Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задач динамики ортотропных пластин с присоещиненными элементами 23
1.1. Поле перемещений и деформаций для слоистой ортотропной пластины 23
1.2. Уравнения динамики слоистых ортотропных пластин 31
1.3. Основные соотношения уточненной теории ортотропных пластин 37
1.4. Уравнения движения о ВДопных пластин 41
1.5. Формулировка основных задач динамики пластин с присоединенными элементами 48
Глава 2. Колебания вязкоупругих пластин с присоединенными элементами 56
2.1. Разрешающие уравнения для вязкоупругих пластин 56
2.2. Решение уравнений при учете вязкоупругих свойств по наследственной теории 66
2.3. Решение уравнений при учете вязкоупругих свойств по теории комплексных модулей 77
2.4. Численные результаты 83
Глава 3. Колебания ортотропных пластин с присоединенными элементами 95
3.1. Колебания круговой ортотропной пластины с присоединенными массами 95
3.2. Вынужденные колебания круговой пластины при точечном креплении стержнями к подвижнону основанию 126
3.3. Колебания прямоугольной пластины с присоеди ненными осцилляторами 158
Заключение 187
Литература 190
Приложение 206
- Уравнения динамики слоистых ортотропных пластин
- Основные соотношения уточненной теории ортотропных пластин
- Решение уравнений при учете вязкоупругих свойств по теории комплексных модулей
- Вынужденные колебания круговой пластины при точечном креплении стержнями к подвижнону основанию
Введение к работе
В последние годы в технике находят широкое применение в качестве конструкций ортотропные упругие и вязкоупругие пластины и оболочки, которые несут нагрузки в виде различных присоединенных элементов.
Реальные конструкции, находящиеся под действием динамических нагрузок, как правило, представляют сложные объекты, поэтому исследование вопросов взаимодействия этих объектов с системами присоединенных элементов представляют собой актуальную проблему.
Для практики эти задачи, будучи связаны с передачей нагрузок, часто встречаются в современной технике и их развитие стимулируется возрастающими потребностями инженерных исследований.
По своему виду присоединенные элементы, нашедшие применение в различных конструкциях, можно разбить на следующие группы;
Ребра жесткости.
Накладки и подкрепляющие элементы.
Присоединенные массы (точечные или конечных размеров),
Осцилляторы с одной или несколькими степенями свободы.
Распределенные элементы, присоединенные к основной конструкции.
Оболочки, подкрепленные редко расставленными ребрами, трактуются как оболочки с дискретными элементами. Распространенным подходом является метод расчленения, при котором производится отделение ребер от оболочки с введением по линии контакта соответствующих усилий и моментов - метод динамических податливостей. Составляются уравнения движения для оболочки и ребер и формируются условия их сопряжения. При расчете реб-
wis г л *
ристых оболочек обычно используются уравнения Кирхгофа-Клебша. Если оболочка и ребра жесткости изготовлены из композитных материалов, то учитываются деформации поперечных сдвигов как собственно в оболочке, так и в присоединенном элементе. Для вывода уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние ребер, используются соотношения классической теории изгиба и кручения. При учете сил взаимодействия между оболочкой и ребрами учитываются эксцентрицитет ребер, изгиб в плоскости ребра, w' плоскости и кручение. Систему уравнений, описывающую напряженно-деформированное состояние оболочки с присоединенными ребрами, часто решают энергетическими методами. При составлении уравнений равновесия оболочки, подкрепленной ребрами, влияние подкреплений может учитываться в уравнениях при помощи дельта-функций Дирака.
Если оболочка подкреплена большим числом ребер жесткости, конструкцию можно свести к ортотропной оболочке, применяя тот или иной метод континуализации, в том числе по энергии [ 5,22, 52].
В практике создания конструкций жестко присоединенные массы могут быть размещены по линиям или площадкам [31,45,1091. Для вывода разрешающих уравнений движения оболочки с присоединенными массами используются вариационные принципы, в которых кинетическая энергия оболочки дополняется кинетической энергией присоединенных масс, которая в зависимости от присоединенной массы подсчитывается как с учетом поступательного, так, возможно, и вращательного движения.
Накладки по своему назначению могут играть различную роль. Однако самая важная - обеспечение жесткости конструкции. По форме они могут быть прямоугольными, кольцевыми, цилиндрическими или сферическими. При учете в накладках изгиба и кручения
«№* 7 шшт-
для них используются расчетные схемы теории тонких оболочек. Учитывая взаимодействие распределенных элементов с оболочкой посредством поверхностных усилий, определяется разрешающая система уравнений. Для большинства случаев система уравнений приводится к интегральным уравнениям [2].
Осцилляторы представляют собой присоединенные элементы, имеющие, как правило, одну степень свободы. Они крепятся в соответствующих точках к несущей конструкции при помощи пружин и демпферов. Исходными уравнениями являются уравнения движения оболочки и динамические уравнения осцилляторов, которые замыкаются соответствующими условиями сопряжения оболочки с осцилляторами [47,83,107,155-158]. Распределенные элементы бывают в виде стержней, пластинок, пологих оболочек, твердых тел и т.д. Связь распределенного элемента с оболочкой может осуществляться с помощью упругих или абсолютно жестких стержней, пластин, контакт которых с оболочкой происходит по некоторой малой площадке или тонкой полоске конечной длины [20,127,145].
Движение распределенного элемента, опоры и оболочки рассматривается отдельно, а их взаимное влияние заменяется действием сил и моментов в областях присоединения. Для получения непротиворечивых условий контакта, а также разрешающих уравнений движения системы оболочка-опора-распределенный элемент наиболее эффективными методами являются энергетические.
Нагрузки, действующие на конструкционные элементы, по характеру взаимодействия могут быть силовыми, кинематическими или одновременно носить смешанный характер.
