Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вероятностные и моментные неравенства 8
1. Экспоненциальное неравенство 8
2. Неравенства в терминах срезок 10
3. Некоторые следствия 17
4. Моментные неравенства 25
Глава 2. Большие уклонения в крамеровском случае 29
1. Формулировка основных результатов 29
2. Вспомогательные результаты 31
3. Доказательство теоремы 2.1 45
4. Доказательство теоремы 2.2 48
Глава 3. О локальной предельной теореме 50
1. Формулировка результатов 50
2. Вспомогательные результаты 51
3. Доказательство предложения 64
4. Доказательство теоремы 3.1 66
Литература 70
- Неравенства в терминах срезок
- Моментные неравенства
- Вспомогательные результаты
- Доказательство предложения
Введение к работе
Пусть f — случайная величина, принимающая только целые неотрицательные значения. Через {pk}kLo обозначим распределение f, т.е. Рк = P(f = к) для всякого к. Процессом Гальтона—Ватсона называется однородная во времени цепь Маркова Zn, переходные вероятности которой задаются равенствами
p(zn+i=j\zn = i)=P(-;i\
где {р* }io ~ г-кратная свертка распределения {р*;}10.
Процесс Гальтона—Ватсона можно рассматривать как стохастическую модель динамики популяции однотипных частиц, которые не взаимодействуют друг с другом. В этом случае величина Zn интерпретируется как число частиц в n-м поколении.
Процесс Гальтона—Ватсона является простейшим из всех ветвящихся процессов, и, как следствие, достаточно хорошо изученным. Однако несмотря на это, теорию этих процессов нельзя считать завершенной. Это в частности относится к такому важному разделу, как большие уклонения. Важность исследования этой проблемы обуславливается, в частности, тем, что вероятности ошибок многих статистических критериев оказываются тесно связанными с большими уклонениями соответствующих случайных процессов. Кроме того, к большим уклонениям ветвящихся процессов сводится исследование условий стабильности стохастических моделей.
Большая часть настоящей диссертации посвящена восполнению этого пробела: изучению вероятностей больших уклонений для критических (Ef = 1) процессов Гальтона—Ватсона. Кроме того, в последней главе при минимальных моментных ограничениях доказывается локальная предельная теорема для критических процессов Гальтона—Ватсона.
Мы начнем с краткого обзора результатов, имеющих отношение к прилагаемой диссертации.
Введем сначала необходимые обозначения. Положим f(s) = Es^, В = /"(1), С = /'"(1). Во избежание детерминированного случая f(s) = s всюду в дальнейшем будем предполагать, что ро > 0. Через Qn обозначим вероятность продолжения процесса Zn, т.е. Qn = lP(Zn > 0). Положим для краткости
Pn(u)=J>(^>u\Zn>0).
Известно, что критический процесс Гальтона—Ватсона вырождается с вероятностью один, т. е. Qn - 0 при п -> со. А.Н. Колмогоров [1] показал, что при выполнении условия С < со имеет место соотношение
Qn = ^(1 + 0(1)). (ол)
При том же самом условии A.M. Яглом [2] доказал интегральную предельную теорему, которая в терминах Рп(и) выглядит следующим образом
lim Рп(и) = е"и (0.2)
для любого фиксированного и. Кестен, Ней и Спитцер [3] показали, что соотношения (0.1) и (0.2) остаются верными и при менее ограничительном условии В < со.
В работе СВ. Нагаева и Р. Мухамедхановой [4] при соответствующих моментных ограничениях получены несколько следующих членов в разложении величины Qn, а в работе Р. Мухамедхановой и А. Ганиева [5] выводятся полные асимптотические разложения для величины Qn. В случае В = со асимптотика вероятности продолжения и интегральная предельная теорема для критического процесса Гальтона — Ватсона получены Слэком [6]. Для неоднородных во времени ветвящихся процессов соотношения, аналогичные (0.1) и (0.2), получены в работе К.А. Боровкова [7].
Впервые оценка скорости сходимости в (0.1) была получена в работе [4J, а именно
An:=supk(w)-e-w =0(—) (0.3)
при выполнения условия С < со. К.А. Боровков [7] распространил данный результат на неоднородные ветвящиеся процессы.
Первая работа, в которой доказывается локальная предельная теорема для ветвящихся процессов, принадлежит, по-видимому, В.М.Золотареву [8]. В этой работе исследуется асимптотическое поведение величины Р(2* = к) при фиксированном к для марковского ветвящегося процесса с непрерывным временем. Для процесса Гальтона—Ватсона этот вопрос изучался в работе [3], а именно
lim -n2P(Zn = j) = /x(j) < со,
пчм z
при выполнении условия В < со.
