Содержание к диссертации
Введение
Глава I Основные соотношения теории упругости и вязкоупругости ... 16
1.1 Теория упругости однородного тела 16
1.2. Определяющие соотношения линейной теории вязкоупругости . 18
1.3. Численное обращение преобразования Лапласа 33
1.4. Исследование методом Дурбина фундаментальных матриц решений трехмерной модифицированной теории вязкоупругости. - 40..
1.5. Граничные интегральные уравнения вязкоупругости 47
Глава II Методика гранично-элементного моделирования 51
2.1. Гранично-элементная дискретизация 57
2.2. Учет симметрии задачи 66
2.3. Вычисление тензора напряжений на границе тела 68
2.4. Программная реализация 70
2.5. Решение тестовых задач 19
Глава III Решение прикладных задач 93
3.1 Задача о торцевом ударе призматического тела с жесткозакрепленным концом 93
3.2. Решение задачи о скачке давления внутри кубической полости.. 102
3.3. Задача о действии нестационарного давления на границе сферической полости, расположенной внутри вязкоупругого куба ... 105
3.4. Задача о динамической концентрации напряжений в плите с цилиндро-коническим отверстием 111
3.5. Решение задачи о действии давления на внутреннюю поверхность корпуса клапана (соединении двух толстостенных цилиндров) 139
Заключение 149
Литература 150
- Определяющие соотношения линейной теории вязкоупругости
- Граничные интегральные уравнения вязкоупругости
- Вычисление тензора напряжений на границе тела
- Задача о действии нестационарного давления на границе сферической полости, расположенной внутри вязкоупругого куба
Введение к работе
Современные потребности машиностроения, строительства и др. стимулируют изучение распространения волн в трехмерных телах произвольной геометрии. Учет эффектов последействия еще более усложняет волновые картины и снижает эффективность многих расчетных методов. Одним из современных методов численно-аналитического анализа динамических задач трехмерной теории упругости и вязкоупругости является метод граничных элементов (МГЭ). Библиометрический анализ показывает, что МГЭ по востребованности уверенно занимает третью позицию (после метода конечных элементов и метода конечных разностей) среди численных методов,
С историей методов ГИУ и МГЭ можно познакомиться по работам [6, 7, 10, 28, 35, 36, 40, 43, 56, 57, 60, 72, 77, 78, 83, 97, 99, 100, 109, 125, 131]. Введением в современное состояние вопроса могут быть публикации [33, 73, 76-80,84-86,94,95,101, 106,108,116, 117,120,121,128,131].
Специфика МГЭ - это понижение размерности пространства в записи интегрального уравнения. Это приводит к более эффективной численной дискретизации.
Основные достижения и современное состояние численных методов отражены в учебниках и монографиях [3, 4, 5, 13, 14,51, 52, 54, 64, 65] и др.
МГЭ в его нынешнем виде впервые появился в работе II.И. Мусхелишвили в 1937 году, а затем в 1940 году в работе А.Я. Горгидзе и А.К. Рухадзе.
Уменьшение размерности ведет к системам линейных алгебраических уравнений меньшего порядка, меньшему количеству компьютерных затрат и более эффективному вычислению. Этот эффект наиболее очевиден, когда область неограничена. МГЭ автоматически моделирует поведение на бесконечности без необходимости развертывания сетки для аппроксимации области. Так как в МГЭ нет необходимости иметь дело с внутренней сеткой, то настройка сетки намного проще.
Ведущая роль МГЭ как специализированного и альтернативного метода по сравнению со всеми другими численными методами для дифференциальных уравнений в частных производных является бесспорной. После «изобретения технологии» в конце 1960-х - начале 1970-х гг. число публикаций по МГЭ было мало, но скорость их роста вела себя экспоненциально. Рост достиг точки перегиба около 1991 года. После чего ежегодные публикации продолжали расти, но с меньшей скоростью. Признаком зрелости технологии является постоянство ее продукции. Число ежегодных публикаций МГЭ достигло устойчивого уровня.
Термин МГЭ имеет два смысла: узкий и широкий. В узком смысле МГЭ - это численная методика, основанная на методе взвешенных невязок. Используемая функция невязок - фундаментальное решение исходного уравнения. Можно также рассматривать МГЭ как численное решение ГИУ, основанное на формуле Грина, в которой кусочно-элементная концепция МКЭ используется для дискретизации. Более широко МГЭ используется как универсальный термин для разнообразных численных методов, которые используют граничную или подобную граничной дискретизацию.
Развитие теории сингулярных интегральных уравнений началось благодаря введению понятий сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Идея интерпретации сингулярного интеграла была введена Коши в 1814 г. В современном научном обороте такой интеграл называется существующим в смысле «главного значения Коши». Гиперсингулярный интеграл существует в смысле «конечной части Адамара». Это понятие было введено Ж.С. Адамаром в 1908 г. Исследование одномерного сингулярного интегрального уравнения (с ядром Коши) было заложено в работах Гильберта (1904, 1905) и Пуанкаре (1910). Начало исследования восходит к работе Ю.В. Сохотского (1873).
Для теории упругости важный шаг к получению формулы Грина был сделан Э. Бетти в 1872 г., когда он ввел теорему взаимности. Рэлсй в дальнейшем применил теорему к стационарным упругодинамическим задачам. К, Сомильяна в 1885 г. разработал интегральное представление для перемещений, которое является вариантом формулы Грина. Первые интегральные уравнения первого рода с несущей поверхностью потенциалов, лежащей за пределами исследуемой области, в теории упругости построили A. Nadai (1922) и Н. Zimmermann (1886). Первые интегральные уравнения второго рода в задачах теории упругости были получены Фредгольмом (1906) и Лауричеллой (1907, 1909) при решении первой краевой задачи для изотропного упругого тела. В случае второй краевой задачи интегральные уравнения второго рода с ядрами, имеющими интегрируемую особенность, получаются с помощью антенного потенциала Вейля.