Результаты исследований действия динамических нагрузок на оболочки, а также методы их расчетов опубликованы в многочисленных работах. В меньшей мере освещены вопросы вынужденных колебаний ортотропных пластин и оболочек, несущих присоединен-
* Cj *
ные элементы.
Значительный вклад в развитие теории динамики пластин и оболочек внесли советские ученые В.В.Болотин [ 19,25], А.Л.Гольденвейзер [36,37], Н.А.Кильчевский[5б], Я.С.Подстригач [П7-П9] и др.
Анализ работ по отдельным направлениям развития теории пластин и оболочек, находящихся под действием динамических нагрузок, с характеристикой различных подходов и полученных на их основе решений конкретных вопросов, дан в обзорных статьях Н.А.Кильчевского[5б] и У.К.Нигула [ 96,97]]
В периодике не уменьшается поток работ данного направления. Это, с одной стороны, объясняется тем, что вводятся в рассмотрение объекты более сложной формы или же усложняющие факторы, а с другой - тем, что идет интенсивное усовершенствование расчетных методов.
Много фактического материала по собственным колебаниям пластин и оболочек систематизировано в справочниках [25,35]. В работах[П,15,21,32,64,65,70,75,103,152] исследуются собствен^ ные колебания круглых, прямоугольных пластин и пологих оболочек со смешанными граничными условиями, определены формы колебаний.
Вопрос учета вязкоупругих свойств при динамическом деформировании пластин и оболочек является в настоящее время одним из актуальных в механике деформируемых тел. Об этом свидетельствуют, в частности, работы [ 11,16,26,53,54,55,60,90,114,131]. Сейчас уже разработаны общие теоретические основы и методы решения задач определения напряженно-деформируемого состояния и анализа динамических свойств несущих конструкций с учетом особенностей реологического поведения их материала.
в» ^4 «"
Вынужденные колебания в различных изделиях изучаются в монографиях и статьях [9,11,12,21,33,34,52,61,68,71,137].
Фундаментальным исследованиям теории анизотропных пластин и оболочек, различным вариантам их более точного описания посвящены труды С.А.Амбарцумяна[3,4], И.Н.Векуа [24], В.В.Болотина Ц7,19], Ю.Н.Новичкова [98-100,103], Э.И.Григолюка, Н.П.Чулко-ва[ 38,39], Я.М.Григоренко[40-421 Н.А.Кильчевского [ 56], С.Т.Лехницкого[73], Б.П.Пелеха [ІИ-ІІЗІ, Я.С.Подстригача JI7-119], А.С.Рассказова [122-124], Г.Н.Савина [125], Л.П.Хоро-шуна [ I40-І4І] и других авторов. Детальный анализ состояния теории многослойных пластин и оболочек дан в обзорной статье Э.И.Григолюка и В.А.Когана [38].
Решению конкретных задач теории слоистых пластин и оболочек посвящены работы [7,11,19,26,33,42,70,98-100,114,132,134, 135,140,141,144]. В [124] описаны результаты экспериментальных исследований статики и динамики многослойных пластин.
Применимость классической механики к конкретным задачам динамики требует строгого обоснования, отсутствие которого приводит в рассматриваемых случаях к сомнительным результатам [36, 96,97] . Положение улучшается, если отказаться от гипотез классической теории тонких оболочек и принять гипотезы одной из уточненных теорий, например, С.П.Тимошенко.
Задача приведения трехмерной теории упругости к двумерной может быть осуществлена различными способами:
Приведение путем разложения всех величин в степенные ряды по координате Z .
Приведение путем задания нескольких компонент тензора напряжений или деформаций известными функциями ^(Н) ("полуобратный" метод). Сюда относятся методы приведения Кирхгофа-Лява,С.П.Тимошенко, Э.Рейсснера, А.С.Амбарцумяна и др.
Приведение путем разложения компонент тензора напряжений или деформаций в ряды по специальным функциям.
Асимптотические методы приведения[14,36,144] .
Каждый метод обладает своими преимуществами и недостатками. Наиболее широкое применение нашли "полуобратные" методы приведения. Кроме метода приведения Кирхгофа-Лява (классическая теория) все остальные методы носят название "уточненных" теорий оболочек.
Построению уточненных теорий пластин и оболочек посвящены многочисленные исследования 17,14,17,19,24,37,44,70,74,79,102, 112,113,116,117,122-125,132,134,135,140,141,1441.
В работах [24,74,112,11б1 система уравнений равновесия находится из уравнений среды путем усреднения их по толщине с помощью полиномов Лежандра, а в [ 94 ] многочлены по Z в формулах для перемещений отличаются от первых четырех многочленов Лежандра только множителями.
Применение уточненного "полуобратного" метода С.А.Амбар-цумяна для получения уравнений движения пологих слоистых пластин и оболочек приводится в работах [122,123,1321.
Учет поперечных сдвигов и обжатий при построении уточненных теорий слоистых оболочек дается в [122,123,132,134,135] .
Современная инженерная практика ставит повышенные требования к анализу напряженно-деформированного состояния и определения собственных частот упругих пластин и оболочек, несущих присоединенные элементы. Этим вопросам посвящены труды И.Я.Амиро, В.Г.Паламарчука, А.М.Носаченко [6,104-1091 , В.М.Даревского, И.П.Шаринова[45] , Б.Г.Коренева [б51, В.А.Крысько [б9 1 , Л.И.Лиходеда, А.А.Малинина [76-78, 80-85], Ю.Н.Новичкова, В.М.Юдина [l01l, И.И.Федика [13б] и других.
- II -
Важный вклад в исследования колебаний упругих систем, в частности, пластин с присоединенными дискретными массами, сделал С.А.Гершгорин [30,311.