В предположении о существовании четвертого момента числа прямых потомков В.П.Чистяков [9] вывел асимптотику P(Zt = к) при t,k -» со для марковского ветвящегося процесса с непрерывным временем. В [9] также упоминается, что для дискретного времени аналогичный результат получен Н.В. Смирновым. Однако с момента появления работы В.П. Чистякова ни формулировка, ни доказательство не были опубликованы.
В работе [3] при условии В < со формулируется следующий результат: если к и п стремятся к бесконечности так, что их отношение остается ограниченным, то
где d = н.о.д.{& : рк > 0}. Но доказательство этого соотношения авторы работы [3] провели при условии
Ef2ln(l + f) Они отмечают также, что условие (0.5) накладывается ими ради простоты изложения. Однако доказательство (0.4) без условия (0.5) до настоящего времени не было опубликовано. Одновременно с [3] появилась статья [4], в которой при условии существования четвертого момента случайной величины f доказывается равенство —V{Zn = к) = exp(--^J + акп + 0(k~l Inn), (0.6) где ctkn —> 0 при п -> со равномерно по всем к. Соотношение (0.4) следует из (0.6) только при A;"1 Inn -> со. С другой стороны, из (0.6) вытекает, что (0.4) остается верным, если к/п стремится к бесконечности достаточно медленно. Отметим, что соотношения (0.2) и (0.4) не позволяют найти порядок убывания Р(-^п > к) и {Zn = к) при к/п —> со. Некоторую информацию о поведении P(Z„ > к) можно извлечь из оценки (0.3). Если положить ип = Inn— (2+є) In Inn, то согласно (0.3) lim sup euPn{u) = 1. (0.7) n-+oou<Un Если же и > In n — (2 — є) In In n, то из (0.3) вытекает лишь независящая от и верхняя оценка „ , ч Л/1п2п\ Таким образом, соотношения (0.2) и (0.3) содержат не слишком много информации Как и в схеме суммирования независимых случайных величин, проблема оценки Р(^п > к) при больших значениях к гораздо проще решается в случае, когда выполнено условие Крамера (R — радиус сходимости функции f(s) — строго больше единицы). В этом предположении СВ. Нагаев и Н.В. Вахрушев [10] получили аналог неравенства Бернштейна для критического процесса Гальтона—Ватсона. В работе Г.Д. Макарова [11] показано, что если выполняется условие Крамера, то соотношение (0.7) верно при и = о(п/ In піп(лг)п). Здесь 1п(дг)П обозначает N-ю итерацию функции In х. В этой статье при дополнительном ограничении d = 1 доказывается локальная предельная теорема для значений к, соответствующих зоне 0 < и < ип. Более точно, соотношение (0.4) справедливо при А; = o(n2/In nln(//)n). В другой работе Г.Д. Макарова [12] формулируются результаты, касающиеся асимптотического поведения величин Р(„ = А;) и V{Zn > к) при к = о(п2/1п(лг)п). Необходимо однако отметить, что ключевой технический результат этой статьи — лемма 2 — приводится без доказательства. В [13] утверждения работы [11] переносятся на ветвящиеся процессы, близкие к критическим. В случае, когда условие Крамера не выполняется, большие уклонения критического процесса Гальтона—Ватсона изучались в работе Атрейи и Видьяшанкара [14]. А именно, в этой статье доказано, что для любого є > 0 lim тіР( |%І - 1 > e\Zn > О) = q(e) < со. (0.8) п-юо \| Zn ' При выводе этого соотношения предполагается, что E2+(J < со при некотором 6 > 0. Отметим также, что большие уклонения для надкритических процессов Гальтона—Ватсона изучалась в работах Биггинса и Бингхама [15], Атрейи [16] и Атрейи и Видьяшанкара [14, 17]. Более точно, в [15] исследуется поведение хвоста распределения величины W = \\mZn/mn (m = /'(1)), а в [14] и [17] получены аналоги соотношения (0.8) соответственно надкритических процессов с одним или с несколькими типами частиц. Обратимся теперь к результатам, касающимся поведения случайного процесса Мп = maxjfc<n Zk. Линдвал [18] доказал, что limI_+00a;P(M0o > х) = 1 при выполнении условия В < со. К. А. Боровков и В. А. Ватутин [19] распространили этот результат на случай f(s) = s+(l—$)1+aL((l—s)~l), a (0,1], где L{x) — медленно меняющаяся функция. В работах [18, 19, 20, 21, 22, 23] изучалась асимптотика математического ожидания величины Мп при п —> со. Вайнер [21] и Кеммерли и Шу [22] получили асимптотические оценки для величин ЕМ и EZ. В статье Пэйкса [24] исследовалось предельное поведение распределения Мп для близкого к критическому процессу