Введение к работе
Настоящая работа посвящена нахождению предельных рас- ' пределений (в схеме серий) для сумм случайных величин, любые г из которых независимы, нахождению оценок отклонения распределения линейных функций сумм таких случайных величин от стандартного нормального распределения и преобразованиям исходных последовательностей независимых случайных элементов (величин) в последовательности независимых случайных элементов (величин) с произвольным заданным дискретным распределением вероятностей.
Актуальность темы. Предельные теоремы составляют один из наиболее важных для приложений разделов современной теории вероятностей. Схема суммирования независимых случайных величин и предельные теоремы для сумм таких случайных величин (в том числе и центральная предельная теорема) были центром проблематики теории вероятностей на протяжении многих десятилетий.
Предположение независимости суммируемых случайных величин не является необходимым условием выполнения центральной предельной теоремы для сумм случайных величин. Еще А.А. Марков показал, что для зависимых случайных величин, связанных между собой специальным образом (цепь Маркова), центральная предельная теорема остается справедливой. Позже в теорию вероятностей вошли такие понятия, как слабая зависимость, мартингалы и ряд других.
Зависимыми в совокупности случайными величинами являются и рассматриваемые в диссертации случайные величины, со-тавляющие последовательность г-независимых случайных величин, то-есть последовательность случайных величин, любые г из которых ( г > 2 ) являются независимыми.
Впервые последовательности случайных величин, любые г из которых независимы, были рассмотрены Н.С.Бахваловым в 1964 году (Бахвалов Н.С. Об оптимальных оценках сходимости квадрируемых процессов и методов интегрирования типа Монте-Карло на классах функций // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. - М.: Наука, 1964.- С. 5-63.) и использованы при вычислении на ЭВМ определенных интегралов методом Монте-Карло с помощью реализаций г-независимых дискретных случайных величин ^,...,N , каждая из которых равномерно распределена на числовом множестве
В данном случае в этом и заключен смысл использования г-независимых случайных величин: "длинные" последовательности независимых случайных величин генерировать трудно, поэтому желательно уметь из сравнительно небольшого количества исходных независимых случайных величин формировать тем или иным способом "длинные" последовательности случайных величин, пусть и зависимых, но по некоторым параметрам близких к последовательностям независимых случайных величин с такими же одномерными распределениями вероятностей.
Методом, изложенным в упомянутой работе Н.С.Бахвалова, а также методом, предложенным автором в Сі], можно получать последовательности г-независимых случайных величин с произвольными одномерными распределениями.
Характеристиками близости распределения суммы г-независимых случайных величин и суммы независимых случайных величин с такими же одномерными распределениями (в схеме серий) являются установленное автором совпадение их предельных распределений, а также полученные автором оценки отклонения распределения линейной функции суммы r-независимых случайных величин от стандартного нормального распределения.
Задача генерации случайных (псевдослучайных) последовательностей той или иной природы (например, случайных подстановок) всегда была актуальна для различных приложений. В последнее время в связи с развитием вычислительной техники значительно расширились технические возможности получения таких последовательностей.
Случайная последовательность, которую необходимо получить, вырабатывается некоторым генератором или формируется с помощью тех или иных преобразований из исходной последовательности, вырабатываемой генератором и представляющей собой последовательность независимых случайных элемнтов (случайных величин) одинаково распределенных (как правило, равномерно) на некотором конечном множестве. При этом достижимы далеко не все желаемые распределения случайных элемнтов (случайных величин) формируемой последовательности.
Кроме того, многие алгоритмы крайне чувствительны к отклонениям распределения исходной последовательности в том
смысле, что небольшие отклонения распределения исходной последовательности (от равномерного) приводят к существенным отклонениям от требуемого (также, как правило, равномерного) распределения формируемой последовательности.
Поэтому весьма актуальной является задача поиска таких алгоритмов преобразования исходной случайной последовательности, которые были бы свободны от этих недостатков.
Цель работы. Целью работы является доказательство предельных теорем для сумм г-независимых случайных величин в схеме серий, в том числе центральной предельной теоремы, получение оценок отклонения распределения линейной функции суммы г-независимых случайных величин от стандартного нормального распределения, а также нахождение алгоритмов преобразования исходных случайных последовательностей в случайные последовательности с заданным дискретным распределением.
Методы исследования. В диссертации при доказательстве предельных теорем и получении оценок отклонения использовались метод усечения случайных величин и метод характеристических функций, а также оценки отклонения Эссеена и Берри-Эссеена.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации решены следующие новые задачи:
- доказано, что в схеме серий сумма S гп-независи-мых в п-ой серии случайных величин -С^ .>, п = 1,2,..; k = = 1,..,Nn, 2 < гп < Nn, при n, Nn, гп * (и любой скорости возрастания гп) имеет то же самое предельное распределение, что и сумма S сопровождающих независимых в каждой серии
5 . случайных величин {, . } с такими же (произвольными) одно-
ПК.
мерными распределениями - как при наличии гп первых моментов у случайных величин n-ой серии, - так и в общем случае без предположения о существовании моментов (задания совместных распределений размерности, большей гп, У случайных величин <.пк> не требуется);
получены оценки отклонения распределения линейной функции суммы г-независимых случайных величин от стандартного нормального распределения;
при некоторых дополнительных условиях исследованы вероятности больших уклонений сумм Гп-независимых случайных величин {e,nk> в схеме серий в узкой зоне нормальной сходимости при n, Nn, гп -* m и любой скорости возрастания гп ;
найдены алгоритмы преобразования исходной последовательности независимых случайных элементов (величин), распределенных на некотором множестве, в новую последовательность независимых случайных элементов (величин) одинаково распределенных наконечном множестве S(m) = is1,...,sm> с заданным произвольным распределением -СО ,...,* > или распределением в некотором смысле сколь угодно близким к заданному.
Практическая ценность работы. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, работающим в области предельных теорем теории вероятностей и занимающимся созданием и применением алгоритмов формирования последовательностей случайных элементов различной природы (в частности, подстановок, сочетаний, размещений) с заданными вероятностными свойствами. Вид полученных в диссертации алгоритмов обеспечивает их практическую реализацию на ЭВМ.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинарах в МИАН им. В.А.Стеклова, на факультете ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова (1986- 1988 гг.), на Конференции по вероятностным методам в дискретной математике (г. Петрозаводск, 1988 г.), на семинарах в Научно-исследовательском институте автоматики (1981, 1988, 1993, 1996 гг.) и в Московском государственном институте электроники и математики (1993, 1996, 1997 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 21 наименование. Общий объем диссертации 86 страниц. В каждой главе диссертации принята своя нумерация параграфов, утверждений и формул. В автореферате первая цифра ссылки на то или иное предложение диссертации означает номер главы.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.Ф.Колчину за полезные обсуждения и поддержку при работе над диссертацией.
