Исследуя эти напряжения, Дюамель следует методу, предложенному Навье, и выводит дифференциальные уравнения равновесия. Но в дополнение к компонентам объемных сил в них входят еще члены, пропорциональные скорости изменения температуры по соответствующим направлениям. Дюамель устанавливает также условия на поверхности тела и показывает, что температурные напряжения поддаются определению точно таким же образом, как и напряжения, вызываемые объемными силами и силами, приложенными на поверхности. Как показывает Дюамель, напряжения, вызываемые силами, и напряжения, связанные с изменениями температур, могут быть вычислены отдельно, полные же напряжения получаются путем наложения [166].
Применение этих основных уравнений к некоторым частным случаям приводит Дюамеля к решениям, представляющим практический интерес. Он начинает с полой сферы, температура которой выражается заданной функцией расстояния от центра. Демонстрируется, что изменения длин внутреннего и наружного радиусов зависят лишь от среднего значения температуры стенки сферической оболочки. Он распространяет эту закономерность на оболочку, состоящую из двух концентрических слоев различных материалов. В этой статье исследуется также и цилиндрическая труба, температура которой определяется заданной функцией радиального расстояния. В заключение Дюамель исследует перемещения, вызываемые в сферической оболочке изменением температуры. На протяжении всей этой работы Дюамель предполагает, что упругая постоянная не зависит от температуры. Во втором ме-муаре, имеющем первостепенную важность в теории теплоты, он изучает изменения температуры, возникающие в результате деформации, а также различие удельной теплоты при постоянном объеме и при постоянном давлении [166, 206].
Нейманн применяет свою теорию двойного лучепреломления в напряженных прозрачных телах, к изучению интерференционных узоров, наблюдавшихся Брьюстером в неравномерно нагретых стеклянных пластинках, и показывает, что способность таких пластинок к двойному лучепреломлению объясняется напряженным состоянием, возникающим в них в результате неравномерного распределения температур [166]. Для исследования этого напряженного состояния Нейманн выводит уравнения равновесия, сходные с полученными Дюаме - 15 лем и содержащие члены, которыми учитывается температурное расширение материала [223] . Применяя эти уравнения к случаю сферы, температурное поле которой определяется одним лишь расстоянием от центра, Нейманн вычисляет температурные напряжения и, поставив затем опытное изучение этого напряженного состояния в поляризованном свете, показывает, что образующиеся при этом цветные полосы близко отвечают теории [166].
Нейманн исследует температурные напряжения также и в пластинке, температура которой неравномерно распределена по ее площади, но сохраняет постоянное значение в любом месте по толщине пластинки. Он выводит необходимые уравнения и применяет их к круглой пластинке и к круглому кольцу. Он полагает, что круглое кольцо имеет весьма малую толщину в радиальном направлении, и исследует изгиб такого кольца, когда температура его является функцией лишь расстояния S, измеренного по оси кольца. Поставлена Нейманном и задача о двух соединенных между собой пластинках из различных материалов, подобных биметаллическому термометру Бреге, причем он исследует изгиб таких пластинок в условиях равномерного распределения температур [166].
Механические константы термодинамического потенциала Гиббса
Используя методику нормированных пространств напряжений [116], рассмотрим уравнения состояния для нелинейных разносопротивляющихся материалов, находящихся в температурном поле. Термодинамический потенциал Гиббса для нелинейно разносопротивляющихся материалов получим, объеденив потенциал деформаций нелинейных изотропных материалов Н.М. Матченко и А.А. Трещёва [116] с термомеханической частью термодинамического квазилинейного потенциала Гиб-бса этих же авторов[117, 178]. Термодинамический потенциал деформаций будет складываться из существенно нелинейной механической части и слагаемых, учитывающих влияние полей напряжений и температур для разносопротивляющихся материалов. Предлагаемые зависимости будем использовать только при малых в сравнении с начальной абсолютной температурой изменениях температур, таких что механические и теплофизические характеристики материалов остаются постоянными.
Используя характеристики нормированного пространства № 1, потенциал Гиббса запишем в виде степенного полинома от главных напряжений и изменения температур, при этом отбрасывая члены, приводящие к нефизичности соотношений [178, 184]: модуль вектора полного напряжения; п - показатель степени, который в общем случае не являеся целым числом; 1а = а1 + а2 + а3 - первый инвариант нормированных напряжений первого пространства; Са - теплоёмкость ма -\окок ской части потенциала, At, Bt — константы термомеханической части потенциала; ок — главные напряжения; ак = ок / S - нормированные главные напряжения; S = у]с изменение териала при постоянном давлении, Q = Т — Т0 температуры тела в точке; Г - температура тела в точке в рассматриваемый момент времени; Т0 - начальная температура тела в точке. Во втором нормированном пространстве с учетом зависимостей между рассмотренными пространствами (1.27) и (1.23), потенциал деформаций (2.1) можно преобразовать к форме [17 8]: а, - компоненты тензора напряжений; г = 1 SlAl - каса тельные напряжения на октаэдрической площадке; S-. = а.- — 5±а - компоненты девиатора напряжений; = cos г/г = o/S0 - нормированные нормальные напряжения на октаэдрической площадке; S0 = л/а2 + т2 - модуль вектора полного напряжения на октаэдрической площадке; г] = sin if/ = T/S0 - нормированные касательные напряжения на октаэдрической площадке; і]/ - угол между вектором полного напряжения на октаэдрической площадке и нормалью к этой площадке; cos 3 р = V2 det(5i.)/r3 ; ер - фаза напряжений.
