Уточнение структуры оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин Шевцова Ирина Геннадьевна

Содержание к диссертации

Введение

1. Оценки скорости сходимости в ЦПТ для сумм независимых случайных величин 26

1.1. Вспомогательные результаты. Оценки близости характеристической функции суммы независимых случайных величин и нормальной характеристической функции, а также их производных 27

1.2. Равномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ 36

1.2.1. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена для сумм независимых слагаемых с конечными третьими моментами 36

1.2.2. Оценки скорости сходимости для сумм независимых слагаемых, не имеющих третьего момента 40

1.2.3. Оценки скорости сходимости для сумм независимых слагаемых с ограниченной плотностью 49

1.2.4. О причинах разрыва асимптотически наилучшей константы, рассматриваемой как функции от максимального порядка момента случайного слагаемого 59

1.3. Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ 63

2. Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм независимых случайных величин 75

2.1. Вспомогательные результаты. Связь распределения пуассоновских случайных сумм с суммами неслучайного числа случайных величин 76

2.2. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в аналоге неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм независимых слагаемых с конечными третьими моментами 79

2.3. Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских сумм независимых слагаемых, не имеющих третьего момента 80

2.4. Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских сумм независимых слагаемых с интегрируемой характеристической функцией 82

2.5. О структуре полученных оценок 92

3. Оценки скорости сходимости в ЦПТ для распределений сумм независимых случайных величин с интегрируемой характеристической функцией 96

Приложение. Графики 101

Литература 106

• Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена для сумм независимых слагаемых с конечными третьими моментами
• Оценки скорости сходимости для сумм независимых слагаемых с ограниченной плотностью
• Вспомогательные результаты. Связь распределения пуассоновских случайных сумм с суммами неслучайного числа случайных величин
• Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских сумм независимых слагаемых с интегрируемой характеристической функцией

Введение к работе

Задача изучения точности нормальной аппроксимации, возможность которой предоставляется центральной предельной теоремой (ЦПТ) теории вероятностей, является одной из ключевых проблем теории вероятностей и имеет долгую историю, богатую красивыми и значительными результатами. В разное время в этой области работали А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, П. Леви, Г. Крамер, В. В. Гнеденко, Ю. В. Прохоров, К.-Г. Эссеен, И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник, В. М. Золотарев, В. В. Сазонов, В. В. Петров, Л. В. Осипов, К. Хейди и другие выдающиеся математики. Оценкам точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин уделено большое внимание в основополагающей книге Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова [5], в ставших классическими монографиях И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [10], В. В. Петрова [17,18] и В. М. Золотарева [8]. Более того, этой проблематике посвящены специальные глубокие монографии Р. Н. Бхаттачария и Р. Ранга Рао [4] и В. В. Сенатова [48]. Несмотря на большую популярность и хорошую изученность этой классической проблемы, как оказалось, в ней все-таки остались некоторые пробелы; заполнению нескольких таких пробелов и посвящена данная работа.

Развитие задачи шло, естественно, от качественного к количественному уровню: если целью работ начала XX века было установление правильного порядка скорости сходимости и изучение влияния различных свойств распределения случайных слагаемых на порядок, то последние работы носили, скорее, количественный характер и имели целью вычисление и уточнение неизвестных констант, входящих в оценки остаточного члена. Такое направление развития упомянутой задачи обусловлено желанием исследователей не только удовлетворить свой теоретический интерес, но и иметь возможность применения нормальной аппроксимации на практике. В самом деле, реальные выборки всегда конечны, поэтому при подмене неизвестного распределения суммы независимых случайных величин нормальным распределением исследователь всегда до- пускает некоторую ошибку. Величина этой ошибки может быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения количества наблюдений. Однако, получение дополнительных наблюдений может требовать некоторых затрат, а порой это вообще невозможно. В таком случае решающую роль играют оценки точности нормальной аппроксимации, которые в соответствии с классификацией, предложенной В. М. Золотаревым (см. [8, с. 225]), относятся к третьему уровню. В таких оценках мажоранта имеет явное выражение вплоть до числовых значений всех входящих в нее постоянных, что дает принципиальную возможность находить ее конкретные числовые значения. При этом мажоранта, во-первых, должна быть минимально возможной, то есть иметь оптимальную структуру со значениями констант, обеспечивающими минимально возможные значения мажоранты, и, во-вторых, должна быть эффективно вычислимой.

Из практических задач, для успешного решения которых необходимо иметь разумные оценки точности нормальной аппроксимации, в качестве примера приведем лишь три.

Первая задача известна из теории надежности. Рассматривается процесс функционирования системы, которая в каждый момент времени может находиться всего в двух состояниях: работоспособном и неработоспособном, причем эти состояния чередуются между собой. Неработоспособное состояние может наступить как в результате поломки оборудования, так и в результате проведения профилактических работ, связанных с заменой устаревшего оборудования. Процесс функционирования такой системы можно представить в виде последовательности пар неотрицательных случайных величин (Xi, Qi), і = 1,2,..., где независимые одинаково распределенные случайные величины Qi имеют смысл длительностей г-го простоя, г = 1,2,..., а независимые одинаково распределенные случайные величины Х\ суть длительности бесперебойной работы системы после (г - 1)-го простоя. В качестве комплексного показателя надежности работы таких систем используется стационарный коэффициент готовности К, который определяется как вероятность того, что система будет работоспособна в произвольно выбранный момент времени в стационарном режиме функционирования (см. ГОСТ [6]). Если имеется информация об п периодах работы и простоя, то есть имеется выборка (Xi, Qi), і = 1, п, конечного объема п, то в качестве статистиче- ской оценки К используется величина

К = ЕІ . E^i + EQi

Приближая распределения входящих в это выражение сумм Y^=i %i и Y^i=i Qi нормальным, мы можем, например, построить доверительный интервал с заданным уровнем доверия j для истинного значения коэффициента готовности К. Однако, получившийся интервал будет всего лишь приближенным (то есть вероятность попадания истинного значения К в такой интервал может на самом деле оказаться меньше 7), для построения же гарантированного доверительного интервала (то есть такого интервала, вероятность попадания в который истинного значения К гарантированно не меньше 7) необходимо учитывать точность нормального приближения для распределений сумм Хл=і Хі и Ya=i Qi-

Второй пример известен из математической теории страхования. При вычислении распределения резерва страховой компании в каждый момент времени t необходимо знать поведение суммарных выплат: число слагаемых в этой сумме есть количество страховых случаев, наступивших к моменту t, а сами слагаемые равны величинам выплат по соответствующим страховым случаям (более подробно см., например, монографии В. Б. Бенинга и В. Ю. Королева [1], В. Е. Бенинга, В. Ю. Королева и С. Я. Шоргина [2]).

