Введение к работе
Актуальность темы. Понятие ассоциированности для случайных неличин ввели Esary. Proschan и Walkup it 1974 году. Конечный набор случайных величин = (i,...,m) называется ассоциированным или положительно зависимым, если для любых неубывающих но каждому аргументу функций /, д : R/" — П., таких, что Е/()#(), Е/(). Е//() конечны, выполнено неравенство cov (/(),:J (О) > 0. Бесконечное множество называется ассоциированным, если любое его конечное подмножество ассоциирование. Ассоциированные случайные величины широко используются в теории надежности, теории перколяции, квантовой теории поля, в некоторых других моделях статистической физики. Полнившись из приложений, ассоциированные величины вскоре стали предметом изучения в математической литературе.
Начиная с 80-х годов на ассоциированные случайные величины обобщались многие классические результаты. Центральную предельную теорему для ассоциированного случайного поля доказали Newman (стационарный случай), Сох и Grimmett (нестационарный случай). Для формулировки условий теоремы последними был определен коэффициент, характеризующий степень зависимости случайных величин, образующих поле (теперь в литературе он часто называется коэффициентом Кокса-Гримметта):
и(п)~ sup ^2 cov(Xj,Xq).
5Zd qtZ<\q-j\>n
Были получены принцип инвариантности для ассоциированной стационарной (Newman, Wright) и нестационарной (Birkel) последовательности, локальная предельная теорема (Wood), усиленный закон больших чисел (Birkel) Birkel в работе 1988 года получил моментные неравенства для сумм ассоциированных случайных величин при некоторых моментных ограничениях на слагаемые и требованиях на скорость убывание коэффициента Кокса-Гримметта. Эти результаты были обобщены Булипским на случай мультиплексированных ассоциированных случайных величин. Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для ассоциированных последовательностей получены Wood'ом (1983) и Birkel'ом (1988); для ассоциированных случайных полей при степенной и экспоненциальной скорости убывании коэффициента Кокса-Гримметта — Булипским. Функциональный закон повторного логарифма доказан Dabrowski
.1
для последовательностей, Нулипским для полей на целочисленной решетке.
Представленный обзор исследований позволяет сделать вывод о значительном развитии теории положительной зависимости и разработанности этой теории в области предельных теорем. Настоящая работа представляет собой первый опыт по изучению предельного поведении широкого класса статистик от ассоциированных случайных величин (^/-статистики, К-статистики, Выборочные квантили, стьюдентизированные выборочные средние и др.) В методологическом отношении мы опираемся, с одной стороны, на обширный опыт изучения предельного поведения статистик от слабо зависимых величин, с другой стороны — на методы, использующиеся при доказательстве предельных теорем для ассоциированного случал и учитывающие специфику положительной зависимости.
Работа над диссертацией велась по планам НИР кафедры геометрии, математической статистики и теории управления Сыктывкарского государственного университета в рамках темы "Аналитические и геометрические вопросы теории динамических систем" JY'FP ()1.940000331.
Цель работы. Исследование асимптотического поведения распределений статистик от строго стационарных ассоциированных последовательностей при степенной и экспоненциальной скорости убывания к нулю коэффициента Кокса-Гримметта, получение предельных теорем для выборочных квантилей и для U-статистик и V-статистик произвольного порядка от ассоциированных случайных величин.
Научная новизна и практическая ценность.
Получены новые оценки скорости сходимости в центральной продольной теореме для широкого класса статистик от стационарных ассоциированных последовательностей при экспоненциальной скорости убывания коэффициента Кокса-Гримметта, оптимальные по порядку зависимости от числа слагаемых с точностью до логарифмического множителя. Показано, что данный класс включает такие статистики, как 11-статистики и V-етатистики, стьюдентизированные, выборочные средние, гладкие функции от выборочных средних.
Получены асимптотическое поведение распределений статистик от стационарных ассоциированных последовательностей и доказаны новые предельные теоремы (центральная предельная теорема, функциональная центральная предельная теорема, функцио-
нальный закон повторного логарифма) для выборочных квантилей и U-статистик и V-статистшс произвольного порядка от ассоциированных случайных величин.
Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях, связанных с развитием асимптотических методов в теории вероятностей, ведущихся в Московском, Санкт-Петербургском, Сыктывкарском университетах, Санкт-Петербургском отделении института математики им. В.Л.Стеклова РАН, Институте математики СО РАН и других.
Апробация полученных результатов. Основные результаты диссертации докладывались па научных семинарах в Сыктывкарском университете (1995, 1997), ПОМП РАН (Санкт-Петербург, 1997), МГУ (Москва, 199(5).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы в Трудах Коми научного центра УРО РАН, в сборнике Актуальные проблемы современной математики (Новосибирск, 1997).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, дополнения и списка литературы, насчитывающего 58 наименований и изложена на 110 страницах текста, набранного в Тр]Х'е и распечатанного в размере машинописного шрифта с двумя машинописными интервалами.
