Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм Терехова Лидия Павловна

Многомерная мультииндексная теорема Скорохода

Рассмотрим случайные процессы Yn,Y : R . — R, и положительные случайные процессы vn,v : R _ — R j., z/n = ( 111, 211,---, 11), у = (z/b i/2,..., i/rf). В действительности, Уп(), n Є Nd, Є R+, - мультииндексная последовательность одномерных случайных процессов, a vn{t), п Є Nd, Є R+, - мультииндексная последовательность d-мерных случайных процессов. Предположим, что Y и v имеют непрерывные траектории. Обозначим композицию процессов с помощью Ynvn, You:Kd+- H (Уоі/(і)= Y(v(i))). Рассмотрим метрику где di bi, ai,h Є Q+, 1 і г. Замыкание линейной оболочки множества Т в метрике р будем обозначать с помощью Br(R+). Заметим, что jBr(R ) — сепарабельное пространство, и пространство непрерывных функций содержится в пространстве (Вг(И+): р) как замкнутое подмножество. Нам потребуется следующее обобщение теоремы Скорохода на муль-тииндексный многомерный случай. d d Теорема 1.2.1. Пусть Yn — Y на (Cl, Л, Р) при п — оо, п Є N Тогда существуют вероятностное пространство (ГУ, Л , Р ) и случайные функции Y Y1 : О, — В(И+) такие, что У„ = Yn, Y — Y и Y — Y почти наверное при п —» оо . Доказательство. Также как в доказательстве одномерной теоремы

Скорохода (см. [3]), построим множества 5 ... (здесь и далее /с, гі,..., ijfc Є N) так, чтобы выполнялись условия: 1) (Si г 1) — разбиение J3(Rj); 2) (Si .iki I 1) — разбиение 5 ...; 3) diam Sk„Ak 2-k ; 4) P{Y є dSh...ik} = 0. Обозначим: й ... = P{Y Є ..., } и рассмотрим Если «і,..., ik — фиксированные индексы, то (Д ... і 1) является разбиением Aji... , поскольку = Возьмем точку 3... в произвольном непустом множестве %i...ifc и определим Пусть а/ Є [0; 1). Так как (Д ... гі,..., ik 1) является разбиением отрезка [0;1), то о/ принадлежит некоторому Дгь..гк. Поскольку является разбиением Д ... , то uJ принадлежит Ai1...tfcifc+i...ifc+m Для любого га 1. Следовательно, критерию Коши, (Y,k(u ) \ к 1) сходится к У (и ). Имеем В исходном вероятностном пространстве определим Тогда то есть, Yk{w) — F(CJ) , & —» oo, для любого ш Є [0,1]. Ho Yk — Y k. Поэтому Y — Y . Для всех п Є Nd обозначим 6 ik = P{Yn є 5 ... } и определим Несложно показать, что У сходится к некоторому У , при к — оо. Более того, для любого и/ и Уд = Уп. Оставшаяся часть доказательства касается СХОДИМОСТИ Y (UJ ) — У (а/) почти наверное, при п — оо .

Пусть ш — некоторая точка отрезка [0; 1) не совпадающая ни с одной а ... . Зафиксируем к и выберем ii, ...,ik, такими, что и/ Є Aib..u Из определения Д ... следует Из условия 4) на «S ... имеем: 5„.j, — JI-..J I ПРИ n — оо , для всех ji,..., ji. Все рассматриваемые суммы конечны, следовательно И где п достаточно близко к со. Но тогда где n достаточно близко к со. Так как к произвольно, то У (со ) —» У (а; ) почти наверное, при п — со, что и завершает доказательство теоремы 1.2.1. В этом параграфе будут доказаны две предельные теоремы для случайных процессов, которые принимают значения в пространствах B(Rd+) и B(Rd+) х В(R!l), введенных в 1.2. Теорема 1.3.1. Пусть Yn — Y, п — со, в B(JM\_), и ип — и, п —» со, в Bd(JM\_). Предположим, что {Yn} и {fn} - независимые семейства. Тогда Yn о ип — You, п — со, в ?(R ). Доказательство. Согласно теореме 1.2.1, существуют вероятностные пространства (О/, Л , Р ) и (Q", .4", Р"), и случайные функции У , Y :П — В(КІ), і , і/ : О" — Kd+ такие, что У = Уп, У = У , = z/n, v" — v и Уд —» У почти наверное при п — со, и —» z/ почти наверное при п — со . В дальнейших обозначениях Y , У, и , и" мы будем опускать штрихи. Рассмотрим вероятностное пространство (Q, Л, Р), где Q, = Q х Q,", Л = Л х Л", Р = Р хР". Выберем (о/, о/ ) Є так, чтобы n(w ) — У (о/) в (ft , Л ,Р ), и i/n(w") — i/(o/ ) в (fi",.A",P"). Пусть є 0, iV Є Nd. Так как (о/ ) равномерно сходится к v{u"), то существуют 5 0, Пі Є Nd такие, что для всех п пі получаем \vn{x)(u") — и(х)(ш")\ 6, где х Є [0,7V]. Существует номер Так как Yn(uj ) стремится к Y(LO ) в норме , то существует п2 такое, что для всех п п2 имеем Уп(и/) — У(и )\\ , є/2. Заметим, что Y(о/) равномерно непрерывна на [0, N ]. Таким образом, существует S 0 такое, что \Y(x )(u ) - Y(s")(u/) є/2 при \х - х"\ 5, 0 а/, х" N . Пусть no = max(rii, n2), n no. Оценим разность

