Содержание к диссертации
Стр.
Основные обозначения » . . . . . . . . . . 4
Введение....... . . . . 7
ГЛАВА I. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ В ПРИНЦИПЕ ИНВА
РИАНТНОСТИ ДЛЯ СУШ СЛУЧАЙНОГО ЧИСЛА. .
СЛАГАЕМЫХ В СХИМЕ СЕРИЙ 28
I.I. Равномерные оценки для распределений .
в разнораслределенном случае 28
1.2. Оценки для Д - расстояний в разно-.
распределенном случае ........ 40
1.3. Одинаково распределенный случай ... 46
1.4. Оценки для процесса восстановления. 50
ГЛАВА II. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ В ФУНКЦИОНАЛЬ
НОЙ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕЩЕШОЙ ТЕОРЕМЕ .
(ФЦПТ) ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ,ЗАДА
ВАЕМЫХ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ.МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ . . . . 60
2.1..Скорость сходимости в ФЦПТ для различных характеристик системы массового. обслуживания (г1\(гіі ....... 60
2.2. Система массового обслуживания M|(rli
с групповыми поступлениями. ФЦПТ и
оценки скорости сходимости для аддитивных характеристик ......... 69
2.3. Смешанные моменты периода занятости, интеграла от длины очереди и числа
обслуженных требований за один период
_ з -
Стр.
занятости системы массового обслуживания 1А\(г| 1 с групповыми поступлениями и их асимптотическое. поведение. в. критическом'. режиме . ............... 77
2.4. ФЦПТ для числа обслуженных и потерянных
требований системы массового обслуживания, в схеме серий и оценки скорости сходимости ............. 97
ГЛАВА III. ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ФУБК-
ЩОНШНШ ЗАКОНЕ БОЛШИХ ЧИСЕЛ (ФЗШ) .
ДНЯ РЕГЕНЕРИРУЩИХ ПРОЦЕССОВ И ИХ ПРИЛО
ЖЕНИЯ К РАЗЛИЧНШ.СИСТЖАМ МАССОВОГО . . .
. ОБСЛУЖИВАНИЯ 112
3.1. Оценки скорости сходимости в ФЗБЧ для
последовательности регенерирующих.про- . цессов ................. 112
3.2. Оценки скорости сходимости в ФЗШ для . различных характеристик системы массового обслуживания &Ц&|1 ..... 120
3.3. Оценки скорости сходимости в ФЗШ для
некоторых характеристик системы массо- .
вого обслуживания М\ G-\ 1 с группо-
. . выми поступлениями 129
3.4. ФЗШ для числа обслуженных и потерянных требований системы массового обслуживания M\M\l\N в схеме серий и оценки скорости сходимости ......... 134
ЛИТЕРАТУРА 139
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
I» ^MPjT] - пространство функций на\0,Т] , принимаю-, щих значения в ^ , не имеющих разрывов второго рода и непрерывных справа, СЛ0,Т] - пространство непрерывных функций на ІРЛ] ^\P)TJ- одно из пространств ^[оД] илиС\ОД"\.
2. ЧліСЧг^ , *Ь[ОД] - стандартный винеровский процесс,
т.е. однородный гауссовский случайный процесс с независимыми
приращениями такой, что ШО^О, MW№=0 ,
3. Ф(Ц Ifcj- класс функционалов $(,} » определенных на
St^)ll » Удовлетворяющих следующим условиям:
и ""
для некоторых ІЛО, Wl,*, и любых ЦС^,ЇС^^^\р,І^Х)^(:^1і
4. Пусть (Х^д * '^>/l\ последовательность серий независимых случайных величин определенных на вероятностном пространстве (11,7, ?) с МХ^О ,ЪХ^= ^ , V І . Здесь и всюду далее для упрощения записей параметр серий 1ft будем опускать (Ху^^Х; ") Обозначим
*'ъ UK
ілЬ*.4*
Заметим, что ^ (Л^ - это ломаная с узлами в точках (Ь^ і <0^) , следовательно траектории $> Q>t) принадлежат пространству СІР,оо\ , а 9>^^ - это процесс ступенчатых сумм и его траектории принадлежат пространству ^[.0,00) .
5. Для случайного процесса >QV) , "^у.О,Т1 траекто
рии которого принадлежат пространству ЬЇР ДІ * через
R^P*(Л обозначим меру, порожденную случайным процессом
g^V) на борелевской 6? - алгебре J^^ подмножеств пространства 5А.ОД].
