Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Основные уравнения и соотношения оболочек с переменными коэффициентами жесткостей. Общая постановка и решение задач Майера-Больца 20
1.1. Основные уравнения и соотношения для анизо тропных трехслойных оболочек переменной толщины или переменными коэффициентами упругости 20
1.2. Общая постановка и решение задачи Майера-Больца 30
ГЛАВА 2. Задачи оптимизации однослойных конструкций переменной жесткости 37
2.1. Оптимальное проектирование анизотропных пластин переменной толщины 37
2.2. Оптимальное проектирование анизотропных цилиндрических оболочек переменной толщины 47
2.3. Задача оптимального проектирования ортотропных осесимметрических оболочек вращения переменной жесткости 56
2.4. Оптимальное проектирование цилиндрических оболочек, которые удовлетворяют допущениям технической теории оболочек 64
2.5. Задачи оптимального проектирования однослойных неоднородных конструкций 76
ГЛАВА 3. Задачи оптимизации трехслойных конструкций. оптимальная ориентация главных направлений упругости материала конструкций. Численная реализация оптимизационных задач 82
3.1. Задачи оптимизации трехслойных конструкций 82
3.2. Задача оптимальной ориентации главных направлений упругости материала конструкции 88
3.3. Численная реализация оптимизационных задач 91
Заключение 113
Литература 115
Приложение I 128
- Основные уравнения и соотношения для анизо тропных трехслойных оболочек переменной толщины или переменными коэффициентами упругости
- Оптимальное проектирование анизотропных цилиндрических оболочек переменной толщины
- Оптимальное проектирование цилиндрических оболочек, которые удовлетворяют допущениям технической теории оболочек
- Задача оптимальной ориентации главных направлений упругости материала конструкции
Введение к работе
В современной механике деформируемого твердого тела к числу важнейших и наиболее быстро развивающихся направлений относится теория оптимального проектирования конструкций. Это обусловлено тем, что с одной стороны современная наука, техника и общественное производство с необходимостью сталкиваются с задачами, относящимися к теории оптимального проектирования конструкций, а с другой стороны современные математические достижения и, в первую очередь, развитие мошной электронно-вычислительной техники создали плодотворную почву для решения этих задач.
Нужно отметить, что теория оптимального проектирования конструкций кроме огромного практического значения имеет также и теоретическое значение. Развитие этой теории взаимным образом влияет и на развитие других математических дисциплин. Нередко задачи теории оптимального проектирования конструкций открывают новую область и предмет исследований, влекут за собой новые подходы и нетрадиционные методы решения задач в теории оптимального управления, в вариационном исчислении, в математической физике и в математическом программировании.
В практике все более широкое применение находят конструкции, изготовленные из композиционных материалов. В связи с этим большое внимание стали привлекать задачи оптимального проектирования анизотропных неоднородных конструкций, и в последние годы резко возросло число исследований, посвященных рассмотрению таких задач. В большинстве своем эти исследования относятся к вопросам повышения жесткостно-прочностных характеристик конструкций заданной формы и массы. В классе указанных оптимизационных задач в качестве переменных проектирования выбираются различные параметры и функции, характеризующие внутреннюю структу - 5 ру конструкции.
Возросший интерес к задачам оптимального проектирования анизотропных неоднородных конструкций обусловлен также расширением технологических возможностей получения композиционных материалов. Стало возможным изготовление элементов конструкций с любыми наперед заданными распределениями механических характеристик: упругих модулей, направлений осей анизотропии, функций, описывающих распределение плотности материала конструкции.
Большинство исследований в теории оптимального проектирования посвящено рассмотрению конструкций типа стержней, пластин и оболочек. Это объясняется тем, что при механико-математических расчетах летательных аппаратов, термоядерных устройств, строительных сооружений или других реальных объектов чаще всего в качестве моделей рассматриваются названные механические конструкции и их сочетания.
В теории оптимального проектирования привлекают большое внимание также задачи оптимизации трехслойных анизотропных конструкций. Это связано с непременным повышением практической значимости трехслойных конструкций, чему в свою очередь в значительной мере способствовало широкое применение высокопрочных материалов: титана и его сплавов, армированных пластиков и других композиционных материалов. Действительно, конструкции, изготовленные из перечисленных материалов и работающих в условиях изгиба и сжатия, по условию прочности должны иметь малую толщину, но при этом момент инерции сечения конструкции мал, вследствие чего потеря устойчивости происходит при низкой критической нагрузке. А этого недостатка лишены трехслойные конструкции. Кроме того, при использовании соответствующих материалов несущих слоев и заполнителя трехслойные пластины и оболочки могут обладать хорошими вибропоглощающими характеристиками, иметь необходимые теплоизо - б ляционные и радиотехнические свойства. Укажем некоторые типы заполнителей: сотовые, трубчатые, гофрированные, неармированные пенопласты.