Полуустойчивый закон распределения, область притяжения полуустойчивого закона

В описании полуустойчивых распределений, а также областей притяжения полуустойчивого закона мы будем следовать вероятностному подходу S. Chorgo [32]. Выберем последовательность {кп} натуральных чисел со свойством Пусть , п, п Є N, — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, определенных на вероятностном пространстве (П, Л, Р), с функцией распределения F и квантилью Q{s) = inf{a; Є R : F(x) s}, 0 s 1. Рассмотрим суммы Определение. Невырожденные пределы сумм Skn, где последовательность (кп) удовлетворяет условию (1.4.1), называются полуустойчивой случайной величиной. Определение. Невырожденная случайная величина принадлежит области притяжения полуустойчивого закона, если для некоторой последовательности {кп} со свойством (1.4.1), для некоторых нормирующих и центрирующих констант Bkn и Akn последовательность сумм 5&п сходится к невырожденному распределению. В данном случае принято обозначение: Є Р5Р(Мі, Мг,р). Пусть 0 р 2. Приведем описание полуустойчивых случайных величин и областей их притяжения, полученное в работе S. Chorgo и Z. Megyesi в [27]. Рассмотрим Nj , j = 1, 2, — стандартные непрерывные слева независимые пуассоновские процессы. Предположим, что являются неубывающими функциями, где Mi, М2 — неотрицательные, непрерывные справа на (0, со) , ограниченные па (0, со) функции такие, что Mi + М2 ф- 0, и Mj(cs) = Mj(s), j = 1, 2, для всех s 0 и с 1. Рассмотрим случайные величины Случайная величина W является р -полуустойчивой случайной величиной тогда и только тогда, когда для некоторых Mi, М2 и b Є R выполняется равенство W = W(MUM2) + b. Обозначим через ф(х,Мі(у),М2(у)) характеристическую функцию случайной величины W(MhM2): Замечание. В.М. Круглое е [17] дал другое описание полуустойчивых законов в терминах мер Леви. Рассмотрим последовательность {kn}, для которой выполняется условие (1.4.1). Для любого s Є (0, SQ) , где so Є (0,1] достаточно мало, существует единственное kn (sj такое, что к К- s h ts)-!" Пусть 7(s) = skn (s), если s Є (0, so), и 7(s) = 1, если s Є [so, 1). Тогда 1 7(s) с + є для некоторого фиксированного є 0, всех s Є (0,1) и константы с из (1.4.1).

Пусть для любого s Є (0,1), где Q+— непрерывная справа версия квантили Q, 1(-)— непрерывная справа, медленно меняющаяся в нуле функция, Mi, M2 — неотрицательные, непрерывные справа на (0, оо), ограниченные на (0,оо) функции такие, что М\ + Мч 0, и Mj(cs) — Mj(s), j = 1,2, для всех s 0, и константы с из (1.4.1), a h\ и h i — непрерывные справа функции такие, что lim hj(t/kn) = 0 в любой точке п—кх непрерывности t О функции Mj , j = 1,2. Случайная величина принадлежит области притяжения р-полуус-тойчиього закона тогда и только тогда, когда ее квантиль Q имеет вид (1.4.2)-(1.4.3). " Замечание. И. В. Гриневич и Ю.С. Хохлов в [8] получили другое описание областей притяжения полу устойчивых законов. Мы будем использовать следующие нормирующие и центрирующие константы: Bkn = (kn)1/p И т- ) , Akn = — / Q(s)ds, n = 1,2,... (1.4.4) Следующая лемма является следствием "сближающей" теоремы (Теорема 2 в [27]). Лемма 1.4.А. Пусть функция распределения F B gp(Mi, Мч,р), последовательность кп удовлетворяет условию (1.4.1), и 0 р 2. Тогда sup Р{5„ х] - P{W(M1(7(l/n)2/), М2(7(1/п)у))} — О, при п — оо. Здесь и далее к = (кх, ...,kd), п = (пь ...,7), О = (0,...,0), 1 = (1,...,1) Є Nd. Отношения , +, —» оо, min, max, определяются покоординатно. Например, выражение п — оо означает, что щ — со для каждого г = l,...,cL Обозначим: = ( -,..., ), Mn = (Mni, ...,Mrid), где М — константа. Пусть log+ж = logo;, если ж е, и log+a; = 1, если х е. Пусть п = Пг=1 пг и log п = П?=і !og+ ПІ, п Є Nrf. Нам потребуется следующий критерий версий почти наверное предельных теорем, полученный в [39]. Пусть (В, р) — полное сепарабельное метрическое пространство и n, п Є Nrf, — мультииидексная последовательность случайных величин в

