Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Центральная предельная теорема для подчиненных процессов
1. Подчиненные случайные процессы и их представление с помощью кратных сто хастических интегралов 16
2. Семиинварианты кратных стохастических интегралов 28
3. Полиномы Аппеля и их семиинварианты 38
4. Ц.п.т. для подчиненных процессов (общий случай) 47
5. Ц.п.т. для подчиненных процессов, являющихся функциями от линейного процесса 59
б. Нецентральные предельные теоремы 80
7. Н/ц.п.т. для конечных преобразований Фурье 90
Глава II. Некоторые применения к.с.и. к статистике случайных процессов
8. Оценки спектра подчиненных процессов 107
9. К.с.и. и симметрические статистики 117
Литература 136
- Подчиненные случайные процессы и их представление с помощью кратных сто хастических интегралов
- Ц.п.т. для подчиненных процессов, являющихся функциями от линейного процесса
- Н/ц.п.т. для конечных преобразований Фурье
- Оценки спектра подчиненных процессов
Введение к работе
В диссертационной работе рассматриваются предельные теоремы для зависимых случайных величин, представимых в виде кратных стохастических интегралов (к.о.и.). К.с.и. широко используются для исследования случайных процессов, являющихся (нелинейными) функционалами от независимых случайных величин (в частности, гауссовских). Такие функционалы часто встречаются в математической физике, радиотехнике, статистике случайных процессов и других областях. Приведем два примера.
ПримерJE^ Пусть ^^2 . %# - независимые случайные ве-личины с общей функцией распределения F (х) ; г. С*) =
- эмпирическая функция распределе-
ния. Многие вопросы статистики входят в класс статистик фон Мизеса [50]:
Г"(Р?) =Т... T^(xlv..)x^nA[FX)-FCxt')].(o-i)
Известно, что предельное распределение нормированных статистик (0.1) совпадает с распределением к.с.и. по гауссовой случайной мере (см. подробнее [50, 36, 51, 44]).
Пример__2^ В (евклидовой) квантовой теории поля основной объект исследования - это случайные поля, являющиеся возмущением "свободного поля", т.е. гауссовского случайного поля X (A} ,+R со спектральной плотностью С4+ \\\ ) >
\eR . Возмущение "свободного поля" определяется с помощью замены меры, соответствующей аддитивному функционалу
:X"U): =JelU^+">X^^d?Viy..ZCd\^, (0.2)
- к.с.и. (гь -ая "степень Вика" поля ХШ) > Z(dA)- случайная спектральная мера стационарного поля ХОЬ) (см. [24-]).
Ряд примеров использования к.с.и. можно найти в теории ренорм-группы и автомодельных распределений [27 , 32"], статистической турбулентности [22] и других областях физики.
Основными результатами диссертации являются:
Центральная предельная теорема (ц.п.т.) для (стационарных процессов, порожденных независимыми случайными величинами, при условиях на весовые функции разложения в ряд по к.с. и. (теоремы 4.1, 4.2);
Ц.п.т. для функционалов П, ) t б ї вида Hi-r^V от линейного (в частности, гауссовского) процесса Ку ,"fce"Z. > при условиях на корреляционную функцию процесса 171 (теоремы 5.1-5.4).
Кроме того, в диссертации доказан ряд нецентральных3^ предельных теорем (н/ц.п.т.), обобщающих и развивающих результаты Розенблатта, Добрушина, Майора, Такку, Городецкого, Филип-повой и др. авторов, в частности, предельная теорема для сим-
^Следуя [33], этот термин будем применять к предельным теоремам о сходимости к негауссовским процессам.
метрических статистик в схеме серий, где предельный процесс представим в виде к.с.и. по гауссовской и пуассоновской случайным мерам (теорема 9.1).
Приведем более подробный обзор диссертационной работы, а также связанных с ней исследований других авторов.