Комплексные представления интегрального уравнения для теории упругости сформулировал Г.В. Колосов (1909), дальнейшее развитие связано с Н.И. Мусхелишвили (1966, 1968), С.Г. Михлиным (1934) и Д.И. Шерманом (1936, 1940).
С точки зрения разработки приближенных методов важной была работа У. Рица в 1908 г. Основываясь на идеях У. Рица, Э. Треффтц предложил граничный метод, известный как метод Треффтца.
Таким образом, можно отметить, что при формировании метода граничных решений существуют два основных подхода: первый основан на граничных интегральных уравнениях (ҐИУ), а второй - на использовании полной системы решении.
И.И. Мусхелешвили не только вывел и исследовал новые комплексные уравнения в 1934 г., но и указал в 1937 г., как их решать численно. Его идея в 1940 г. была реализована А.Я. Горгидзе и А.К. Рухадзе. Они использовали все атрибуты метода, который пыие известен как МГЭ. Работы Н.И. Мусхелешвили и А.Я. Горгидзе и А.К. Рухадзе - пионерские работы по МГЭ.
В работе [27] Б.Г. Кореневым проведен анализ метода, названного методом «компенсирующих нагрузок» и выяснена его связь с вариационным методом Треффтца. Независимо от Б.Г. Коренева аналогичный метод к решению задач теории упругости был предложен А.Я. Александровым (1946), Здесь, в отличие от первых работ Б.Г. Коренева, неизвестные располагались на контуре области, что приводило к появлению сингулярных интегралов. Сингулярные интегральные уравнения автором в явном виде не записывались, использовались их алгебраические аналоги. Таким образом, А.Я. Александров был в числе тех, кто первым предложил одну из схем численного решения сингулярных интегральных уравнений, возникающих при использовании упругих потенциалов, и первым довел решение некоторых задач «до числа». Такой же метод в 1949 г. был опубликован СЕ. Massonnet, который систематически занимался его развитием и первым произвел расчеты с помощью ЭВМ. СЕ. Massonnet были выполнены численные решения для двух случаев. В первом случае использовалось интегральное уравнение Фредгольма второго рода для решения задач кручения. Во втором случае задачи двумерной теории упругости были решены, используя распределение радиального поля напряжения.
Теория Фредгольма дала теории потенциала задач теории упругости начальную математическую базу. Н.И. Мусхелишвили [44, 45], И.Н. Векуа [8], Н. П. Векуа [9], В.Д. Купрадзе [30, 57] и СГ. Михлиным [41] обеспечили обоснование теории векторных упругих потенциалов через изучение сингулярных интегральных уравнений. Такие работы стали возможны благодаря результатам А. Зигмунда, А Кальдерона (1952, 1956), С.Г. Михлина [115, 43] по теории сингулярных интегральных операторов; расширению теоретических основ (запись потенциалов без применения фундаментальных решений) - работам А. Кальдерона (1963), Р. Сили (1966), А. Хермандера (1967).
В.Д. Купрадзе [30, 31] для нахождения приближенного решения теории потенциала и упругости для статических и динамических задач использовал «метод функциональных уравнений», который допускает несколько формулировок. Методику В.Д. Купрадзе распределения фундаментальных решений на внешней вспомогательной границе рассматривают как основу «метода фундаментальных решений».
Исторически первыми стали разрабатываться непрямые методы -Л.Я. Александров (1946), СЕ. Massonnet (1949), Р.К. Banerjee (1970), J.O. Watson и G.R. Tomlin (1973). Но рост численных решений ГИУ начался с работ F.J. Rizzo (1967). Он использовал формулу Сомильяны для упругостатических задач. Последователем F.J. Rizzo в нахождении численных решений стал Т.А. Cruse (2001). F.J. Rizzo и D.J. Snippy в 1968 г. первыми пытались решить задачу теории упругости с включениями, задачи для плоских анизотропных тел в 1970 г. Используя преобразование Лапласа и численное обращение Лапласа, они решали задачи теплопроводности (1970) и квазистатические вязкоупругис задачи (1971). Т.А. Cruse в 1968 г. опубликовал две статьи с результатами по ГИУ в уиругодинамике [88, 89] и по трехмерным задачам трещин.
Первоначально ГЭ-программы использовали кусочно-по стоя иные элементы. В 1972 г. Riccardella сделал первый шаг в анализе задачи плоской деформации с использованием линейных элементов. В дальнейшем Т.А. Cruse (1974) обобщил эту модель для случая трехмерного упругого анализа напряжений.
В 1971 г. Т.А. Cruse назвал методы, которые используют потенциалы простого и двойного слоя в фиктивных плотностях, «непрямыми методами потенциалов» и методы, которые использовали формулу Грина, типа третьего тождества Грина и интеграл Сомильяны - «прямым методом потенциала». Однако, «прямой метод потенциала» позднее стал называться «метод ГИУ». В 1977 г. С.А. Brcbbia стал говорить о решении ГИУ, используя «граничные элементы». В том же году М.А. Jaswon и G.T. Symm издали первую книгу по численному решению ГИУ [103]. Терминами ГИУ и МГЭ соответствующие подходы обязаны работам Т.А. Cruse (1973), Р.К. Benerjee, C.A. Brebbia, R. Butterfleld, J. Domingues (1977). Работа J.C. Lachat и J.О. Watson (1976) является первой работой, переносящей идеи МКЭ в МГЭ. В 1978 C.A. Brebbia издал первый учебник по МГЭ [81]. Книга содержала ряд компьютерных кодов, разработанные J. Dominguez (1978). В 1984 г. С.А. Brebbia основал журнал «Engineering Analysis—Innovations in Computational Techniques». В нем публиковались работы, использующие граничный элемент. В 1989 г. журнал был переименован в «Engineering Analysis with Boundary Elements» и стал специализированным журналом по МГЭ.