В. Теорема 2.1.А. Предполооїсим, что для любых nap h, 1 Є Nd; h 1, существует В -значная случайная величина h,i с0 следующими свойствами: h,i = 0, если h = 1; если к, 1 Є Nrf, то для h = min{k, 1} следующие пары случайных величин независимы: Ск и Ch,i / Сі и Ch,k," Ch,k U Ch,l Пусть существуют С 0; є 0 и возрастающая последова тельность {с } положительных чисел такая, что Нп -юо с — оо; Сп+і/сІЇ = 0(1) для всех г = l,d, причем d ( /Ji)\ -2(1+e) ЖР2(СЬСЬ,І)ЛІ} СП log+log+ - V , (2.1.1) і=1 сл, для h 1. Пусть 0 а log(c J_1/c ). Предположим, что Si4)=0; = М- Яусшъ k = nti4? uZ)n = Ek n4. Тогда для любого вероятностного распределения // на борелевской а -алгебре В следующие утверждения эквивалентны: — У, k ck(w) — №, пРи п о для почти всех со Є fi; k n pr- X] k при Ті - CO. k n Замечание. Теорема 2.1.А остается справедливой, если (2.1.1) за-менить на условие: {ЛО,Си,і)Л1} СЦІ ] (2.1.2) Элл h 1, где (3 0. Нам понадобится следующая известная лемма (см. теорему 11.3.3, [36]). Обозначим через ВЬ(В) — пространство липшицуемых непрерывных ограниченных функций g : В — R с нормой Ц Цщ, = IMIoo + IMU оо , где ЦрЦоо — супремум-норма, и

Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм мультииндексных случайных величин

Получим версию почти наверное теоремы 1.1.1 Теорема 2.2.1. Пусть Sn — jp при п — оо, где jp — р-устойчивая орема 2.2.1. Пусть Sn — jp при п — оо; где случайная величина. Предположим, что г/п — независимые случайные вектора, семейства {vn} и {п} независимы, i = l,d, и тп — т, при п — оо. Пусть Qn(a;) = Qn((Ki ))( ) Тогда для почти всех со Є Q имеет место сходимость Qn(u) — Дум при п — оо, где VM — случайный вектор с характеристической функцией (1.1.3). Доказательство. Пусть М 0. Сначала докажем теорему 2.2.1 при дополнительном предположении: М, р- М,... — М. Тогда двумерный случайный вектор Vn = V,M = (5n , Wn ) имеет следующие координаты: Обозначим через VU,M предельный вектор для V,M Рассмотрим случайные вектора (S , W ), 1 n, 1, п Є Nd, где Заметим, что случайные величины S и S , а также независимы. Рассмотрим случайные суммы Разобьем случайные величины І на сумму двух случайных величин: 6 = Мы будем рассматривать метрику р(х,у) = л/ 1ж/ж_у\2, ж,?/ Є R. Используя неравенство 1а/д+6ч2 2 ( + — J , получаем Ep(SM,s№) = E \ + 5п(1) (gn(l) + 5п(1)) () , () \/2 Д ч г+Е ч " 1 + () 1 + ()) Оценим слагаемые в подкоренном выражении отдельно. Мы будем использовать следующие утверждения ([6], с.117).

