Введение к работе
Актуальность темы. Помимо теоретического математи-
ческого интереса предельные теоремы привлекают внимание тем, что только с их помощью можно проверять адекватность теоретических выводов теории вероятностей с окспериментальпыыи фактами. В работе рассмотрена схема цепзурироваїшьис выборок, точнее поведение с вероятностью 1 суми случайных величия, из которых удаляется некоторое количество ыаксимальпых членов. Такие объекты принято называть урезанными суммами (trimmed sums). Это понятие естественным обрезом возникает в робаст-ной статистике. Дело в том, что отбрасывание экстремальных, часто наименее падежных, слагаемых увеличивает устойчивость (робастцость) различных процедур оценивания и проверки гипотез. Кроме того, такое цензурирование (цензурирование второго рода) может возникать из самой природы решаемой задачи. Например, при испытаниях на долговечность партии изделий, в силу ограпичешюсти во времени, мы вынуждены вести обработку данных на оспове цензурировапной выборки.
Тот факт, что асимптотическое поведение сумм случайных величин сушественпым образом определяется поведением относительно небольшого количества максимальных (или минимальных) членов случайной последовательности, был отмечен в ставших уже классическими работах Лепи (1935), Дарлипга (1952) и Феляера (1968).
В настоящее время большое количество работ посвящеяо нахождению условий, при которых для урезанных сумм выполпеиа центральная предельная теорема, усиленный ланок больших чисел и закон повторного логарифма. Огмтгим здесь статьи В.А. Егорова, И.М. Хамдамова, Мори, Мейсопа, Хсслера, Чорге, Пруитта, Кэлбса, Леду и Гриффипа.
Цель работы. Целью настоящей работы явилось полу-
чение усиленного закона больших чисел и закона повторного логарифма для урезанных сумм независимых случайных величин. Кроме того, важпое место занимает поиск связи усиленного закона больших чисел для урезанных сумм квадратов с законом повторного логарифма урезанных сумм исходных величин.
Методы исследования. Диссертационная работа использует разложепие Марципкевича для симметричных величин, позволяющее перейти от суммы сильнозависимых случайных величин к сумме с независимыми приращениями, а также тот общий факт, что довольво часто нри вполне приемлемых ограничениях усиленный закон больших чисел для суммы квадратов влечет закон повторного логарифма для исходных величин. Эти методы в примепепки к урезанным суммам были вперкые предложены В.А. Егоровым.
Научная новизна. В случае независимых одинаково
распределенных величин найдены новые достаточные условия, приводящие к усиленному закону больших чисел для урезанных сумм квадратов и закону повторного логарифма'урезапных сумм исходных величин. Те же сильные предельные теоремы получены для усеченных сумм (суммы, из которых удаляются слагаемые превысившие заранее заданный детерминированный уровень). Дани некоторые оценки скорости роста урезанных сумм неодинаково распределенных симметричных случайных величин. В некоторых важных.частных случаях указаны границы, в которых с верояиюстыо 1 находятся крайние порядковые статистики.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании асимптотического поведения урезанных сумм независимых случайных величин.
Апробация работы. Результаты работы докладыва-
лись на Международной конференции M0DA-4 (СПб, май 1994) и на общегородском семинаре по предельный теоремам в Оапкт-Петербургскои униперситетс.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 ра-
боты и 1 сдала в печать.
Структура и объем работы. Диссертационная работа
состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 51 наименование. Общий объем, работы 87 страпид.
