Содержание к диссертации
'Введение 2-Ю
Глава I . Неравенства 11-45
I. Моментные неравенства при целом четном
порядке момента 11-33
2. Срезка 33-39
3. Обобщение неравенства Колмогорова 40-43
4. Моментные и вероятностные неравенства для
последовательностей с равномерно сильным
перемешиванием 43-45
Глава 2. Предельные теоремы . . 46-74
I. Закон повторного логарифма для ^-перемен
ных случайных величин 46-56
2. Одномерная центральная предельная теорема
для схемы серий - перемешанных случайных
величин 56-66
3. Принцип инвариантности для слабо стационарных
последовательностей с равномерно сильным пере
мешиванием 66-74
Глава 3. Оценки в принципе инвариантности 75-86
I. Формулировка результатов . 75-76
2. Доказательство теоремы II 76-86
Литература 87-92
-z-
Введение к работе
І. В диссертации исследуется предельное поведение распределений частичных.сумм последовательности слабо зависимых случайных величин со значением в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.
В первой главе получены обобщения известных в случае независимых слагаемых неравенств для больших уклонений сумм и максимума частичных сумм слабо зависимых случайных величин.
Во второй главе доказан ряд предельных теорем, связанных с аппроксимацией распределений частичных сумм случайных величин с перемешиванием нормальным законом. Здесь обобщаются теорема Харт-мана - Винтера о законе повторного логарифма, центральная предельная теорема Линдеберга и принцип инвариантности Донскера - Прохорова.
В третьей главе обобщаются известные неулучшаемые оценки в принципе инвариантности для независимых слагаемых на слабо стационарные последовательности с равномерно сильным перемешиванием.
Основной целью диссертации является распространение известных в случае независимых слагаемых вероятностных неравенств и предельных теорем на суммы слабо зависимых случайных величин при сохранении таких же моментных ограничениях на отдельные слагаемые.
Основные результаты диссертации докладывались на ХУ Всесоюзной школе коллоквиуме по теории вероятностей (Бакуриани, 1981), на Ш-ей Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1981), на Межвузовском семинаре по гауссовским процессам (Ленинград,1982), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Институте математики
— r> -
CO АН СССР ; опубликованы в 35] - [41]
Общий объем 9 2. страниц машинописного текста. Библиография 42 наименований.
2. Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертации.
Пусть -/ Q- \^ — последовательность случайных величин
со значением в сепарабельном гильбертовом пространстве Н и нулевыми средними, (х^ и |х| - соответственно скалярное произведение и норма в |-| . Через М_ обозначим ь - алгебру, порож-денную случайными величинами L . , (\ I . Положим
с ~ 'і
Выписанный выше коэффициент 4;(kj - есть коэффициент равномерно сильного перемешивания (или ^ - перемешивания), который был введен И.А.Ибрагимовым ( Г1J , С 21 ).
а) В первой главе приводятся неравенства для Ь (.^и/ и
В отличие от наиболее эффективного в случае независшлых ела-
гаемых и мартингал-разностей подхода для оценок вероятностей больших уклонений, связанного с исследованием экспоненциальных моментов соответствующих срезанных случайных величин (см..например, [&] ), в диссертации отправной точкой являются моментные неравенства. Это связано с тем, что в настоящий момент нет достаточно эффективных оценок для экспоненциальных моментов сумм слабо зависимых случайных величин.
Теорема 3. Справедливы неравенства
El *п I* - со Cl (ч< 2) Ч"г) ' л - * " г (1)
ЕІ^іЧ^ш^іЦ^І+^гіі (2)
где Cq - некоторая абсолютная постоянная.
Неравенство (I) обобщает на случай последовательностей с f -перемешиванием неравенство фон Бара-Эссеена L9j , неравенство (2) обобщает неулучшаемое неравенство Розенталя іую].
Положим
lK,-fc]- ^up *up J_= ^1 ) ^"и + к^І
где p = ^^/j ' 'Ь>І ' Теорема 2. Справедливо неравенство
р ( vyi (W [ к Ь ОС) ^ of * Е І .^'и | \ (4) (і і- 6t)) + 4 * К KL
где ft t-t) = VhC^ (Л *> 2/^ I 0lz М- U-ч) ЯА U) . Л
Теорема 4. Справедливо неравенство
AtiCivi Л (3)
где А ^ (" ) те же, что и в теореме 2.
Зти теоремы являются обобщением неравенства Колмогорова и позволяют получить оценки для р ( vvi с*у | .. I > эсJ через оцен-
ки для t \ і v, I При *t - 2 столь же эффективные и близкие результаты, как и неравенство (3), получены в L'MJ ^2 J . Теорема 5. Справедливы неравенства
р (wax | &..\vx\ к С„ u\^/i)L Wx'V^^, (4)
.v Лґ ; /-..4 -~t
и
где с >j - абсолютная постоянная.
Неравенство (5) является в некотором смысле обобщением одного из неравенств Нагаева - фука ( см. С&'Л ). Дисперсионный член здесь хуже, тем не менее, это неравенство (5), его элементарные следствия и теорема 3 позволяют получить обобщения известных предельных теорем для сумм независимых случайных величин на последовательности с равномерно сильным перемешиванием.
-ь~
Несколько слов об используемой в этой главе технике. Важную роль при доказательстве теоремы 3 играет теорема I, доказанная в I. (На идейном уровне к доказательству теоремы I ближе всего работа t-5] .) Затем, используя срезку ( 2 ), на основе теоремы I и теоремы 4 мы доказываем справедливость соответственно теоремы 3 при произвольных t^'j и теоремы 5.