Вопрос о колебаниях упругих систем с присоединенными массами изучается в работах [6,8-10,30,31,45,48,52,1421. Здесь решаются задачи о колебаниях замкнутых, свободно опертых по краям цилиндрических оболочек, несущих распределенные или сосредоточенные массы. Колебания оболочек и движение присоединенной массы рассматривается отдельно с последующим выполнением условия сопряжения. Получены частотные уравнения для оболочек с присоединенной по прямоугольному элементу массой, а также для оболочек, несущих одну или несколько сосредоточенных масс.
В результате исследований установлено:
Между частотами колебаний оболочки без присоединенной массы и частотами системы, состоящей из оболочки с жестко прикрепленной массой, существует взаимнооднозначное соответствие. Добавление присоединенной массы не вводит новых частот, а лишь понижает некоторые частоты колебаний системы по сравнению с частотами оболочки без масс,
Добавление присоединенной массы может привести к сильной локализации реакции, вызывая большое понижение основной частоты, а также существенное изменение основной формы колебаний.
В [78] исследуются нелинейные колебания ортотропных оболочек вращения с включениями типа сосредоточенных масс. Задача рассматривается в геометрически нелинейной постановке. Для получения уравнений движения используется вариационный принцип Лагранжа в сочетании с методом Ритца. В качестве базисных фун-
кций для задачи о вынужденных колебаниях используются, как правило, собственные функции соответствующей линейной задачи.
В качестве примера рассматривалось движение гладкой цилиндрической оболочки с шарнирно подвижными краями и оболочки с сосредоточенной массой, находящихся под действием осевой сжимающей силы, меняющейся во времени.
В результате подсчетов получено:
Изменение нормального прогиба в зависимости от величины сжимающей силы.
Зависимости силы от скорости нагружения для гладкой оболочки и оболочки с массой.
На основании соображений подобия и размерности, а также анализа числовых результатов в [77] найдены приближенные формулы для определения собственных частот колебаний цилиндрических оболочек, гладких и с сосредоточенными включениями.
В статье [82] рассматривается случай оболочки как свободной, так и несущей сосредоточенные массы. Проводится исследование динамических характеристик тороидальной оболочки при изменении кривизны ее осевой линии. Для получения решения задачи использован метод Ритца.
Здесь приведены значения:
Двух низших частот колебаний оболочки для трех вариантов крепления массы.
Показано, что наибольшее понижение частоты наблюдается у оболочки с массой в узле ( L /2 Я, JT ), наименьшее - у оболочки с массой в узле ( L / 2 Я , О ).
Зависимость параметра частоты от числа волн по кольцу для круговой и эллептической оболочек при колебаниях, симметричных относительно вертикальной плоскости, представлена в [271 .
- ІЗ -
Колебания шарнирно опертой цилиндрической оболочки рассматривается в работе [ 81]. Оболочка содержит сосредоточенные и распределенные упругие связи и массы. Упругие связи могут быть распределены как по отдельным линиям координатной сетки, так и по всей поверхности оболочки,
Работа СбО] посвящена получению зависимостей собственных частот для шарнирно опертой цилиндрической ортотропной оболочки с дискретными включениями при действиях на нее растягивающих сил, внутреннего и наружного давления.
В статьях L84,85] показано, что при определении собственных частот и форм колебаний оболочек вращения с грузами необходимо учитывать инерцию поворота грузов, так как это оказывает большое влияние на изменение спектра низших частот колебаний. Колебания подкрепленных оболочек вращения с сосредоточенными массами и осцилляторами рассмотрены в работе С7б].
Статьи [5,6,87,104-109] посвящены изучению свободных колебаний системы, состоящей из ребристой цилиндрической оболочки и абсолютно твердого тела. Связь тела с оболочкой осуществляется разными способами. В одном случае тело с оболочкой связывается при помощи абсолютно жестких невесомых радиальных стержней, жестко скрепленных с телом и шарнирно связанных с оболочкой. В другом случае - с помощью промежуточных опор или же жесткого присоединения абсолютно твердого тела к оболочке. Движение тела рассматривается отдельно, а его влияние на оболочку заменено действием сил и моментов в точках присоединения тела к оболочке, Инерционными силами оболочки в тангенциальном направлении пренебрегают. Задачи решаются энергетическими методами.
Исследуются свободные колебания оболочки с балкой, а также присоединенной массой.
Изучены свободные колебания ребристой конической оболочки с массой, присоединенной на пружинах.
Основные результаты работ [6,104-109] следующие:
Установлены зависимости минимальной собственной частоты оболочки с присоединенным телом от величины угла между нормалью в точке крепления тела и координатной диаметральной плоскостью. Анализ кривых показывает, что с увеличением расстояния между точками крепления тела, минимальная собственная частота снижается [106].
Исследовано влияние расстояния между опорами и точками крепления тела на первую собственную частоту колебаний системы [108].
З.а) Приведены зависимости собственной частоты колебаний оболочки без присоединенной массы от числа волн в окружном направлении.
б) Приведенные кривые, отражающие зависимость минимальной
собственной частоты от величины присоединенной массы и относи
тельной жесткости.
в) Установлено, что влияние присоединенной массы на мини
мальную собственную частоту колебаний оболочки весьма сущест
венно. С увеличением жесткостей связей между массой и оболочкой
это влияние увеличивается [104J.
4.а) Показано, что увеличение массы и соответствующих моментов инерции присоединенного к оболочке тела, влияние его угловых колебаний на собственную частоту колебаний системы может быть существенным.
б) С увеличением моментов инерции тела при неизменной его массе собственная частота колебаний уменьшается [б].
