Содержание к диссертации
Введение
1 Предельные теоремы для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин 51
1.1 Универсальные теоремы и большие уклонения 53
1.2 Функции из теории больших уклонений и классификация распределений 62
1.3 Формула для нормирующей последовательности в сильных предельных теоремах 64
1.4 Слагаемые с экспоненциальным моментом 67
1.5 Слагаемые без экспоненциального момента 75
1.6 Применения универсальных теорем 84
1.7 Асимптотика функций из теории больших уклонений . 98
1.8 Доказательства результатов из 1.6 110
2 Предельные теоремы для приращений сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин 129
2.1 Универсальные теоремы для приращений сумм неодинаково распределенных слагаемых 131
2.2 Универсальные теоремы, включающие закон Эрдёша-Реньи. 148
2.3 Законы Чёргё-Ревеса 159
2.4 Обобщения теорем Колмогорова и Хартмана-Винтнера о законе повторного логарифма 168
3 Предельные теоремы для приращений случайных полей 178
3.1 Универсальные теоремы для случайных полей 179
3.2 Следствия универсальных теорем 188
4 Предельные теоремы для приращений процессов восстановления 193
4.1 Универсальные теоремы для приращений процессов восстановления 195
4.2 Следствия универсальных теорем 205
5 Предельные теоремы для приращений процессов с независимыми приращениями 210
5.1 Универсальные теоремы для приращений процессов с независимыми приращениям 212
5.2 Применения универсальных теорем 219
6 Предельные теоремы для приращений сумм вдоль серий успехов и монотонных блоков 225
6.1 Универсальные теоремы 227
6.2 Применения универсальных теорем 239
Список литературы 243
- Формула для нормирующей последовательности в сильных предельных теоремах
- Обобщения теорем Колмогорова и Хартмана-Винтнера о законе повторного логарифма
- Универсальные теоремы для приращений процессов восстановления
- Предельные теоремы для приращений сумм вдоль серий успехов и монотонных блоков
Введение к работе
1.1. Актуальность темы.
Исследование асимптотического п.н. (почти наверное) поведения приращений сумм независимых случайных величин, случайных процессов и случайных полей является одной из интересных и важных задач современной теории вероятностей. Интерес к этой области предельных теорем обусловлен теоретической важностью исследования поведения различных функционалов от траекторий случайных блужданий и случайных процессов, а также различными применениями подобных результатов в самой теории вероятностей, в математической статистике и в разнообразных приложениях. В рассмартиваемой области важное место занимают четыре типа предельных теорем, в которых речь идет о п.н. верхнем пределе или пределе нормированных приращений сумм независимых случайных величин, случайных процессов и полей. Это — усиленный закон больших чисел, закон повторного логарифма, законы Эрдёша-Реньи (P. Erd6s, A. Renyi) и Шеппа (L. Shepp), закон Чёргё-Ревеса (М. Csorg6, P. Revfez). Первые два типа предельных теорем и их фундаментальное значение для теории вероятностей и математической статистики хорошо известны. Перейдем к остальным двум типам результатов.
Усиленные законы больших чисел для малых приращений (т.е. приращений логарифмической и меньшей длины) сумм независимых одинаково распределенных случайных величин называют законами Эрдёша-Реньи и Шеппа. Первый результат этого типа был получен Л. Шеппом (Shepp L.A, Ann. Math. Statist., 1964, Vol. 35, P.424-428). Однако настоящий толчок развитию этого направления исследований дала работа П. Эрдёша и А. Реньи (Erdos P., Renyi A., J. Analyse Math., 1970, Vol.23, P. 103-111), с момента публикации которой появилось более сотни работ по данной тематике. П. Эрдёш и А. Реньи установили, что в случае малых приращений нормирующая последовательность зависит от всего распределения слагаемых, а иногда даже однозначно определяет это распределение. М. Чёргё и П. Ревес получили обобщенный закон повторного логарифма для больших приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним и конечным вторым моментом. Оказалось, что нормировка в этом случае зависит лишь от дисперсии распределения слагаемых, подобно тому, как в теореме Хармана-Винтнера о законе повторного логарифма. Кроме того,
М. Чёргё и П. Ревес установили, что для больших приращений, длина которых растет достаточно медленно, верхний предел можно заменять на предел. Результаты такого типа называются законами Чёргё-Ревеса. Отметим, что теорема Хармана-Винтнера является частным случаем результата М. Чёргё и П. Ревеса.