ГИУ смешанной задачи теории упругости, содержащие внеинтегральный член на всей поверхности, были предложены А.Г. Угодчиковым и Н.М. Хуторянским в 1979 году [58]. Уравнения непрямой формулировки независимо предложены в 1979 году N.J. Altiero, S.D. Gavazza в работах [70, 71]. В случае, когда куски поверхности имеют общие точки, аналог ГИУ непрямой формулировки использовался в 1931-1933 гг. Ж. Жиро, который с исчерпывающей полнотой исследовал указанный класс задач для эллиптических уравнений общего вида.
Книга А.Г. Угодчикова, Н.М. Хуторянекого [58] была первой книгой по МГЭ, содержащей результаты расчетов трехмерных нестационарных динамических задач изотропной теории упругости и программный код, созданный Н.М, Хуторянским и В.В. Туриловым, с помощью которого эти устойчивые результаты получены.
При решении МГЭ динамических задач сформировалось два подхода к учету неременной времени: применение интегрального преобразования Лапласа (или Фурье) по времени с решением задачи в изображениях и численным обращением интегрального преобразования; в явном учете переменной времени с использованием шаговых по времени процедур. Оба подхода первоначально были применены для решения плоских задач о дифракции акустических волн на препятствиях в идеальной сжимаемой жидкости [74, 111, 112]. Распространение подхода МГЭ с преобразованием Лапласа на решение плоских нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено в работах М. Friedman (1962), R.P. Shaw (1979). Дальнейшее развитие методика получила в работах [111, 112]. Была, в частности, улучшена точность численного обращения преобразования Лапласа - применен метод Дурбина [93]. В работе [118] были проанализированы восемь различных методов обращения преобразования Лапласа и метод Дурбина был выбран как наиболее подходящий для решения нестационарных динамических задач.
Распространение подхода МГЭ с преобразованием Лапласа на численное решение трехмерных динамических задач теории упругости было осуществлено в работе [53]. В ней проведено тестирование предложенной методики путем сравнения численного решения с точным в пространстве изображений.
В работе D.M. Cole, D.D. Kosfoff, J.В. Minster (1978) шаговый подход был применен для исследования антиплоской деформации. Развитие шагового подхода для решения произвольных двумерных нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено в работах [110, 119]. В них авторы использовали аналитическое интегрирование по времени. В работе [ПО] было проведено сравнение первого и второго подходов на решении конкретной двумерной нестационарной динамической задачи.
Впервые численная методика для расчета нестационарного динамического деформирования трехмерных упругих элементов конструкций с использованием шаговой процедуры была детально разработана в работах [58] и реализована в виде программы. Среди первых работ этого подхода по численному анализу трехмерных упругодинамических задач можно назвать работу D.L. Karabalis и D.E. Beskos [104]. Но лишь с работы [69] зарубежным специалистам удалось устранить все выявившиеся существенные проблемы гранично-элементного моделирования.
В последние 15 лет МГЭ подробно исследовались, был написан целый ряд монографий по МГЭ: Ш.М. Айталиев, Л.А. Алексеева, Ш.А.
Дильдабаев, Н.Б. Жанбырбаев (1992), СМ. Алейников (2000), A.M. Линьков (1999), B.C. Рябенький (1986, 2002), СГ. Михлин, Н.Ф. Морозов, М.В. Паукшто (1994), F. Aliabadi (2001), Н. Antes и P.D. Panagiotopoulos (1992), V. Sladek и J. Sladek (1989), Р.К. Benerjee (1994), D.E. Beskos (1991), G. Bonnet (1999), Чандра и Мукержее (1997), T.A. Cruse (1988) и Кейн (1994). В результате МГЭ сейчас гораздо более понятны. В частности, кажущийся выигрыш в размерности далеко не однозначен, поскольку в МГЭ используются целиком заполненные матрицы, а в МКЭ - разреженные симметричные матрицы. МГЭ эффективны (сами по себе или в сочетании с МКЭ) для решения задач со сложной или изменяющейся дискретизацией области (анализ механики разрушения, распространение трещин, оптимизация формы, идентификация дефектов), для неограниченных сред с определенными формами, для которых известны фундаментальные решения, удовлетворяющие соответствующим граничным условиям, и для поверхностных нелинейных явлений (например, в механике контакта и износа). Гибкость МКЭ в отношении нелинейных или гетерогенных определяющих свойств остается недостижимой при использовании МГЭ.
Необходимо отметить особо несколько книг и статей об интегральных уравнениях в теории потенциала и упругости, т.к. они написаны выдающимися математиками, такими как O.D. Kellogg (1929), Н.И. Мусхелишвили (1953), СТ. Михлин (1957) и В.Д. Купрадзе (1965) и, как сейчас понятно, сыграли ключевую роль в становлении методов ГИУ и МГЭ.
Классические формулировки метода ГИУ с их дискретной реализацией и традиционные варианты МГЭ давно зарекомендовали себя как успешные подходы для решения трехмерных изотропных задач динамической теории упругости.
Разработка подходов метода ГИУ и МГЭ для решения трехмерных динамических задач теории упругости и вяз коу пру гости представляет актуальную проблему.
Цель работы состоит в развитии МГЭ-методики в сочетании с преобразованием Лапласа для решения трехмерных задач динамики упругих и вязкоупругих многосвязных тел при заданных на их поверхности нестационарных силовых, кинематических или силовых и кинематических условий; в разработке соответствующих алгоритмов и программ и в расчете динамического деформирования трехмерных вязкоупругих тел и сред.
Научная новизна работы заключается в развитии на основе МГЭ в сочетании с преобразованием Лапласа численной методики для решения трехмерных динамических задач теории упругости и вязкоупругости в случае заданных на поверхности тела нестационарных силовых, кинематических или силовых и кинематических условий. Методика позволяет организовать эффективный процесс определения неизвестных граничных перемещений и поверхностных сил. Реализован алгоритм учета физической симметрии задачи, не приводящий к смене типа краевой задачи и локальный алгоритм вычисления на границе тензора напряжений, не использующий операцию дифференцирования.
В трехмерной постановке проведен анализ нестационарного напряженного состояния ряда вязкоупругих тел и сред. Дано уточнение прежнего представления о волновых картинах для соответствующих задач.