В современной теории оптимального проектирования конструкций важное место занимают те исследования, которые посвящена рассмотрению вопросов оптимизации формы или структуры анизотропных неоднородных пластин и оболочек, удовлетворяющих заданным ограничениям на фазовые и управляющие переменные. К числу таких исследований относится и предлагаемая диссертационная работа, в которой рассмотрены задачи минимизации масс анизотропных неоднородных конструкций типа пластин и оболочек, а также задачи максимизации основной частоты их собственных колебаний с помощью оптимального выбора главных направлений упругости материала конструкции. Те же задачи рассмотрены также для трех конструктивных вариантов анизотропных пластин и оболочек: однослойных однородных с переменной толщиной, однослойных неоднородных с постоянной толщиной и трехслойных. В качестве переменных проектирования рассматривается функция, описывающая толщину конструкции, или функция неоднородности материала конструкции. Рассматриваются также некоторые вопросы, связанные с наличием геометрических ограничений на переменные проектирования.
Исследования проводились с использованием методов вариационного исчисления и численных методов.
Круг рассматриваемых в диссертационной работе задач относится к одной из перспективных областей современной теории оптимального проектирования конструкций и представляет несомненный практический и теоретический интерес.
В целях уяснения места, которое занимают задачи оптимизации анизотропных неоднородных конструкций в общей теории оптимального проектирования, проведем краткий обзор истории вопроса.
В теории оптимального проектирования первые исследования посвящены в основном оптимизации стержневых конструкций. Еще в 1638 году Г.Галилей [П7 исследовал задачу проектирования равнопрочной консольной балки, на свободном конце которой действует сосредоточенная сила. В качестве переменного проектирования фигурирует высота поперечного прямоугольного сечения балки. Оптимальный закон изменения высоты, найденный Г.Галилеем, имел форму параболы. Впоследствии оказалось, что эта форма изменения высоты обеспечивает также минимальный вес для балки, в которой нормальные напряжения не превосходят определенную величину.
Вот уже более двухсот лет неослабливающее внимание многих исследователей привлекает другая задача оптимизации формы стержня, которая была поставлена Ж.Лагранжем [ 119]. В этой задаче рассматривается вопрос о минимизации массы колонны, которая, не теряя устойчивости, подвергается воздействию сжимаемой силы заданной величины. Решение, найденное Ж.Лагранжем, оказалось ошибочным. Правильное решение этой задачи дал Т.Клаузен [Пб]. Но и это решение (рис.1а) имело недостаток: на свободном конце стержня толщина стремится к нулю и, следовательно, напряжение бесконечно возрастает. Поэтому Е.Л.Николаи рассматривал эту задачу при дополнительных ограничениях на величину напряжения [71, 72] и получил оптимальную форму толщины стержня, представленную на рис.16. Далее можно привести ряд исследований, посвященных рассмотрению задачи Лагранжа или двойственной к ней задачи (когда масса стержня фиксируется и требуется максимизировать критическую силу) [її, 35, 36, 63, 101, 109, Ив].
Ряд исследований посвящен динамическим задачам оптимального проектирования стержней или стержневых систем. Ставятся различные задачи: минимизация веса при заданной частоте собственных колебаний конструкции или максимизация основного тона собственных колебаний при фиксированном весе; максимизация жесткостных, прочностных характеристик flO, 12, 56, 75, 122, І2в]. Динамические задачи оптимального проектирования одними из первых исследовали М.Г.Крейн [бб] и Ф.Ниордсон [l22].B работе [ 561 рассматривалась неоднородная по плотности струна,для которой отыскивались наилучшие распределения инерционных характеристик, т.е. распределение плотности р (х) по длине струны. Оптимальные решения имеют релейный характер и представляются в виде, изображенном на рис.2. Распределение, приведенное на рис.2а, соответствует максимуму основного тона, а распределение на рис.26 -минимуму. В работе [ 122 ] находилось оптимальное распределение толщины балки, максимизирующее ее основную частоту колебаний. Решение этой оптимизационной задачи представлено на рис.3.
Кроме перечисленных выше, отметим также работы [13, 77, 86, 100, 112, ІІЗІ, посвященные оптимизации различных стержней, в том числе криволинейных, анизотропных, неоднородных.