Гальтона—Ватсона, начинающегося с большого числа частиц. Верхние оценки для хвоста распределения Мп были предметом изучения в диссертации А. В. Карпенко [25]. В частности в этой работе получено неравенство, связывающее распределения величин Мп и Zn V{Mn >к)< — v n- J - mmi Диссертация состоит из трех глав. Нумерация утверждений и формул двойная: например, теорема 1.2 является второй теоремой первой главы. Список литературы содержит 47 наименований, расположенных в порядке цитирования. Работы автора помещены в конце списка. Первая глава посвящена выводу вероятностных неравенств для величины Мп при различных моментных ограничениях на распределение числа потомков отдельной особи. В первом параграфе уточняется неравенство из работы [10]. В параграфах 2 и 3 исследуется случай, когда существует лишь конечное число степенных моментов. Полученные неравенства аналогичны неравенствам Нагаева—Фука для сумм независимых случайных величин. При доказательстве теорем 1.2 и 1.3 используется метод урезания случайных величин с последующим оцениванием производящих функций срезок. Как выяснилось возможен и другой подход, который основан на применении вероятностных неравенств Фука для мартингалов [26]. Этот подход реализуется в параграфе 3. Заметим, что неравенства Фука неприменимы непосредственно к процессу Zn (который, как известно, является мартингалом), так как условные моменты E{|Zn+i — Zn^\Zn = к} не являются ограниченными по к. Однако оказалось, что это условие выполняется для процесса Wn = \/%ї, который является супермартингалом. Нетрудно показать, буквально повторяя рассуждения Фука, что его неравенства являются справедливыми и для супермартингалов. Применяя к процессу Wn следствие из теоремы 2 работы [26] и используя затем тождество Р(М» > к) = Р(тах,<пИ^ > у/к) мы получим верхнюю оценку, которая составляет содержание теоремы 1.5. Четвертый параграф первой главы посвящен выводу моментных неравенств для максимального и общего числа потомков в критическом процессе Гальтона—Ватсона. Во второй главе изучается асимптотическое поведение вероятностей ~P{Zn = к) и Р(^п > к) при выполнении условия Крамера. Основным результатом является локальная предельная теорема, действующая в зоне к = о{п2) — теорема 2.1. Опираясь на этот результат, мы получаем интегральную теорему о больших уклонениях (теорема 2.2), из которой следует, что при и = о(п) Рп(и) = e-uexp(--ulnu)(l + 0(1)), где 7=1 — 2С/(ЗВ2). Из этого представления для Рп(и) следует, что соотношение (0.5) выполняется при и = o(n/lnn). Результаты этой главы усиливают утвеждения работ [11] и [12]. Автор этих работ для изучения вероятностей больших уклонений в крамеровском случае использовал аппарат анализа Фурье, тогда как наш подход базируется на модификации известного метода Крамера (относительно последнего см., например, [27], гл.8, 2). А именно, с помощью преобразований Крамера строится такой вспомогательный ветвящийся процесс, что большие уклонения исходного процесса переходят в нормальные уклонения для вспомогательного. Затем доказывается локальная предельная теорема для вспомогательного процесса, из которой вытекает утверждение теоремы 2.1. Последняя глава посвящена доказательству локальной предельной теоремы при минимальном моментном ограничении В < со. Отказ от условия (0.5) приводит к появлению новых по сравнению с доказательством из [3] технических трудностей. Для преодоления возникших проблем приходится привлекать комплексный анализ, тогда как авторы [3] обошлись анализом производящих функций в действительной области. Результатом применения аналитических методов явилась оценка (3.29): P(Zn = к) < с/(пк). Следующим и самым сложным этапом в представленном доказательстве локальной предельной теоремы является оценка функции концентрации процесса — неравенство (3.2). Вследствие (0.1) эту оценку можно записать следующим образом: БирА>1 Р((") = к) < с/тг, где f ^ — случайная величина, распределение которой совпадает с условным распределением Zn при условии Zn > 0. Прежде всего заметим, что при к > п желаемая оценка вытекает из неравенства (3.29), т.