Основным классом случайных процессов, рассматриваемым в диссертации, является класс (стационарных) процессов, подчиненных данному стационарному процессу ^^ >"Ье"2. т.е. процессов іг_ } "Ь X , имеющих вид
% = f (--->%^-юВ-Ь^^"-) ' С0-3)
В [18] такие процессы П, называются порожденными процессом , , 4т е 1L . Предполагается, что процесс ^^.^^^, состоит из независимых и одинаково распределенных случайных величин ("(дискретный) белый шум"). В том случае, когда процесс ^ подчинен стационарному гауссовскому процессу с абсолютно непрерывной спектральной мерой, его также можно рассматривать как процесс, подчиненный "белому шуму". Подчиненные процессы второго порядка допускают естественное разложение в ряд по "дискретным к.с.и.":
которое в случае гауссовского "шума" t )"b~ZL превращается в известное разложение Ито - Винера:
^СХ.+...+ Xn.^ ^ ^ N^/J^N С,
Здесь П — C-5t,Trl , ^Cdx) - случайнай спектральная мера процесса ^^_ ("комплексный белый шум"), cl^ t L- (П^) - функции, коэффициентами Фурье которой являются числа akCs4)..,( Sn,} Впервые, по-видимому, представление (ОЛ) в случае негауссовских ^^_ появилось в работе Рубина, Витале [51]. В разделе I диссертации приведены определения "проекций" ,Ng ...^-. и "дискретных" к.си. (0.4), их связь с "непрерывными" к.си. йто --Винера, а в разделе 2 - формулы для семиинвариантов, обобщающие известные диаграммные формулы для "гауссовских" к.си. и играющие важную роль в процессе доказательств ц.п.т. ниже, основанных на методе семиинвариантов.
Подчиненные случайные процессы и их представление с помощью кратных сто хастических интегралов
В случае гауссовского процесса Х разложение (0.15) совпадает с разложением по полиномам Эрмита. Роль полиномов Аппеля в доказательстве теорем 5.3 и 5Л, объясняется следующими причинами. Во-первых, существуют простые и естественные формулы для семиинвариантов полиномов Аппеля (это важно, поскольку доказательства теорем 5.3 и 5.4 основаны на методе моментов). Другое обстоятельство - это эквивалентность условий (0.9) и У П COV »о при куг 2,,где па - ранг Аппеля функции Jf (см. раздел 3, определение 3.1). К сожалению, полиномы Аппеля вообще не образуют ортогональной системы в L и вопрос о том, когда функцию /f можно разложить в ряд (0.15), достаточно неясен. Можно, однако, показать, что если функция Jf- аналитична на всей прямой и коэффициенты ее степенного ряда убывают быстро, то разложение (0.15) имеет место и выполнено условие (5.13) теоремы 5.4. В этом случае коэффициенты С имеют простой вероятностный смысл: Cj = =E. 4Kt)/AUrfle V ) - Л -ая производная функции f Легко привести примеры, когда выполнены условия теорем 5.1, 5.3 или 5.4, но процесс (Xt) не удовлетворяет условию сильного перемешивания (и даже нерегулярен). Некоторые более слабые условия перемешивания, введенные в работе [59], предполагают, грубо говоря, сходимость ряда ХГ\ М » что также может не выполняться в упомянутых теоремах. Отметим, наконец, результат Ибрагимова \l8], согласно которому ц.п.т. для самого линейного процесса (XJ.") (0.14) имеет место, если
Б разделе 7 получена н/ц.п.т. для конечных преобразований Фурье нелинейных функционалов (0.8) от стационарного гауссовского процесса (Х .) , обобщающая и развивающая известные результаты работ [49, 33]. В частности, в работе Розен-блатта [49] предполагается, что корреляционная функция гауссовского процесса (Х _) имеет вид где О С С С А. -} s4 .. S 0 Д .Дм, - вещзствен-ные числа; рассматривается предельная теорема для преобразований Фурье нелинейных функционалов от процесса (Xt ) .
В теореме 7.1 мы рассматриваем аналогичную задачу для случая, когда показатели степенной асимптотики корреляционной функции процесса (Xt) зависят от частот Xj периодической составляющей Со К\ Л/ ; при этом условии на процесс (Xj.) формулируются в спектральных терминах. В разделе 8 главы II исследуется асимптотическая нормальность оценок спектра некоторых (нелинейных)функционалов г\ — -( ) -) вида (0.5) от стационарного гауссовского процесса (теорема 8.1). Рассматривается также случай функционалов вида (0.8) (теорема 8.2). Асимптотическая нормальность оценок спектра таких процессов исследовалась Маруямой [ б] при довольно жестких условиях, включающих ограниченность весовых функций.