Третья задача связана с оптимальным управлением запасами. Требуется определить такое количество и товара на складе, при котором средние суммарные издержки, связанные как с избытком товара (издержки хранения), так и с его нехваткой при очередном запросе, минимальны. Пусть N_t — количество заявок, поступивших к моменту времени t, a Xj — размер j-й. заявки, j = 1,..., Nt. Тогда решение этой задачи удовлетворяет уравнению і У P(S_t4 — размер суммарных запросов (заявок) к моменту t, 5 Є (0,1) — заданное число, определяемое значениями издержек на единицу товара за единицу времени (см., например, работу Т. Р. Кашаева и В. Ю. Королева [11]). Как правило, подынтегральная функция распределения неизвестна, од- нако, если известны первые моменты требований Xj, она удовлетворяет неравенству где Ф(х) — функция стандартного нормального распределения, A_t — оценка равномерного расстояния между предельной (нормальной) и допредельной функциями распределения. Идея решения указанной выше задачи заключается в замене неизвестной функции распределения P(St < и) ее верхней и нижней оценками и решении вместо одного исходного двух уравнений относительно и. Тогда искомое оптимальное значение «о будет лежать между решениями указанных уравнений, причем чем точнее оценка нормального приближения, то есть чем меньше Д<, тем точнее интервальная оценка для щ.

Отметим, что если в первом примере число слагаемых (количество ремонтов) можно задать заранее, то в следующих двух этого сделать нельзя. Вторая и третья задачи приводят к специальной схеме суммирования, в которой число слагаемых нельзя считать детерминированным. Естественный выход из такой ситуации — предположить, что индекс суммирования является целочисленной случайной величиной. В данной работе мы рассматриваем обе модели (как с детерминированным числом слагаемых, так и со случайным), причем, не ставя перед собой цель описать наиболее общий вариант второй модели, всесторонне описанной, например, в монографиях В. М. Круглова и В. Ю. Королева [13], Б. В. Гнеденко и В. Ю. Королева [39], В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева [1], мы предполагаем, что случайный индекс суммирования N\ имеет распределение Пуассона с параметром Л > 0: P(N_x = k) = ^e-\ Л = 0,1

В сделанных предположениях процесс наступления страховых случаев (или поступления заявок на склад) представляет собой поток событий, абсолютно хаотично распределенных во времени (см., например, книгу В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева [30]).

Относительно случайных слагаемых Х\,Хї, ... мы будем предполагать, что они независимы, одинаково распределены с общей функцией распределения F(x) — Р(Х\ < х) и удовлетворяют условию

0 < DXi < со. (1)

Обозначим EXi = m, DXi = a².

Кроме того, мы предполагаем, что при каждом Л > 0 случайные величины N\,Xi,X2,... стохастически независимы. Случайная величина а = Х\ + ... + Xn_x (для определенности мы полагаем J2j=i(') = 0) называется пуассонов-ской случайной суммой или просто пуассоновской суммой. Обозначим ~ S\ — ES\ S\- \ТП _{2 2} 2,2 я - у л- my Я - ^Sn ~ ^Е<5>п - ^Sn-nm F_x(x) = Р(5_А < х), F_n(x) = P{S_n <х) = F*ⁿ{x os/її + пт), где F*"(a;) — п-кратная свертка функции распределения F(x) с собой. Функцию распределения и плотность стандартного нормального закона обозначим Ф(ж) и (р(х) соответственно: е-²/². _{Ф(Х) = 4= Г е"^, ^) = 1} V 27Г ,/-00 v 2тг

Центральная предельная теорема утверждает, что последовательность функций распределения стандартизованных сумм 5_П случайных величин, удовлетворяющих условию (1), равномерно сходится к стандартной нормальной функции распределения с ростом числа слагаемых: p(F_n, Ф) = sup \F_n{x) - Ф(х)\ — 0, п -» со.

Однако, для конструирования стремящихся к нулю с ростом п оценок равномерного расстояния p(F_n, Ф) предположения (1) оказывается недостаточно, поскольку, согласно результату В. К. Мацкявичюса [15], если слагаемые удовлетворяют только условию (1), то сходимость в ЦПТ может быть как угодно медленной. В связи с этим мы предполагаем, что случайная величина Х\ имеет абсолютный момент порядка 2 + 8 с некоторым 0 < 8 ^ 1: ^ = ВД|²⁺*<сх). (2)

Определим (центральную) дробь Ляпунова порядка 2 + 8 как _м_Е\Х₁-т\ _а2+5_п5/2 8

При условии (2) известна оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме вида p(F_n,)^C₅L²_n⁺⁵, (3) где Сs > 0 зависит только от 5 (см., например, известную книгу В. В. Петрова [17, гл. V, теорема 6]).