В работе [ 127] приводятся количественные данные о влиянии консольно присоединенного тела и дискретного размещения ребер
на минимальную собственную частоту. Рассматриваются собственные колебания замкнутой шарнирно опертой по краям оболочки с перекрестной системой ребер несущей тело, присоединенное с помощью консоли, ось которой нормальна к срединной поверхности оболочки. Предполагается, что консоль является абсолютно жестким стержнем, контакт консоли с оболочкой осуществляется по некоторой малой площадке.
Построены кривые, представляющие зависимости наименьшей собственной частоты от числа членов в окружном и осевом направлениях.
Приведены зависимости наименьшей собственной частоты от массы присоединенного тела.
В статьях [57-59] разработаны вариационный метод определения собственных частот оболочки с распределенными присоединенными грузами, позволяющий, в отличие от традиционных; методов, давать двухсторонние оценки собственных частот и полностью ответить на вопрос об изменении их значений и кратности в зависимости от поведения определителя возмущения; построена модификация метода для случая сосредоточенных масс. Показана зависимость низшей собственной частоты от величины одной присоединенной массы.
В работе НАМАСНДГШЕМ [l543 изучаются свободные колебания при больших амплитудах пологих сферических оболочек с сосредоточенной в вершине массой. Исследование выполнено в рамках уравнений Маргерра методом Бубнова-Галеркина при использовании в качестве базисных функций Бесселя. В случае одночленного приближения выписано дифференциальное уравнение второго порядка для условий жесткого защемления на подвижном и неподвижном в радиальном направлении контуре опирания.
в статье [із] на основании классической теории рассматриваются свободные колебания жестко защемленной круглой изотропной пластины. Воздействие массы на пластину заменяется силой, направленной перпендикулярно срединной плоскости. Сосредоточенная сила раскладывается в ряд по функциям Бесселя. Из условия сопряжения определен определитель, равенство нулю которого определяет характеристическое уравнение. Получены значения двух низших частот для пластины без масс, масса в центре, а также на расстоянии, равном половине радиуса. Аналогичные задачи решаются в [48,69,115].
Методом Ритца в сочетании с методом неопределенных множителей Лагранжа в [13бЗ решаются вариационные задачи об определении динамических свойств, частот и форм собственных колебаний изотропных пластин с идеальными точечными связями. Характерной особенностью разработанных алгоритмов является то, что основаны они на использовании форм собственных колебаний тех же конструкций, но без точечных связей.
Колебания двухслойных пластин и трехслойных балок с сосредоточенными массами рассмотрены в [33,101].
Для обработки виброметрических данных методами статистической динамики в [l47j строится решение задачи об искажениях случайного поля перемещений в тонких пластинах и оболочках вследствие внесения сосредоточенных масс.
Экспериментальному объяснению такого специфического явления, как удвоение спектра собственных частот замкнутой оболочки с присоединенной массой вследствие ее динамической асимметрии по сравнению с ненагруженной оболочкой приведено в [28І.
Изучению распространения изгибных волн в бесконечной пластине, в отдельных точках которой расположены сосредоточенные массы, посвящена статья [б71.
Анализу колебаний трансверсально-изотропной плиты с системой сосредоточенных масс посвящена работа [б9].
Примером использования математического аппарата обобщенных функций при исследовании оболочек с присоединенными массами яв-ляются работы [9,61-63,137-1391 и др.
В случае малых присоединенных масс в С 29 J используется метод теории аналитических возмущений.
В монографии [ 72 1 методом сплайн-преобразований с использованием обобщенных функций решаются задачи продольных и поперечных колебаний стержней переменной жесткости.
Нелинейные свободные колебания двух упруго-соединенных балок с сосредоточенными массами рассмотрены в статье C.46J.
Известно, что присоединенные элементы могут быть использованы как динамические гасители. Однако в ряде случаев присоединение элементов может оказать дестабилизирующее влияние. Именно такой случай и обнаружен в работах [l8,20l.
Анализ литературных источников показывает, что результаты исследований собственных колебаний оболочек с присоединенными элементами по классической теории, а также методы их расчетов хорошо освещены во многих трудах по механике.
В меньшей мере в литературе освещены вопросы собственных и вынужденных колебаний трансверсально-изотропных, ортотропных, вязкоупругих оболочек с конечной сдвиговой жесткостью, несущих присоединенные элементы. Количество решенных задач данного класса по уточненным теориям пока незначительно. В конструкциях с дополнительными закреплениями в конечном числе дискретных или локальных областей исследования становятся сложными. Это объясняется тем, что граничные условия принадлежат смешанному типу -когда в разных областях задаются разные условия, а именно, конструкция свободна или нагружена по некоторой осевой части и за-
креплена в точках опирания.
Влияние механических нагрузок на конструкции с присоединенными элементами необходимо учитывать на этапах проектирования, конструирования, испытания и эксплуатации. В некоторых областях современной техники центральным конструктивным элементом являются одно- и многослойные пластины, несущие различные навесные элементы. Пластина наиболее чувствительна к динамическим нагрузкам и поэтому заданное обеспечение ее надежности должно быть первостепенным. Кроме того, пластины, несущие присоединенные элементы, широко используются при разработке адаптивных систем, где важно определить пространственные профили поверхностей конструкционных элементов при работе силовых приводов и одновременном действии внешних возмущений, а также спектры частот и формы собственных колебаний.
Настоящая работа направлена на разработку методов решений ряда задач динамики ортотропных пластин с присоединенными элементами при разных условиях их закрепления к несущему основанию, наиболее часто встречающихся в современной технике. Изучению вынужденных колебаний ортотропных пластин и оболочек с присое-диненными массами посвящены работы [49-51,91-93,I487I51].