В теоремах 8.1 и 8.2 нам удалось эти условия значительно ослабить. Следует отметить, что некоторые частные случаи этих теорем вытекают из общих результатов Бриллиндкера [5], Бент-куса [2], Бенткуса, Журбенко [з] и др. Теорема 8.1 является обобщением для к.с.и. известного результата Ибрагимова [іб] в случае ҐІ-А (т.е. когда процесс ("h. ) - гауссовский).
В разделе 9 главы II кратные стохастические интегралы выступают в качестве предельных распределений симметрических статистик.
Пусть . , /Р ,П/ 4 - двойная последовательность вещественных случайных величин, независимых и одинаково распределенных при любом фиксированном П/ a -h/j : R —" К - симметрические функции, удовлетворяющие условиям г- / р СИ/) / v СЮ/) CKVKN Z, ,
Важный класс симметрических статистик образуют у -статистики, введенные Хоеффингом [39], который первый получил представление (0.19)-(0.20) для У статистик с ядрами Хх , удовлетворяющими условиям (0.17) и (0.18). Асимптотическое распределение симметрических статистик исследовалось многими авторами, большинство из которых рассматривали сходимость к гаус-совскому распределению или его уточнения. С другой стороны, в недавних работах Рубин и Витале [51], Дынкин и Мандельбаум [34] (см. также Филиппова [Зб], Мандельбаум и Такку [И])рассмотрели ситуацию, когда В (А) сходятся по распределению к случайному процессу, представимому в виде суммы кратных интегралов Ито - Винера по некоторой гауссовской мере (или в виде-суммы произведений полиномов Эрмита от гауссовских случайных величин). В этих работах предполагалось, что величины с принадлежат области притяжения гауссовского закона.
Ц.п.т. для подчиненных процессов, являющихся функциями от линейного процесса
Предельные теоремы 6.1, 6.2 и 6.3, доказанные в этом разделе, являются иллюстрацией необходимости условий центральных предельных теорем разделов 4 и 5, а именно - условия "урезания" (Сі) т. 4.1, условия конечности ряда (4-.I) той же теоремы, а также условий (5.4) и (5.5) т. 5.1. В теоремах 6.1-6.3 рассматриваются процессы п & И t\} подчиненные гауссовскому "дискретному белому шуму" =( .)4: .) (другими словами, процессу, образованному независимыми случайными величинами , , распределенными по закону JvfCO, 1) ), представимые в виде суміш к.с.и. по (комплекс ной) спектральной мере CdLx) X П (см. п. 3 I). Дисперсия Аы суммы Sjg = И\ вт. 6.1 и т. 6.2 рас-тет линейно, а в т.6.3 имеет асимптотику N6 » где Г -любое число из интервала (0, 2). Предельные процессы XCw\ А S , - негауссовские, имеющие вид к.с.и. по комплексной векторной гауссовской случайной мере. W Cdl } )\л4 х) - независимые между собой гауссовские комплексные белые шумы на (0,o\ С4 - некоторая константа. Теорема 6.2. Пусть = V/ определены равенством (6.2) и f4-0 , Лік) 10 , d Jt! ( лгС) -г-- 4. и- ), при этом где К/сЮ 1 - целые числа, монотонно и достаточно быстро возрастающие с ростом п} h, =- ZZ ЇШ(В, \f.) Тогда S„hX /ft/C S" 0, tin- , (б#б) NJ сил где 5 - тот же, что в т. 6.1, С2 - некоторая константа. Теорема 6.3. Пусть V = ( , 1) l5c) линейный (гауссовский) процесс с нулевым средним, дисперсией I и спектральной плотностью (X) ХвП равной Замечание б.I. Если H - полином Эрмита четной степе ни а С Z) и = H tY у то г(і) 0 и тем самым либо LL. ІР С-І) « (в таком случае . удовлетворяет ц.п.т. согласно т. 5.1), либо Сг.іі: С N — о) , что влечет .
Н/ц.п.т. для конечных преобразований Фурье
Обозначим (Д) = ІАл.х ... х й с :Дс G СЛ,) } соответствующую последовательность разбиений множества { = fcx.. XR (Л раз).