В то же время, при условии (1) имеет место слабая сходимость стандартизованной пуассоновской суммы S\ к нормальному закону (см., например, монографию Б. В. Гнеденко и В. Ю. Королева [39]), то есть p(F_A^)5sup|F_A(aO-0, Л -> со, причем если слагаемые имеют конечные моменты порядка 2 + 5 с некоторым 0 < 5 ^ 1, то справедливо аналогичное (3) неравенство (см., например, книгу В. Е. Бенинга, В. Ю. Королева, С. Я. Шоргина [3]) p(F_x^)^M₅L²_x⁺⁵, (4) где М > О зависит только от 5, а L^2+<5 — нецентральная ляпуновская дробь порядка 2 + 5:

,-2+5 _ fa+S _ fc+5 ^А ~ к²⁺⁵\⁵/² (т² + а²)(²⁺⁶У²\⁵/²' Случай 5 = 1, то есть /?³ = Е|Х!|³ < оо, (5) изучен лучше всего. В этой ситуации (3) превращается в классическое неравенство Берри-Эссеена [34, 36]: p(F_n,)^C.Ll, (б) а (4) — в его аналог для пуассоновских случайных сумм: p(F_x,)n, Ф) и p(F\, Ф) максимальны и равны п^-1/² и А^-1/² соответственно. Интересно заметить также, что выполнение условия (2) для некоторого 6 > 1 не приводит к ускорению убывания p(F_n, Ф) и p(F\, Ф) без дополнительных ограничений. Неравенства (6) и (7) устанавливают правильную скорость сходимости (правильный порядок убывания p(F_n,<&) с ростом п и p(F\,<&) с ростом Л). Однако, чтобы пользоваться этими неравенствами на практике для оценивания точности нормальной аппроксимации, необходимо иметь конкретные численные оценки абсолютных констант С и М.

История отыскания значения абсолютной константы в классическом неравенстве Берри-Эссеена (6) чрезвычайно интересна и богата результатами. Так, Э. Берри [34] утверждал, что С < 1.88, однако, как обнаружил позднее П. Л. Сюй [41], его вычисления содержали ошибку. К.-Г. Эссеен показал [36], что С ^ 7.59. X. Бергстрем [33] получил оценку С ^ 4.8. К. Такано [51] снизил ее до С ^ 2.031. По-видимому, работа К. Такано (опубликованная на японском языке) выпала из поля зрения некоторых исследователей, так как в нескольких более поздних публикациях приводятся немного худшие оценки. В частности, в работе К.-Г. Эс-сеена [38] имеется упоминание о неопубликованных вычислениях, дающих С < 2.9. В работе Д. J1. Уоллеса [54] приведена оценка С ^ 2.05. В. Феллер [24], упоминая результат Д. Л. Уоллеса, также обходит вниманием работу К. Такано. Вычислению наименьшего возможного значения абсолютной постоянной С придавал большое значение А. Н. Колмогоров. В своей работе [12] он высказал предположение о том, что С = 1/у/Ш. К сожалению, это предположение оказалось не совсем точным: в 1956 г., решая несколько иную задачу, К.-Г. Эссеен [38] показал, что в (6) постоянная С не может быть меньше, чем ₌ V10 + 3 _{= 0 4097321 =} 1 ₊ 0.0Ю7899.... бл/^г л/2тг

Этот результат получен как следствие решения задачи о наименьшей постоянной С*, обеспечивающей асимптотическую оценку

К.-Г. Эссеен показал, что в рассматриваемой ситуации (7* = С\. Поскольку С ^ С*, была найдена нижняя оценка для С. Далее, как показал Б. А. Рогозин [21], ^ -^= < 0.3990. hm sup mi sup n-too ^afi у X _, , _{ч T} x-a F_n{x) - Ф

Тем самым предположение A. H. Колмогорова было в определенном смысле подтверждено.

Тем не менее, точное значение константы С в классическом неравенстве Берри-Эссеена до сих пор неизвестно. В 1966-67 гг. В. М. Золотарев показал, что С < 0.9051 [7] и С < 0.8197 [55]. В 1971-72 гг. П. Ван Беек [27, 28], модифицировав метод Золотарева, получил оценку С < 0.7975. Наконец, в 1982 г. с помощью еще более глубокой модификации того же метода И. С. Шиганов [26] получил оценку С ^ 0.7655.

Дальнейшие усилия по уточнению неравенства Берри-Эссеена были направлены на усовершенствование его структуры. В частности, В. М. Золотарев [7] добился уточнения константы при 1?_п за счет внесения в неравенство дополнительных членов и доказал справедливость оценки p{F_n, Ф) < 0.8197 h\ + 0.5894 L\ + 0(L^b_n), п -> со.

Г. Правитц [47] показал, что если L\ ^ 0.1, то p{F_n, Ф) ^ 0.51513 Ь^ъ_п.

Развивая идею о том, что оптимальная структура оценки точности нормальной аппроксимации должна включать член вида Ь^ъ_п с оптимальной константой С\ плюс "добавка", убывающая быстрее, чем п^_1у/2, B. Бенткус [31, 32] показал, что существует положительная постоянная C, обеспечивающая оценку ІВД - Ф(*)| < {^= + *>(*)) L\ + C{Lifl\ из которой вытекает, что ^{"№'ф)<й+ад)5/3 йг0-4654-)-}

Наконец, недавно Г. П. Чистяков [25] доказал, что в указанных предположениях существует абсолютная постоянная С такая, что p(F_n, Ф)<С₁ЬІ + С(ЬУ^\\пЬІ\У*.

Приведенные выше результаты являются универсальными, они справедливы при любых распределениях слагаемых с конечным третьим моментом. Однако, в этой универсальности заключен и их недостаток: во многих практических ситуациях приведенные выше оценки являются слишком грубыми. Без дополнительных предположений абсолютная константа при первом слагаемом, убывающем как 0(п^-1/²), в правой части неравенства Г. П. Чистякова не может быть уменьшена. Таким образом, по сути единственный путь существенного уточнения упомянутых результатов заключается в рассмотрении достаточно общих частных случаев.

В некоторых конкретных (также достаточно общих) ситуациях, когда имеется дополнительная информация о распределении слагаемых, оценки точности нормальной аппроксимации можно уточнить. В частности, В. Бенткус [31, 32] показал, что если слагаемые Xj имеют симметричное распределение, то существует абсолютная постоянная С такая, что

Обратим внимание на то, что в работах Чистякова и Бенткуса не приведены численные оценки констант С, С и С, что не позволяет применять на практике эти замечательные теоретические результаты.