Проведем краткий обзор исследований, посвященных оптимизации анизотропных неоднородных конструкций. В работе [ 90 ], которая является одной из первых работ в этом направлении, В.С.Саркисян исследовал вопрос наилучшей ориентации осей анизотропии стержней. Оптимизации анизотропных неоднородных стержней посвящены работы 10, 12]. Многочисленные исследования посвящены оптимизации анизотропных неоднородных пластин [13, 15, 28, 29, 94, 96, 99] и оболочек [22, 25-28, 43, 54, 70, 74, 92-98]. Учет анизотропных и неоднородных свойств пластин и оболочек, естественно, ведет к дальнейшему усложнению задач оптимизации указанных конструкций. Отметим, что основными вехами в развитии теории пластин и оболочек с учетом анизотропии и неоднородности материала являются работы С.А.Амбарцумяна, С.Г.Лехницкого и других иссле - II дователей.
Много работ посвящены теоретическим вопросам: существование оптимальных решений, единственность, локальность или глобальность оптимального решения [8, 14, 61, 64, 65, 81, 124].
При решении задач оптимизации конструкций широко применяются также методы теории управления оптимальными системами [б, 17-19, 78-80, 83, 106, 108, III] : принцип максимума Понтрягина, методы динамического или нелинейного программирования. Ввиду аналитических трудностей, возникающих при решении задач теории оптимального проектирования конструкций, большое значение приобретают численные методы [ 14, 32, 34, 42, 45-49, 68, 69, 85, 105, ИЗ]. Необходимо отметить, однако, что вопросы существования и единственности оптимального решения часто остаются открытыми, когда задача решается с помощью численного метода. Укажем ряд работ, где применены аналитические методы исследования: [14, 32, 34, 37-41, 63, 72, 75, 103, 105, 112].
В развитие теории оптимального проектирования значительный вклад внесли Н.В.Баничук, Я.И.Бурак, В.Б.Гринев, Ю.Лепик, К.А. Лурье, В.П.Малков, Ю.В.Немировский, И.Ф.Образцов, Л.В.Петухов, Ю.М.Почтман, Р.Б.Рикардс, А.Г.Угодчиков, В.А.Троицкий, Ф.Л.Чер-ноусько, Ф.Г.Шамиев, Г.С.Шапиро, Ж.-Л.П.Арман, З.Мруз, Ф.И.Ни-ордсон, Н.Ольхофф, В.Прагер, Г.И.Розвани, Р.Шилд и многие другие исследователи.
Среди фундаментальных работ, посвященных оптимальному проектированию конструкций, выполненных в последние годы, хотелось бы выделить, в первую очередь, монографии [14, 64, 105]. В монографии Н.В.Баничука [14] систематически освещены как теоретические, так и численные методы исследования задач оптимизации формы различных конструкций. Там рассмотрены также задачи оптимизации анизотропных свойств упругих тел.
Работа К.А.Лурье [б4 посвящена в основном многомерным задачам оптимального проектирования. В ней рассмотрены ряд задач оптимизации внутренней структуры. Необходимо отметить, что одним из важных достоинств этой монографии является то, что в ней уточняется необходимое условие Вейерштрасса сильного экстремума для многомерных задач оптимального проектирования.
Ввиду многочисленности исследований, посвященных задачам оптимального проектирования конструкций, приведенный выше обзор, конечно, не претендует на полноту.
Перейдем к изложению основных положений, затронутых в предлагаемой диссертационной работе.
Работа преследует следующие основные цели:
1. Постановка и решение задач минимизации масс анизотропных неоднородных конструкций типа однослойных или трехслойных пластин и оболочек переменной жесткости при заданном значении частоты собственных колебаний конструкций.
2. Рассмотрение задачи оптимальной ориентации главных направлений упругости материала пластин и оболочек. Здесь критерием качества является основная частота собственных колебаний конструкции.
3. Выявление общей закономерности в необходимых условиях оптимальности для однослойных или трехслойных пластин и оболочек переменной жесткости.
4. Численная реализация рассматриваемых оптимизационных задач.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав,списка литературы и двух приложений.
В первой главе описываются основные соотношения для однослойных и трехслойных анизотропных оболочек переменной жесткости и изложена методика решения оптимизационных задач. В первом параграфе этой главы приводятся основные уравнения, описывающие собственные колебания анизотропных неоднородных оболочек переменной толщины при заданных граничных условиях. Во втором параграфе излагается постановка задачи Майера-Больца и общая методика решения таких задач.
Вторая глава состоит из пяти параграфов: первые четыре посвящены оптимизационным задачам однослойных анизотропных пластин и оболочек переменной толщины, материал которых однороден, а пятый - неоднородных пластин и оболочек постоянной толщины. В первом параграфе рассматривается оптимизационная задача минимизации массы пластины переменной толщины при заданной основной частоте собственных колебаний пластины. С помощью методов вариационного исчисления, описанных в первой главе, получается уравнение, которое вместе с уравнением колебаний составляет замкнутую систему уравнений, где искомыми неизвестными являются оптимальные функции толщины и состояния пластины. Нужно отметить, что при подходящем выборе шести коэффициентов упругости J5M а
соответствующих изотропному материалу, результаты совпадают с результатами, полученными в монографии [7] для изотропных пластин.