Определение 9.4-. Симметрическую функцию а. (R — » будем называть простой, если (I) она принимает постоянное значение (= CL 4-"" -) на множествах А4 е СА) для некоторого N , А и обращается в нуль всюду за исключением конечного числа таких множеств и (2) а, обращается в нуль на диагоналях»: а Лі"" =0 если Ai. = A L для некоторых і ф j- Для каждого 0 и rt 4 обозначим S)Yt G совокупность всех простых функций О- R — IR. , обращающихся в нуль на множестве Для заданной симметрической функции h. 1Rс- R и О, УЪ , Л. определим новую симметрическую функцию с . jL :(R L (R равенством fe.vi t 4 ...,Ч )х М М ,... ft,W-X \9.2 если х4 №\ ... Xt feR ,l4\ , ...HXtUtfK, Ea - ПРИ остальных значений аргумента. Отметим, что ь,п, ь обращается в нуль на множестве (9.23). Теперь мы можем сформулировать наш основной результат. Теорема 9.1. Предположим, что выполнены условия (9.14)-(9.17). Пусть даны сишетрические функции ъ fa : — KV,JO 1 , удовлетворяющие условиям (9.3), (9.4-), а (jD C))i ,o определено равенством (9.1), (9.2). Если, кроме того, (А) для любого существуют П,0 =П/0 ( , 0 1 ; Ь0 4. и простые функции $ а 6 , Jk, 4, = 0 при & &0 такие, где К» L (!R jN ) симметрические функции, зависящие от S" ъ и rv то тогда (У" .+ )Но A» Cbc))t 0 , где Ъ С4г) определено в (9.5) _ где [с Us, olx ) == pUs dx) - CUTC(OU) i х fe (Rj и W(ds jC x), p(ds jdx) - независимые между собой гауссовская и пуассоновская случайные меры в fR+ R и R+K(R0 соответственно, с независимыми значениями на непересекающихся множествах, такие, что EL С V/(-ds dx ) = Некоторые следствия и частные слу;чаи__ Случай I. Предположим, что с д / ) \i одинаково распределены, Е = Е X; =0 , В этом случае условия (9.14)-(9.17) выполняются с =31 = 0 /M(dx) = Хг F (сік) . Если распределение F- ( = v = \)СлЛ) непрерывно (т.е. РС\хр=0 V х в R ), тогда условие (А) теоремы 9.1 выполняется при A -iv на R с и =0 R \ IR.Предполагая, что верно также (9.4) получаем (при Ь - 4 ) результат работы Дынкина и Мандельбаума (см. т. І [3 \ ). Следствие 9.1. При вышесформулированных условиях \ JkCx4,...,xlc)-WCds4)axO...WCdsJk,dxJk))+ o, Cco,-bixiR) где W CcU , AiO - гауссовская случайная мера в IR KIR С независимыми значениями на непересекающихся множествах и дисперсией Е CW CcUjd ))2, = ds, FC x) Случай 2. Пусть случайные величины 0 j 4 при-надлежат области притяжения безгранично делимого закона без гауссовской компоненты. Другими словами, мы предполагаем, что условия (9.14)-(9.16) имеют место с & — О . (Это влечет также условие (9.18) с /4 = 0 .) Имеем Следствие 9.2. Пусть АСг Е= к Rk- IR. , h, А. удовлетворяют условиям (9.3) и (9.4)..Если, кроме того, (А ) для любого 5" 0 существует SL = eCC) () П0 = П0 С;) 4 и простая функция g. = R —? fR. , =0 на (tx4 ,, )6- R; ІХ[,І Ь Для некоторого С -= 1,... А] такая, что V a - ia0 х Т.е. функция о, : (R. — R , определенная равенством О в другом случае, простая согласно определению ЭЛ , -к (s l5(lR ; ЯГ У) не зависит от уг, ,$Г , тог где q,(ds,dx) - центральная пуассоновская мера в R+ o с дисперсией ds TfCdx) . Условия (А), (А ) в некоторых случаях могут быть заменены более простыми условиями (см. ниже). Предложение 9.2. Пусть мера «тГ — тс Со - непрерывна, а Л- fR — IR - непрерывная функция, такая, что 1А(х4 ...,х )Ц ЛчС 0 чСхг,...,х } , где ixi K Тогда функции A,th;)= Л/ удовлетворяют условию (А ). Доказательство этого предложения мы опускаем. Ясно, что 127 некоторые его условия, в частности требование непрерывности функции Лг » могут быть ослаблены. Случай 3: Vi.- X k K ... ) - по-видимому, занимает довольно исключительное место, поскольку сходимость статистик Ь С-Ь j/k. ) может быть доказана без условия (9.17) (хотя при этом предельное распределение записывается в несколько ином виде).