е. остается рассмотреть случай к < п. Далее с помощью неравенства (3.29) удается доказать, что supJt>1P(^i + = ^) ^ с/п> гДе м и $2 независимые копии величины ("). Отсюда, используя известное неравенство Кестена, мы получаем оценку функции концентрации суммы |п ' +... при всех j > 2. Оказалось, что при к < п величину P(fW = к) можно выразить через Р(М = Jfe) и Р(}п) + ... ф = к), j = 2^к. Собирая описанные выше оценки, мы приходим к (3.2). Интересным является следующий факт: мы используем оценки функции концентрации сумм для того, чтобы с приемлемой точностью оценить функцию концентрации отдельного слагаемого. Последним важным шагом является доказательство равномерной по классу производящих функций {fn(s)}n>i теоремы восстановления —лемма 3.20. С помощью стандартных методов теории восстановления этот результат получить невозможно, так как вторые производные /^'(1) неограниченно возрастают с ростом п. Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Сергею Викторовичу Нагаеву за постановку задачи, ценные рекомендации, помощь и постоянное внимание к работе. Таким образом, соотношения (0.2) и (0.3) содержат не слишком много информации о величине Рп{и) при больших значениях и, и, следовательно, этот вопрос требует специального изучения. . ч Как и в схеме суммирования независимых случайных величин, проблема оценки Р( п к) при больших значениях к гораздо проще решается в случае, когда выполнено условие Крамера (R — радиус сходимости функции f(s) — строго больше единицы). В этом предположении СВ. Нагаев и Н.В. Вахрушев [10] получили аналог неравенства Бернштейна для критического процесса Гальтона—Ватсона. В работе Г.Д. Макарова [11] показано, что если выполняется условие Крамера, то соотношение (0.7) верно при и = о(п/ In піп(лг)п). Здесь 1п(дг)П обозначает N-ю итерацию функции In х. В этой статье при дополнительном ограничении d = 1 доказывается локальная предельная теорема для значений к, соответствующих зоне 0 и ип. Более точно, соотношение (0.4) справедливо при А; = o(n2/In nln(//)n). В другой работе Г.Д. Макарова [12] формулируются результаты, касающиеся асимптотического поведения величин Р(„ = А;) и V{Zn к) при к = о(п2/1п(лг)п). Необходимо однако отметить, что ключевой технический результат этой статьи — лемма 2 — приводится без доказательства. В [13] утверждения работы [11] переносятся на ветвящиеся процессы, близкие к критическим. В случае, когда условие Крамера не выполняется, большие уклонения критического процесса Гальтона—Ватсона изучались в работе Атрейи и Видьяшанкара [14]. А именно, в этой статье доказано, что для любого є 0 п-юо \ Zn При выводе этого соотношения предполагается, что E2+(J со при некотором 6 0. Отметим также, что большие уклонения для надкритических процессов Гальтона—Ватсона изучалась в работах Биггинса и Бингхама [15], Атрейи [16] и Атрейи и Видьяшанкара [14, 17]. Более точно, в [15] исследуется поведение хвоста распределения величины W = \\mZn/mn (m = / (1)), а в [14] и [17] получены аналоги соотношения (0.8) соответственно надкритических процессов с одним или с несколькими типами частиц. Обратимся теперь к результатам, касающимся поведения случайного процесса Мп = maxjfc n Zk. Линдвал [18] доказал, что limI_+00a;P(M0o х) = 1 при выполнении условия В со. К. А. Боровков и В. А. Ватутин [19] распространили этот результат на случай f(s) = s+(l—$)1+aL((l—s) l), a (0,1], где L{x) — медленно меняющаяся функция. В работах [18, 19, 20, 21, 22, 23] изучалась асимптотика математического ожидания величины Мп при п — со. Вайнер [21] и Кеммерли и Шу [22] получили асимптотические оценки для величин ЕМ и EZ. В статье Пэйкса [24] исследовалось предельное поведение распределения Мп для близкого к критическому процессу Гальтона—Ватсона, начинающегося с большого числа частиц. Верхние оценки для хвоста распределения Мп были предметом изучения в диссертации А. В. Карпенко [25]. В частности в этой работе получено неравенство, связывающее распределения величин Мп и Zn v n- J - mmi kI (Zi vk\Z0 = к) v Диссертация состоит из трех глав. Нумерация утверждений и формул двойная: например, теорема 1.2 является второй теоремой первой главы. Список литературы содержит 47 наименований, расположенных в порядке цитирования. Работы автора помещены в конце списка. Первая глава посвящена выводу вероятностных неравенств для величины Мп при различных моментных ограничениях на распределение числа потомков отдельной особи. В первом параграфе