Цель работы состоит в разработке уточненной математической модели описания динамики однослойных и многослойных ортотропных упругих пластин, несущих присоединенные элементы; создание методики исследования свободных и вынужденных колебаний на основе аналитических решений задач динамики круговых и прямоугольных ортотропных упругих пластин с сосредоточенными массами; анализ амплитудно-частотных характеристик с целью изучения зависимостей их от вида закрепления, характера нагружения, геометрии и свойств материала несущего тела, жесткости крепления и координат присоединенных элементов.
Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:
впервые для изучения динамических процессов в ортотроп-ных упругих и вязкоупругих пластинах с присоединенными элементами применен метод, основанный на аппроксимации поля перемещений по толщине кубическими сплайнами;
на основе полученных аналитических решений, численного параметрического исследования и сопоставления результатов подходов создана методика расчета на динамику прямоугольных и круговых ортотропных упругих и вязкоупругих пластин с присоединенными элементами на силовое и кинематическое возбуждение; методика основана на принятии гипотез С.П.Тимошенко для тонкостенного несущего тела;
изучены основные закономерности поведения ортотропных упругих и вязкоупругих пластин с присоединенными элементами различных типов при изменении параметров, характеризующих свойства и особенности крепления присоединенных элементов, их расположения и характеристик самих элементов.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения.
В первой главе строится математическая модель многослойных оболочек, состоящих из ортотропных упругих слоев. Положенные в основу теории гипотезы позволяют учесть кроме основных деформаций классической теории, также деформации поперечного сдвига и обжатия. Поле перемещений по толщине пакета аппроксимируется с помощью кубического сплайна. Использован вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, на основании которого получена разрешающая система уравнений с соответствующими граничными и начальными условиями. Частным случаем полученных соотношений являются классическая теория многослойных оболочек, построенная
-гона основании гипотезы недеформируемых нормалей, и теория слоистых пластин, основанная на гипотезе С.П.Тимошенко.
Вторая глава посвящена решению задач по уточненной теории, основанной на сплайн-аппроксимации по толщине,шарнирно закрепленных упругих и вязкоупругих пластин, несущих присоединенные массы, при пульсирующем перемещении контура. Получены аналитические решения для определения напряженно-деформируемого состояния и амплитудно-частотных характеристик. Исследовано влияние толщины слоев несущей конструкции, величины,координат и размещения присоединенных масс, параметров упругости и вязкоупругос-ти материала пластины на поле нормальных перемещений и собственные частоты пластины.
Приведены сравнительные результаты полученных решений с теориями Кирхгофа-Лява и С.П.Тимошенко.
В третьей главе излагается методика решения задачи для круглой пластины с цилиндрической ортотропией, несущей сосредоточенные массы при пульсирующем перемещении контура. Для решения задачи применен метод возмущения трансверсально-изотропных упругих свойств.
Учитывая, что уравнения движения в перемещениях для транс-версально-изотропной пластины допускают точное решение в полярных координатах, то из обобщенного закона Гука выделена та часть, которая соответствует соотношениям упругости для транс-версально-изотропного тела. Введен малый параметр, который определяется через параметры упругости. Задача решается методом последовательных приближений. Используется обобщенное условие ортогональности. Из условия непрерывности поля нормальных перемещений в точках приложения сосредоточенных масс, а также граничных условий, определены собственные значения и собственные функции. После разделения переменных получена система дифферен-
циальных уравнений вынужденных колебаний пластины в обобщенных кооюлинатах относительно временного эогумента Исследовано влияние коотздинат и веса сосредоточенных масс геометрии пластины пэтэаметтзов vniyvrocTH на поле нормальных перемещений и собственные частоты
На примере ортотропной круглой пластины, несущей сосредоточенные массы и прикрепленной стержнями к подвижному основанию, исследуются вынужденные колебания. Задача решается методом возмущения трансверсально-изотропных упругих свойств. Получены аналитические решения. Определено влияние координат размещения стержней и масс, геометрии пластины, параметров ортотропии, жесткости стержней на напряженно-деформированное состояние пластины.
Решена задача для шарнирно закрепленной ортотропной пластины, находящейся под действием нормальных усилий, приложенных в соответствующих точках, и несущей сосредоточенные массы, имеющие шесть степеней свободы. Исследовано влияние толщины пластины, величины массы, моментов инерции, жесткости, параметров упругости на поле нормальных перемещений и собственные частоты пластины.
В заключении изложены основные результаты и общие выводы диссертационной работы, даны соответствующие рекомендации по применению результатов при проектировании и прогнозировании свойств пластин, несущих присоединенные элементы.
Основные результаты диссертационной работы докладывались:
на Всесоюзных научно-технических конференциях "Испытания и защита РЭА" (Москва, I98I г) и "Автоматизация конструкторского проектирования РЭА и ЭВА" (Пенза, 1983 г.); на Республиканских научно-технических конференциях "Контроль качества приборостроительной продукции" (Киев, I98I-I982 гг.) и "Обеспечение
метрологической надежности и ремонтопригодности радиоэлектронной аппаратуры" (Львов, I983-I984 гг.); на конференциях профессорско-преподавательского состава Львовского политехнического института (I980-I984 гг.); на кафедрах теорической механики и конструирования и производства радиоаппаратуры Львовского политехнического института (I980-I985 гг.); на семинаре "Строительная механика конструкций" (Москва, 1984 г.); полностью работа докладывалась на кафедре строительной механики Московского гидромелиоративного института (1985 г.) и на специализированном семинаре по механике деформируемого твердого тела ИППММ (Львов, 1985 г.).
Результаты выполненных исследований опубликованы в 10 статьях.
В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Ю.Н.Новичкову за постоянное внимание и поддержку в работе.