Во втором параграфе рассматривается задача оптимизации замкнутой круговой цилиндрической однослойной оболочки переменной толщины, материал которой обладает анизотропией с одной поверхностью упругой симметрии, совпадающей со срединной поверхностью оболочки. Здесь предполагается [ 5], что физико-геометрические характеристики оболочки осесимметричны относительно оси вращения срединной поверхности оболочки, возникшее напряженно-деформированное состояние оболочки подчиняется классической теории Кирхгофа-Лява. Параметром управления является функция, описывающая толщину, а функционалом цели - масса оболочки, при этом предполагается, что основная частота собственных колебаний фиксирована. Ввиду осесимметричности оболочки, собственные колебания описываются системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений. При решении поставленной задачи используется метод, описанный в монографии [і9. Для различных граничных условий рассматриваемого вида оболочек получено одно уравнение оптимальности, которое вместе с основными уравнениями колебаний составляет замкнутую систему четырех обыкновенных дифференциальных нелинейных уравнений относительно неизвестных оптимальных функций состояния и толщины. В третьем параграфе рассматривается та же задача для осесимметричных ортотропных оболочек вращения. Полученное в третьем параграфе уравнение оптимальности, вместе с основными уравнениями собственных колебаний, составляет замкнутую систему трех дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций состояния и толщины.
В четвертом параграфе рассматривается задача минимизации массы однослойной анизотропной оболочки. Здесь предлагается,что материал оболочки удовлетворяет допущениям технической теории 4]. Параметром управления является функция толщины, которая зависит от точек срединной поверхности оболочки, основная частота собственных колебаний задана. Условия оптимальности получаются с использованием методов вариационного исчисления.
Составляя подынтегральные выражения потенциальной энергии]"] для вышерассмотренных анизотропных конструкций: пластин, осесимметричных оболочек и цилиндрических оболочек технической теории, замечаем, что условие оптимальности связано с функцией j] следующим соотношением
где к(Ж) " функция толщины оболочки, С" положительная по - 15 стоянная, р - плотность материала, со0 - заданное значение основной частоты собственных колебаний, % - вектор перемещения точек срединной поверхности конструкций, еД - точка срединной поверхности.
В пятом параграфе рассматриваются те же конструкции, которые рассматривались в параграфах 2.1 - 2.4. Но в § 2.5 предполагается, что материал этих конструкций неоднороден, а функцию неоднородности материала мы выбираем в качестве функции управления. Считается, что зависимость между функцией неоднородности и функцией плотности р материала известна. Ставится та же задача минимизации массы при заднной основной частоте собственных колебаний, которая равна собственной частоте колебаний однородной эталонной конструкции. Для каждого из рассматриваемых конструкций получается одно уравнение оптимальности. Оказывается, что все эти уравнения оптимальности также можно представить с помощью одной общей формулы.
В этой главе исследованы также задачи с геометрическими ограничениями на управляющие функции.
Третья глава посвящена рассмотрению оптимизационных задач минимизации масс трехслойных пластин и оболочек переменной толщины при заданном значении основной частоты собственных колебаний, а также рассмотрению задач оптимальной ориентации главных направлений упругости материала конструкции и обсуждению вопросов численной реализации оптимизационных задач, рассмотренных в диссертационной работе.
В первом параграфе этой главы рассматриваются задачи минимизации массы конструкции типа трехслойных пластин и.оболочек, срединный слой которых изготовлен из конструктивного материала, значение модуля упругости которого по направлению нормали принимается бесконечным и этот слой только сопротивляется сближению
-16 или удалению внешних слоев [3, 52, 125].
Симметрично расположенные внешние слои, в отличие от срединного слоя, имеют переменную толщину. Функция толщины внешних слоев рассматривается в качестве переменного проектирования.Основная частота собственных колебаний считается заданной.
Рассматриваются следующие типы конструкций: а) пластинки,
б) замкнутые круговые осесимметричные цилиндрические оболочки,
в) осесимметричные оболочки вращения, г) цилиндрические оболочки прямоугольного плана. В случае а) предполагается, что внешние слои удовлетворяют допущениям классической теории пластин, в случаях б) ив) - внешние слои удовлетворяют допущениям классической теории тонких оболочек, а в случае г) - технической теории оболочек. В случае оболочек вращения анизотропия материала внешних слоев является ортотропной, а в остальных случаях в каждой точке материала внешних слоев имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, которая параллельна срединной поверхности конструкции. В предположении выполнения условия .