6. Для случайных процессов %С^и ^Ct^ -»*^^ІРЛІ t тра
ектории которых принадлежат пространству С\Р> Д\ » обозна
чим
Для любого feG ЗЬ(* обозначим через Ь ~^Ч^С\.Л1 * 3.^ 0(. Ч^< І -~ - окрестность множества Ъ Определим расстояние Леви-Прохорова [2Ь\ между мерами "^
7. Для случайных процессов ^(^и ^ (V) )"Ь^[о)Т} траектории которых принадлежат пространству %[0)Т] введем |\ - расстояние Д( у U \ как точную нижнюю грань тех
Е,>0 при которых возможно такое построение процессов ^Ot) и ^(Л) на одном вероятностном пространстве, что
Pi^^^4) >^\ ^ , Как известно, Функция к(%>4)
определяет некоторую метрику в пространстве распределений,, порожденных случайными процессами из ^[.0 Д^ (совпадающую в случае процессов с почти наверное (п.н.) непрерывными . траекториями с расстоянием Леви-Прохорова /\ С* ) Л )- С.64І.
8, Символ %> — 7. означает, что распределения случайных величин (векторов ) , и ^ совпадают. Символ
о w — \\"w ) "t \Р Д J означает, что все конечномерные распределения случайных процессов %Vb} и П Ofe} совпадают. Символ @ означает, что суммируются независимые случайные величины и вектора.
9' Ч Ли. , "-К , &*. и 1К -пооледова-тельности положительных неслучайных чисел такие, что К^-уоо, Т^-*<ьо , И^-^оо , 5^-Ю и І^О при Кг>ъь , причем Ъу> 1 и SL^l
Введение к работе
Предельные теоремы типа принципа инвариантности или так называемые функциональные центральные предельные теоремы являются одной из наиболее содержательных частей современной теории вероятностей. Одной из первых в этом направлении была работа Донскера [50"] , в которой получен результат эквивалентный тому, что если \\\ '\*>/Х\ последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с (А X ^= 0 , і и пГа S(ft^==> ШЦЛ п»и и--*00
Этот результат свое дальнейшее обобщение на разнораспределенный случай в схеме серий получил в работах Ю.В.Прохорова [25}, .*) Символ ==> здесь и всюду далее означает выполнение следующих двух условий: т.е. конечномерные распределения случайных процессов ХЛвЛ слабо сходятся к конечномерным распределениям винеровского процесса -8-. А.В .Скорохода ^36"J и А,А.Боровкова ^_9~\
При применении на практике предельных теорем важно знать погрешность, которая возникает при замене точных распреде лений их асимптотическими аналогами. Для этого надо уметь оценивать скорость сходимости к предельным распределениям. Оценка скорости сходимости обычно весьма сложная задача, требующая привлечения тонких аналитических методов и, как правило, наложения более жестких ограничений на свойства исходных распределений. .
Первая и достаточно точная оценка в принципе инвариантности была получена Ю.В.Прохоровым 25*1 . VI Kyi. KYl
Эта оценка улучшалась в случае одинаково распределенных величин Розенкранцем [&ї\ и Хейде [54^ . В 1973 г. А,А.Боровков [ill доказал, что при 2. < $> Ъ
СА.Утев [4&\ показал справедливость этого неравенства при 2.4><5 Отметим, что во всех перечисленных выше результатах использовался либо метод одного вероятностного пространства Прохорова [251 , либо метод Скорохода [37\ . В 1975 г, Я.Комлошем, П,Майором и Г.Тушнадь ^59*1 предложен более тонкий метод одного вероятностного пространства, который позволяет оценку (І) в случае последовательности независимых одинаково распределенных величин улучшить: для некоторого эС > О .
Недавно А.И.Саханенко Ї.29,30І обобщая метод Комлоша--Майора-Тушнадь на случай разнораспределенных величин X; 1>1 оценку (I) установил для любого S> и показал, что если для некоторого VI > О шм^р^адбъ^ vi, (2)
Предположим, что неотрицательная случайная величина v^ и положительный случайный процесс заданы на том же вероятностном пространстве (^iL-ji^V) , где определен случайный процесс $> (^z) , Обозначим
Случайные процессы вида (3) имеют важную роль в ряде при- . кладных задач теории массового обслуживания, теории надежности и математической статистики \_13,19,33^ В частности,если МуЛ*^ - число восстановлений, то ряд характеристик систем массового обслуживания (с.м.о.) представляются в виде (3). Поэтому изучение процессов вида (3) имеет как теоретический, - ю -так и практический интерес.