Уравнения динамики слоистых ортотропных пластин
Значительный вклад в развитие теории динамики пластин и оболочек внесли советские ученые В.В.Болотин [ 19,25], А.Л.Гольденвейзер [36,37], Н.А.Кильчевский[5б], Я.С.Подстригач [П7-П9] и др. Анализ работ по отдельным направлениям развития теории пластин и оболочек, находящихся под действием динамических нагрузок, с характеристикой различных подходов и полученных на их основе решений конкретных вопросов, дан в обзорных статьях Н.А.Кильчевского[5б] и У.К.Нигула [ 96,97]] В периодике не уменьшается поток работ данного направления. Это, с одной стороны, объясняется тем, что вводятся в рассмотрение объекты более сложной формы или же усложняющие факторы, а с другой - тем, что идет интенсивное усовершенствование расчетных методов. Много фактического материала по собственным колебаниям пластин и оболочек систематизировано в справочниках [25,35]. В работах[П,15,21,32,64,65,70,75,103,152] исследуются собствен ные колебания круглых, прямоугольных пластин и пологих оболочек со смешанными граничными условиями, определены формы колебаний. Вопрос учета вязкоупругих свойств при динамическом деформировании пластин и оболочек является в настоящее время одним из актуальных в механике деформируемых тел.
Об этом свидетельствуют, в частности, работы [ 11,16,26,53,54,55,60,90,114,131]. Сейчас уже разработаны общие теоретические основы и методы решения задач определения напряженно-деформируемого состояния и анализа динамических свойств несущих конструкций с учетом особенностей реологического поведения их материала. Вынужденные колебания в различных изделиях изучаются в монографиях и статьях [9,11,12,21,33,34,52,61,68,71,137]. Фундаментальным исследованиям теории анизотропных пластин и оболочек, различным вариантам их более точного описания посвящены труды С.А.Амбарцумяна[3,4], И.Н.Векуа [24], В.В.Болотина Ц7,19], Ю.Н.Новичкова [98-100,103], Э.И.Григолюка, Н.П.Чулко-ва[ 38,39], Я.М.Григоренко[40-421 Н.А.Кильчевского [ 56], С.Т.Лехницкого[73], Б.П.Пелеха [ІИ-ІІЗІ, Я.С.Подстригача JI7-119], А.С.Рассказова [122-124], Г.Н.Савина [125], Л.П.Хоро-шуна [ I40-І4І] и других авторов. Детальный анализ состояния теории многослойных пластин и оболочек дан в обзорной статье Э.И.Григолюка и В.А.Когана [38]. Решению конкретных задач теории слоистых пластин и оболочек посвящены работы [7,11,19,26,33,42,70,98-100,114,132,134, 135,140,141,144]. В [124] описаны результаты экспериментальных исследований статики и динамики многослойных пластин. Применимость классической механики к конкретным задачам динамики требует строгого обоснования, отсутствие которого приводит в рассматриваемых случаях к сомнительным результатам [36, 96,97] . Положение улучшается, если отказаться от гипотез классической теории тонких оболочек и принять гипотезы одной из уточненных теорий, например, С.П.Тимошенко. Задача приведения трехмерной теории упругости к двумерной может быть осуществлена различными способами: 1. Приведение путем разложения всех величин в степенные ряды по координате Z . 2. Приведение путем задания нескольких компонент тензора напряжений или деформаций известными функциями (Н) ("полуобратный" метод). Сюда относятся методы приведения Кирхгофа-Лява,С.П.Тимошенко, Э.Рейсснера, А.С.Амбарцумяна и др. 3.
Приведение путем разложения компонент тензора напряжений или деформаций в ряды по специальным функциям. 4. Асимптотические методы приведения[14,36,144] . Каждый метод обладает своими преимуществами и недостатками. Наиболее широкое применение нашли "полуобратные" методы приведения. Кроме метода приведения Кирхгофа-Лява (классическая теория) все остальные методы носят название "уточненных" теорий оболочек. Построению уточненных теорий пластин и оболочек посвящены многочисленные исследования 17,14,17,19,24,37,44,70,74,79,102, 112,113,116,117,122-125,132,134,135,140,141,1441. В работах [24,74,112,11б1 система уравнений равновесия находится из уравнений среды путем усреднения их по толщине с помощью полиномов Лежандра, а в [ 94 ] многочлены по Z в формулах для перемещений отличаются от первых четырех многочленов Лежандра только множителями. Применение уточненного "полуобратного" метода С.А.Амбар-цумяна для получения уравнений движения пологих слоистых пластин и оболочек приводится в работах [122,123,1321.
Основные соотношения уточненной теории ортотропных пластин
Приведены сравнительные результаты полученных решений с теориями Кирхгофа-Лява и С.П.Тимошенко.
В третьей главе излагается методика решения задачи для круглой пластины с цилиндрической ортотропией, несущей сосредоточенные массы при пульсирующем перемещении контура. Для решения задачи применен метод возмущения трансверсально-изотропных упругих свойств.
Учитывая, что уравнения движения в перемещениях для транс-версально-изотропной пластины допускают точное решение в полярных координатах, то из обобщенного закона Гука выделена та часть, которая соответствует соотношениям упругости для транс-версально-изотропного тела. Введен малый параметр, который определяется через параметры упругости. Задача решается методом последовательных приближений. Используется обобщенное условие ортогональности. Из условия непрерывности поля нормальных перемещений в точках приложения сосредоточенных масс, а также граничных условий, определены собственные значения и собственные функции. После разделения переменных получена система дифферен-циальных уравнений вынужденных колебаний пластины в обобщенных кооюлинатах относительно временного эогумента Исследовано влияние коотздинат и веса сосредоточенных масс геометрии пластины пэтэаметтзов vniyvrocTH на поле нормальных перемещений и собственные частоты
На примере ортотропной круглой пластины, несущей сосредоточенные массы и прикрепленной стержнями к подвижному основанию, исследуются вынужденные колебания. Задача решается методом возмущения трансверсально-изотропных упругих свойств. Получены аналитические решения. Определено влияние координат размещения стержней и масс, геометрии пластины, параметров ортотропии, жесткости стержней на напряженно-деформированное состояние пластины.