Достоверность результатов диссертационной работы основана на строгом использовании математической теории упругости и вязкоупругости; на корректной редукции исходных динамических краевых задач к системам ГИУ; на разработке и использовании устойчивых, высокоточных ГЭ-методик и ГЭ-схем для численного анализа; на сравнении результатов решения модельных и прикладных задач с точными решениями и результатами других исследователей.
Практическая значимость результатов исследования состоит в детальной методической проработке ГЭ-схсмы прямого подхода метода ГИУ в сочетании с преобразованием Лапласа и создании ГЭ программного обеспечения для расчета полей перемещений и напряжений в изотропных трехмерных телах и средах, находящихся под действием нестационарных силовых и кинематических импульсов; решении динамических задач трехмерной изотропной теории упругости и вязкоупругости.
Основные положения, выносимые на защиту
Методика численного решения систем ГИУ прямого подхода и соответствующее программное обеспечение для расчета нестационарных полей перемещений и напряжений в трехмерных изотропных вязкоупругих телах и средах.
ГЭ-решение и анализ следующих задач: торцевой удар по призматическому вязкоупругому телу с жестко закрепленным концом; действие давления на кубическую полость в вязкоупругом пространстве; действие давления на границе сферической полости, расположенной внутри вязкоупругого куба; растяжение вязкоупругой плиты с цилиндро-коническим отверстием; действие давления на внутреннюю поверхность корпуса клапана (соединение двух толстостенных вязкоупругих цилиндров).
Апробация работы
Результаты диссертационной работы докладывались на II Всероссийской конференции «Организационные, философские и технические проблемы современных машиностроительных производств» (Рузаевка, 2001); IX Нижегородской сессии молодых ученых (Саров, 2004); Всероссийской научной конференции, посвященной памяти профессора Л.И. Весницкого (Н.Новгород, 2004); VI international congress on mathematical modeling (Nizhny Novgorod, Russia, 2004); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н.Новгород, 2006 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17-25,37,102].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 132 наименований. Общий объем диссертации составляет 163 страницы машинописного текста.
Введение содержит краткий обзор работ по применению МГЭ к решению динамических трехмерных задач теории упругости и вязкоупругости; обоснование актуальности темы диссертационной работы; формулировки целей работы и основных положений, которые выносятся на защиту.
В главе I дана постановка задачи и описано построение ГИУ прямого подхода в сочетании с интегральным преобразованием Лапласа. В первом параграфе рассматривается математическая модель основных краевых и начально-краевых задач трехмерной теории упругости. Математическая модель трехмерной динамической теории упругости представлена уравнением движения Ламе для изотропного упругого тела с соответствующими граничными и начальными условиями. Формальное применение преобразования Лапласа с комплексным параметром приводит к уравнениям эллиптического типа. Во втором параграфе дано описание определяющих соотношений линейной теории вязкоупругости. Приведены классическая и модифицированная формулировки теории и описаны простейшие классические и модифицированные модели. Дано изложение теории вязкоупругости с позиций дробного дифференцирования. Представлена взаимосвязь различных современных моделей вязкоупругости. В третьем параграфе рассматривается вопрос численного обращения преобразования Лапласа: дан краткий обзор, представлен метод Дурбина и показаны его возможности при построении оригиналов кусочно-постоянных функций. В четвертом параграфе возможности метода Дурбина демонстрируются на численном моделировании матрицы фундаментального решения уравнения движения для вязкоупругой среды, описываемой модифицированной моделью Кельвина-Фойгта. В пятом параграфе приведен краткий обзор состояния вопроса по методу ГИУ для динамических задач вязкоупругости и построены ГИУ вяз коу пру гости с совместным применением интегрального преобразования Лапласа.
В главе II дан краткий обзор по состоянию вопроса по ГЭ-технике решения ГИУ, для общего трехмерного случая изложен МГЭ в области Лапласа с последующим применением численного обращения по Дурбину. В первом парафафе описана ГЭ-дискретизация. Во втором парафафе реализован алгоритм учета плоскостей симметрии без смены типа краевой задачи. В третьем парафафе для вычисления тензора напряжений на границе тела использован локальный способ, не требующий дифференцирования, с применением теоремы Стокса. В четвертом парафафе дано краткое описание ГЭ-профаммы. В пятом парафафе для демонстрации возможностей ГЭ-методики приводятся результаты расчета следующих задач теорий упругости и вязкоупругости: действие нестационарной нафузки на поверхности сферической полости и шара. Результаты численных экспериментов для шара сравнивались с расчетами других авторов. Результаты численных экспериментов для сферы сравнивались с аналитическим решением. Методика продемонстрировала высокую точность - ошибка численных результатов и разброс решений по фаничным элементам меньше 1%.