Во втором параграфе ставится задача максимизации основного тона собственных колебаний анизотропных пластин и оболочек соответствующим выбором ориентации главных направлений упругости материала конструкции.
Третий параграф посвящен вопросам численной реализации рассматриваемых задач. Применяя итерационный метод [7J для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений состояния и оптимальности для ортотропных трехслойных пластин, находится оптимальная толщина.
Для решения задач оптимизации оболочечных конструкций, рассматриваемых в настоящей работе, предлагается метод малого геометрического параметра [I07J или метод возмущений [20, 21, 77 J. В случае задач оптимизации осесимметричных цилиндрических оболочек, когда последние совершают свободные крутильные колебания, удается получить точное аналитическое решение. Программы для выполнения численных расчетов написаны на языках ФОРТРАН и ШІІ.
Численно решается задача максимизации основной частоты собственных колебаний неортотропной цилиндрической оболочки постоянной жесткости с помощью выбора главных направлений упругости материала оболочки.
Приводятся графики оптимальных функций состояния и толщины, показано, что в результате оптимального выбора осей анизотропии основная частота для осесимметричных цилиндрических оболочек увеличивается более чем в четыре раза. Кроме того, приводится выигрыш в массе в результате оптимизации конструкций при фиксированном значении частоты собственных колебаний.
Как уже говорилось, в современной теории оптимального проектирования конструкций все более возрастающее внимание привлекают вопросы оптимального проектирования формы и внутренней структуры конструкций, изготовленных из композиционных материалов. Это связано, в первую очередь, с широким применением в современной технике композиционных материалов, чему способствовало развитие современной технологии получения композитов.
Сказанное свидетельствует об актуальности рассматриваемых в предлагаемой диссертационной работе задач.
В тех случаях, когда это возможно, результаты, полученные в предлагаемой работе, сравниваются с соответствующими результатами других авторов. Отметим, что при решении поставленных оп - 18 тимизационных задач применяется строгий математический аппарат теории оптимального проектирования конструкций. Сказанное свидетельствует о достоверности результатов диссертационной работы.
Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: ХП Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин (Ереван, 1980г.); У Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981г.); Всесоюзный семинар по теории упругости неоднородного тела (Ереван, 1981г.); Всесоюзный семинар-совещание молодых ученых по проблеме "Оптимизация конструкций при динамических нагрузках" (Тарту, 1982г.); Юбилейная научная конференция молодых ученых, посвященная 60-летию образования СССР (Ереван, 1982г.); ІУ Всесоюзный симпозиум по механике конструкций из композиционных материалов (Новосибирск, 1982г.); семинар-совещание "Проблемы оптимизации в машиностроении" (Харьков, 1982г.); ІУ Всесоюзная конференция по оптимальному управлению в механических системах (Москва, 1982г.); I Всесоюзная конференция по механике неоднородных структур (Львов, 1983г.); Всесоюзная конференция "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций" (Горький, 1984г.); П Всесоюзная научно-техническая конференция "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов" (Ереван, 1984г.); научные семинары кафедры механики сплошной среды Ереванского государственного университета, ежегодные научные конференции профессорско-преподавательского состава и аспирантов Ереванского государственного университета (Ереван,1979 1984гг.).
Исследования, содержащиеся в диссертационной работе, в основном опубликованы в одиннадцати работах 25-33, 93-98 .
В заключение хочу выразить свою благодарность моим научным руководителям академику АН Армянской ССР С.А.Амбарцумяну, профессору В.С.Саркисяну за постановку задач, постоянное внимание, научное руководство, систематическую помопр», оказанные мне при выполнении настоящей диссертационной работы.
Основные уравнения и соотношения для анизо тропных трехслойных оболочек переменной толщины или переменными коэффициентами упругости
Рассматриваются следующие типы конструкций: а) пластинки, б) замкнутые круговые осесимметричные цилиндрические оболочки, в) осесимметричные оболочки вращения, г) цилиндрические оболоч ки прямоугольного плана. В случае а) предполагается, что внеш ние слои удовлетворяют допущениям классической теории пластин, в случаях б) ив) - внешние слои удовлетворяют допущениям клас сической теории тонких оболочек, а в случае г) - технической теории оболочек. В случае оболочек вращения анизотропия матери ала внешних слоев является ортотропной, а в остальных случаях в каждой точке материала внешних слоев имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, которая параллельна срединной поверхности конструкции. В предположении выполнения условия .(где hp - толщина внешних слоев, 2/10- постоянная толщина средних слоев) для каждого типа конструкций получается одно уравнение оптимальности, которое можно представить в виде (I). Во втором параграфе ставится задача максимизации основного тона собственных колебаний анизотропных пластин и оболочек соответствующим выбором ориентации главных направлений упругости материала конструкции.