Дальнейшему изучению асимптотического п.н. поведения приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин посвящены работы М. Чёргё, П. Ревеса, П. Девельса (P. Deheuvels), Л. Девроя (L. Devroye), Д. Линча (J. Lynch), Д. Мэйсона (D. М. Mason), У. Айнмаля (U. Einmahl), Й. Штайнебаха (J. Steinebach), Ш. Чёргё (S. Csorg6), С. Бука (S. A. Book), К. Шао (Q. М. Shao) и целого рядадру-гих авторов. В их работах были получены усиления и уточнения законов Эрдёша-Реньи, Шеппа и Чёргё-Ревеса, найдены оценки скорости сходимости в них, изучены вопросы оптимальности моментных предположений. Обобщения этих результатов на случай независимых неодинаково распределенных слагаемых были получены Й. Штайнебахом, С. Буком, Д. Хансоном (D. L. Hanson), Р. Руссо (R. P. Russo), 3. Линем (Z. Y. Lin), А. И. Мартикайненом, А. Н. Фроловым и др. Различные варианты этих результатов были получены также для слабозависимых величин, самонормализованных сумм и взвешенных сумм.
Параллельно с исследованием п.н. поведения приращений сумм шло изучение п.н. поведения приращений случайных процессов и полей.
Прежде всего, отметим здесь результаты для приращений винеровского процесса, которые были получены в работах П. Эрдёша, А. Реньи, М. Чёргё, П. Ревеса, Е. Чаки (Е. Csaki), С. Бука, Т. Шора (Т. R. Shore), Й. Ортеги (J. Ortega), М. Вшебора (М. Wschebor) идр. Особую важность эти результаты приобретают в связи с известным методом Комлоша-Майора-Тушнади (J. Koml6s, P. Major, G. Tusn&dy) сильной аппроксимации сумм независимых одинаково распределенных случайных величин винеровским процессом. Этот метод и его обобщение на неодинаково распределенные случайные величины, принадлежащее А. И. Саханен-ко, позволили получить многие результаты для приращений сумм из результатов для приращений винеровского процесса. Результаты, аналогичные результатам для винеровского процесса, были получены также для устойчивых процессов со скачками одного знака.
Важным классом исследуемых случайных процессов стали процессы восстановления, к которым, в частности, относится пуассоновский процесс. Результаты в этом направлении были получены П. Девельсом,
Й. Штайнебахом и др. В работах П. Ревеса, М. Чёргё, П. Девельса, Д. Мэйсона, Е. Чаки и др. было исследовано поведение приращений некоторых процессов, связанных с винеровским процессом, эмпирических процессов, локальных времен, а также ряда других случайных процессов. В статьях П. Ревеса, К. А. Боровкова, П. Девельса, Д. Мэйсона и др. для приращений сумм независимых случайных величин и некоторых случайных процессов были доказаны функциональные предельные теоремы. Поведение приращений случайных полей было исследовано Й. Штайнебахом, П. Девельсом и др. Результаты для приращений гаус-совских и устойчивых случайных полей вытекают из соответствующих результатов для многопараметрических случайных процессов, полученных А Чаном (А Н. С. Chan), М. Чёргё, П. Ревесом и др.
Общей чертой результатов для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, является то, что малые и большие приращения практически всегда исследовались отдельно. Вместе с тем, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел можно рассматривать как частные случаи результатов для больших приращений. Тем не менее, ранее не предпринималось попыток охватить единой теорией законы Эрдёша-Реньи и Шеппа, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. В этом и состоит одна из главных задач настоящей работы. Нашей следующей задачей является получение новых результатов об асимптотическом п.н. поведении приращений сумм как следствие единого подхода к сильным предельным теоремам, а также проверка оптимальности моментных предположений в этих результатах.