Существуют такие константы С\ и Сі, что И S(fi - aw)2 sup n (2.2.1) Bl = Сі сю, n И supnP(6 5H) C2 oo. n (2.2.2) Пусть P{vn = к) = pnk. Тогда Е Е 1 + 0 к М1 Ы ы у 0 і к п 1 + І (6 - Н) %, 2?w} 0 і к "2 Рпк к М1 1п1 (f % w} - ан) Рпк и п 0 к М1 / V п я ( %1 ,.,} - «м) ці v Рпк СІЛГ в2 (5 »): i= Е Е 0 к М1 .Б І Е 6 %і #п} ) у 0 і к у Рпк + () 1+ оЕ& /да Вм) Е Е р 1 1 BI»I) л 0 к М1 0 і к кР(е ям) Рпк п р( n)Md C2Md . 0 к АП Следовательно, 1/2 = С п , (2.2.3) где С = y/2Md(Ci + C2). Аналогично оценим Ep{W \w ). Имеем Ep(W \W ) V2 Е ()2 , „ К) + я (2.2.4) \ Используя (2.2.1) и (2.2.2), получаем K(i)) _ _ \Л.о і к w- Е (6 - а\п\)2 % В„} \ nm / v \ n 0 i k / Е-±- = Е Е / " Pnk V n{1) + Uh 1 ан) %K i-} \ n 0 i k E E ( 2" S & - "И) 7{161 5П,} Pnk = 0 k Ml \ lnl 0 i k / 0 k Ml \ ln И v- k Л, Д( % ДМ) - »м)Л „ rui 111 E Ш\n Ж Pnk - ClM Ш 1 + r»«) №M 1 + U E «? - Зони) %! \ 0 i k E E -p(i6i J3H)-Pnk k Ml 0 i k E lklp(l l 5н) nk n P(\t\ 2?M) Md C2Md 0 k Ml Следовательно, где D = 2Md(Cx + C2). В двумерном случае в качестве метрики выберем w l rtf ; {Х2 У2У 1 + fatl)2 \М + (Ж2-2/2)2 где х = (хі,х2) Є R2 , у = (ш 2/2) Є R2 Тогда Ep{{s\ о), {8fc\ о)) + Ep№ W ), (o, i(n})) «(йГ-(йГ- (йГ где К = С + . Условия теоремы 2.1.А выполнены. Следовательно, для почти всех и Є Г2 имеем: 1 \" 1 г гы (lo f 2-, jkf VV) — w пРи n со. Теперь обратимся к доказательству общего случая. Пусть L С Z?L(R2). Будем предполагать, что д Є L. Рассмотрим последовательность Мт — оо, т — оо, такую, что Мт является точкой непрерывности функции распределения случайного вектора v для любого т Є N. Обозначим: Mm = (Afm,..., Мт), и = (г/,..., и). Покажем, что для всех т Є N, для почти всех UJ О, имеет место сходимость: 1 Ь k n при п — ОО . Обозначим ркто = Р ( ЇЙ1) , к Є Nd, т Є N. Тогда їїЕ]кТ7{ }(а;) = log1-, , ь к п й И -лт)\+ щц X) щ» к п (jlognk( Пусть 77k = м""і(а;) — Pkm- Так как случайные величины т/k и туї, к ф 1, независимы, то где 1 к. Таким образом, согласно мультииндексному закону больших чисел из ([39]), получаем 1 v 1 т, г тгтVk — 0 почти наверное при п —- оо . k n logn k K d _ Из сходимости — v , при п — оо , следует сходимость ЇЇ—г Y1 їїтРк —" p(F ВД logn k для почти всех и) Q при п — оо. Выберем Г2 Є Г2 такое, что: 1) Р(П ) = 1, 2) ТГ—іЕії Ук МтИ) — (V ») при п I iognl w„ к1 k n о; Є Of, т N, оо для всех 3) уТо1яЕк77{ М(а;) " р(ї7 м} при п и Є О , га Є N. оо для всех Пусть ш Є Г2, є 0. Рассмотрим

Почти наверное предельная теорема для Санкт-Петербургской игры со случайным количеством партий