История отыскания значения абсолютной константы в неравенстве (7) также весьма интересна. Само неравенство впервые было доказано, по-видимому, в диссертации Г. В. Ротарь [22] в 1972 г. и опубликовано в другой работе [23] того же автора с М = 2.23 (диссертация [22] не опубликована, в то время как в [23] не было приведено доказательство этого результата). Позднее, с использованием традиционной техники, основанной на неравенстве Эссеена, оценка (7) была доказана в работе Р. Чосси и Г. Раппла [35] с М = 2.21 (причем авторы этой работы в формулировке соответствующей теоремы объявили значение М = 3, что, конечно, верно, но фактически по ходу доказательства их результата они получили значение М = 2.21). В 1986 г. Р. Михель [44] с помощью метода, основанного на безграничной делимости пуассоновского распределения, показал, что константа М в (7) та же, что и в классическом неравенстве Берри-Эссеена: М < С ^ 0.7655. Не зная о результате Михеля, в 1997 г. В. Е. Бенинг, В. Ю. Королев и С. Я. Шоргин сначала с помощью метода, основанного на неравенстве Эссеена (того же, что в работе Чосси и Раппла [35]), получили оценку М — 1.99 [29], а затем, используя но сути тот же метод, что в работе [44], но независимо от нее повторили результат Михеля М = 0.7655 [42].

Накладывая дополнительные условия, оценки точности нормальной аппроксимации можно уточнить весьма существенно. В этом нас убеждает хорошо известный результат К.-Г. Эссеена [37], согласно которому, если распределение слагаемых Xj не является решетчатым, то при п —> со ад - Цх) = ^Ef.' ffil - «V* + oin-¹'²) (8)

6o"V27m равномерно по х Є К (см. также книгу В. Феллера [24]). Для функции распределения пуассоновской случайной суммы справедливо аналогичное разложение: если распределение слагаемых X,- не является решетчатым, то при Л — со

ВД - Ф(х) = ^=^=(1 - х²)е~^{х /2} + o(A-V2) (9) равномерно по х Є R (см., например, монографию В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева [1]). Легко видеть, что sup|l-x²|e~^xa/2 = 1.

Таким образом, учитывая, что |E(Xi — m)³| ^ E|Xi — т\³ и \EXf\ ^ E|Xi|³, из (8) и (9) мы получаем неравенства p(F„, )^-^= + . (Ю) р^А,Ф) ^-4= +Да, (¹¹)

6V27r справедливые для случая нерешетчатого распределения слагаемых, где Rn = 0(71^-1^²) при п —» оо и R\ = о(А^-1/²) при А — оо. Более того, из (10) и (11) вытекают соотношения lim sup L-³p{F_n, Ф) ^ —= < 0.0665, (12) п-юо 6\/27Г lim sup Lfp(F_x, Ф) < —ї= < 0.0665, (13) A-+00 6v27r откуда в силу (8) и (9) мы заключаем, что для случая нерешетчатых слагаемых число 1/(6\/27г) < 0.0665 является асимптотически правильной абсолютной постоянной в классическом неравенстве Берри-Эссеена и в его аналоге для пуассоиовских сумм. К сожалению, из-за отсутствия явных оценок величии R_7l и R\ неравенствами (10) и (11) нельзя пользоваться при практических вычислениях.

Для случая 0 < S < 1 В. Тысиак [52] (также см. работу Г. Падит-ца [46]) получил оценки константы Cj из неравенства (3) при некоторых значениях 5. Эти оценки приведены в таблице 1.

Используя ту же самую идею доказательства, что и в статьях Р. Ми-хеля [44], В. Ю. Королева и С. Я. Шоргина [42], недавно В. Ю. Королев [3] доказал, что величина М$ в (4) та же, что и в классическом

Таблица 1. Значения верхних оценок для констант С$ из неравенства (3) и М$ из неравенства (4) неравенстве Берри-Эссеена, то есть М ^ С$, следовательно, для вычисления М$ в точках 5 = 0.1, 0.2, ..., 1 можно пользоваться таблицей 1. Г. Падитц [45] показал, что при 5 = 0 имеет место неравенство _/9(^_гг,Ф)^3.51~Е('х_і²тіп(і ^,Xl'^ (Тл/п откуда вытекает равномерная по 5 Є [0,1) оценка С$ ^ 3.51, так как при любом 5 Є (0,1] выражение в правой части последнего неравенства не превосходит 3.51 L²*⁵.

По аналогии со случаем 5 = 1, рассмотрим для 0 < 5 < 1 вопрос о том, каково же минимальное из всех значений С|, 0 < 5 < 1, обеспечивающих оценку p(F_n^)^QL²_n⁺⁵ + o(L²_n⁺⁵). (14)

Легко видеть, что неравенство (3) влечет за собой (14): для этого достаточно положить в последнем С*₅ = Cs и о(Ц^⁵) = 0.

Аналогичный вопрос возникает и для пуассоновских случайных сумм. Поставленные задачи можно переформулировать следующим образом: при всех 0 < 5 < 1 найти значения асимптотически наилучших постоянных

С(5) = suvlimsup(L²_n⁺⁵)-^lp(F_n, Ф), п—>00

М{5) = suplimsup^rV^),

А—>оо где супремумы берутся по всем распределениям F, удовлетворяющим условиям (1) и (2).

Следует заметить, что случай 0 < 5 < 1 чрезвычайно интересен. С одной стороны, для этого случая в 1966 г. И. А. Ибрагимов [9] доказал, что для того чтобы p(F_n,) = 0(n-⁵'²), п^оо, необходимо и достаточно, чтобы E[Xll{\X_l\>z)] = 0(z-% z^oo, где 1( ) —- индикаторная функция (см. также монографию И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [10]), откуда вытекает, что если (52+5 = E|Xi|^{2+ < со, то р(Р_п,Ф) = 0{гС5/2) (это следует из того, что в таком случае}

2+<5| YA-5-i П v. -^ „м

Ь\Х(Ш\ > z)\ = ЕИ^І^ІХ^ЩХі > z)\ < z~%X_x\ для любого z > 0).