В главе III приведены ГЭ-решения прикладных задач. Показаны результаты решения задачи о торцевом ударе призматического тела с жестко закрепленным концом. Достигнутая точность выше имеющихся результатов других авторов. Продемонстрировано поведение перемещений для стойко-вязкого тела. Продемонстрировано поведение перемещений для вязкоупругого тела с мгновенной упругостью. С уменьшением характерных времен ползучести и релаксации материал все более отчетливо начинает вести себя как упругий на длительных модулях. Картины отклика в перемещениях перестраиваются. Показаны перемещения для модифицированной степенной модели. Тенденция, выявленная на картинах полей перемещений, прослеживается и в картинах нолей напряжений. Решена задача о давлении на кубическую полость, расположенную в вязкоупругом пространстве. Полученные результаты для упруюго случая позволяют говорить, что достигнутая точность расчетов выше, чем это было получено на основе шаговой МГЭ-схемы другими авторами. Продемонстрировано решение задачи о действии давления на границе сферической полости, расположенной внутри вязкоупругого куба. Сравнение результатов для упругого случая показало, что с увеличением временного интервала метод гранично-временных элементов накапливает ошибку, и происходит усреднение расчетного результата. Приведено решение задачи о динамической концентрации напряжений в плите с цилиндро-коничсским отверстием. Продемонстрирован эффект перестройки волновых картин перемещений и напряжений. Решена задача о действии давления на внутреннюю поверхность корпуса клапана (соединении двух толстостенных цилиндров). Показан эффект перестройки волновых картин напряжений при переходе с мгновенных модулей на длительные. Результаты численных исследований в упругом случае сравнивались с результатами других авторов, полученными на основе МГЭ подхода в явном времени. На начальном этапе наблюдается хорошее совпадение.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Определяющие соотношения линейной теории вязкоупругости
Состояние вопроса по истории обнаружения вязкоупругих явлений, по становлению теории и по описанию математической теории вязкоупру гости можно исследовать по работам следующих авторов: Дж. Белла (1984), А.А. Ильюшина и Б.Е. Победри (1970), А.А. Локшина и Ю.В. Суворовой (1982), А.К. Малмейстера и др. (1980), В.В. Москвитина (1972), П.М. Огибалова и др. (1975), Ю.Н. Работнова (1977), И.Г. Филиппова и О.А. Егорычева (1983), Д. Бленда (1965), В. Вольтерра (1982), Р. Кристенсена (1974), Дж. Ферри (1963), М. Schanz (2001), L. Gaul, М. Kogl, F. Moser и M. Schanz (2004) и др. Современная наследственная теория упругости основана на концепциях Л. Больцмана, В. Вольтерра и на теории вязкоупругих моделей, восходящей к работам Дж. Максвелла, В. Фойгта, Кельвина. Первые вязкоуиругие теории были предложены в 1874 Л. Больцманом и Мейером для изотропных вязкоупругих сред. В настоящее время в вяз коупру гости доминируют два подхода описания зависимости между напряжениями и деформацией: теория Больцмана-Вольтерра - записывается интегральное уравнение наследственного типа - и теории Мейера дифференциальных моделей. При рассмотрении теории вязкоу пру гости в формулировке Больцмана-Вольтерра берутся ядра Абеля, Дуффинга, А.Р. Ржаницына и др. Для ядра Абеля Ю.Н. Работнов построил резольвенту, а для ядра А.Р. Ржаницына резольвента была построена М.А. Колтуновым и В.М. Безуховым. Существует еще целый набор слабосингулярных ядер - А.П. Бронского, В.И. Слонимского, А.А. Ильюшина, Андраде и др. Теория вязкоупругих моделей является одним из вариантов наследственной теории Больцмана-Вольтерра.
Теория вязкоупругих моделей хорошо согласуется с интерпретацией результатов, получаемых методами релаксационной спектрометрии. Для некоторых модельных сред задача распространения нестационарных волн может быть решена в замкнутом виде. Авторами таких работ являются И.Н. Зверев (1950), Е.Н. Lee и I. Kanter (1953), J.A.Morrison (1956). Успешно применяемые для квазистатических задач слабосингулярные функции, например Ю.Н. Работнова, долгое время не могли быть эффективно использованы для нестационарных динамических задач, такие же сложности возникли и с использованием классического варианта дифференциально-операторных соотношений. Для решения нестационарных динамических задач. J.D. Achenbach и С.С. Chao (1962) предложили использовать специальную вязкоупругую модель и продемонстрировали ее применение для одномерного случая при исследовании волновых процессов в стержне. Затем модель использовалась Н.П. Пириевым (1978), S.L. Choch при рассмотрении нестационарного состояния безграничной среды со сферической/цилиндрической полостью. Такую среду У.К. Нигул (1985) назвал средой с Е-памятыо. Модель применялась им для исследования волновых процессов в одномерных и слоистых одномерных средах. Рассматривая класс таких моделей (модели с мгновенной упругостью), У.К. Нигул (1985) предложил название «модифицированная теория вязкоупругости». Модель J.D. Achenbach и С.С. Chao была модификацией одели стандартного вязкоупругого тела. Соответствующая модификация модели Кельвина-Фойгта была предложена в [25] и обобщена Н.М Хуторянским [58, 62]. Соответствующая модификация слабосингулярных ядер была предложена в работах А.А. Локшина и изложена в монографии [38]. Применение модифицированных дифференциальных моделей дало возможность построить обозримые аналитические решения и численно аналитически решать соответствующие задачи, а для соответствующих слабосингулярных моделей исследовать прифронтовые асимптотики.
Модификации соотношений вязкоупругости, аналогичные модифицированным дифференциальным моделям, можно найти в диссертации G. Wang «Analyses of Sandwich Beams and Plates with Viscoelastic Cores» (2001). Физические соотношения теории вязкоупругости в общем виде выражаются через интеграл Стилтьеса: где G,.u(t,T)(i,j,k,I = \,2,l) - функции релаксации. Зависимость (1.13) чаще представляется в форме: где CljU -упругие модули, R,.kl(t,T) -ядра релаксации. Если соотношения (1.13) могут быть обращены, то обратные соотношения также имеют вид интеграла Стилтьеса: где Sljkl -константы податливости, ./,,„(/, г), A b,u (/, r) (i,j,k,l = 1,2,3) -функции и ядра ползучести. После разложения (1.15), (1.16) получаются две системы определяющих уравнений для вязкоупругих материалов: Дифференциальная форма определяющих соотношений связана с частным случаем функций релаксации и ползучести, когда их изображения по Лапласу являются рациональными функциями параметра р. Рассмотрим этот случай на примере соотношения, связывающего напряжение а и продольную деформацию є для одноосного напряженного состояния. Данное соотношение в изображениях по Лапласу имеет вид: Пусть Q(P) Рассмотрим некоторые наиболее распространенные модели. Модель Максвелла (рис.1). Соответствующее этой модели дифференциальное соотношение между напряжением и деформацией записывается следующим образом: где Е -коэффициентупругости, TJ - коэффициент вязкого сопротивления. В Тогда ввиду чего величину r(r=ij/E] называют временем релаксации.
