Введение к работе
Актуальность работы. Суммы независимых случайных величин традиционно являются одним из основных объектов исследования в теории вероятностей. Однако, за редкими исключениями, даже при известных функциях распределения слагаемых вычисление в явном виде функции распределения их суммы становится крайне затруднительным, а при неизвестных распределениях слагаемых - невозможным. Поэтому для вычисления функций распределения сумм или связанных с ними вероятностей традиционно используются асимптотические аппроксимации, вид которых определяется соответствующими предельными теоремами, описывающими изменение распределения суммы независимых случайных величин при увеличении числа слагаемых в ней. Предельные теоремы составляют ядро теории вероятностей. В книгах Б.В.Гнеденко и А. Н. Колмогорова f1] и В. М. Золотарева [2] подчеркнуто, что познавательная ценность теории вероятностей раскрывается только предельными теоремами, причем предельные теоремы составляют содержание теории вероятностей в ее большей и, возможно, самкой важной для приложений части.
Среди всех предельных теорем теории вероятностей особое место занимает центральная предельная теорема (ЦПТ), описывающая эффект сближения функции распределения суммы независимых случайных величин с нормальной функцией распределения. ЦПТ устанавливает, что при некоторых условиях распределение суммы случайных величин сходится к нормальному закону при неограниченном возрастании количества слагаемых. Однако в реальных выборках число слагаемых конечно. При этом ясно, что при применении нормальной или какой бы то ни было другой аппроксимации в рассматриваемую задачу неизбежно вносятся некоторые искажения, в связи с чем естественно возникает вопрос о величине допускаемой при этом ошибки как факторе, напрямую обуславливающем целесообразность применения аппроксимации. Решающую роль в таком случае играет задача построения легко вычислимых аналитических оценок точности нормального приближения, зависящих от основных числовых характеристик распределений слагаемых в сумме и их числа.
Задача изучения точности нормальной аппроксимации привлекала внимание многих исследователей. В частности, над ней работали А. М. Ляпунов,
1Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. Москва-Ленинград, ГИТТЛ, 1949, 264 с.
2В.М. Золотарев. Современная теория суммирования независимых случайных величин. Москва, Наука, 1986, 415 с.
А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, П. Леви, Г.Крамер, Б. В. Гнеденко, Ю.В.Прохоров, К.-Г. Эссеен, И.А.Ибрагимов, Ю.В.Линник, В.Феллер, В. М. Золотарев, В. В. Сазонов, В. В. Петров, Л. В. Осипов, П. Холл, К. Хейди и другие выдающиеся математики.
Вопросы, связанные с оценками точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин, широко освещены в научной литературе, в частности, им уделено большое внимание в книге Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова р], в монографиях И.А.Ибрагимова и Ю. В. Линника[3], Р. Н. Бхаттачария и Р. Ранга Рао[4], В. В. Петрова [5'6], В. М. Золотарева [2] и В. В. Сенатова [7' 8].
Об оценках, в которых вся используемая информация о распределениях слагаемых сосредоточена только в значениях нескольких их первых моментов, будем говорить как о моментных оценках. В диссертации рассматриваются моментные оценки скорости сходимости в ЦПТ, а также их некоторые обобщения, не усложняющие, впрочем, их практическую вычислимость. Выбор именно таких оценок в качестве объекта исследования ни в косм случае не является случайным. Безусловно, оценки в терминах дзета-метрик f] или псевдомоментов [10] могут быть значительно точнее оценок, рассматриваемых в данной работе, однако для возможности их применения необходима полная информация о распределении слагаемых. Даже в случае наличия такой информации, сложность их вычисления часто не слишком уступает сложности нахождения (возможно, с использованием современной вычислительной техники) функции распределения суммы случайных величин, что делает аппроксимацию бессмысленной с практической точки зрения. Напротив, оценки моментного типа, рассматриваемые в диссертации, просты с вычислительной точки зрения и позволяют получить хорошие результаты даже в случае, когда мало что известно о природе слагаемых, а имеются лишь их
3И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник. Независимые и стационарно связанные величины. Москва, Наука, 1965, 524 с.
4Р. Н. Бхаттачария, Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением. Москва, Наука, 1982, 286 с.
5В. В. Петров. Суммы независимых случайных величин. Москва, Наука, 1972, 416 с.
6В. В. Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Москва, Наука, 1987, 320 с.
7V. V. Senatov. Normal Approximation: New Results, Methods and Problems. VSP, Utrecht, 1998.
8B. В. Сенатов. Центральная предельная теорема: Точность аппроксимации и асимптотические разложения. Москва, Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009, 350 с.
9И. С.Тюрин. Уточнение верхних оценок констант в теореме Ляпунова. - Успехи математических наук, 2010, т. 65, вып. 3, с. 201-202.
10В. И. Паулаускас. Об одном усилении теоремы Ляпунова. - Литовский математический сборник, 1969, т. 9, вып. 2, с. 173-179.
числовые реализации в конкретном эксперименте, то есть в ситуации, типичной при решении задач математической статистики.