Форма потенциала деформаций (2.2), представленная через параметры второго пространства, является более компактной и удобной для применения при расчёте оболочечных конструкций.
Термодинамические потенциалы Гиббса (2.1) и (2.2) являются полными дифференциалами, поэтому должно выполняться соотношение:
В силу потенциальности соотношений (2.1) и (2.2) можно воспользоваться соответствующими дифференциальны дГ дТ ми зависимостями:
Для получения в общем случае зависимостей между деформациями и напряжениями для нелинейных разносопротив-ляющихся материалов [178], описываемых потенциалом Гг (2.2), применим к нему формулы (2.4) : e±j = 2Fo±j + [К - Fo±j) 5dj + - (btlf + bt2) Q5ij
Для расчёта конструкций требуются правильно представить предлагаемые определяющие соотношения применительно к конкретным разносопротивляющимся материалам. Эта проблема решается путем вычисления констант потенциалов деформаций на основе имеющихся экспериментальных данных. Количество экспериментов должно быть минимальным и они должны быть легко реализуемы в лабораторных условиях. Это позволит значительно упростить использование новых материалов в рамках предлагаемой методики расчёта. Проверку же адекватности определяющих соотношений для конкретных материалов следует проводить путём сравнения экспериментальных диаграмм деформирования при сложных видах напряжённого состояния с теоретическими. Алгоритм вычисления констант нелинейных потенциалов путём обработки экспериментальных данных по методу наименьших квадратов подробно описан в монографии [184]. Параллельно с вычислением констант производится проверка устойчивости потенциала в малом для обеспечения единственности решения [68].
Применительно к предложенным соотношениям постулат Друккера можно представить в общем виде [187]: Коэффициенты квадратичной формы, положительная определенность которых гарантирует выпуклость потенциала и выявляет ограничения, накладываемые на механические характеристики разносопротивляющихся материалов, определяются следующим образом:
Термоупругая составляющая матрицы жесткости
Существенно нелинейные зависимости между деформациями и напряжениями и чувствительность свойств материалов к виду напряжённого состояния обуславливают физическую нелинейность поставленных в диссертационном исследовании задач. Вместе с тем для тонких пологих оболочек даже прогибы, не превосходящие 10% толщины оболочки, могут существенно влиять на горизонтальную составляющую реакции опорного контура, что приводит к необходимости учёта деформируемости расчётной схемы. При двоякой природе нелинейности, принимая во внимание связанную постановку термомеханических задач, при которой процесс деформирования рассматривается на конечном промежутке времени, наиболее оптимальными представляются инкрементальные методы решения нелинейных задач.
Для реализации шаговой концепции метод конечных элементов должен быть сформулирован в инкрементальной форме, когда разрешающие уравнения записываются не для конечных величин узловых внешних воздействий, а для их приращений в пределах каждого шага [73]. При этом процесс деформирования тела как при динамических, так и при статических кратковременных и длительных воздействиях удобно представлять как процесс движения его точек, а решение задачи отыскивать, последовательно переходя от шага к шагу, в виде перемещений узловых точек и
Предложенную модель существенно нелинейного разносо-противляющегося материала рассматриваем в двух вариантах: при расчёте по деформируемой и недеформируемой схеме. Сравнение этих вариантов позволит выявить влияние инкрементального метода расчёта с переопределением координат узлов расчётной схемы на каждом шаге на НДС оболочек. Дополнительно для предложенной модели произведены вычисления без учёта связанности полей напряжений и температур, чтобы оценить влияние энергетических эффектов деформирования, а также производён расчёт без температурной нагрузки .
Для контроля вычислений выполнено сравнение полученных результатов с моделью связанной термоупругости линейно упругих изотропных материалов и широко апробированной моделью квазилинейных изотропных термоупругих разносопро-тивляющихся материалов Н.М. Матченко и А. А. Трещёва [117] . Для применения этих теорий в рамках разработанной программы константы потенциалов были приведены к константам используемого потенциала Гиббса. Результаты приведения для графита, бетона и арматурной стали представлены в таблице 4.1.
Расчёты по квазилинейной теории разносопротивляемо-сти и классической теории термоупругости проводим по деформированной схеме.