Разумеется, мы не ограничиваемся построением единой теории для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Наша следующая цель — построить аналогичные теории для приращений сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин, процессов восстановления, однородных процессов с независимыми приращениями, случайных полей и сумм вдоль серий успехов и монотонных блоков в сопровождающей последовательности, а затем вывести из общих теорем новые результаты о поведении приращений сумм, упомянутых случайных процессов и полей.
1.2. Методика исследования.
Основным аппаратом в исследовании асимптотических п.н. свойств приращений сумм независимых случайных величин является метод, осно-
6.
ванный на анализе некоторых вероятностей больших уклонений с использованием различных вероятностных неравенств и применении лемм Бореля-Кантелли. Аналогичный метод используется для изучения предельного поведения приращений рассматриваемых случайных процессов и полей.
1.3. Научная новизна и практическая значимость.
Основные научные результаты, изложенные в настоящей работе, заключаются в следующем:
-
Найдена формула универсальной нормирующей последовательности в сильных предельных теоремах для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин и построена единая теория, включающая в себя законы Эрдёша-Реньи и Шеппа, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. Получены новые результаты для случайных величин из областей притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов с показателем из интервала (1,2). Установлена оптимальность моментных предположений в полученных результатах.
-
Найдена формула универсальной нормирующей последовательности в сильных предельных теоремах для приращений сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин. Получены обобщения законов Чёргё-Ревеса на случай неодинаково распределенных случайных величин, включающие в себя теоремы А. Н. Колмогорова и Хартмана-Винтнера о законе повторного логарифма.
-
Найдена формула универсальной нормирующей последовательности в сильных предельных теоремах для приращений случайных полей независимых одинаково распределенных случайных величин и построена единая теория, включающая в себя законы Эрдёша-Реньи, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. Получены новые результаты для случайных величин из областей притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов с показателем из интервала (1,2).
-
Найдена формула универсальной нормирующей функции в сильных предельных теоремах для приращений процессов восстановления и построена единая теория, включающая в себя законы Эрдёша-Реньи, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. Получены новые результаты для процессов восстановления с временами восстановления из областей притяжения нормального
закона и асимметричных устойчивых законов с показателем из интерва-ла(1,2).
-
Найдена формула универсальной нормирующей функции в сильных предельных теоремах для приращений однородных стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями и построена единая теория, включающая в себя законы Эрдёша-Реньи и Шеппа, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. Получены новые результаты о поведении приращений однородных процессов с независимыми приращениями, приращения единичной длины которых принадлежат областям притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов с показателем из интервала (1,2).
-
Найдена формула универсальной нормирующей последовательности в сильных предельных теоремах для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин вдоль серий успехов и монотонных блоков в сопровождающей последовательности и построена единая теория, включающая в себя законы Эрдёша-Реньи, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. Получены новые результаты для случайных величин из областей притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов с показателем из интервала (1,2).
Результаты диссертации могут быть применены в дальнейших исследованиях приращений сумм независимых случайных величин, случайных процессов и полей, и в различных приложениях, в частности, в математической статистике, в моделях страховой и финансовой математики, требующих оценки возможных потерь на временных подынтервалах, в моделях теории массового обслуживания, в которых появляются процессы восстановления.
1.4. Структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы, включающего свыше 200 наименований.
1.5. Апробация работы.