Граничные интегральные уравнения вязкоупругости
Применение метода ГИУ с преобразованием Лапласа в упругодинамике имеет длинную историю (Т.А. Cruse и F.J. Rizzo (1968), Т.А. Cruse (1968)). Для обобщений типа вязкоупругости, пороупругости или пьезоэлектричества, эти методы являются более приемлемыми, чем пространственно-временные методы ГИУ, потому что пространственно-временные фундаментальные решения явно не известны или очень сложные (L. Gaul и М. Schanz (1999), М. Schanz (1999, 2001), C.Y. Wang и др. (2003)). Методы преобразования Лапласа в виде операционного метода квадратуры использовались успешно в работах (М. Schanz и Н. Antes (1997), М. Schanz (2001), J.C.F. Telles и C.A.R. Veraudela, 2003). Связь между напряжениями и деформациями в однородном теле, занимающем область О с Л3, задается в виде: звездочкой обозначена свертка. Задачи вязкоупругости могут быть сведены к интегральным уравнениям двумя способами - при помощи преобразования Лапласа к уравнениям с параметром или непосредственно к гранично-временным уравнениям. При помощи матрицы фундаментальных решений U перемещения выражаются формулой: Если до момента / =0 тело находится в недеформированном состоянии и на границе заданы напряжения, то из (1.59), (1.60) вытекает уравнение it + 2Waii = f, где Свойства оператора ІУа (в том числе спектральные) изучены в работе [58]. Для нестационарных динамических задач вязкоупругости в случае стабильной среды возникают ГИУ такого же типа, как в динамической теории упругости.
Различие состоит лишь в используемом фундаментальном решении. Формула интегрального представления амплитуд перемещений внутри тела Q имеет вид (верхний символ опущен для упрощения записи): "(( = (х где аг =1 для конечной области Пи а =-\ для бесконечной области Q. Уравнения (1.62) позволяют найти искомые граничные значения перемещений и поверхностных сил. Формула (1.61) позволяет определить перемещения в интересующих внутренних точках тела. В качестве основных итогов по главе I можно сформулировать следующее. В главе I дана постановка задачи и описано построение ГИУ прямого подхода в сочетании с интегральным преобразованием Лапласа. Рассмотрена математическая модель основных краевых и начально-краевых задач трехмерной теории упругости. Математическая модель трехмерной динамической теории упругости представлена уравнением движения Ламе для изотропного упругого тела с соответствующими граничными и начальными условиями. Дано описание определяющих соотношений линейной теории вяз коу пру гости. Приведены классическая и модифицированная формулировки теории и описаны простейшие классические и модифицированные модели. Изложена теория вязкоупругости с позиций дробного дифференцирования. Представлена взаимосвязь различных современных моделей вязкоупругости. Рассмотрен вопрос численного обращения преобразования Лапласа: дан краткий обзор, представлен метод Дурбина и показаны его возможности при построении оригиналов кусочно-постоянных функций. Продемонстрированы возможности метода Дурбина при численном моделировании матрицы фундаментального решения уравнения движения для вязкоупругой среды, описываемой модифицированной моделью Кельвина-Фойгта. Приведен краткий обзор состояния вопроса по методу ГИУ для динамических задач вязкоупругости и построены ГИУ вязкоупругости с совместным применением интегрального преобразования Лапласа.
В основе успеха применения метода ГИУ лежат достижения в теории многомерных сингулярных интегральных уравнений и в теории потенциала, связанные с работами советских ученых: С.Г. Михлина [42], В.Д. Купрадзе, Т.Г. Гегелиа, М.О. Башелейшвили, Т.В. Бурчуладзе [57] и других. Вопросам построения ГИУ статических задач теории упругости и разработке численных методик их решения посвящены работы А.Я. Александрова [2], Ю.Л. Бормота (1977), Э.С. Венцеля (1980), Ю.В. Всрюжского [!1], СП. Гавели [12], Р.В. Гольдштейна [15], Б.М. Зиновьева (1972), Ю.Д. Копейкина (1974), М.И. Лазарева [32], В.М. Лиховцева (1978), М.Д. Мартыненко (1977), Ю.А. Мельникова [39], О.П. Николаева [47], В.З. Партона и П.И. Перлина [48, 49], А.Г. Угодчикова и Н.М. Хуторянского [58, 59], Г.И. Яха (1979), Т.А. Cruse [87], J.C. Lachat и J.O. Watson [34, 107], F. Paris и E. Alarcon (1980), F.J. Rizzo и D.J. Shippy [122] и других авторов. В первых работах Т. A. Cruse (1969), А.Я. Александрова (1975) и Ю.В. Верюжского (1978) по решению трехмерных статических задач теории упругости с помощью МГЭ применялась аппроксимация поверхности тела плоскими треугольными элементами, кусочно-постоянная аппроксимация граничных перемещений и поверхностных сил и аналитическое интегрирование по элементам при вычислении коэффициентов дискретного аналога ГИУ.