Однако условие Ибрагимова слабее, чем требование существования fo+s- В частности, если случайная величина Х\ имеет плотность то, очевидно, Е|Хі|^2+<5 не существует, но для любого Z > 0

2 + 5 [ _cb_ _ 2 + 5_ ₅** 2 / \х№~ 5 \x\>z

С другой стороны, как показал К. Хейди [40], при 0 < 5 < 1 условие E|Xi|^2+l5 < со равносильно тому, что ^п-^ш/²р(^,Ф)<оо.

Поэтому, если бы было справедливо соотношение p(F_n,$) ~ п~⁵/², п — со, то указанный ряд должен был бы расходиться. Таким образом, неравенство (3) в некотором смысле дает слишком грубую оценку точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин (порядок п~⁵1² является "не совсем правильным" в том смысле, что он может быть характерен лишь для некоторой разреженной подпоследовательности значений индекса п, в то время как для остальных значений п скорость сходимости выше).

Случай же 5 = 1 является в каком-то смысле критическим, потому что, как показывают соответствующие примеры, без дополнительных предположений порядок p(F_n, Ф) = 0{п~¹1²) нельзя улучшить, сколь велик бы ни был порядок 7^3 момента слагаемого.

В связи с приведенными фактами для величин (7(5) и М_{8) мы будем употреблять термины "асимптотически наилучшая!', а не "асимптотически правильная!' постоянная, поскольку последний подразумевает наличие оценки, устанавливающей правильный порядок скорости сходимости, задача об отыскании которого для 0 < 5 < 1 пока не получила исчерпывающего ответа. Этот факт оправдывает структуру оценок точности нормальной аппроксимации, которые будут построены в данной работе. Мы будем искать оценки для классической схемы суммирования в виде (14), пытаясь минимизировать значение входящей в него постоянной С$ и указать при этом второе слагаемое в явном виде. Оценки с аналогичной структурой будут построены и для схемы случайного суммирования с пуассоновским индексом.

Диссертация посвящена проблеме уточнения структуры оценок точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин за счет минимизации абсолютных констант при наиболее медленно убывающих членах полученных мажорант.

Кратко изложим содержание и основные результаты диссертации.

Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена для сумм независимых слагаемых с конечными третьими моментами

В разделе 2.2 показано, что аналог неравенства Берри-Эссеена (4) для пуассоновских случайных сумм {5=1) имеет место сМ 0.7056. Эта оценка получена на основе результата раздела 1.2.1. В разделе 2.3 уточняется неравенство (4) для случая, когда слагаемые не имеют третьих моментов. А именно, в предположениях (1) и (2) с 0 5 1 доказывается справедливость оценки (теорема 2.2)

Заметим, что величина С(5) существенно меньше, чем оценка Королева-Тысиака константы М из неравенства (4) (см. таблицу 1). При этом отношение Ms/С (5) изменяется от 4 (при малых 5) до примерно И (при 5, близких к единице). В разделе 2.4 при дополнительном предположении интегрируемости характеристической функции слагаемых (18) неравенство (7) удается уточнить еще существеннее. А именно, показано, что в условиях (1), (5) и (18) справедлива оценка где функция R\(e), зависящая также от я2, / и Q, при каждом є О убывает экспоненциально быстро с ростом Л (теорема 2.4). В (19) константа при L\ может быть выбрана как угодно близкой к неулучшае-мой (асимптотически правильной) константе в (И). Таким образом, при больших Л правая часть неравенства (19) на порядок меньше, чем правая часть неравенства (7) с наилучшей оценкой входящей в него константы С 0.7056. Заметим, что при упомянутом условии интегрируемости характеристической функции слагаемых величина R\ в (19) — аналог R\ в (11) — с ростом Л убывает не как Л-1, чего можно было бы ожидать, скажем, с учетом асимптотических разложений эджвортовского типа (см., например, книгу В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева [1]), но как o{\ v) при любом v 0, то есть быстрее любой отрицательной степени Л. Мы также показываем, что в (19) коэффициент при L\ можно выбрать в точности равным (б\/27г) , но только за счет ухудшения скорости убывания R\ с ростом Л: вместо экспоненциально быстрого убывания R\ в таком случае мы имеем R\ = 0((1/д)2 lnZ/д)1/2).

Как можно заметить, в оценках точности нормальной аппроксимации в классической и "пуассоновской" схеме суммирования существует некоторая аналогия между параметрами п и Л, а также между ляпунов-скими дробями L2 5 и L2X+5. Если, например, А = п, то ляпуновские дроби Ь2 5 и 1/д отличаются только ляпуновскими отношениями: центральным А20+5 = EXi - т\2+5/о2+5 и нецентральным А2+5 = (32+5/x2+S, однозначно определяемыми первыми моментами распределения слагаемых. Возникает интересная задача сравнения центрального и нецентрального ляпуновских отношений, впервые поставленная С. Я. Шоргиным в работе [49]. В разделе 2.5 проводится сравнение этих двух величин и высказываются аргументы в пользу применения нецентральных ляпуновских дробей в оценках точности нормальной аппроксимации для иуассонов-ских случайных сумм.

В классической схеме суммирования, если не оговорено иное, для упрощения обозначений мы будем предполагать, что

Действительно, если исходные слагаемые не стандартизованы, то линейным преобразованием Xj = (Xj — т)/а мы сведем задачу к удобному для нас виду. Однако, когда рассматриваются суммы случайного числа случайных слагаемых, предположение EXi = 0 приводит к потере общности, поскольку при случайном суммировании центрирование слагаемых константами оказывается эквивалентным центрированию самих сумм случайными величинами, что, вообще говоря, порождает некоторые проблемы при построении асимптотических аппроксимаций для распределений случайных сумм. Поэтому мы рассматриваем пуассоновские суммы нецентрированных слагаемых. Другими словами, при рассмотрении оценок скорости сходимости пуассоновских случайных сумм в данной диссертации соглашение (20) не действует.