Основные результаты диссертации содержатся в работах [1-17]. Результаты систематически докладывались на общегородском семинаре по теории вероятностей и математической статистике Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А Стеклова РАН. Они были доложены на семинаре в Математическом институте им. В. А. Стек-
лова РАН (Москва) в 2004 г., на семинаре в Институте Математики им. С. Л. Соболева СО РАН (Новосибирск) в 2004 г., на Большом семинаре кафедры теории вероятностей Московского государственного университета в 2000 г., на семинаре "Асимптотический анализ случайных процессов и полей" кафедры теории вероятностей МГУ в 2001 г., на семинаре Марбургского университета (Марбург, Германия) в 1995 и 1996 гг., на семинарах Хельсинского университета (Хельсинки, Финляндия) и академии Або (Турку, Финляндия) в 1999 г., на семинарах Стокгольмского университета (Стокгольм, Швеция) и Уппсальского университета (Уп-псала, Швеция) в 2001 г., на семинарах Кёльнского университета (Кёльн, Германия) и Гёттингенского университета (Гёттинген, Германия) в 2003 г., на семинаре Ренского университета (Рен, Франция) в 2004 г., на международной конференции "Асимптотические методы в теории вероятностей и математической статистике" (Санкт-Петербург) в 1998 г., на 7-ой Всероссийской пгколе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи) в 2000 г., на конференции по статистическому моделированию "4th St. Petersburg Workshop on Simulation" (Санкт-Петербург) в 2001 г., на 3-ем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи) в 2002 г., на международной конференции, посвященной 90-летию Б. В. Гнеденко (Киев, Украина) в 2002 г., на 8-ой международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, Литва) в 2002 г., на 10-ой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи) в 2003 г., на международной конференции, посвященной 100-летию А. Н. Колмогорова, "Kolmogorov and contemporary mathematics" (Москва) в 2003 г.
1.6. В работе принята обычная символика. Начало доказательства отмечается словом доказательство, его окончание — . Нумерация параграфов, теорем, лемм, следствий и замечаний устроена так: первая цифра обозначает номер главы (0 обозначает введение), вторая цифра обозначает порядковый номер соответствующего утверждения.
Перечень цитированной литературы приведен в алфавитном порядке сначала для статей и монографий, опубликованных на русском языке, а потом для статей и монографий, опубликованных на иностранных языках, при библиографических ссылках сначала указывается фамилия автора (авторов) на русском языке, затем - номер работы в списке литературы.
.9
Формула для нормирующей последовательности в сильных предельных теоремах
При Оп — пя ЕХ2 — 1 мы получаем обычную нормирующую последовательность bn = \Z2raloglogn из ЗПЛ. Таким образом, из последней теоремы вытекает ЗПЛ для сумм при условии E(X+)2(\ogX+)T oo, т 1/2. Это немного хуже теоремы Хартмана-Винтнера. Соответствующий результат, содержащий теорему Хартмана-Винтнера, будет получен в главе 2 как следствие результатов для приращений неодинаково распределенных случайных величин.
Пусть теперь ЕХ 0 и on/Iogn — oo. (Отметим, что случай On = O(logn) включен в теоремы 1.13 и 1.14.) Если / 0, то в силу определения Ь„ и равенства 7(0) = ЕХ мы имеем bn а ЕХ. Поэтому из теоремы 1.8 легко следует усиленный закон больших чисел для приращений. Из теоремы 1.12 также следует УЗБЧ. Эти результаты объединены в следующую теорему.
Заметим, что в условии теоремы 1.20 предполагается, что ЕХ 0. Дело в том, что с помощью несложных рассуждений можно показать, что теорема верна для Wn и в случае EX = 0. Для остальных функционалов эти соотношения верны и для ЕХ 0. Отметим, что Rn = Sn для аЛ = п. В этом случае lim sup можно заменить на lim, так как доказательство достаточно провести для неотрицательных случайных величин, а для них Sn не убывает. Таким образом, мы получили УЗБЧ для сумм. Далее, Wn = max S при а„, = п, а максимум сумм и суммы ведут себя одинаково.