В дальнейшем было предложено Ж.К. Лаша [34], Г.И. Яха (1979) использовать для аппроксимации поверхности тела и граничных функций элементы более высоких порядков, а для вычисления коэффициентов дискретного аналога ГИУ применять численное интегрирование с помощью формул Гаусса. Для вычисления сингулярных интегралов в работах В.М. Бабича (1977), Ю.В. Верюжского (1981,1978), Р. By (1973), СП. Гавели (1975), М.И. Лазарева (1984), G.D. Manolis (1983) строятся аналитические выражения, дающие точные значения сингулярных интегралов для определенных типов аппроксимации граничной поверхности и плотностей потенциалов. Сведение сингулярных интегралов к несобственным с помощью метода понижения особенности используется в работах Н.М. Хуторянского [58], F.J. Rizzo (1977). Для вычисления несобственных интегралов применяются стандартные квадратурные
Вычисление тензора напряжений на границе тела
В методе граничных элементов применяются два способа вычисления напряжений на поверхности тела. Это глобальный способ [58, 90, 130], использующий граничную предельную интегральную формулу, и локальный [1, 75, 122] основанный на локальном применении физических соотношений для граничных значений перемещений. В локальном варианте вычисления напряжений возможно несколько путей. Так, например, использовать дифференцирование интерполирующих полиномов для перемещений [1, 122]. Рассмотрим подход, не требующий дифференцирования: касательные производные от перемещений будем определять через теорему Стокса. Пусть касательный дифференциальный оператор имеет вид: Тогда формула представления градиента в точке поверхности через касательные и нормальные к поверхности дифференциальные операторы имеет вид: Она позволяет выразить тензор напряжений на поверхности через касательные и нормальные производные от перемещений: Зная распределение перемещений на границе тела, можно вычислить их производные по касательным направлениям. Для определения производных по нормали, воспользуемся связью между известными поверхностными силами и напряжениями: Пусть Гк - некоторый граничный элемент. В силу теоремы Стокса: где бі\ - контур, ограничивающий Гк. Отсюда, учитывая, что нами была принята билинейная аппроксимация граничных перемещений по элементу (2.21), получаем следующее выражение для производной - - в центре dSk элемента: Интеграл в правой части (2,22) легко вычисляется с использованием принятой аппроксимации. Таким образом, можно найти значения касательных производных от перемещений, после чего с учетом известных поверхностных сил и нормали в центре элемента определяются нормальные производные от перемещений, и вычисляются компоненты тензора напряжений. Анализ I. Mackerle демонстрирует классификацию МГЭ-программ, которые были разработаны за период с 1976 по 1999 гг. Можно говорить о 5-9 проблемах, на которые ориентированы программные разработки. Это, прежде всего, температурные задачи, задачи механики разрушения, динамики, геомеханики и нелинейные задачи.
Информация структурирована для 145 МГЭ-програчм. Далеко не все эти программы доступны. Можно говорить лишь о доступности ранних МГЭ-программ. Такие программы приведены в таблице. К этой таблице следует добавить программу, разработанную Н.М. Хуторянским и В.В. Туриловым в 1986 г., которая доступна [58]. Актуальные разработки последних двадцати лет не выставляются на продажу. Пакет программ реализован на алгоритмическом языке ФОРТРАН и предназначен для расчета динамического взаимодействия однородных трехмерных вязкоупругих конструкций. Структура комплекса программ Можно выделить три группы программных модулей комплекса: управляющая программа, функциональные и обслуживающие модули. Управляющая программа постоянно находится в оперативной памяти и соответственно плану выполнения задания инициализирует необходимые процессы численного решения краевой задачи. Функциональные модули сгруппированы по процессам, выполняющим структурнозначимые этапы прохождения численной схемы метода. Это такие этапы как формирование геометрической модели, задание свойств материалов и сред, формирование дискретных аналогов и разрешающей системы и т.п. Множество процессов является открытым и предусмотрена возможность встройки в комплекс новых процессов, либо переформирование уже существующих с целью усиления их специальной направленности. Связь между модулями внутри процесса осуществляется с помощью аппарата формальных параметров и обрабатываемых данных во внешней памяти. К обслуживающим модулям относятся программы обмена, программы размещения массивов в оперативной памяти и другие модули. Обмен с внешней памятью идет в режиме прямого доступа.
Программы обмена используют операторы прямого доступа ФОРТРАНа. Область прямого доступа делится на файлы, содержащие записи произвольной длины. Для каждого файла имеется возможность организации каталога записей. Комплекс программ имеет простой пакетный интерфейс для управления процессом решения задачи, заданием входных данных и генератором отчета. Возможно сопряжение комплекса со средствами препроцессорной обработки информации, ориентированными на структуру и формат файла входных данных. Входные данные читаются из файла последовательного доступа и записываются в набор данных прямого доступа. Входные данные разделяются на две группы: данные управляющей программы и данные процессов. Дискретная модель граничной поверхности задается массивом координат узлов, матрицей индексов узлов элементов и матрицами отображений основной части на симметричные. Краевые условия задачи определяются кодами условий и массивами значений граничных функций в узлах интерполяции. Указываются также физические характеристики материалов и упругих связей (если они есть). Программная реализация осуществлена на языке ФОРТРАН. Программный комплекс создан как процессорное средство и имеет модульную структуру (рис. 12). При построении программного комплекса использовался метод программной декомпозиции [26]. Задача каждого процесса является сателлитной и, благодаря информационной связи между процессами, а также совместном выполнении координирующей задачи с информационной отдачей сателлитов, логически увязана с подзадачами координации.