Условия справедливости принципа инвариантности для процессов вида (3) получены А.А.Боровковым,[131 , Д.С.Сильвестровым L3I) и другими авторами [51,52,62"]
Настоящая диссертационная работы посвящена получению оценок скорости сходимости в принципе инвариантности и в функциональном законе больших чисел для процессов вида (3) и приложениям этих оценок к предельным теоремам для случайных процессов, задаваемых в некоторых см.о.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
Первая глава посвящена изучению оценок скорости сходимости в принципе инвариантности для сумм случайного числа слагаемых в схеме серий, т.е. для процессов вида (3). Оценки скорости сходимости в принципе инвариантности для процессов вида (3) получены в работах К.А.Боровкова [16"] и ДЛСеннеди [58} для случая, когда процесс NJ&Y - является числом восстановлений и ^у^ неслучайная последовательность, стремящаяся к бесконечности (в этом случае процесс (3) называется процессом восстановления), а в работе М.Срихари и П.Рао ЦбЗ"\ для случая, когда ^уЛ^^п^ у hlft - положительная целочисленная случайная величина.
Первая глава состоит из четырех параграфов. В I.I приведены оценки скорости сходимости к нулю величины ционалов "j^^-^v^ 1-> 2.'*
Для целочисленной, положительной и независящей от последовательности ^Х* "^1\ случайной величины Ху^ , обозначим - II -
Обозначим через Сзс') Cc>О - положительную ограниченную измеримую Функцию, а через С; 1^-1- конечные абсолютные положительные постоянные.
Теорема I.I.I. Для любого функционала -9СЛф(1, L) и S > 2L справедливо неравенство Іал^к* №-*-,& при ь>4
В теореме I.I.2 приведены оценки скорости сходимости к нулю величины Д« при выполнении условия (2).
Замечание I.I.3. Утверждения теорем 171.1 и I.I.2 с точностью до положительных постоянных остаются справедливыми и .для величины
Результаты 1.1 получены впервые.
В 1.2 приведены оценки для \\ - расстояния (расстоя- ния Леви-Прохорова /\ ) между распределениями процессов ^w> ( ^\см ) и \mcv>.
Теорема 1.2.1. Если последовательность ,„ удовлетворяет і \ то при S>>3,
Если выполнены условия (2) и ?_^ftlOiX<^L y.^V^ 4" ( ) где ^ ^ ь(а- м^,Ъ4^+адй >^
Замечание 1.2.1. Если выполнено условие (4) и S> 2L , то М* ,Ъ<*«*г '^ - ІЗ -
Доказательство теоремы 1.2Д основывается на теоремах 1.2.2 и 1.2.3, в которых для процессов ^>^(ЛЛ # А-^1 » ^ IQ)1-1 получены аналоги известных результатов Комлоша, Майора, Тушнадь ^59} и А.И.Саханенко ^29,30"\ . Результаты 1.2 получены впервые.
Б 1.3 результаты предыдущих параграфов переформулированы для одинаково распределенных случайных величин %\^ (возможно, что —>оо ).
Б 1.4 получены оценки скорости сходимости в принципе инвариантности для процесса восстановления.
Пусть 1(Х; ДіЛ -) ^ М последовательность независимых одинаково распределенных двумерных случайных векторов такая, что Х^>0 , і^>1 п.н. ууі = Н~Ц СС>о) \\^^0,%Х^$ , ОСІ <0о (возможно, что YVL->0 и^—v^0 ). Положим
Обозначим через C^Cbjfc^l* t^ Wl - постоянные зависящие от чисел S j^-j t^ иЛ2,
Теорема I.4.I. Для любого функционала ^СЛбфСІі 1Л и >>Я справедливы неравенства:
1) при 1^^^ X
2) если Ми л ^СНу! о для некоторого С>0 ИІ^ J , то J^
В теореме 1.4.2 приведены оценки скорости сходимости к нулю величины Д при выполнении условия (2) и H^OC^WX^^CK? для некоторого Ц>0 (5)
В теоремах 1.4.3 и 1.4.4 для процессов восстановления получены аналоги известных результатов Комлоша, Майора, Туш-надь [Ь9\ и А.И.Саханенко [29,30] .