В главе 3 результаты главы 2 используются для уточнения оценок скорости сходимости в ЦПТ для распределений сумм независимых случайных величин с интегрируемой характеристической функцией.

Выше для обозначения второстепенных слагаемых в оценках точности нормальной аппроксимации, мы использовали символы О-болыное, хотя все оценки в диссертации вычислены в явном виде. Это было сделано умышленно для экономии места и выделения сути. Оценки, полученные в данной работе, не содержат неизвестных абсолютных констант и имеют эффективно вычисляемое явное выражение в терминах элементарных функций, что позволяет применять их при практических вычислениях, связанных с использованием нормальной аппроксимации.

Целью данной диссертации является уточнение структуры оценок точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, уточнение асимптотически наилучших констант в этих оценках и построение новых практически применимых оценок точности нормальной аппроксимации при различных моментных условиях и условиях гладкости.

В работе используются методы математического и функционального анализа, а также методы теории вероятностей, в частности, метод характеристических функций и метод сопровождающих безгранично делимых распределений, предложенный Б. В. Гнеденко (см., например, [5]). При доказательстве основных теорем, в отличие от традиционного метода усечения, используется аналог формулы Тейлора для дробных производных, с помощью которого удается оценить остаточный член в разложении характеристической функции случайных слагаемых через степенную функцию с дробным показателем, зависящим только от максимального порядка момента случайных слагаемых.

Построены практически вычислимые оценки равномерного расстояния между функцией распределения нормированной суммы неслучайного числа независимых одинаково распределенных случайных величин и стандартной нормальной функцией распределения, имеющие вид суммы двух слагаемых, первое из которых представляет собой дробь Ляпунова соответствующего порядка с асимптотически наилучшей абсолютной постоянной, а второе имеет более высокий порядок убывания с ростом числа слагаемых. В частности: Для случая, когда существует третий момент случайных слагаемых, уточнена верхняя оценка абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена.

Оценки скорости сходимости для сумм независимых слагаемых с ограниченной плотностью

Теперь, объединяя оценки для интегралов 7ц, Ji2, /2, - 3, подставляя их в (2.6) и замечая, что получившаяся правая часть не зависит от х, мы приходим к утверждению теоремы. Пусть є\, Л 0, — положительная функция, монотонно убывающая к нулю при Л — оо. Выберем эту функцию так, чтобы при всех Q, к и / (такой выбор возможен в силу экспоненциально быстрого убывания функции /А( 3, х, /) d) при Л — со, а также ее монотонной и непрерывной зависимости от аргумента d). Тогда, подставляя указанную функцию є\ в оценку (2.4), мы приходим к заключению о справедливости следующего утверждения. СЛЕДСТВИЕ 2.4. В условиях (1), (5) и (18) при А -» со где С(5) определено в (1.13), причем для величины o(Ll+5) справедливо представление Отсюда вытекает оценка асимптотически правильной постоянной М(1). СЛЕДСТВИЕ 2.5. В условиях (1), (5) и (18) справедливо соотношение M(l) = suplimsup— — где супремум берется по всем распределениям F, удовлетворяющим условиям (1), (5) и (18). Полученная оценка асимптотически правильной постоянной М(1) полностью согласуется с асимптотическим разложением типа Эссеена для нерешетчатых распределений (см. (9)), из которого, в частности, вытекает, что результат следствия 2.5 не может быть улучшен.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.5. Как видно, для вычисления оценок из теорем 2.3, 2.4 при каждом Л достаточно знать лишь второй к2 и третий / абсолютный моменты, а также значение Q. Используя это обстоятельство, мы построили графики зависимости оценки (2.4) от Л при некоторых значениях Q (см. приложение, рис. 3-6). Величину х2 мы положили равной единице, a / — равным 1.5 на рис. 3, 5 и равным 3 на рис. 4, 6. При условиях (1) константа Q не может быть сколь угодно близкой к нулю, а именно, всегда выполнены соотношения поэтому каждый из рисунков содержит четыре графика, соответствующих значениям Q = 2w 0.1/:, к = 3,6, (рис. 3 и рис. 4) и к = 7,10, (рис. 5 и рис. 6). Отметим, что на графиках приведены значения отношения оценки (2.4) к дроби Ляпунова L\. Это сделано для удобства ее сравнения с оценкой Берри-Эссеена, в которой используется наилучшая на сегодняшний день константа 0.7056. Как видно из приведенных графиков, при малых А оценка Берри-Эссеена лучше. Но уже при А порядка нескольких десятков оценка (2.4) становится гораздо более точной.

Рассмотрим подробнее структуру оценки точности нормальной аппроксимации для случая гладких распределений. Стремясь избавиться от присутствия є в формулировке теоремы 2.4, попытаемся уточнить вид члена o(L\) В следствии 2.4. С этой целью заметим, что для функции е = s(d) = ((1- d/3) 3/2 - 1)/(6\/27г) справедлива оценка В самом деле, поскольку ф л/2/3 1,

Выберем функцию d = dx так, чтобы порядки убывания всех слагаемых, начиная со второго, в соотношении (2.7) были максимально близки. Очевидно, медленнее всего из этих слагаемых убывает третье, поэтому будем подбирать функцию d = dx таким образом, чтобы порядки второго и третьего слагаемых совпадали с точностью до логарифмического множителя в некоторой степени. С учетом соотношения e{d) d, d — 0, мы приходим к заключению о том, что функция dx должна удовлетворять условию

Традиционно коэффициент при главном члене оценки скорости сходимости в ЦПТ (например, классическое неравенство Берри-Эссеепа и его обобщения на случай отсутствия третьих моментов) представляет собой центральное ляпуновское отношение Ag+5(Xi) = ЕХі — т\2+5/а2+6. Мы же получили оценки, в которых этот коэффициент есть нецентральное ляпуновское отношение Л2+5(Хі) = E\Xi\u5/{m2 + a2)1+J/2. Как же соотносятся между собой эти две величины?