Ясно, что момевтные условия на правый хвост распределения слагаемых здесь не являются минимальными. Однако доказательство теоремы Колмогорова существенно использует вид нормирующей последовательности. При доказательстве универсальных теорем для приращений это невозможно, т.к. нормировка имеет сложную структуру и мы исследуем поведение более сложного объекта, чем суммы независимых случайных величин. Подчеркнем, что мы не доказываем ни ЗПЛ, ни УЗБЧ отдельно. Мы выводим их из наших общих теорем как следствия. Платой за универсальность и является указанная неоптимальность моментных условий в УЗБЧ для сумм.
Покажем теперь, что наши моментные предположения в теоремах для приращений оптимальны.
Необходимость (одностороннего) условия Крамера (1-18) для законов Эрдёша-Реньи и Шеппа была доказана, соответственно, Штайнебахом [197] и Линчем [177]. Необходимость двусторонних условий Крамера и Линника и момента порядка р для законов Чёргё-Ревеса для модулей приращений сумм установлена Шао [194]. (Напомним, что в законах Чёргё-Ревеса моментные условия на слагаемые определяют минимальную скорость роста о„, для которой удается доказать соотношение (1,58). Чем более жесткие моментные условия мы накладываем, тем шире диапазон изменения а„. Необходимость соответствующих условий проверяется для каждого из трех диапазонов ( отдельно. Поэтому мы упоминаем три необходимых условия для законов Чёргё-Ревеса, имея в виду, что каждое моментное условие необходимо для этих законов при о„ из соответствующего этому условию диапазона.) Необходимость соответствующих односторонних условий для законов Чёргё-Ревеса доказана автором в [134]. Обобщения этих последних результатов мы приводим здесь.
Заметим, что условия 3) теорем 1,15 и 1.17 эквивалентны условию Ьп С#_1(п) теоремы 1.23. Мы показали, что из наших теорем для приращений вытекает ЗПЛ. Хорошо известно (см. работы Мартикайнена [32] и Розальски [191]), что для ЗПЛ Хартмана-Винтнера условия ЕХ — О, ЕХ2 — 1 являются необходимыми и достаточными. Следовательно, и в теоремах для приращений условия додобного сорта должны быть необходимыми. То, что это действительно так, показывает следующая теорема. где А = (а — 1)1 а. В последнем соотношении Wn можно заменить на Un, Тп и Д„. Если, кроме того, log log п = o(log(n/On)), то в (1.72) можно заменить limsup на lim. Это остается справедливым и для Un. Обратно, если соотношение (1.72) выполняется для любой последовательности {а„} такой, что а„/log п — оо, u F{—х), х О, правильно меняется, то выполнены условия 1)—3). Условие правильного изменения F(—x) можно отбросить при а = 2. При а = 2 из теоремы 1.25 вытекает следующий результат.
Обобщения теорем Колмогорова и Хартмана-Винтнера о законе повторного логарифма
Пусть (t),t 0 - стохастически непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями, fi = E(l), 0 /І со. Предположим, что (t) непрерывен справа и имеет пределы слева. Хорошо известно, что всякий стохастически непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями имеет модификацию с траекториями из пространства Скорохода непрерывных справа и имеющих пределы слева функций на [О, оо) (см., например, книгу Гихмана и Скорохода [10]).
Отметим, что в силу представления Леви характеристической функции (t) (см., например, монографию Булинского и Ширяева [8]) и теоремы из п. 27 со стр. 250 книги Скорохода [59] существует последовательность сложных пуассоновских процессов {m(0}i выражающихся через (t) и не зависящий от него пуассоновский процесс N(t) такие, что процесс, имеющий с вероятностью 1 конечное число скачков на любом конечном интервале, то и (TJ? — ступенчатый процесс, имеющий с вероятностью 1 конечное число скачков на любом конечном интервале. Отсюда и из (5.1) следует, что UT не имеет разрывов второго рода. Поэтому множества {UT Рг}, {UT or б.ч.} и т.п. будут событиями, если при их определении мы рассмотрим рациональные Т. Аналогично дело обстоит и с функционалами WT, Иг и QT, определенными ниже. Отметим также, что в силу приведенных выше аргументов для всех Г упомянутые функционалы, а также sup( ), inf f(t) и другие подобные супремумы и инфимумы, являются обычными случайными величинами,В этой главе мы опишем класс нормирущих (не случайных) функций Ьт, для которых либо либо последнее соотношение выполнено с заменой Hm sup на Ига, если это возможно. (Всюду, где использованы символы Hmsup, lim inf, lim, О, о, — считаем, что Т — оо, если не оговорено противное.) Мы будем предполагать, что Ьт положительна и не убывает. В дальнейшем мы не будем различать между собой нормировки, эквивалентные на бесконечности.