Санкт-Петербургский парадокс является одной из классических задач теории вероятностей. В основе этого парадокса лежит так называемая Санкт-Петербургская игра, которая состоит в подбрасывании монеты до тех нор, пока не выпадет герб. Выигрыш игрока с каждой удачной партией удваивается. Санкт-Петербургский парадокс сформулирован Даниилом Бернулли в 1738 г. в его работе, опубликованной в Заметках императорской академии наук в Санкт-Петербурге, хотя открыт этот парадокс был Николаем Бернулли еще в 1713 г. Пусть Xi,X2,... — выигрыши игрока в последовательности независимых партий Санкт-Петербургской игры, то есть независимые одинаково распределенные случайные величины, определенные на вероятностном пространстве (7, Л, Р), с функцией распределения F(x) = Р{Х х} = 1 — 2 Llog2 х1 х 2, a Sn — Xi + ... + Хп — общий выигрыш игрока в п партиях. Случайные величины Хп принадлежат области притяжения полуустойчивого закона с параметрами р = 1 и с = 2. В.Феллер в [42] показал, что Sn/(n log2 п) — 1 при п — со. A.Martin-Lof в [55] доказал, что Sn/n — log2 п имеет предельное распределение, если п пробегает последовательность {2k} jL1. Также в [55] установлено, что это предельное распределение не является устойчивым, поэтому вся последовательность Sn/n—log2 п не сходится слабо. S.Chorgo и Р.Додунекова в [31] доказали, что класс предельных распределений для 5гп/2п — п имеет вид {G1: 1/2 7 1}, где G1 является Пусть G(x) = 7- /1 d7, (2.5.2) где G7 — функция распределенная с характеристической функцией (2.5.1). Почти наверное предельные теоремы для Санкт-Петербургской игры впервые получены I.Berkes, E.Csaki и S.Chorgo в [23]. Нашей целью является получение почти наверное предельной теоремы для суммы выигрышей игрока в случайном количестве партий

Санкт-Петербургской игры со случайной величиной вместо центрирующей константы. В [23] получена следующая почти наверное предельная теорема для Санкт-Петербургской игры. Сначала докажем (2.5.5) для подпоследовательности nr = 2Т, г = Последовательность {7 : /с = 2J_1 + 1, ...,2-7 — 1} разбивает интервал (1/2,1] на 2J_1 интервалов длиной 1/2J. Таким образом, jDjlog2 представляет собой интегральную сумму Римана. Следовательно, при г — оо получаем сходимость Так как lim,.- » " +1 = 1, и слагаемые в сумме (2.5.6) неотрицательны и ограничены, то сходимость (2.5.5) имеет место, а мера С имеет характеристическую функцию Пусть М 0. Докажем теорему 2.5.1 при дополнительном предположении М. Заметим, что Разобьем случайные величины Л на сумму двух случайных величин Хі = Упі +Wni, где Yni = ХІ І{ХІ П} , и Wni = ХІ /{Xi n} Тогда Рассмотрим метрику p(x,y) = у " a, ,2/ Є R- Для оценки Ep(Zn ,Zfa) будем использовать неравенство 1a + b\2 З (l& + 1) Имеем Ep{Z%\2$) = E (Zn(l) + Zn(l)J \ 1+( (1)+) для почти всех ш Є Q. Теперь обратимся к доказательству общего случая. Рассмотрим последовательность Мт — со при т — оо такую, что Мт является точкой непрерывности функции распределения случайной величины v для любого т Є N. Покажем, что A;=l для почти всех а? Є 17.

Обозначим Pkm = F(f Мт). Имеем Пусть 7fc = /ГІЬ М \(k ) —Pkm- Для любых констант С, /3 0 полу чаем ВД = Е (/{ мт}Н - Р т) (7{? Мт}М - Йт) = 0 С -j . Таким образом, согласно усиленному закону больших чисел для логарифмически нормированных сумм ([41]), имеем для почти всех о/ 1. Сходимость — v, п —» оо, влечет для почти всех ш Є fi . Выберем ГУ Є fi так, чтобы выполнялись следующие условия: 1) Р(П ) = 1,

Похожие диссертации на Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм

Предельные теоремы для сумм слабо зависимых случайных величин со значениями в пространстве lpШарипов, Олимжон Шукурович

Предельные теоремы для сумм независимых случайных элементов со случайными параметрамиЧупрунов, Алексей Николаевич

Исследования по предельным теоремам для сумм слабо зависимых банаховозначных случайных величинЗупаров, Талат Маруфович

Некоторые применения операторных методов в предельных теоремах для сумм случайных величинЧан Лок Хунг

Уточнение структуры моментных оценок скорости сходимости в предельных теоремах для сумм независимых случайных величинНефедова, Юлия Сергеевна

Преобразования случайных последовательностей и предельные теоремы для сумм r-независимых случайных величинГладков, Борис Васильевич

Оценки скорости сходимости в функциональных предельных теоремах для сумм случайного числа слагаемых и их примененя в задачах массового обслуживания Турсунов Расуль Таирович

Уточнение структуры оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величинШевцова Ирина Геннадьевна

Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для случайных суммСеливанова, Дарья Олеговна

Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин и случайных процессовФролов Андрей Николаевич