Решена задача для шарнирно закрепленной ортотропной пластины, находящейся под действием нормальных усилий, приложенных в соответствующих точках, и несущей сосредоточенные массы, имеющие шесть степеней свободы. Исследовано влияние толщины пластины, величины массы, моментов инерции, жесткости, параметров упругости на поле нормальных перемещений и собственные частоты пластины.
В заключении изложены основные результаты и общие выводы диссертационной работы, даны соответствующие рекомендации по применению результатов при проектировании и прогнозировании свойств пластин, несущих присоединенные элементы.
Основные результаты диссертационной работы докладывались: на Всесоюзных научно-технических конференциях "Испытания и защита РЭА" (Москва, I98I г) и "Автоматизация конструкторского проектирования РЭА и ЭВА" (Пенза, 1983 г.); на Республиканских научно-технических конференциях "Контроль качества приборостроительной продукции" (Киев, I98I-I982 гг.) и "Обеспечение метрологической надежности и ремонтопригодности радиоэлектронной аппаратуры" (Львов, I983-I984 гг.); на конференциях профессорско-преподавательского состава Львовского политехнического института (I980-I984 гг.); на кафедрах теорической механики и конструирования и производства радиоаппаратуры Львовского политехнического института (I980-I985 гг.); на семинаре "Строительная механика конструкций" (Москва, 1984 г.); полностью работа докладывалась на кафедре строительной механики Московского гидромелиоративного института (1985 г.) и на специализированном семинаре по механике деформируемого твердого тела ИППММ (Львов, 1985 г.).
Решение уравнений при учете вязкоупругих свойств по теории комплексных модулей
Полимерные материалы, обладая высокими демпфирующими свойствами, способны гасить вибрации, и поэтому явление резонанса не вызывает в деталях из пластмасс столь резкого увеличения амплитуды колебаний, которое при тех же условиях может привести к разрушению металлических деталей, несмотря на более высокую усталостную прочность металла. Исследование дампфирующих свойств полимерных материалов представляет большой интерес и для технологов, разрабатывающих новые виды пластмасс, так как декремент колебаний является весьма чувствительным индикатором изменения свойств материалов в зависимости от их состава и старения. Если рассматривать,- например, частотную зависимость декремента, то оказывается, что гипотеза Кельвина-Фойгта, обобщенная гипотеза вязкого сопротивления и другие предопределяют материалу ту или иную зависимость рассеяния энергии от частоты. В действительности же частотная зависимость рассеяния энергии может быть самой различной[i31 ] . Гибкой и универсальной, пригодной для описания любых зависимостей декремента, является концепция комплексных модулей, которая отражает лишь самые общие характерные свойства диссипативных систем: наличие сдвига фаз между упругой и неупругой деформациями и т.д. Пусть в физических соотношениях (2.5) операторы Гн , АГ , Ггг , /гз , Пгз , / , /1/ , Гз равны нулю, а параметры УПРУГОСТИ С„ , Сі2 , С22 , СіЗ , Сяз , Сбб , Сзз ОПИСЫ- ваются с помощью комплексных параметров (гипотеза Е.С.Сорокина) Систему дифференциальных уравнений (2.26) при нулевых начальных условиях для обобщенных перемещений Umn(t) , Vmntt) , так Аналогично записываются соотношения для определения функций Систему интегральных уравнений (2.28) будем решать методом последовательных приближений. Пусть ускорение контура описыва- /і/ ется периодической функцией Wo(t)=Woe4 . Тогда реше- ние системы уравнений (2.28) для функций Wmn(t) и jfmnU) в первом приближении будет иметь вид Для определения собственных частот колебаний пластины с сосредоточенными и распределенными массами, а также проведения сравнительных результатов уточненной теории пластин с класси- ческой и сдвиговой (теория С.П.Тимошенко) составлена программа для ЭВМ EC-I030.
В программе предусмотрена возможность изменения геометрических и физических параметров пластины, переход к расчетам по классической и сдвиговой теориям пластин. На рис.2.1 построена амплитудно-частотная характеристика для нормальных перемещений в центре пластины для первых трех собственных частот без учета присоединенных масс в случае, когда материал пластины описывается трехпараметрическим ядром релаксации. Здесь Но - первая собственная частота колебаний орто-тропной пластины ( Л =142 Гц; А =0). Амплитудно-частотные характеристики пластины в точке X = а/2:у= % при различном значении коэффициента рассеяния энергии в интервале первых трех собственных частот указаны на рис.2.2 (гипотеза Е.С.Сорокина). Из рис.2.1 и рис.2.2 следует, что вязкость материала и коэффициент рассеяния энергии значительном влияют на амплитуду колебаний и делают более заметное смещение максимальной амплитуды при резонансе на основной частоте. Кривые на рис.2.3 показывают изменение нормального перемещения в центре пластины в зависимости от параметра вязкости/ трехпараметрического ядра релаксации для различных толщин пластины. Исследования показывают, что увеличение параметра приводит к увеличению амплитуды для нормального перемещения. Кривые 1,2,3 соответствуют толщинам пластин h =1,5 1СГ3 м; 2 ІСГ3 м; 2,5 10 м соответственно. Графики изменения первой собственной частоты и амплитуды колебаний в центре пластины в зависимости от наличия сосредоточенной или распределенной массы (т =1,5 КГ2 кг), когда вязкие свойства материала пластины описываются трехпараметрическим ядром релаксации, приведены на рис,2.4. Из графиков видно, что взаимодействие с сосредоточенной и распределенной массой приводит к сдвигу основной частоты в сторону уменьшения. Сравнительные результаты уточненной модели ортотропных пластин ( А =0) с классической и сдвиговой теориями показаны на рис.2.5-2.8. Влияние толщины пластины на собственные частоты Qmn a{ 0)тп , полученных по уточненной (сплошные линии) и сдвиговой моделям (штриховые линии) для а/В =1,5; 5 =0,1 м; /с = =10; Gf3 =2,15 Ю9 н/м , приведены на рис.2.5. Из получение результатов следует, что толщина пластины существенно влияет на собственные частоты. Так при% 0,015 основная собственная частота, полученная по уточненной, сдвиговой и классической моделям практически совпадают. При h/a =0,1 сдвиговая теория дает отклонение при определении основной собственной частоты, которое составляет 18 , а при определении высших частот это отклонение увеличивается. Из результатов следует также, что собственные частоты, определяемые по сдвиговой теориии, дают завышенные значения, чем частоты, определяемые по уточненной модели.