Третий параграф посвящен вопросам численной реализации рассматриваемых задач. Применяя итерационный метод [7J для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений состояния и оптимальности для ортотропных трехслойных пластин, находится оптимальная толщина.
Для решения задач оптимизации оболочечных конструкций, рассматриваемых в настоящей работе, предлагается метод малого геометрического параметра [I07J или метод возмущений [20, 21, 77 J. В случае задач оптимизации осесимметричных цилиндрических оболочек, когда последние совершают свободные крутильные колебания, удается получить точное аналитическое решение. Программы для выполнения численных расчетов написаны на языках ФОРТРАН и ШІІ.
Численно решается задача максимизации основной частоты собственных колебаний неортотропной цилиндрической оболочки постоянной жесткости с помощью выбора главных направлений упругости материала оболочки.
Приводятся графики оптимальных функций состояния и толщины, показано, что в результате оптимального выбора осей анизотропии основная частота для осесимметричных цилиндрических оболочек увеличивается более чем в четыре раза. Кроме того, приводится выигрыш в массе в результате оптимизации конструкций при фиксированном значении частоты собственных колебаний.
Как уже говорилось, в современной теории оптимального проектирования конструкций все более возрастающее внимание привлекают вопросы оптимального проектирования формы и внутренней структуры конструкций, изготовленных из композиционных материалов. Это связано, в первую очередь, с широким применением в современной технике композиционных материалов, чему способствовало развитие современной технологии получения композитов.
Сказанное свидетельствует об актуальности рассматриваемых в предлагаемой диссертационной работе задач.
В тех случаях, когда это возможно, результаты, полученные в предлагаемой работе, сравниваются с соответствующими результатами других авторов. Отметим, что при решении поставленных оптимизационных задач применяется строгий математический аппарат теории оптимального проектирования конструкций. Сказанное свидетельствует о достоверности результатов диссертационной работы.
Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: ХП Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин (Ереван, 1980г.); У Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981г.); Всесоюзный семинар по теории упругости неоднородного тела (Ереван, 1981г.); Всесоюзный семинар-совещание молодых ученых по проблеме "Оптимизация конструкций при динамических нагрузках" (Тарту, 1982г.); Юбилейная научная конференция молодых ученых, посвященная 60-летию образования СССР (Ереван, 1982г.); ІУ Всесоюзный симпозиум по механике конструкций из композиционных материалов (Новосибирск, 1982г.); семинар-совещание "Проблемы оптимизации в машиностроении" (Харьков, 1982г.); ІУ Всесоюзная конференция по оптимальному управлению в механических системах (Москва, 1982г.); I Всесоюзная конференция по механике неоднородных структур (Львов, 1983г.); Всесоюзная конференция "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций" (Горький, 1984г.); П Всесоюзная научно-техническая конференция "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов" (Ереван, 1984г.); научные семинары кафедры механики сплошной среды Ереванского государственного университета, ежегодные научные конференции профессорско-преподавательского состава и аспирантов Ереванского государственного университета (Ереван,1979 1984гг.).
Исследования, содержащиеся в диссертационной работе, в основном опубликованы в одиннадцати работах 25-33, 93-98 .
В заключение хочу выразить свою благодарность моим научным руководителям академику АН Армянской ССР С.А.Амбарцумяну, профессору В.С.Саркисяну за постановку задач, постоянное внимание, научное руководство, систематическую помопр», оказанные мне при выполнении настоящей диссертационной работы.