Для определения степени влияния рассматриваемых физических эффектов на НДС конструкций проводилось решение задач согласно 5 моделям: - модель № 1 – пошаговый расчёт по деформируемой схеме для существенно нелинейной разносопротивляемости; - модель № 2 – пошаговый расчёт по деформируемой схеме для квазилинейной разносопротивляемости Н.М. Мат-ченко и А.А. Трещёва [117]; - модель № 3 – расчёт по недеформируемой схеме для существенно нелинейной разносопротивляемости; - модель № 4 – пошаговый расчёт по деформируемой схеме для линейной термоупругости с использованием ос-реднённых характеристик материала; - модель № 5 – пошаговый расчёт по деформируемой схеме для существенно нелинейной разносопротивляемости без температуры.
Все расчёты проводим в связанной постановке. Дополнительно для предложенной модели №1 решалась несвязанная задача термоупругости и оценивалось влияние связанности на нормальные напряжения.
Для выполнения количественной оценки эффекта разно-сопротивляемости производим сравнение предлагаемой модели №1 и модели классической линейно термоупругости №4. Расхождение в результатах расчётов моделей №1 и №2 показывает влияние учёта нелинейности термодинамическх потенциалов. Влияние деформируемости расчётной схемы на НДС оцениваем сравнением моделей №1 и №3.
Жёстко опёртая оболочка положительной гауссовой кривизны, квадратная в плане
На основе выполненного в первом разделе диссертации обзора теорий термоупругости и разносопротивляемости было выявлено, что для обеспечения требуемой надёжности и экономичности ответственных конструкций необходим учёт температурных эффектов деформирования и чувствительности материалов к виду напряжённого состояния. При этом определяющие соотношения должны быть физически непротиворечивыми и хорошо коррелировать с имеющимися экспериментальными данными на всём диапазоне эксплуатационных напряжений. Наиболее близкой к требуемым свойствам из ранее применявшихся моделей разносопротивляе-мости была квазилинейная теория термоупругости Н.М. Матченко и А.А. Трещёва [117], однако, её применение для материалов с явно выраженной нелинейностью может внести значительные погрешности при выходе уровня деформирования на ветви упрочнения.
Для адекватного учёта существенно нелинейной разно-спротивляемости термоупругих материалов на основе нелинейных потенциалов деформаций [116] Н.М. Матченко и А.А. Трещёва и температурной части термодинамического потенциала Гиббса [117] этих же авторов были рассмотрены две эквавалентные формы нелинейных определяющих соотношений. Полученные в диссертационном исследовании результаты подтверждают, что рассмотренные определяющие соотношения, применённые методы и алгоритм решения прикладных задач могут быть надёжной основой для исследований НДС конструкций сложной формы, выполненных из существенно нелинейных материалов, чувствительных к виду напряжённого состояния, в условиях термомеханического нагружения. Основные результаты работы состоят в следующем:
1. В рамках нормированных пространств напряжений, предложенных в работах Н.М. Матченко и А.А. Трещева [116, 117], были рассмотрены две формы существенно нелинейного термодинамического потенциала Гиббса. Определяющие соотношения на основе этого потенциала были адаптированы для решения объёмных задач теории термоупругости с помощью метода конечных элементов.
2. Был получен модифицированный объёмный конечный элемент в виде тетраэдра с четырьмя узлами для решения связанных задач термоупругости существенно нелинейных начально изотропных материалов, термомеханические свойства которых зависят от вида напряжённого состояния.
3. Была разработана и реализована математическая модель пошагово-итерационного расчёта оболочечных кон струкций с учётом изменения координат узлов расчётной схемы на каждом этапе нагружения, связанности полей на пряжений и температур, зависимости коэффициентов линей ного температурного расширения от вида НДС и существен но нелинейной разносопротивляемости.
4. Впервые были решены связанные задачи термомеха нического деформирования оболочек положительной гауссо вой кривизны круглых и прямоугольных в плане, выполнен ных из существенно нелинейных изотропных материалов, чувствительных к виду напряжённого состояния. Было про ведено сравнение полученных решений с результатами классической термоупругости и теории квазилинейной раз носопротивляемости Н.М. Матченко и А.А. Трещёва [117].
5. Основные численные результаты, заключаются в следующем: влияние связанности полей напряжений и температур достигает 12 % в величине нормальных напряжений; влияние существенно нелинейной разносопротивляемости в сравнении с расчётом по уравнениям классической термоупругости достигает 28 % в величине прогибов, 33 % в величине горизонтальных перемещений, 46 % в величине нормальных напряжений; 15 % в величине касательных напряжений; влияние нелинейности определяющих соотношений в сравнении с квазилинейной разносопротивляемостью Н.М. Матченко и А.А. Тре-щёва [117] не превосходит 26 %, влияние расчёта по деформированной схеме достигает 8 % по прогибам, 3 % по горизонтальным перемещениям, 26 % по нормальным напряжениям, 10 % касательным напряжениям.