б) Перейдем к содержанию второй главы. Запись И - R здесь и далее означает, что \~\ - вещественная прямая,
В I приведено обобщение теоремы Хартмана - Винтера о законе повторного логарифма ( Г20], гл.10 ) на последовательности случайных величин с Ч - перемешиванием.
Теорема 7. Пусть выполнены следующие условия (Н - R) :
T ЧЧ1К) Кг с -
I)
2)
И - сх=>
3) P(l %.| >X^P(^>X),V^DC , ГДЄ E^oo.
I/
Тогда справедлив закон повторного логарифма
р f7v^lJ7^
Lw, SuD —^Ь- а А
Vi ~»/>»
и. и
В 2 обобщается центральная предельная теорема Линдеберга ( L2 03 , гл. 4 ) на последовательности с ^ - перемешиванием. Теорема 8. Пусть выполнены условия (И-R) :
2)
1 *.'
3) Тогда
И - C2~=> ^1
^ Cbif =>%
где имеет стандартное нормальное распределение.
В 3 обобщается принцип инвариантности Донскера - Прохорова ( [2*| » гл. 6 ; lZLil ) на слабо стационарные последовательности гильбертовозначных случайных величин с равномерно сильным перемешиванием.
^;V - слабо стационарна. Положим
Пусть Сц^Д]- сепарабельное банахово пространство непрерывных функций из \^0,13 в И . Через I? - jfh^') о0'03113-4 случайную ломаную в Сц ЦО с узлами (К,^ ^ < и"^) 7 К' = г>, і, ,, ., V-, через ^ 2^(-^) - однородный винеровский процесс в С D}'/J с ковариационным оператором Ё (^ U ), tvj -i~T () ( из предположений нижеследующей теоремы следует, что ) - ковариационный оператор).
Теорема 9. Пусть выполнены условия :
Тогда
7 и =*?
Теорема 10. Если {_ ^: j ^ . - строго стационарная после-довательность и 2_ ^ MkV <0 » то tи ~^? *
Теорема 8 в случае Vh - зависимых слагаемых доказана в Гі ЪЗ. Теорема 10 обобщает результат Ю.А.Давыдова ( [/HJ ). В случае строго стационарной последовательности і . Т '^ в R тео-
ремы 7-8 следуют из более сильных результатов, а именно : теорема 7 из іЧ], теоРема 8 из 2.3 (основное отличие заключается в том, что в теоремах 7-8 требуется более сильная скорость убывания коэффициентов перемешивания). Вместе с тем, при отсутствии строгой стационарности, имеющиеся в литературе результаты далеки от соответствующих аналогов для независимых слагаемых (см., например, 0l5]-[ifc]).
Основными компонентами доказательств теорем 7, 8 являются:
метод С.Н.Бернштейна ( С 43 ),
аппроксимационная теорема Беркеша-Филшша ( С^З )»
вероятностные неравенства, изложенные в главе I.
нозначной последовательности 4 V V предложен в Г11J ).
v t j і - ^
в) Содержание третьей главы.
При доказательстве теоремы 9 мы доказываем компактность последовательности мер, порожденных процессами b , И ^ -| , и используем теорему 8 ( этот путь в случае строго стационарной Вещественен
Пусть і V v - слабостационарная последовательность
вещественнозначных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Положим
і/ К -г
л?
Через '3- -3^ Li) обозначим случайную ломаную с узлами в точках
(Ьк І^^&У^) ' K^/V»» Л'- » через ы ~и)Й0 -стандартный винеровский процесс. Пусть Р обозначает распределение '5. в С Го,'13 і "V* -распределение tO в CCcyiJ . Через |_ ( Рп ,W) обозначим расстояние Леви - Прохорова между мерами Р и V\)
Теорема II. Пусть &>0 и для некоторого і _, 2 *їг\ справедливо неравенство ^(іс)і ft k J ,V K^'j , где
і (u) = I n-u»-. { к H'vJ 2.ic^ «3 , Тогда
m,X) *c t^t4> (6)
где С зависит лишь от "A-^Q^,^ .
Пусть сс ,>0 .
Следствие I. Если S І к,) 4 $- q~K 0 ^ (j +, '\ , V" к >-| то при 2L^i *-Г справедливо (6).
Следствие 2. Если ^с^^ ^ ^-^+%..) ; V к >- і 7 тс1 npvi 2, <"fc ^4 ілрабеА-'чДО ("б ),
~~'l v~
Первая оценка скорости сходимости в принципе инвариантности была получена Ю.В.Прохоровым ( [.-И» 1956). Окончательный по зависимости от отношения Ляпунова результат в зоне I < ^ 3 получен А.А.Боровковым ( C2&J t 1973). В j.-fQ] задача решена в случае независимых и одинаково распределенных слагаемых. В (7 5 Д продолжен результат А.А.Боровкова в зону - -L і ^S . В 16 3 ,1^3
[~9] решена задача в случае схемы серий независимых случайных величин и доказана неулучшаемость оценки А.А.Боровкова. В случае
2 <- t Ъ и строго стационарного процесса с экспоненциальной скоростью убывания коэффициентов сильного перемешивания в I ?>oJ достигнут степенной порядок оценки (6)
При доказательстве существенно используются : метод С.Н.Берн-штейна ГН] , аппроксимационная теорема Беркеша - Филиппа [ .V] , оценки в принципе инвариантности А.И.Саханенко с^ , Г 1 ] и вероятностные неравенства, изложенные в первой главе. В [ЗИ][ отме-чено, что оценка порядка h ' в центральной предельной теореме для стационарных последовательностей случайных величин с перемешиванием является пределом возможности метода С.Н.Бернштейна. По этой причине мы приводим оценки, лишь при Ь^Ь ш
Автор выражает благодарность А.А.Боровкову за поддержку и внимание к работе.