уточняется неравенство из работы [10]. В параграфах 2 и 3 исследуется случай, когда существует лишь конечное число степенных моментов. Полученные неравенства аналогичны неравенствам Нагаева—Фука для сумм независимых случайных величин. При доказательстве теорем 1.2 и 1.3 используется метод урезания случайных величин с последующим оцениванием производящих функций срезок. Как выяснилось возможен и другой подход, который основан на применении вероятностных неравенств Фука для мартингалов [26]. Этот подход реализуется в параграфе 3. Заметим, что неравенства Фука неприменимы непосредственно к процессу Zn (который, как известно, является мартингалом), так как условные моменты E{Zn+i — Zn \Zn = к} не являются ограниченными по к. Однако оказалось, что это условие выполняется для процесса Wn = \/%ї, который является супермартингалом. Нетрудно показать, буквально повторяя рассуждения Фука, что его неравенства являются справедливыми и для супермартингалов. Применяя к процессу Wn следствие из теоремы 2 работы [26] и используя затем тождество Р(М» к) = Р(тах, пИ у/к) мы получим верхнюю оценку, которая составляет содержание теоремы 1.5. Четвертый параграф первой главы посвящен выводу моментных неравенств для максимального и общего числа потомков в критическом процессе Гальтона—Ватсона. Во второй главе изучается асимптотическое поведение вероятностей P{Zn = к) и Р( п к) при выполнении условия Крамера. Основным результатом является локальная предельная теорема, действующая в зоне к = о{п2) — теорема 2.1. Опираясь на этот результат, мы получаем интегральную теорему о больших уклонениях (теорема 2.2), из которой следует, что при и = о(п) где 7=1 — 2С/(ЗВ2). Из этого представления для Рп(и) следует, что соотношение (0.5) выполняется при и = o(n/lnn). Результаты этой главы усиливают утвеждения работ [11] и [12]. Автор этих работ для изучения вероятностей больших уклонений в крамеровском случае использовал аппарат анализа Фурье, тогда как наш подход базируется на модификации известного метода Крамера (относительно последнего см., например, [27], гл.8, 2). А именно, с помощью преобразований Крамера строится такой вспомогательный ветвящийся процесс, что большие уклонения исходного процесса переходят в нормальные уклонения для вспомогательного. Затем доказывается локальная предельная теорема для вспомогательного процесса, из которой вытекает утверждение теоремы 2.1. Последняя глава посвящена доказательству локальной предельной теоремы при минимальном моментном ограничении В со. Отказ от условия (0.5) приводит к появлению новых по сравнению с доказательством из [3] технических трудностей. Для преодоления возникших проблем приходится привлекать комплексный анализ, тогда как авторы [3] обошлись анализом производящих функций в действительной области. Результатом применения аналитических методов явилась оценка (3.29): P(Zn = к) с/(пк). Следующим и самым сложным этапом в представленном доказательстве локальной предельной теоремы является оценка функции концентрации процесса — неравенство (3.2). Вследствие (0.1) эту оценку можно записать следующим образом: БирА 1 Р((") = к) с/тг, где f — случайная величина, распределение которой совпадает с условным распределением Zn при условии Zn 0. Прежде всего заметим, что при к п желаемая оценка вытекает из неравенства (3.29), т.е. остается рассмотреть случай к п. Далее с помощью неравенства (3.29) удается доказать, что supJt 1P( i + = ) с/п гДе м и $2 независимые копии величины ("). Отсюда, используя известное неравенство Кестена, мы получаем оценку функции концентрации суммы п +... при всех j 2. Оказалось, что при к п величину В настоящей главе изучается асимптотика вероятностей больших уклонений критического процесса Гальтона—Ватсона при выполнении условия Крамера. Основными результатами являются следующие теоремы. Теорема 2.1. Пусть R 1, к/п — со, к = о(п2). Тогда при п — со для к кратных d = н.о.д.