Асимптотическое поведение приращений однородных процессов с независимыми приращениями было исследовано лишь для некоторых важных частных случаев. М.Чёргё и Ревес [102] исследовали поведение приращений винеровского процесса. Результаты о поведении приращений пуассоновского процесса являются частным случаем соответствуюпщх результатов для процессов восстановления и могут быть найдены в работах Девельса и Штайнебаха [123], Штайнебаха [202] и в статьях из библиографий этих работ. Асимптотика приращений устойчивых процессов со скачками одного знака была исследована Зинченко [20].
В этой главе мы получим формулу универсальной нормирующей функции в предельных теоремах о п.н. поведении приращений однородных процессов с независимыми приращениями. Это позволяет охватить единой формулировкой УЗБЧ, закон Эрдёша-Реньи, закон Шелпа, закон Чёргё-Ревеса и ЗПЛ для этих процессов. Результаты для приращений винеровского и пуассоновского процессов являются следствиями наших теорем, а наши результаты для устойчивых процессов со скачками одного знака дополняют и усиливают результаты работы [20]. Кроме того, существенно расширяется класс процессов, к которым применимы соответствующие теоремы. Среди новых примеров - обобщенные пуассо-новские процессы. Напомним, что обобщенный пуассоновский процесс - это сумма случайного числа независимых одинаково распределенных случайных величин, где число слагаемых определяется пуассоновским процессом независимым от слагаемых. Такие процессы возникают, например, в различных моделях страховой и финансовой математики, где они описывают процесс выплат по страховому портфелю. В наших примерах на слагаемые могут накладываться различные ограничения, В частности, распределения слагаемых могут принадлежать областям притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов с показателем а Є (1,2). Из приведенных примеров можно построить много новых, рассматривая, например, линейные комбинации независимых процессов указанных выше.
Универсальные теоремы для приращений процессов восстановления
Доказательство теорем 5.8-5.11 сводится к выбору усечения ут (если Ао = 0), вычислению Ьт и проверке соответствующих условий для найденной нормировки. Вычисления в этом случае ничем не отличаются от вычислений для независимых одинаково распределенных случайных величин, подробно проделанных в главе 1. Здесь мы опускаем детали.