Сами задачи процесса могут рассматриваться и как координирующие задачи для многоуровневого иерархического функционального строения процесса. Для осуществления расчета программным комплексом необходима его адаптация под входную информацию задачи: формирование входного потока, настройка управляющей программы. Во время работы программного комплекса осуществляется сопутствующий контроль промежуточной численной информации. Имеются возможные диагностические сообщения. форматных записей последовательного доступа. Входной поток состоит из входной информации для управляющей программы и входных данных для процессов. Управляющая программа Управляющая программа требует следующей организации информации в файле входных данных: 1. Название задачи. Любой набор символов по формату (А80). 2. Имя первого рабочего файла прямого доступа, для промежуточного хранения информации. Любой набор символов по формату (А80). 3. Размер этого файла в блоках (1 блок - 4 Кбайт) NUMBLK1 по формату (9х,19). 4. Имя входного рабочего файла. Любой набор символов по формату (А80). 5. Размер этого файла в блоках NUMBLK2 по формату (9х,19). 6. Имя третьего рабочего файла. Любой набор символов по формату (А80). 7. Размер третьего рабочего файла. В блоках NUMBLK3 по формату (9х, 19). 8. Параметр печати ШЕВ (9х, 19) = 0- печати нет 2 - печатаются входные данные. 9. Число процессов NFRAC (9х,19). 10. Строка комментария. 11. Имена процессов. Каждое имя процесса вводится с новой строки по формату (14х,А4). 12. Число плоскостей симметрии NPLSYM (9х,19). 13. Строка комментария. 14. Матрица основных отображений вводится по строкам (ЗЕ 10.0). Число матриц равно NPLSYM. 15. Строка комментария. 16. Контрольная точка отображений (ЗЕ10.0). Процесс GEOM
Задача о действии нестационарного давления на границе сферической полости, расположенной внутри вязкоупругого куба
Поместим начало декартовой системы координат Ох{х2хг в центре полости, а оси направим перпендикулярно к граням куба. Сечение данного тела плоскостью ххОх} представлено на рис. 50. Интенсивность давления, действующего на границе сферической полости, изменялась во времени по закону р(0 = \ Безразмерные параметры задачи были выбраны следующими: ї = 2,Я =0,5, с, = 2. позволил в качестве основного фрагмента границы тела взять четверть грани куба и соответствующую часть сферы. Выбранная часть грани куба разбивалась на 25 одинаковых квадратных элементов. Гранично-элементная сетка на части сферы получилась проектированием по радиусам сетки, построенной на грани куба. Таким образом, основной фрагмент границы аппроксимировался 50-ю элементами. При этом на всей поверхности тела порождалась сетка, состоящая из 1200 элементов. На рис. 51 представлены графики изменения во времени перемещений Hj для упругой модели в точках А и С. На рис. 52 представлены соответственно графики изменения во времени перемещений «j в точках В и D грани куба (рис. 50). Па рис. 53, 54 кривые 1 соответствуют модели Максвелла, кривые 2 - модели Кельвина-Фойгта. На рис. 55, 56 кривые 1 соответствуют степенной модели, кривые 2 - модели стандартного вязко-упругого тела. На рис. 57 приведены кривые для логарифмической модели. Подобная упругая задача решалась методом гранично-временных элементов в [3,4]. Результаты из [3, 4] приведены в виде пунктирных линий. До момента отражения волн от граней куба перемещения совпадают с аналитическими значениями перемещений в бесконечной среде от действия нормального давления на границе сферической полости. Использование логарифмической модели качественно и количественно изменило процесс деформирования, притом что начальный этап деформирования повторил случай степенной модели. Сравнение результатов для упругого случая показало, что с увеличением временного интервала метод гранично-временных элементов накапливает ошибку (результаты для точки Л) и происходит усреднение расчетного результата (интервал приведенного времени от 4,5 до 5). Рассмотрим задачу о растяжении квадратной плиты с цилиндроконическим отверстием нестационарной нагрузкой, равномерно распределенной по двум противоположным торцам плиты. Размеры конструкции выражены через радиус г цилиндрической части отверстия и проставлены на рис. 58.
Величина г равна 0,01 м. Закон изменения во времени интенсивности нагрузки имеет вид: p(t) Расчеты производились для плиты со следующими характеристиками: Учет двух плоскостей симметрии (хі=0 и х2=0) позволил в качестве основного фрагмента границы тела взять 1/4 часть поверхности конструкции (рис. 59а). Развертка использованной гранично-элементной сетки изображена на рис. 59Ь. Сетка содержит 106 элементов. При этом на всей поверхности тела порождается сетка, состоящая из 424 элементов. При решении вязкоупругой задачи выбирались следующие приведенные характеристики упругого материала р = 0,375,/л-0,375,Л. = 0,75, что соответствует приведенному г = 0,057. Вязкоупругие свойства материала выбирались в рамках регулярных классических моделей (модель Максвелла, Кельвина-Фойгта, стандартного вязкоупругого тела), а также модифицированной степенной модели. Наибольший интерес для нас представляет поведение перемещений и напряжений в точках, обозначенных на рис. 59а цифрами 1, 2, 3. На рис. 60, 61 и рис. 62, 63 представлены соответственно графики напряжений и перемещений, полученные на основе упругой модели. Кривые 1 соответствуют напряжениям и перемещениям точки 1, кривые 2 и кривые 3 точкам 2 и 3 соответственно. На рис. 64-68 представлены графики напряжений сг,, возникающих в плите в точке 1. Результаты, полученные на основе упругой модели (кривая 1), сравниваются с результатами, полученными на основе вязкоупругих моделей с разными значениями параметров вязкости: рис. 64 - модель Максвелла (кривая 2 соответствует = 0,01; кривая 3 - /=0,3; кривая 4 - / = 0,7; кривая 5 - / = 10; кривая 6 - / = 500); рис. 65 - модель Кельвина-Фойгта (кривая 2 соответствует /7 = 0,05; кривая 3 - /7 = 0,5; кривая 4 - /7 = 3; кривая 5 - у? = 100); рис. 66 - модель стандартного вязкоупругого тела (кривая 2 соответствует / = 0,01; кривая 3 - / = 0,3; кривая 4 - / = 10; кривая 5 - / = 100); рис. 67 -модифицированная степенная модель (кривая 2 соответствует к = 7 or = 0,3; кривая 3 - or = 0,7; кривая 4 - а = 0,95). На рис. 68 приводятся численные результаты для о-,,, полученные на основе перечисленных моделей (кривая 1 -упругая модель, кривая 2 -Максвелла (/ = 0,08), кривая 3 - Кельвина-Фойгта (/7 = 100), кривая 4 - модель стандартного вязкоупругого тела (/ = 0,01), кривая 5 - модифицированная степенная модель (/: = 7, or = 0,95). На рис. 69-73 приводятся аналогичные результаты для о21. На рис. 74-78 - графики перемещений ы2, полученные на основе перечисленных моделей. Для точек плиты 2 и 3 приведены результаты соответствующих расчетов на рис. 79-93 и рис. 94-108. Увеличение вязкости среды на основе модели
Максвелла приводит к тому, что перемещения растут и колебательный процесс выпрямляется. Увеличение вязкости среды на основе модели Кельвина-Фойгта и модифицированной модели Кельвина-Фойгта картину волнового процесса приближает к волновой картине для упругой среды. Модель стандартного вязкоупругого тела позволяет описать процесс перехода волновой картины в перемещениях на мгновенных модулях с ростом вязкости среды в волновую картину в перемещениях на длительных модулях: качественно картина имеет один портрет, однако амплитуды и периоды колебаний различаются в разы. Применение степенной модели позволяет описывать процесс затухания