{к :рк 0} Опираясь на локальную предельную теорему мы получаем интегральную теорему о больших уклонениях. Из этой теоремы легко следует, что при ип = o(n/lnn) выполняется соотношение (0.7). Нетрудно заметить, что указанная зона не может быть расширена без дополнительных ограничений на процесс Zn. Если, например, положить ип = n/lnn, то согласно (2.2) и (0.1) limeu»Pn(t/n) = exp(- Wl при 7 ф 0. Если же 7 = 0, то сходимость к экспоненциальному распределению будет иметь место при всех и = о(п). Легко убедиться в том, что 7 = 0 для любой дробно-линейной производящей функции. Заметим, что в отличие от классической теоремы Крамера поправочный член в (2.2) зависит только от второго и третьего моментов исходного распределения. Это, по-видимому, объясняется тем, что зона, в которой поправочный множитель оказывается существенен, очень узка. Опишем вкратце схему доказательства теоремы 2.1. Пусть X - случайная величина, принимающая лишь целые неотрицательные значения. Предположим, что радиус сходимости функции p(s) = Esx строго больше единицы. Тогда для всякого г такого, что р{г) со положим pT{s) = p(rs)/p(r). Случайную величину Х(г) такую, что Esx(r = pr(s) будем называть преобразованием Крамера случайной величины X. С помощью преобразования Крамера случайной величины Z\ строится неоднородный во времени процесс Гальтона—Ватсона У , к = 1,п, для которого распределение числа потомков одной особи в (к — 1)-м поколении задается производящей функцией f(rk-is)/f(rk-i), где параметры г преобразования Крамера вычисляются согласно рекуррентному соотношению г = /(г _і). Тогда распределение исходного и вспомогательного процессов будут связаны следующим образом Свободный параметр го выбирается таким образом, чтобы большие уклонения для исходного процесса свести к нормальным для вспомогательного. Тем самым, доказав локальную предельную теорему для построенного процесса Yn, мы получаем асимптотику локальной вероятности больших уклонений процесса Zn. Если d 1, то можно произвести редукцию к апериодическому случаю. Рассмотрим процесс Z , построенный по производящей функции оо t=0 Очевидно, что радиус сходимости g(s) также будет больше единицы и d =н.о.д.{А;: р к 0} = 1. Кроме того, В = д"(1) = B/d, С = д" (1) = C/d2. Следовательно, 7 =7 Несложно заметить, что для всякого п 1 Это равенство означает, что процесс Z можно представить следующим образом где Zn - независимые случайные величины, распределенные как и Zn. Из этого представления следует неравенство С другой стороны ([3], стр.602, формула (4.11)) Из оценок (2.4), (2.5) и последнего соотношения следует, что равномерно по всем к Если предположить, что утверждение теоремы 2.1 верно для апериодического случая, то применяя ее к процессу Z , получим п/гг м 4сР г 2kd 2 kd. /к\л л „/к lnn\\ Отсюда вытекает, что при А; = о(п2). Из двух последних соотношений и неравенств (2.6), (2.7) следует равенство т.е. доказано, что из справедливости (2.1) в апериодическом случае выводится (2.1) для произвольной f(s). Аналогично показывается, что и (2.2) остается верным при d 1. Таким образом, достаточно доказать теоремы 1 и 2 в предположении, что d = 1. Необходимо отметить, что такая же редукция к апериодическому случаю использовалась авторами работы [3] при доказательстве локальной предельной теоремы. Однако, они вывели оценку, аналогичную (2.4), не используя представление (2.3), что существенно увеличило технические трудности, которые им пришлось преодолеть. Утверждение леммы по форме аналогично утверждению теоремы 3 работы [4]. Доказательство также во многом повторяет доказательство указанного результата. Доказательство. Из определения yj следует Нетрудно заметить, что /(1 + у) 1 + у. Следовательно, последовательность yj убывает. Отсюда вытекает существование предела при j — оо. Очевидно, что этот предел должен удовлетворять уравнению у = /(1 + у) — 1. Но единственным корнем этого уравнения является у = 0. Это означает, что yj — 0 при j - со. Раскладывая /(1 + z) в ряд Тейлора, получаем В настоящей главе изучается асимптотика вероятностей больших уклонений критического процесса Гальтона—Ватсона при выполнении условия Крамера. Основными результатами являются следующие теоремы. Теорема 2.1. Пусть R 1, к/п — со, к = о(п2). Тогда при п — со для к кратных d = н.о.д.