Теорема 1.4.5. При $>>2. и 1^^- спра ведливо неравенство . и если М- .^rCMu Для некоторого С>0 ,Ь>,-э , то
I \ "—о Т~
Если выполнены условия (2), (5) и >WXJX\4^h_Ml"c~ ? то при bu ^ .-v^'TnTC'I справедливо неравенство
Замечание 1,4.1. Теорема 1.4.5 при Я<^>^2> совпадает с соответствующим результатом работы [16"1 и распространяет его на случай >>3 -л
Во второй главе, используя результаты первой главы (в частности 1.4), получены оценки скорости сходимости в . предельных теоремах типа принципа инвариантности для случайг-ных процессов, задаваемых в различных с.м.о. Предельные теоремы типа принципа инвариантности для различных характеристик с.м.о. подробно изучены в работах Ю.В.Прохорова [26]., А.А.Боровкова [12, 13,15*1 , Д.С.Сильвестрова [32,34"} , Д.Иг-лехарта [55-57) , У.Уитта [.65,66] и других [53,60] .
Вопросу оценки скорости сходимости в предельных теоремах для характеристик с.м.о. посвящены работы [1,3,15,58"] и другие. А.А.Боровков [15] получил оценки скорости сходимости в принципе инвариантности для времени ожидания в многоканальных с.м.о. Д.Кеннеди [58] , используя метод одного вероятностного пространства Скорохода [37] , получил оценки скорости сходимости в предельных теоремах типа принципа инвариантности для характеристик одноканальной и многоканальной с.м.о. В работах [15, 58] рассмотрены с.м.о. как в условиях малой, так и в условиях большой загрузки. Т.А.Азларовым tilвпервые был разработан метод получения оценок скорости сходимости к показательному распределению распределений ряда нормированных характеристик с.м.о. в условиях большой загрузки, представимых в виде суммы случайного числа независимых случайных величин, когда число слагаемых имеет геометрическое распределение.
Дальнейшее развитие этот метод и его приложения к различным см.о. получили в работах Т.А.Азларова и его учеников (см., например, Ш-ІЗ] ).
Вторая глава состоит из четырех параграфов.
В 2.1 рассматривается с.м.о. G-Ij&ll , все характеристики которой зависят от параметра серии ^1=0,1,2.^... # Нулевое требование поступает в момент времени \^ =0 , найдя обслуживающий прибор свободным, обслуживается в течение времени 1/и п .К - тое требование поступает в момент времени "^vl к и обслуживается в течение времени Vy^ Пусть UL^ s ~^Yi ^"""^уцк-і -> К^-1 . Предположим, что случайные вектора (i^. w ^ > U-ц. ус^ ) ^^і. независимы и одинаково распределены, а также Ми.^д=1|\у. ІДд)^ ^-^-/^^ ^ ^^W.^00 ? %Y>- W^W- - загрузка системы. Далее введем условие: '< ^1): Svi^l для ВС6Х л.*1,2.,... и UwiXvt*X0>o, W->oo
При выполнении условия ( K^) загрузка системы 8>уи"^?>о^1- При ^-^0 # Обозначим через Ч/уД*^ -число требований в момент времени - , включая обслуживаемое; МуЛ*^ - виртуальное время ожидания, т.е. длина промежутка времени, начинающегося с момента *t и оканчивающегося моментом, когда система освободится от, вызовов, поступивших в систему до момента \ ; *0^С-^ - число требований обслуженных за время *fc ; Ьу,(^ - суммарное время занятости в интервале времени ІР ^1 ; iJM - суммарное время простоя в интервале времени 1.0,4:1 (^>^W+X W-"fc\ и ІлЗ"^ ^- время ожидания К -го требования. Введем случайные процессы: ,
В теореме 2,1,1 как в условиях большой ^0~1_ , так и малой %0^1 загрузок получены оценки скорости сходимости к нулю величины \ SJP^C ^J^ * *\ - ~РН(^^Х}\ДЛЯ Функционалов -^ОЄфСІї,^ , здесь величины Суу^Л и ^,^ > 1^.1^5 определены в 2,1.
Предположим, что см.о. за каждое обслуженное требование получает прибыль Чуч^О и за единицу времени простоя каждого требования в очереди выплачивает штраф "Уіи ^0 Тогда суммарной прибылью полученной системой за время *t яв ляется Uy^^^ft^^^G^CV) # Обозначим где T^Wl^Kyy^ -j T^ ^ — Уч- тнй цикл обслуживания, ?Vl К ~ момент окончания К.-го цикла обслуживания. Через Ь* (S^,ti) ^Л > Wj_ " ос5означим конечные положительные постоянные, зависящие от чисел S > Ь , Ь\_ и v^
Теорема 2Д.З. Пусть выполнено условие (К ^) , ? ^.00 ^ YL^l . Тогда для любого функционала -^С%>)ф(^ t^) и %>Z справедливы неравенства: I) при 1 ^ ЬС ^ г\гт
2) если YYL"" МТІГ ^-С.(5іХи ,\ для некоторого С>Ои 1>.т > то ^ 1 h Д(^л^ г
Б 2.2 рассмотрена см.о. М\&\1 с групповым поступлением, все характеристики которой зависят от параметра серии VL-0,1^2)... . На вход с.м.о. требования поступают группами случайного объема "^уцк , К^1 и {ч^уцк^^"^*,^ > W-M.^ К. >± Через \Хух к обозначим промежуток времени между - 19 -моментами поступления-(К-1^-й и Ус -ой группы требований в систему. Случайные величины Ц^ ^ ^ К>/1 , являются независимыми и Р^И^ ^х\ - l-^ocp^X^oc^x^OjXy^OjK^i. Через 1/^ ^ обозначим время обслуживания К-го поступившего в систему требования. Случайные величины l5^ ^ ^ fcvl являются независимыми и ?S^ к<^і ^4^(^) > 3^ > К^-1.