Оптимальное проектирование анизотропных цилиндрических оболочек переменной толщины
В этом параграфе рассматриваются оптимизационные задачи минимизации масс однослойных конструкций постоянной толщины, изготовленных из неоднородных материалов. Под словом конструкция подразумевается один из нижеприведенных механических объектов. I. Анизотроные пластины. П. Анизотропные круговые замкнутые осесимметричные цилиндрические оболочки. Ш. Ортотропные осесимметричные оболочки вращения. ІУ. Анизотроные цилиндрические оболочки, физико-геометрические характеристики которых сопоставляются с допущениями технической теории оболочек. Предполагается, что коэффициенты упругости материала, каждого из конструкций типа І-ІУ переменные и задаются по закону где Оц - определенные постоянные, характеризующие анизотропные свойства материала, а Е(М) - функция неоднородности материала конструкции. Предполагается, что ЕШ е С, , кроме того, в каждой точке Ж зависимость между функцией плотности p(iM) и функцией неоднородности Е(Ж) материала конструкции известна: Масса конструкции выражается через функцию неоднородности следующим образом: (здесь масса конструкции определена с точностью до постоянного множителя). Когда , то мы будем иметь однородную однослойную конструкцию постоянной толщины. Эту конструкцию можно считать эталонной, основную частоту С00 собственных колебаний которой предполагаем известной. Для каждой из рассматриваемых конструкций ставится следующая задача оптимизации. Определить такой закон распределения неоднородности ЕШ, при котором масса конструкции минимальна, а значение основной . частоты собственных колебаний совпадает со значением основной частоты 0Оо собственных колебаний соответствующей эталонной конструкции при однородных граничных условиях типа (I.I.I0). Применим методику, которой мы пользовались в параграфах 2.1-2.4. Ход решения задач оптимизации неоднородных однослойных конструкций постоянной толщины мало отличается от хода решения задач тех же задач для однородных конструкций переменной толщины, рассмотренных в предыдущих четырех параграфах. Перейдем к их изучению для каждой из вышеупомянутых неоднородных конструкций. I. Собственные колебания анизотропной неоднородной пластины описываются с помощью уравнения (2.1.7), где j3 Р СО0 , 0 L, , что следует из соотношений (2.5.1) и (2.5.2). В выражении оператора Л необходимо заменить коэффициенты /L через uij/tZ . Уравнение оптимальности для неоднородных анизотропных пластин имеет вид дЕ Уравнение (2.5.4) вместе с уравнением собственных колебаний конструкции составляет нелинейную систему уравнений относительно двух функций V? И L. . П. Если материал цилиндрической неортотропной оболочки обладает неоднородностью, задаваемой в виде (2.5.1), тогда вместо соотношений (2.2.4) для коэффициентов жесткости оболочки имеем: Собственные колебания неоднородной анизотропной замкнутой круговой цилиндрической оболочки представляются с помощью системы (2.2.7), где коэффициенты жесткости Си и Д) имеют вид (2.5.5), а $-Е. %@)=kf(E).
Учитывая эти замечания, для функционала цели (2.5.3), аналогичным образом, как и в 2.2, получаем одно уравнение оптимальности: оптимальная неоднородная оболочка также определяется из замкнутой нелинейной системы дифференциальных уравнений (три уравнения собственных колебаний и одно уравнение оптималь - 79 ности) относительно трех неизвестных функций состояния % , V , Ж и функции неоднородности С .
Для осесимметричных оболочек вращения также необходимо учесть в соотношениях упругости (2.3.2) обозначения (2.5.5) для коэффициентов жесткости. Уравнения собственных колебаний представляются в виде системы (2.3.6), в которых коэффициенты упругости ип задаются с помощью формулы (2.5.1).
Оптимальное проектирование цилиндрических оболочек, которые удовлетворяют допущениям технической теории оболочек
Настоящая глава посвящена рассмотрению задач оптимизации трехслойных конструкций и задач оптимальной ориентации главных направлений анизотропии материала однослойных конструкций типа пластин и оболочек, а также исследованию некоторых вопросов численной реализации оптимизационных задач, рассматриваемых в диссертационной работе. В первом параграфе исследуется вопрос минимизации масс трехслойных конструкций при заданном значении частоты собственных колебаний. Для решения этих оптимизационных задач применяется методика, описанная в 1.2.
В 3.2 ставятся задачи оптимальной ориентации главных направлений анизотропии материала конструкции постоянной жесткости. В качестве критерия качества выступает основной тон собственных колебаний конструкции, а управлением является угол, определяющий направление осей ортотропии материала конструкции. Задачи решаются численно с применением метода малого параметра.
В 3.3 получены численные результаты для рассматриваемых в диссертационной работе оптимизационных задач. Применяются итерационный метод, метод малого параметра и метод возмущений. Для цилиндрических ортотропных оболочек, совершающих крутильные собственные колебания, оптимальное решение получается аналитически.
Задачи оптимизации трехслойных конструкций Рассмотрим оптимизационные задачи для трехслойных конструкций типов І-ІУ.
Предполагается,что срединный слой изготовлен из материала, который не сопротивляется изгибным деформациям, а модуль упругости по нормальному (относительно срединной поверхности конструкции) направлению бесконечно велик. Таким образом, срединным слоем воспринимаются только сдвиговые напряжения (рис.10) [2, 3, 7, 52, 125].
Внешние слои, расположенные симметрично относительно срединных поверхностей конструкции, имеют переменную толщину, которая описывается функцией ко(М) ЄС% Имеет место соотношение (2). Эти слои изготовлены из одинакового однородного анизотропного материала, в каждой точке которого имеется только одна плоскость упругой симметрии. Лишь для конструкций типа Ш предполагается, что материал внешних слоев ортотропен и главные направления анизотропии материала совпадают с координатными линиями оболочки. В отличие от срединного слоя, внешние слои сопротивляются изгибным деформациям, для них удовлетворяются классические допущения Кирхгофа-Лява, в случае оболочки типа ІУ удовлетворяются также допущения технической теории оболочек.