{к :рк 0} Опираясь на локальную предельную теорему мы получаем интегральную теорему о больших уклонениях. Теорема 2.2. В условиях теоремы 1 Из этой теоремы легко следует, что при ип = o(n/lnn) выполняется соотношение (0.7). Нетрудно заметить, что указанная зона не может быть расширена без дополнительных ограничений на процесс Zn. Если, например, положить ип = n/lnn, то согласно (2.2) и (0.1) limeu»Pn(t/n) = exp(- Wl при 7 ф 0. Если же 7 = 0, то сходимость к экспоненциальному распределению будет иметь место при всех и = о(п). Легко убедиться в том, что 7 = 0 для любой дробно-линейной производящей функции. Заметим, что в отличие от классической теоремы Крамера поправочный член в (2.2) зависит только от второго и третьего моментов исходного распределения. Это, по-видимому, объясняется тем, что зона, в которой поправочный множитель оказывается существенен, очень узка. Опишем вкратце схему доказательства теоремы 2.1. Пусть X - случайная величина, принимающая лишь целые неотрицательные значения. Предположим, что радиус сходимости функции p(s) = Esx строго больше единицы. Тогда для всякого г такого, что р{г) со положим pT{s) = p(rs)/p(r). Случайную величину Х(г) такую, что Esx(r = pr(s) будем называть преобразованием Крамера случайной величины X. С помощью преобразования Крамера случайной величины Z\ строится неоднородный во времени процесс Гальтона—Ватсона У , к = 1,п, для которого распределение числа потомков одной особи в (к — 1)-м поколении задается производящей функцией f(rk-is)/f(rk-i), где параметры г преобразования Крамера вычисляются согласно рекуррентному соотношению г = /(г _і). Тогда распределение исходного и вспомогательного процессов будут связаны следующим образом Свободный параметр го выбирается таким образом, чтобы большие уклонения для исходного процесса свести к нормальным для вспомогательного. Тем самым, доказав локальную предельную теорему для построенного процесса Yn, мы получаем асимптотику локальной вероятности больших уклонений процесса Zn. Если d 1, то можно произвести редукцию к апериодическому случаю. Рассмотрим процесс Z , построенный по производящей функции оо t=0 Очевидно, что радиус сходимости g(s) также будет больше единицы и d =н.о.д.{А;: р к 0} = 1. Кроме того, В = д"(1) = B/d, С = д" (1) = C/d2. Следовательно, 7 =7 Несложно заметить, что для всякого п 1 Это равенство означает, что процесс Z можно представить следующим образом где Zn - независимые случайные величины, распределенные как и Zn. Из этого представления следует неравенство С другой стороны ([3], стр.602, формула (4.11)) Из оценок (2.4), (2.5) и последнего соотношения следует, что равномерно по всем к Если предположить, что утверждение теоремы 2.1 верно для апериодического случая, то применяя ее к процессу Z , получим Отсюда вытекает, что при А; = о(п2). Из двух последних соотношений и неравенств (2.6), (2.7) следует равенство т.е. доказано, что из справедливости (2.1) в апериодическом случае выводится (2.1) для произвольной f(s). Аналогично показывается, что и (2.2) остается верным при d 1. Таким образом, достаточно доказать теоремы 1 и 2 в предположении, что d = 1. Необходимо отметить, что такая же редукция к апериодическому случаю использовалась авторами работы [3] при доказательстве локальной предельной теоремы. Однако, они вывели оценку, аналогичную (2.4), не используя представление (2.3), что существенно увеличило технические трудности, которые им пришлось преодолеть. 2. Вспомогательные результаты. Лемма 2.1. Пусть 0 уо R—1, последовательность yj задается уравнением УНі = Ґ1{1+Уі)-1. Тогда - гтж+(!-i)(rTWln(1+B«/2)+0((TTw)- (2 8) Утверждение леммы по форме аналогично утверждению теоремы 3 работы [4]. Доказательство также во многом повторяет доказательство указанного результата. Доказательство. Из определения yj следует Уз = /(1 + Vj+i) - 1 Нетрудно заметить, что /(1 + у) 1 + у. Следовательно, последовательность yj убывает. Отсюда вытекает существование предела при j — оо. Очевидно, что этот предел должен удовлетворять уравнению у = /(1 + у) — 1. Но единственным корнем этого уравнения является у = 0. Это означает, что yj — 0 при j - со. Раскладывая /(1 + z) в ряд Тейлора, получаем Сравнивая два последних соотношения, мы заключаем, что в зоне значений /г = о(пг12) оценка отличается от асимптотики лишь множителем (2ек/Вп)(1 + о(1)). Отметим также, что при аналогичном выборе параметра уо неравенство (1.1) дает более грубый результат. Уточнение достигнуто за счет использования в неравенстве Чебышева Р(Х к) Ед(Х)/д{к) функции д(х) = ehx-l (в [10] использовалась д(х) = ehx). В остальном же доказательство теоремы 1.1 повторяет доказательство теоремы из статьи [10]. Доказательство теоремы 1.1. Для любого h 0 определим величины Yn(h) равенством Yn(h) = ehZn— 1. Нетрудно заметить, что построенная последовательность случайных величин является субмартингалом. Применяя неравенство Дуба, имеем Рассмотрим последовательность положительных чисел, определяемых следующим образом В работе [10] для этой последовательности получены следующие неравенства Полагая в (1.7) h = 1п(1 + у„) и учитывая (1.9), (1.10), приходим к требуемому неравенству. 