В заключение рассмотрим случай О Теорема 5.12. Пусть выполнены условия одной из теорем 5.8-5.11 и {і 0. Тогда (5.11) выполнено сЬт = дат Если, кроме того, log log Т — o(log(T/ar)) «ли ат = Т,то выполнено (5.12). Из теоремы 5.12 при ат = Т следует УЗБЧ для процессов с р, 0. Применяя этот результат к процессу (ї) — fit + t, получим УЗБЧ и в случае pt 0. Доказательство теоремы 5.12. В условиях теоремы (см. доказательство теоремы 1.20) bn i цап при п —ї оо. Если п Т п + 1, то Ьп Ът (1 + e)ftOn+i (1 + є)цат{п + \)/Т для любого є 0 при всех достаточно больших п. Отсюда с помощью теоремы 5.4 получаем все кроме УЗБЧ, соответствующего случаю от = Т для всех Т. Пусть теперь ат = Т. Тогда (см. доказательство теоремы 1.20) %{п)/п — fi п.н. Применяя далее те же аргументы, что и в книге Гихмана и Скорохода [11] стр. 493-494, получим УЗБЧ для (t). При доказательстве последней теоремы можно, конечно, сослаться и на УЗБЧ Колмогорова для независимых одинаково распределенных случайных величин. Мы упомянули теоремы 1.20, чтобы напомнить, что и в случае независимых одинаково распределенных случайных величин УЗБЧ является следствием универсальных теорем. Это означает, что при доказательстве теоремы 5.12 не были использованы результаты, не являющиеся следствиями универсальных теорем.где и, v фиксированы, —оо и v -foo, j = jn, 1 j n, І {В} обозначает индикатор события В, а [а;] обозначает целую часть числа х. Отметим, что j может быть случайным. Наша задача состоит в том, чтобы отыскать последовательность положительных постоянных {&„} такую, что либо либо, если это возможно, последнее соотношение выполнено с заменой limsup на lim. Всюду в этой главе, где использованы символы ,—» , limsup, liminf о, О считаем, что п -» оо, если не оговорено противное. Будем интерпретировать случайные величины Хп как выигрыши (возможно отрицательные) игрока в партиях некоторой игры, а Уп как величины, характеризующие успешность в некотором смысле отдельной партии или серии партий. Например, при Yn — 1{Хп 0} считаем партию успешной, если выигрыш в ней положителен, а серию успешной, если все партии серии успешны. Отметим, что в некоторых случаях можно определить успешность серии, но не отдельной партии. В самом деле, попытаемся назвать партию успешной, если выигрыш в ней больше, чем в предыдущей. Тогда Yn = 1{Хп n_i}, а векторы (Xn,Yn) перестают быть независимыми. Эту трудность легко обойти. Положим Yn = Хп и назовем серию партий успешной, если выигрыш в каждой следующей партии серии больше выигрыша в предыдущей, В предложенной интерпретации Мп - это максимальный выигрыш игрока в успешных сериях длины у. Поэтому исследование асимптотики Мп представляет существенный интерес как с точки зрения теории вероятностей, так и с точки зрения актуарной и финансовой математики. В некоторых моделях последней требуются оценки возможных потерь на временных подынтервалах (см., например, Бингсвангер и Эмбрехтс [89]) и естественным образом возникает процедура прореживания (см., например, Эмбрехтс и К. Клюппельберг[81]). Предлагаемая схема является конечно очень общей и включает в себя целый ряд интересных частных случаев, возникающих при различных дополнительных предположениях о распределении вектора (X, Y), последовательности j, и и v. Рассмотрим некоторые из них. 1) Предположим, что и = v = 1, P(Y = 1) = 1-P(Y = 0) = р Є (0,1]. а) Если X - невырожденная случайная величина, ар= 1, то Ма - это статистика Эрдёша-Реньи, поведению которой посвящена первая глава. б) Пусть X = 1 п.н., р е (0,1), j длина наидлиннейшей серии единиц среди Y\, Y2,..., Yn. Тогда Мп = j. Этот случай рассматривался в ра ботах Эрдёша и Ревеса [130] и Девельса [112]. (Обобщения результатов работ [130] и [112] можно найти в статье Фролова и Мартикайнена [143] и в работах из библиографии к ней.) в) Если X - невырожденная случайная величина, а р 1, то асимпто тическое поведение Мп исследовано автором в [66]. (См. также работу Фролова, Мартикайнена, Штайнебаха [147], где рассматривался макси мум типа Мп.) 2) Предположим, что и = —оо, v = +оо, Y имеет непрерывное рас пределение. а) Пусть X = 1 п.н., j - длина наиддиннейшей возрастающей серии (монотонного блока) среди Yi,Y?,... ,Yn. Тогда Мп = j. Этот случай изучался Питтелем в [185]. (Обобщения результатов работы [185] можно найти в статье Фролова и Мартикайнена [143] и в работах из библиогра фии к вей.) б) Если X - невырожденная случайная величина, то предельное пове дение Мп исследовано в работах Фролова, Мартикайнена, Штайнебаха [148] и [149]. 3) Предположим, что — оо и v +cCj Y имеет непрерывное распределение. Этот случай был изучен автором в [69]. В этой главе мы получим универсальные предельные теоремы для Мп в том случае, когда X имеет невырожденное распределение, a Y либо непрерывна, либо P(Y = 1) = 1 — P(Y = 0) = р Є (0,1). Основные результаты этой главы получены в работах [66], 69] я [140].
