Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая работа посвяядена изучению свойств распределений квадратичных форм от случайных величин. Квадратичные формы (КФ) от случайны* величин наряду с линейными формации являются одним из основних объектов математической статистики. Бот некоторые из примеров, в которых присутствуют КФ. Статистики: выборочные дисперсия и коэффициент корреляции, со , ft , Бартлетта-Ееффе, Аббе, Отношение Стыпдента и т.д. КЗ? естественным образом возникают в теории стационарных случайных последовательностей и процессов при оценивании спектральных характеристик, в статистике стационарных гауссовск'К процессов при построении оптимальных статистических процедур, основанных на логарифме отношения правдоподобия, а также р задачах дисперсионного анализа, в методе наименьшее квадратов и т.д. и т.п.
Таким образом, актуальность исследования проблем, связанных с КФ обусловлена помимо теоретического интереса также и практической значимостью тематики.
В 1953 годі' вышла.в свет книга М.К,Камалова "Распределение квадратичных форм в выборках из нормальной совокупности", в которой рассмотрен широкий круг вопросов. Перечислим основные направления, в которых велись и ведутся исследования КФ : предельные георемы, неравенства для распределений КФ, представление ф.р. КФ рядами, независимость КФ, КФ и линейных форм и, наконец, большое разнообразие задач, связанные с изучением распределений № математической статистики. На перечисленных направлениях получено большое количество различных результатов, пике мы более подробно остановимся на тех задачах, в которых автором достигнут определенный прогресс.
Отметим, что с самого начала работы над тематикой не рассматривались предельные теоремы для КФ как таковых, соответствующая теория здесь уже достаточно развита.
Первоначальный интерес автора был связан с попыткой улучшить известные оценки для ф.р. нормированных (тем или иным способом) КФ от гауссовских ел.в. Развитие исследований в этой области стимулировались академиком Ю.В.Прохоровым.
Цель работы.
I) Получение неулучшаемьге оценок для функция распределения.'
квадратичных форм от пентрированных гауссовских величин при различных естественных ограничениях на коэффициенты форм, а также , для некоторых распределений математической статистики в случае ' неравноточнкх наблюдений.
-
Получение практически лриемлемых алгоритмов проверки непараметрических гипотез для многомерных наблюдений и случайных процессов.
-
Изучение свойств некоторых известных статистик, являющих собой квадратичные формы от наблюдений (или функционалов от наблюдений).
Методика исследования. В диссертации используются традици- онные методы теории вероятностей и математической статистики, теории функций действительного переменного и теории меры. .
Научная новизна. Б работе найдены экстремумы функции распределения квадратичных форм от центрированных гауссовских вели- '> чин при различных ограничениях на коэффициенты форм найдены экстремумы функций распределения некоторых важных с точки зрения практических приложений статистик в случае неравноточных наблюдений. ;'''".
Предложены новые критерии проверки непараметрических гипо
тез для многомерных данных и случайных процессов (здесь исполь-
эувтея результаты для квадратичных форм от гауссовских случай-,,
ных величин). ' :',.. і.'.'';'"-'.'-' '.'-.."' -: -'..
Получено асимптотическое разложение для функции распределения квантилького критерия Л.Н.Большева, Доказано некоторое характеризационное свойство для статистики хи-квадрат Пирсона.
Практическая и теоретическая ценность. Разработанные мето
ды расширяют область применения математических методов в довери
тельном и точечном оценивании параметров, в проверке непарамет
рических ГИПОТез. ')'..'.'- '..' -'::/:\:]\
Апробация работы. Основные результаты докладывались на се- . минерах по теории вероятностей и математической статистике в ПОМП (ЛОШ), МИАН (Москва), ЩУ, ШМ математики и механики при л Казанском госуниверситете, Институте математики Уфимского науч-, ного центра РАН, на Нежп^дароднмс вйльнюеекиг конференциях j по ' теории вероятностей и математической статистике.(1985г., 1989г>і,
-;:-;4,-;іі
Советско-японском симпозиуме (Киев, 1991), Колмогоровских чтениях (Санкт-Петербург, 1993).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которые приведен в конце автореферата.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и четырех глав. Библиография содержит 76 наименований. Объем диссертации - 292 страницы машинописного текста.
Похожие диссертации на Квадратичные формы от случайных величин и некоторые задачи математической статистики
