Введение к работе
Актуальность темы. Асимптотическая теория случайных последовательностей со случайными индексами переживает этап своего интенсивного развития. D первую очс]>едь повышение интереса к этому направлению обусловлено многочисленными прикладными задачами, в которых эта конструкция возникает в качестве математических моделей в самых разнообразных областях: физике, биологии, экономике, технике, программировании, страховой и финансовой деятельности.
Рассматривая историю развития фундаментальных исследований по асимптотической теории случайных последовательностей с независимыми случайными индексами, необходимо отметить основополагающую работу Г.Роббппса1, содержащую достаточные условия сходимости распределений случайных сумм к смесям нормальных законов, статью Р.Л.Добрушина2, в которой указаны возможные предельные законы для случайно индексированных случайных последовательностей, и ряд статей Б.В.Гнеденко и его учеников3'4'5,6,7,8 где впервые поставлена задача об отыскания не только достаточных, но п необходимых усло-
1 Robbins Н. The asymptotic distribution of the sum of a random number of random variables//Bull. Amer. Math. Soc. 1948. V. 54, N 12. pp.1151-1161.
2Добрушин Р.Л. Лемма о пределе сложной случайной функции// УМН. 1955. Т. 10, N 2(64). с.157-159.
3Гнеденко Б.В. О связи теории суммирования независимых случайных велигіин с задачами теории массового обслуживания и теории надежности// Rev. roumaine math, pures et appl. 1967, T. 12, N 9. с 1243-1253.
4Гнеденко Б.В., Фахим X. Об одной теореме переноса// ДАН
СССР. 1969. Т. 187, N 1, с.15-17.
5Печлнгин А.В. О сходимости к нормальному закову сумм случайного числа случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. 1973. Т. 18, N 2, с.380-382.
6Саас Д. О классах предельных распределений для сумм случайного числа одинаково распределенных случайных величин.//Теория вероятностей и ее применения. 1972, Т. 17, N 3, с 424-439.
TSzasz D. Limit theorems for the distributions of the sums of a random number of random variables//Ann. Math. Stat. 1972. V.43, N 6, pp. 1902-1913.
8Szasz D. Stability and law-of large numbers for sums of a random number of random variables//Acta Sci. Math. 1972. V.33, N 3-4, pp.269-274.
вий сходимости распределений случайных сумм в схеме серий. Следует упомянуть монографию В.М.Круглова и В.Ю.Королева9, содержащую систематическое изложение асимптотической теории случайного суммирования. Развернутое описание асимптотического поведения произвольных случайных последовательностей с независимыми случайными индексами содержится в статье В.Ю.Королева10
Наиболее хорошо изучена ситуация, когда непременным условием выступает независимость слагаемых от числа слагаемых в сумме. На первый взгляд это условие может показаться слишком ограничительным, но на самом деле подобные модели применяются на практике даже чаще, чем можно было ожидать. Для подтверждения сказанного можно сослаться на примеры из теории массового обслуживания, теории надежности, математической экономики, финансовой математики, математической теории страхования (актуарной математики), ядерной физики и др.
Результаты теории предельных распределений для сумм случайных величин, широко применяемые в прикладных целях, привели многих специалистов-практиков к убеждению, что если на исход эксперимента оказывает влияние большое число независимо действующих случайных факторов, каждый из которых незначительно влияет на конечный результат, то распределение их суммы должно быть близко к нормальному. Это утверждение основывается на центральной предельной теореме, где наблюдаемая случайная величина представляется в виде суммы большого числа независимых случайных величин. Однако такое заключение далеко не всегда является обоснованным. Изучение реальных данных показывает, что нормальность наблюдений - скорее исключение, чем правило. Одно из возможных объяснений отклонения распределения экспериментальных данных от нормального заключает-
9Круглов В.М., Королев В.Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. М., 1900.
10 Королев В.Ю. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными нндексами//Теор. вер. и ее примен. 1994, т. 39, N 2.
ся в следующем. На разные наблюдения, вообще говоря, влияет разное число случайных факторов, то есть само число факторов случайно. В этом случае классическая центральная предельная теорема не приведет к адекватному результату.
В центральной предельной теореме для сумм случайного числа слагаемых предельными законами являются смеси нормальных законов.
В связи с этим представляет большой интерес изучение вопроса о точности аппроксимации распределений случайных последовательностей со случайными индексами традиционным нормальным законом. Известно (см. ссылку 10 па стр. 4), что нормальный закон может появляться в качестве предельного для упомянутых последовательностей лишь тогда, когда индексы асимптотически вырождены, то есть будучи нормированными некоторыми константами, сближаются с константой. Первая глава диссертации посвящена изучению этого случая для некоторых важных конкретных типов последовательностей: случайных сумм, максимальных случайных сумм и эмпирических квантилей, построенных по выборкам случайного объема.
Еще один класс задач о случайных последовательностях со случайными индексами связан с геометрически распределенными индексами. Эти задачи рассмотрены во второй главе. Интерес к задачам, связанным с описанием асимптотических свойств геометрических случайных сумм, возник в связи с изучением некоторых задач теории массового обслуживания и теорпи надежности, где появляются так называемые редеющкі потоки однородных событий или разреженные процессы восстановления.
Следует отметить, что обе эти ситуации представляют особый интерес при изучении процессов риска в актуарной математике.
Методы исследования.
Основные результаты получены при помощи прямых вероятностных методов, а также метода характеристических функций.
Цель работы
Разработка новых методов получения оценок CKojMxmi сходимости в предельных теоремах для случайных последовательностей с независимыми случайными асимптотически вырожденными и геометрическими индексами. Применение этих методов к изучению предельных теорем для случайных сумм, максимальных случайных сумм, эмпирических квантилей в выборках случайного объема, геометрических случайных сумм. Построение на этой базе условно экспоненциальных моделей роста надежности модифицируемых систем.
Научная новизна и практическая значимость.
Получены оценки точности нормальной аппроксимации для распределений случайных сумм с уточненным порядком, адаптивные оценки, оценки в терминах метрики Леви, также выведены аналогичные оценки скорости сближения максимальных случайных сумм с функцией распределения стандартного винеровского процесса на единичном отрезке. Найдены необходимые и достаточные условия слабой сходимости распределений выборочных квантилей в выборках случайного объема к нормальному закону и получены оценки скорости этой сходимости.
Уточнены теоремы об оценках скорости сближения геометрического и показательного распределения, оценках точности аппроксимации геометрических случайных сумм распределением Лапласа и локальные предельные теоремы для геометрических случайных сумм из главы 8 монографии В.М.Круглова и В.Ю.Королева (см. ссылку 9 на стр. 4). Построена оценка скорости сближения отрицательно биномиального и гамма- распределенпя с натуральными параметрами и оценка точности аппроксимации распределений отрицательно биномиальных случайных сумм двусторонними гамма-распределениями. Построены оценки точности приближения условно геометрических моделей роста надежности условно экспоненциальными моделями.
Публикации и апробация работы. По теме диссертации опубликовано пять статей. Результаты докладывались на семинарах кафедры
математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, двух приложений и списка литературы, изложенных на 123 страницах. Список литературы содержит 50 наименований.