Предельные теоремы для приращений сумм вдоль серий успехов и монотонных блоков
В этом параграфе мы обсудим результаты главы 5, посвященной описанию поведения прираіцений однородных стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями.
Асимптотическое поведение приращений однородных процессов с независимыми приращениями было исследовано лишь для некоторых важных частных случаев. Чёргё и Ревес [102] исследовали поведение приращений винеровского процесса. Результаты о поведении приращений пуассоновского процесса являются частным случаем соответствующих результатов для процессов восстановления и могут быть найдены в работах Девельса и Штайнебаха [123], Штайнебаха [202] и в статьях из библиографий этих работ. Асимптотика приращений устойчивых процессов со скачками одного знака была исследована Зинченко [20].
Пусть (t),t 0 - стохастически непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями, /х = Е(1), 0 fj, со. Предположим, что (t) непрерывен справа и имеет пределы слева. либо последнее соотношение выполнено с заменой lirn sup на lim, если это возможно. (Всюду в этом параграфе, где использованы символы Hmsup, liminf, lim, О, о, —У считаем j что Т —ї оо, если не оговорено противное.) Корректность подобной постановки задачи установлена во введении главы 5, где показано, что UT является случайным процессом, не имеющим разрывов второго рода. Аналогично дело обстоит и с остальными функционалами. Мы снова начнем с формулы универсальной нормировки. Из теоремы 5.4 вытекает закон Эрдёша-Ренья для процессов с независимыми приращениями. Напомним, что ранее этот результат был доказан только для некоторых представителей этого класса — для вине-ровского процесса, для пуассоновского процесса, для устойчивых асимметричных случайных процессов. Заметим, что только асимметричные устойчивые случайные процессы имеют экспоненциальный момент. Поэтому только для них и может быть доказан закон Эрдёша-Реньн, Важным новым примером являются обобщенные пуассоновские процессы. Аналогично обстоит дело и с законами Чергё-Ревеса, к которым мы сейчас переходим. При формулировке результатов мы используем обозначения F Є DN(a) и F D(a) в том же смысле, что и в параграфе 0,1. Классы функций и Мр определены там же. Если, кроме того, log log Т = o(log(T/ar)), mo выполнено (48). В главе 5 также получены результаты, аналогичные теореме 0.18 для F Є D(a). В этом случае по сравнению со случаем F є DN(a) в нормировке появляется дополнительный множитель, зависящий от усеченной дисперсии при а —2 ТКУТ правильно меняющейся части хвоста распределения в случае а Є (1,2). Меняется также минимальная скорость роста от, в формулу для которой теперь входят усеченная дисперсия при а = 2 и правильно меняющаяся часть хвоста распределения в случае а Є (1,2). В случае fi 0 мы получаем УЗБЧ. Теорема 0.19. Пусть выполнены условия теоремы 0.18 и ц 0. Тогда (47) выполнено сЬт = у&т Если, кроме того, log log Т = o(log(T/or)) или от = Т, то выполнено (48). Эта теорема представляет собой следствие из теоремы 5.12, в которой рассмотрен также случай F Є D(a). Результат при этом сохраняется. Меняется только минимальная скорость роста ат, в формулу для которой теперь входит усеченная дисперсия при а = 2 и правильно меняющаяся часть хвоста распределения в случае а Є (1,2). Асимптотика приращений сумм вдоль серий успехов и монотонных блоков.
В этом параграфе мы опишем результаты главы 6, в которой исследовано п.н. поведение приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин вдоль серий успехов в последовательности испытаний Бернулли и вдоль монотонных блоков в сопровождающей последовательности.