Оценки спектра подчиненных процессов
Впервые, по-видимому, представление (ОЛ) в случае негауссовских _ появилось в работе Рубина, Витале [51]. В разделе I диссертации приведены определения "проекций" ,Ng ... -. и "дискретных" к.си. (0.4), их связь с "непрерывными" к.си. йто --Винера, а в разделе 2 - формулы для семиинвариантов, обобщающие известные диаграммные формулы для "гауссовских" к.си. и играющие важную роль в процессе доказательств ц.п.т. ниже, основанных на методе семиинвариантов.
Раздел 4 посвящен ц.п.т. подчиненным процессам, допускающим разложение (ОЛ). Оказывается, что для справедливости ц. п.т. главное значение имеет порядок роста функций кіЛ ю-- Х ) вблизи диагонали Х4-+ ..,+ Х -О Теорема 0.1. Пусть ряд (ОЛ) конечен (т.е. х =0 для УЬ к и некоторого к / А ) } Н-И -Еслих (СІ) для каждого . О и г -1, ..., Л В теореме 4.2 рассмотрен случай бесконечного ряда (0.4). Условия типа (и) для процессов, подчиненных гауссовскому шуму, впервые рассматривал Маруяма [46] (см. также [45]) (доказательство неопубликовано). В случае ограниченных коэффициентов Ху ц.п.т. и ее уточнения (большие уклонения) следует из результатов Пликуса [23]. Отметим, что одно условие (I) теоремы 4.Ї недостаточно для ц.п.т., а величина "урезания" 8 fi\T в условии (її) - оптимальная (т.е. если Ш заменить на . g-(N) , где о, (N)/fN — « Ы- о«)}то сумма SN /Ты ) вообще говоря, не будет асимптотически нормальной). Отметим также, что в вышеупомянутой теореме Маруямы вместо ьЩ стоит значение N . Существенным в теореме 4.1 является также требование конечности ряда (0.4) (соответствующий контрпример см. в теореме 6.3). Представляет интерес сравнение теоремы 4.1 и теоремы 4.2 с теоремой Ибрагимова ([18], т. 18.6.1) для подчиненных процессов, согласно которой условие достаточно для асимптотической нормальности (0.6). Как показывает теорема 4.ч, условие (0.7)сильнее условий теоремы 4.1 и теоремы 4.2. Следует отметить, однако, что в конкретных случаях проверка условия (6С) теоремы 4.1 может оказаться более трудной по сравнению с (0.7). В исследованиях по предельным теоремам для зависимых случайных величин, особая роль принадлежит процессам вида где Х . Є "2. - стационарный гауссовский процесс, 1:1 fi - данная функция. Хотя процессы (0.8) представляют собой частный случай подчиненных процессов, для них можно получить более простые и точные условия асимптотической нормальности. Предельное распределение сумм процессов (0.8) рассматривалось в работах Розенблатта [47, 48, 49], Такку [57, 58], Гирайтиса [її], Гирайтиса, Сургайлиса [37], Брейера, Майора [Зі], Суна [54] и др. Как показали Добрушин и Майор [33], если корреляционная функция ) гауссовского процесса Х Ь 1L асимптотически ведет себя как -Ь , СО оС 4.)л ранг Эрмита функции % (т.е. номер первого ненулевого коэффи-циента С л в разложении J/- = ZZ Сд Н по полиномам Эрмита равен ha C -d ) и О КУЪ С Л., то процессы ИЫ4г] 4.-«оГА/2, - CXS) сходятся по распределению к "сильно зависимым", негауссовским при т автомодельным процессам, представимым с помощью кратных интегралов Ито -Винера. Аналогичный результат в случае (негауссовского) линейного процесса X.J. был получен Сургайлисом [29], правда, при этом функция /f должна была удовлетворять некоторым жестким условиям аналитичности. Как уже отмечалось, одним из основных результатов диссертации является Теорема 0.2. Пусть X = (X , "Ь є "2.) - стационарный гауссовский процесс с нулевым средним и корреляционной функцией Т х - измеримая функция; - J(- (Х ) , Е Ц0 -0 , Е о«; Е 4 = ai (t) » N = % Если и UO = сг" О , (0Л0) то SN /{Ы Г = ЧАГСОД) . (0.11) Аналогичный результат независимо был получен Брейером и Майором [Зі]; при этом условие (0.9) в [Зі] было заменено на (эквивалентное) условие