Классической оценкой скорости сходимости в ЦПТ является неравенство Берри-Эссеена, которое ставит скорость сходимости в прямую зависимость от наличия у слагаемых в сумме абсолютных моментов порядка 2 + , где 5 Є (0,1]. В диссертации же особое внимание уделено неравенствам, которые позволяют получить оценки скорости сходимости в ЦПТ в случае, когда у слагаемых отсутствует моменты порядка больше второго, в частности, в ситуации, когда распределение слагаемых имеет так называемые тяжелые хвосты. Примером такого распределения может являться распределение Парето. Распределения с тяжелыми хвостами часто встречаются в задачах анализа экспериментальных данных в физике, в частности, в физике плазмы, в задачах анализа данных о трафике в информационных, телекоммуникационных и вычислительных системах, в задачах анализа финансовых и экономических данных и т.д. Более того, на практике, даже если можно сформулировать разумные предположения о типе распределений слагаемых, не всегда возможно гарантированно указать порядок существующих моментов. Наконец, часто возникают ситуации, когда вообще нет никаких оснований для тех или иных предположений о типе распределения слагаемых, и при анализе данных вопрос о существовании моментов нужного порядка приходится решать, руководствуясь нестрогими эмпирическими критериями или правилами вроде экспериментально устанавливаемой стабилизации выборочных моментов нужного порядка. Естественно, что при использовании в таких ситуациях нормальной аппроксимации необходимо довольствоваться минимально возможными условиями справедливости ЦПТ типа условия Линдеберга. Поэтому вопрос о точности нормальной аппроксимации при минимально возможных условиях приобретает особую важность.
Цель работы. Целью работы является построение или уточнение конкретных оценок точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин при ослабленных моментных условиях, когда от слагаемых требуется лишь существование моментов второго порядка или моментов вида ЕХ2д(Х)} где д - произвольно медленно возрастающая функция.
В частности, целью работы является исследование реальной точности неравенств типа Осипова-ФеллераІ11'12], более общих неравенств типа
11 Л. В. Осипов. Уточнение теоремы Линдеберга. -Теория вероятностей и ее применения, 1966, т. 11, вып. 2, с. 339-342.
12W. Feller. On the Berry-Esseen theorem. - Z. Wahrsch. verw. Geb., 1968, Bd. 10, S. 261-268.
Каца-Петрова [13'14'15], а также их неравномерных аналогов, за счет отыскания или уточнения конкретных числовых значений абсолютных констант, входящих в эти неравенства. При этом необходимо уточнить значения константы в неравномерном аналоге неравенства Берри-Эссеена, справедливом при существовании моментов третьего порядка (неравенстве Бикялиса-Нагаева [16'17]), так как эти значения являются параметрами оптимизационных вычислительных процедур, используемых для вычисления констант в неравенствах Осипова-Феллера и Каца-Петрова, а также их неравномерных аналогах.
Целью исследования также является изучение зависимости значений констант в указанных неравенствах от дополнительных условий качественного типа, например, условия симметричности распределений слагаемых и условия совпадения распределений слагаемых, чтобы с помощью количественных результатов получить качественные выводы о степени адекватности нормальной аппроксимации в разных условиях.
Методика исследования. В работе используются методы математического и функционального анализа, а также методы теории вероятностей. Для уточнения неравномерных оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме в первой главе применяется модифицированный метод Нагаева-Падитца [16'18], заключающийся в разбиении вещественной прямой на зоны «малых», «умеренных» и «больших» значений аргумента. Также метод доказательства как равномерных, так и неравномерных оценок основан на специальном усечении случайных величин.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Уточнены неравномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин с конечным абсолютным моментом третьего порядка.
13М. Katz. Note on the Berry-Esseen theorem. - Annals of Math. Statist., 1963, vol. 39, №4, p. 1348-1349.
14B.B. Петров. Одна оценка отклонения распределения суммы независимых случайных величин от нормального закона. - Доклады АН СССР, 1965, т. 160, вып. 5, с. 1013-1015.
15В. В. Петров. Одна предельная теорема для сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин. - Записки научных семинаров ЛОМИ, 1979, т. 85, с. 188-192.
16А. Бикялис. Оценки остаточного члена в центральной предельной теореме. - Литовский математический сборник, 1966, т. 6, вып. 3, с. 323-346.
17С.В. Нагаев. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений. - Теория вероятностей и ее применения, 1965, т. 10, вып. 2, с. 231-254.
18L. Paditz. On the analytical structure of the constant in the nonuniform version of the Esseen inequality. -Statistics Berlin, Akademie-Verlag, 1989, v. 20, №3, p. 453-464.
-
Уточнены равномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин при отсутствии моментов порядков, больших второго.
-
Уточнены неравномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин при отсутствии моментов порядков, больших второго.
-
Уточнены равномерные и неравномерные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин при ослабленных моментных условиях.
-
Впервые указаны нижние оценки констант в равномерных и неравномерных оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин при ослабленных моментных условиях.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретический характер и одновременно допускают удобное применение к решению различных практических задач, связанных с использованием нормальной аппроксимации.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации представлены в 8 работах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], пять из которых опубликованы в научных журналах, включенных в перечень ВАК.
Результаты диссертации докладывались на международной конференции «Стохастические модели и их приложения», посвященной 80-лстию М. Арато (2011 г., Дебрецен, Венгрия), XIX Международном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей (2011 г., Светлогорск, Россия), неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре «Теория риска и смежные вопросы» на факультете ВМК МГУ и нашли свое отражение в трудах упомянутых семинаров и конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы, содержащего 71 наименование, и приложений. Объем диссертации - 104 страницы, объем приложений 11 страниц.