Вынужденные колебания круговой пластины при точечном креплении стержнями к подвижнону основанию
Рассмотрим ортотропную пластину с учетом инерции вращения, которая крепится в S точках с помощью стержней к подвижному основанию. Для описания движения стержня используется уравнение продольных колебаний, дополненное соответствующими граничными условиями. Края пластины, несущей присоединенные массы, свободны от нагрузок. Для получения уравнений движения пластины из обобщенного закона Г ка ввделяется та часть, которая по форме соответствует соотношениям упругости для трансверсально-изотропного тела и вводится малый параметр д . Уравнения движения пластины имеют вид аналогичный (3ЛО) удельная плотность пластины; JJO - удельная плотность собственно пластины; Ь и У - точки крепления сосредоточенных масс; і - количество масс; Рк т нормальная сосредоточенная сила; Гк , yv - точки приложения силы Рк . Для упругих стержней используем уравнение продольных колебаний где им - перемещение стержня вдоль оси Z , нормальное к поверхности пластины; Ео - модуль упругости стержня; fo -его удельный вес, Уравнения (3,46),(3.47) дополняются граничными условиями причем & - длина стерзшя; /? - радиус пластины; 01 , Mi , // - перерезывающие усилие и моменты соответственно. Первые равенства (3.48) выражают условие сопряжения стержня с пластиной. Решением уравнения (3.47) будет где Сі и Сг - определяются из условия (3.48); 5? - круговая частота. Удовлетворяя условиям (3.48), получаем Отсюда с учетом (3.48) найдем усилие контакта Р : , которое входит в уравнение (3.46). Систему уравнений (3.46) будем решать методом малого параметра 6 ; тогда выражения W , jfi , fe запишем в виде Запишем разрешающие уравнения движения пластины (при =0) без учета сосредоточенных масс.
Эти уравнения будут необходимы для определения собственных функций и собственных значений при дальнейшем решении поставленной задачи, Приравнивая выражения в фигурных скобках к нулю и проведя соответствующие преобразования, получаем разрешающую систему уравнений для функций и/ , П и Гг , которую запишем так: Подставляя в (3.92) соотношение (3.91), определяем функцию Bnj(t) , Аналогичным способом определяются следующие приближения. (О) О) Подставляя соотношения перемещений IV , ИГ и углов (о) (1) (о) (1) поворота/, , /V и/, , /, (3.78), получим решение задачи для круглой ортотропной пластины, несущей сосредоточенные массы, которая крепится стержнями к подвижному основанию. Полученные соотношения можно использовать для исследования поля перемещений пластины в зависимости от свойств материала, геометрических размеров, размещения масс и опор. Расчеты проводились „а ЭВМ ЕС-ЮЗО. Численные результаты получены при следующих данных: Е. =7,03 10 н/м2; Е. =7 3 10 Перемещение основания опор задается функцией W foStntot при амплитуде возбуждения Л =0,7 Ю-3 м. На рис.3.12 показано распределение нормальных перемещений W для пластины с одной точечной опорой, расположенной в точ ке /д =0,7 и присоединенной массой М/т =4 в центре плас тины І , -, Зависимость частоты колебаний пластины от положения опоры при различных массах М/т =10,6,2 (кривые 1,2,3) приведена на рис,3.13, Штриховая линия соответствует основной частоте пластины без масс. Кривые на рис,3.14 показывают изменение амплитуды и/ в точке V =0 от частоты вынужденных колебаний пластины. Сплошная кривая построена с учетом деформации сдвига и инерции вращения, штриховая - без учета этих факторов.
Пластина в этом случае крепилась на трех опорах с координатами ( /р( =0,2; 0); (0,2; зг" ); (0,2; -? ). Присоединенная масса была равна М/т =4 и имела координаты (0; -jf ), Из полученных результатов можно сделать вывод, что учет инерции вращения и сдвига существенно влияет на амплитудно-частотные характеристики пластины на точечных опорах. Влияние положения опор и сосредоточенных масс ( /т =10,6, 2) на собственные частоты показано на рис.3,15-3,16 (кривые 1,2, 3), Штриховые линии описывают изменение резонансных частот пластины без масс, В первом случае (рис,3.15) пластина крепилась на трех опорах координатами ( /R ,0); ( /R , - ); ( п/я / — ). Сосредоточенная масса имела координаты ( "% /4 ) во втором случае (рис.3.16) пластина находилась на четырех опорах с координатами ( 7% } /4 ), ( r/R; ЗЯ/4 ), ( уй ; 3% ), ( %; % ), а масса крепилась в точке