Предполагается, что при определенных однородных граничных условиях спектр частот собственных колебаний эталонных конструкций известен.
Поставим задачу оптимизации, для каждого из рассматриваемых трехслойных конструкций типов І-ІУ. Для внешних слоев конструкции, при определенных фиксированных однородных граничных условиях, найти такой закон распределения толщины fiAMj, который обеспечивает минимальное значение для массы конструкции, основная частота собственных колебаний полагается равной с0о - частоте эталонной конструкции.
Решение задачи проведется согласно методики 1.2. Отметим, что задача решается таким же образом, как и в случае однослойных конструкций переменной жесткости.
Задача оптимальной ориентации главных направлений упругости материала конструкции
Если главные направления упругости ортотропного материала, из которого изготовлена пластинка или оболочка, не соответствуют координатным линиям конструкции, то последняя представляет собой конструкцию, обладающую общей анизотропией (т.е. в каждой точке конструкции имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверхности конструкции).
Тогда справедливы следующие соотношения [б, 59] где - означает угол между направлениями координатных линий Xj и Х и главными направлениями упругости ортотропного материала 1,2 (рис.11), коэффициенты упругости конструкции в системе координат Х , Xz обозначены через Рп , а в системе координат 1,2 - через Ъц (Предполагается, что в рассматриваемой точке конструкции одно из главных направлений упругости материала совпадает с направлением, которое ортогонально направлениям. Зависимость коэффициентов упругости иц от угла if влечет за собой зависимость от f и других характеристик: жесткостей Сп » Dij » значений основной частоты собственных колебаний или критической силы потери устойчивости конструкции и т.д.
Рассмотрим следующую задачу. Найти угол У , при котором основная частота собственных колебаний конструкции принимает максимальное значение.
Уравнения, описывающие собственные колебания анизотропных пластин, анизотропных осесимметричных цилиндрических оболочек и анизотропных цилиндрических оболочек, удовлетворяющих технической теории, приведены в предыдущих параграфах, здесь же необходимо учесть то, что Cij , JDij = const . Из этих уравнений для заданного значения (Р= (1=0)1,..-,к) определяется значение основной частоты собственных колебаний o(fi) Тогда не представляет труда определение максимального значения из множества значений со0(%) , С0о( ) , ..., Ct)0(ftv) » гДе . Плотность равномерного распределения значений в промежутке [Q ffj и, тем самым, точность решения задачи зависят от числа /г .
Определение основной частоты собственных колебаний анизотропных (неортотропных) конструкций связано с определенными математическими трудностями, поэтому чаще всего применяются приближенные методы, в частности - метод малого параметра, который описан в монографии [9Ij. Исходя из положительной определенности квадратичной формы упругого потенциала конструкций, можно -показать, что имеют место соотношения [9l]
В каждой из рассмотренных выше задач оптимизации условие оптимальности (3.1.II) вместе с основными уравнениями собственных колебаний составляет замкнутую систему нелинейных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций состояния и управления. Ее аналитическое решение представляет собой практически невозможную задачу для современного математического аппарата. Вследствие чего, вопросы численной реализации приобретают первостепенное значение. В предлагаемой диссертационной работе использованы следующие численные методы: итерационный метод, метод малого параметра и метод возмущений.
Сущность итерационного метода заключается в следующем [7, 14 ]. Выбирается первоначальное нулевое приближение функций состояния и-о и управления $ Если нулевое приближение не совпадает с точным решением рассматриваемой системы, то с помощью — уравнений этой системы найдутся уточненные функции состояния Щ и управления I)\ . После чего по найденным -і и &t находятся последующие приближения %i , 1)% и т.д. Процесс заканчивается, если удовлетворяется условие сходимости итераций. Алгоритм описанного метода приведен на рис.12. Применим этот метод для решения системы, которая соответствует трехслойным анизотропным пластинам. Поскольку в уравнение оптимальности (3.1.4) входит только функция перемещения точек срединной плоскости пластины, то сначала по итерационной схеме найдется функция Ш . Область задания оЭ срединной плоскости пластины разлагается на конечно-разностную решетку (hj) » с учетом граничных условий (в данном случае - условия (2.1.6)) выбирается нулевое приближение W [i)\) Уравнение оптимальности (3.1.4) представляется в конечно-разностной форме, которая позволяет в каждом внутреннем узле UІ U решетки (hj) определять новое значение U l ijjJ через предыдущее приближение ЩІ-І(І І) .