2. Неравенства в терминах срезок. В этом параграфе, в отличие от предыдущего, не предполагается существование экспоненциального момента величины . Неравенства, доказываемые ниже, содержат лишь степенные моменты и хвост распределения f. В дальнейшем нам понадобятся следующие обозначения. Для любого N 0 положим В = E{f(f — l);f N}, r = E{r-4e-i);e iV}/2 Теорема 1.2. Пусть Br := Ef со для некоторого г Є (1,2]. Тогда для всякого N такого, что JV-1 еВгп, (1.11) имеет место неравенство Отметим, что следующая теорема не предполагает существования у случайной величины f моментов выше первого. Теорема 1.3. Пусть г 2. Тогда для любых га 1, JV 1 и уо О имеет место неравенство При доказательстве теорем 1.2 и 1.3 используется метод урезания случайных величин с последующим оцениванием производящих функций срезок. Этот подход использовался ранее для получения вероятностных неравенств для сумм независимых случайных величин. Наиболее общие результаты в этом направлении представлены в работе Д. X. Фука и С. В. Нагаева [30]. В этой работе не предполагается конечность каких-либо моментов, а полученные оценки выражаются в терминах урезанных моментов и хвостов распределений слагаемых. Первое слагаемое в оценке (1.13) соответствует предельной теореме для критического процесса Гальтона —Ватсона, а второе — вероятности достижения высокого уровня в результате одного большого скачка, т.е. за счет появления в процессе частицы, число потомков которой велико. Доказательство теорем 1.2 и 1.3. Зафиксируем некоторое N 1. Через f(s) обозначим срезку функции f(s) на уровне N, т.е. /(s) = o fc ArP sfe- Пусть xQ -минимальный положительный корень уравнения х = f(x). Через Ап обозначим событие, состоящее в том, что каждая частица первых п поколений имеет не более N прямых потомков. Вероятность события {Мп к} можно оценить следующим образом где Ап - дополнение события Ап. Нетрудно видеть, что P(An) = 7(1), (1.15) где fn(s) — n-я итерация функции /(s). Из того, что f (s) 1 для всех з Є [0,1], заключаем fj(i)-fw(i) = 7(5-iji)) - 7(5(1)) sup л )(5_і(і)- 7(і)) «[0,1] 7_і(і) - 7(1) ... і - 7(і) = р(е ю. Следовательно, р(лп) = і - 7п(і) = (7(1) - 7+і(і)) nptf N). (Lie) Поскольку последовательность /п(1) не возрастает и ограничена, то у нее существует limn_ oo /п(1) = я 1» причем х = f(x ). Поскольку уравнение х = f(x) имеет единственное решение на отрезке [0,1], то х = х0. Таким образом, /п(1) і х0 при п - со. Отсюда, в силу (1.15) Принимая во внимание то, что функция f (s) не убывает, приходим к неравенству Отсюда, используя равенства Х оР» = YlZi гр = 1, получаем оценку = 2i NPi 0. Если же P(f N) = 0, то х0 = 1 и соотношение (1.18) остается верным. Для оценки первого слагаемого в (1.14) нам понадобится следующая Лемма 1.1. Для всякого h 0 справедливо неравенство Доказательство. Для любого і 0 положим Х, = в /(4). Из определения событий Л,- следует, что Д-+і С Л для любого г. Это означает, что нуль является поглощающим состоянием процесса ХІ. Следовательно, Если произошло событие {Xi = ehj}, то произошли события {I{Ai) = 1} И {Zi = j}. В этом случае гДе {&} — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с распределением {рк} Отсюда заключаем, что для всякого j 0 справедливо равенство Из (1.20) и (1.21) следует, что последовательность ХІ является супермартингалом при h, удовлетворяющем условию f{eh) eh, и, субмартингалом при f(eh) eh.
о величине Рп{и) при больших значениях и, и, следовательно, этот вопрос требует
специального изучения. . ч^"Z^L ТТ. 0 < и < 1. (0.9)Неравенства в терминах срезок
Моментные неравенства
Вспомогательные результаты
Доказательство предложения
Похожие диссертации на Вероятностные неравенства и предельные теоремы для критических ветвящихся процессов