Последовательности \^yi к. і^М »\M*i К ">^^з и vK^k і К^А.} независимы, требования обслуживаются в порядке поступления (внутри поступивших групп фиксируется некоторый порядок) и место для ожидания обслуживания неограничено.
Щоть й^ЬМТ^и , ^=^Д ,. 1>Л и - загрузка системы. Предположим выполненным условие ( кг ): I) uyyOWoo ) V^ ДДЯ всех 1*0,1,..., причем 0^< 1 для всех YI- 1)2 ^ .
2) ^СЛ=>^С^ , \vC*XD ^H^^do.VK при Y\.-voo так,что &yJi}-*ao(l) и О^Ш-^&оСІ^ приК->оо. При выполнении условия ( К л ) загрузка системы $>у^ ?>^ ^ 1 при VI-»сю . В теоремах 2.2.1 и 2.2.2 доказан ФЦПТ для соответствующим образом центрированных и нормированных процессов ^^C-t^ и Г\уЛ^ в условиях большой загрузки (5,^1^-А оценки скорости сходимости в этих предельных теоремах приведены, соответственно, в теоремах 2.2.3 и 2.2.4.
Отметим, что в отличие от 2.1 здесь явно вычислены центрирующие и нормирующие постоянные и моментные условия ставятся не на приращения процессов G^"^ и %и^й » а на,времена обслуживания требований и на объем поступающих в см.о. - 20 -групп требований. Обозначим у^ , величи- ны Су^ и ^ определены в 2.2.
Теорема 2.2.3. Пусть выполнено условие ( Д ), причем %0~1 Если выполнены условия ( Ац ): для некоторого о( ^ Д^^"^^"^^-0^ / ^Ct-9>wt^^%> при п-^^.
Тогда для любого функционала
Б 2.3 для см.о. !А\&\1 с групповыми поступлениями, описанной в 2.2, приведены структура моментов к^№=ЩІЬ-1і)7Ь,\*>Ь (здесь *„_ -длитель- ность первого периода занятости, (Яи- число обслуженных тре-боваюгё за время fcK н С^ «. ^ ад^^ CfyttV длина очереди в момент времени -t ) и их асимптотическое поведение в критическом режиме.
Теорема 2.3.1. I) Если выполнены пункт I) условия ( кг ) .ск
2) Если выполнены условия ( А ^причем 0>о=1 и ( lAgc^^u.)» то
Замечание 2,3,1, В работе \V?1 для с.м.о. tA\(r\i исследуя уравнение для преобразования Лапласа-Стилтьеса распределения периода занятости, показано
К^»>0((1-^-Л да*-00- ...
Результаты 2,3 носят вспомогательный характер и использованы в 2,2 и 3,3.
В 2,4 рассматривается см.о, , состоящая . из одного обслуживающего прибора, в который поступает пуассо-новский поток требований.с.параметром Ду^ (предполагается, что все характеристики см,о. зависят от параметра серий 1*0,1 ,>*. ), Времена обслуживания требований - независимые случайные величины с экспоненциальной функцией распределения с параметром к. ^ Предполагается, что величина очереди в системе ограничена числом }1* * т*е. требований, за-, ставшее в момент своего поступления в системе НуС^- ожидающих, получает отказ и считается потерянным. Требования обслуживаются в порядке поступления в очередь. Обозначим через Wu^ и ^уЛ"Ь) соответственно, число обслуженных и потерянных требований за период времени ^0^^.
В этом параграфе доказаны ФВДТ для соответствующим образом нормированных случайных процессов %JH.^ и fe^C"^ в случае, когда &тА/и=^^Оо и ttWL 0, = & <оо , а также, используя результаты 1.4', получены равномерные оценки скорости сходимости в этих теоремах.