Задача сравнения центрального и нецентрального ляпуновских отношений была поставлена С. Я. Шоргиным в работе [49]. В случае, когда случайная величина Х\ центрирована, то есть т = 0, как легко видеть, эти две величины совпадают. Для остальных значений т в вышеупомянутой работе С. Я. Шоргина [49] в предположении 5 = 1 приведено несколько аргументов в пользу нецентрального ляпуновского отношения. Нижеследующая теорема обобщает эти аргументы на случай произвольного 0 5 1.

ТЕОРЕМА 2.5. а0 Существует положительная функция К(8), зависящая только от 5, такая, что для любой невырожденной случайной величины X, имеющей первые абсолютные моменты вплоть до порядка 2 + 5 с некоторым 0 5 1 включительно, справедливо неравенство

Вспомогательные результаты. Связь распределения пуассоновских случайных сумм с суммами неслучайного числа случайных величин

История отыскания значения абсолютной константы в классическом неравенстве Берри-Эссеена (6) чрезвычайно интересна и богата результатами. Так, Э. Берри [34] утверждал, что С 1.88, однако, как обнаружил позднее П. Л. Сюй [41], его вычисления содержали ошибку. К.-Г. Эссеен показал [36], что С 7.59. X. Бергстрем [33] получил оценку С 4.8. К. Такано [51] снизил ее до С 2.031. По-видимому, работа К. Такано (опубликованная на японском языке) выпала из поля зрения некоторых исследователей, так как в нескольких более поздних публикациях приводятся немного худшие оценки. В частности, в работе К.-Г. Эс-сеена [38] имеется упоминание о неопубликованных вычислениях, дающих С 2.9. В работе Д. J1. Уоллеса [54] приведена оценка С 2.05. В. Феллер [24], упоминая результат Д. Л. Уоллеса, также обходит вниманием работу К. Такано. Вычислению наименьшего возможного значения абсолютной постоянной С придавал большое значение А. Н. Колмогоров. В своей работе [12] он высказал предположение о том, что С = 1/у/Ш. К сожалению, это предположение оказалось не совсем точным: в 1956 г., решая несколько иную задачу, К.-Г. Эссеен [38] показал, что в (6) постоянная С не может быть меньше, чем

Этот результат получен как следствие решения задачи о наименьшей постоянной С , обеспечивающей асимптотическую оценку К.-Г. Эссеен показал, что в рассматриваемой ситуации (7 = С\. Поскольку С С , была Тем самым предположение A. H. Колмогорова было в определенном смысле подтверждено. Тем не менее, точное значение константы С в классическом неравенстве Берри-Эссеена до сих пор неизвестно. В 1966-67 гг. В. М. Золотарев показал, что С 0.9051 [7] и С 0.8197 [55]. В 1971-72 гг. П. Ван Беек [27, 28], модифицировав метод Золотарева, получил оценку С 0.7975. Наконец, в 1982 г. с помощью еще более глубокой модификации того же метода И. С. Шиганов [26] получил оценку С 0.7655. Дальнейшие усилия по уточнению неравенства Берри-Эссеена были направлены на усовершенствование его структуры. В частности, В. М. Золотарев [7] добился уточнения константы при 1?п за счет внесения в неравенство дополнительных членов и доказал справедливость оценки Г. Правитц [47] показал, что если L\ 0.1, то p{Fn, Ф) 0.51513 Ьъп. Развивая идею о том, что оптимальная структура оценки точности нормальной аппроксимации должна включать член вида Ьъп с оптимальной константой С\ плюс "добавка", убывающая быстрее, чем п_1у/2, B. Бенткус [31, 32] показал, что существует положительная постоянная C, обеспечивающая оценку Наконец, недавно Г. П. Чистяков [25] доказал, что в указанных предположениях существует абсолютная постоянная Приведенные выше результаты являются универсальными, они справедливы при любых распределениях слагаемых с конечным третьим моментом. Однако, в этой универсальности заключен и их недостаток: во многих практических ситуациях приведенные выше оценки являются слишком грубыми. Без дополнительных предположений абсолютная константа при первом слагаемом, убывающем как 0(п-1/2), в правой части неравенства Г. П. Чистякова не может быть уменьшена. Таким образом, по сути единственный путь существенного уточнения упомянутых результатов заключается в рассмотрении достаточно общих частных случаев.

В некоторых конкретных (также достаточно общих) ситуациях, когда имеется дополнительная информация о распределении слагаемых, оценки точности нормальной аппроксимации можно уточнить. В частности, В. Бенткус [31, 32] показал, что если слагаемые Xj имеют симметричное распределение, то существует абсолютная постоянная С такая, что

Обратим внимание на то, что в работах Чистякова и Бенткуса не приведены численные оценки констант С, С и С, что не позволяет применять на практике эти замечательные теоретические результаты.

История отыскания значения абсолютной константы в неравенстве (7) также весьма интересна. Само неравенство впервые было доказано, по-видимому, в диссертации Г. В. Ротарь [22] в 1972 г. и опубликовано в другой работе [23] того же автора с М = 2.23 (диссертация [22] не опубликована, в то время как в [23] не было приведено доказательство этого результата). Позднее, с использованием традиционной техники, основанной на неравенстве Эссеена, оценка (7) была доказана в работе Р. Чосси и Г. Раппла [35] с М = 2.21 (причем авторы этой работы в формулировке соответствующей теоремы объявили значение М = 3, что, конечно, верно, но фактически по ходу доказательства их результата они получили значение М = 2.21). В 1986 г. Р. Михель [44] с помощью метода, основанного на безграничной делимости пуассоновского распределения, показал, что константа М в (7) та же, что и в классическом неравенстве Берри-Эссеена: М С 0.7655. Не зная о результате Михеля, в 1997 г. В. Е. Бенинг, В. Ю. Королев и С. Я. Шоргин сначала с помощью метода, основанного на неравенстве Эссеена (того же, что в работе Чосси и Раппла [35]), получили оценку М — 1.99 [29], а затем, используя но сути тот же метод, что в работе [44], но независимо от нее повторили результат Михеля М = 0.7655 [42].

Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских сумм независимых слагаемых с интегрируемой характеристической функцией

Это неравенство помещено в отдельную, последнюю главу, поскольку оно получено как следствие построенной в разделе 2.3 оценки скорости сходимости к нормальному закону соответствующего сопровождающего безгранично делимого распределения, которым в данном случае является распределение случайной величины S\.

В разделе 1.2.4 обсуждаются возможные причины разрыва асимптотически наилучшей постоянной С(5), рассматриваемой как функции от 5. Для этого построена равномерная оценка точности нормальной аппроксимации, содержащая не только ляпуновские дроби, но также и другую характеристику случайных слагаемых — максимум модуля характеристической функции на заданном отрезке, — однозначно определяющую гладкость соответствующего распределения. С помощью полученной оценки показано, что разрыв обусловлен нарушением гладкости распределения случайных слагаемых.

В разделе 1.3 построены неравномерные оценки первого и, для 5 = 1, второго порядков, а также соответствующие мажоранты асимптотически наилучших констант в неравномерных оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме для "гладких" распределений, имеющих ограниченную плотность (теоремы 1.7,1.8). Показано, что в условиях (1), (2) с 0 5 1 и (16) неравномерные оценки первого и, для 5=1, второго порядков имеют вид суммы двух слагаемых, первое из которых представляет собой дробь Ляпунова с коэффициентом, сколь угодно близким к найденной мажоранте, а второе убывает экспоненциально быстро с ростом числа слагаемых п. Показано, что в качестве мажоранты асимптотически наилучшей постоянной в неравномерной оценке первого порядка можно взять

Глава 2 посвящена уточнению оценок точности нормальной аппроксимации для распределений стандартизованных пуассоновских случайных сумм. Раздел 2.1 содержит вспомогательные результаты, связывающие поведение пуассоновских случайных сумм с поведением сумм неслучайного числа независимых случайных величин.

В разделе 2.2 показано, что аналог неравенства Берри-Эссеена (4) для пуассоновских случайных сумм {5=1) имеет место сМ 0.7056. Эта оценка получена на основе результата раздела 1.2.1. В разделе 2.3 уточняется неравенство (4) для случая, когда слагаемые не имеют третьих моментов. А именно, в предположениях (1) и (2) с 0 5 1 доказывается справедливость оценки (теорема 2.2)

Заметим, что величина С(5) существенно меньше, чем оценка Королева-Тысиака константы М из неравенства (4) (см. таблицу 1). При этом отношение Ms/С (5) изменяется от 4 (при малых 5) до примерно И (при 5, близких к единице). В разделе 2.4 при дополнительном предположении интегрируемости характеристической функции слагаемых (18) неравенство (7) удается уточнить еще существеннее. А именно, показано, что в условиях (1), (5) и (18) справедлива оценка где функция R\(e), зависящая также от я2, / и Q, при каждом є О убывает экспоненциально быстро с ростом Л (теорема 2.4). В (19) константа при L\ может быть выбрана как угодно близкой к неулучшае-мой (асимптотически правильной) константе в (И). Таким образом, при больших Л правая часть неравенства (19) на порядок меньше, чем правая часть неравенства (7) с наилучшей оценкой входящей в него константы С 0.7056. Заметим, что при упомянутом условии интегрируемости характеристической функции слагаемых величина R\ в (19) — аналог R\ в (11) — с ростом Л убывает не как Л-1, чего можно было бы ожидать, скажем, с учетом асимптотических разложений эджвортовского типа (см., например, книгу В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева [1]), но как o{\ v) при любом v 0, то есть быстрее любой отрицательной степени Л. Мы также показываем, что в (19) коэффициент при L\ можно выбрать в точности равным (б\/27г) , но только за счет ухудшения скорости убывания R\ с ростом Л: вместо экспоненциально быстрого убывания R\ в таком случае мы имеем R\ = 0((1/д)2 lnZ/д)1/2).

Как можно заметить, в оценках точности нормальной аппроксимации в классической и "пуассоновской" схеме суммирования существует некоторая аналогия между параметрами п и Л, а также между ляпунов-скими дробями L2 5 и L2X+5. Если, например, А = п, то ляпуновские дроби Ь2 5 и 1/д отличаются только ляпуновскими отношениями: центральным А20+5 = EXi - т\2+5/о2+5 и нецентральным А2+5 = (32+5/x2+S, однозначно определяемыми первыми моментами распределения слагаемых. Возникает интересная задача сравнения центрального и нецентрального ляпуновских отношений, впервые поставленная С. Я. Шоргиным в работе [49]. В разделе 2.5 проводится сравнение этих двух величин и высказываются аргументы в пользу применения нецентральных ляпуновских дробей в оценках точности нормальной аппроксимации для иуассонов-ских случайных сумм.

Похожие диссертации на Уточнение структуры оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин

Уточнение структуры моментных оценок скорости сходимости в предельных теоремах для сумм независимых случайных величинНефедова, Юлия Сергеевна

Оценки скорости сходимости в функциональных предельных теоремах для сумм случайного числа слагаемых и их примененя в задачах массового обслуживания Турсунов Расуль Таирович

Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для случайных суммСеливанова, Дарья Олеговна

Предельные теоремы и оценки скорости сходимости в теории экстремальных значенийНовак Сергей Юрьевич

Оценки скорости сходимости в теореме РеньеСугакова, Елена Владимировна

Оценки скорости сходимости в бакстеровских теоремах и их применениеВовк, Лилия Борисовна

Оценки скорости сходимости в предельных теоремах со случайным индексом и некоторые их примененияГавриленко, Семен Васильевич

Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме при ослабленных моментных условияхПопов, Сергей Владимирович

Качественные эффекты в оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме в многомерных пространствахСенатов, Владимир Васильевич

Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для "почти" перемешанных случайных величинКамара Ибрайма